Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes

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Suites adjacentes
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Chapitre no 3
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Convergence
Chap. suiv. :Suites extraites
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Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes
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Dans cette leçon, nous allons étudier des suites dites adjacentes. L'idée de cette notion centrale est de repérer quand deux suites, l'une croissante et l'autre décroissante, converge vers la même limite.

Nous verrons dans un premier temps la définition et le théorème principal concernant les suites adjacentes, avant de nous concentrer sur quelques exemples et applications remarquables.

Suites adjacentes[modifier | modifier le wikicode]

Voyons tout d'abord la définition de deux suites adjacentes.



L'intérêt principal de cette notion se situe dans la propriété suivante, et surtout dans le théorème, dit des suites adjacentes, qui suivra. Le résultat principal à retenir est que si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers une limite commune. Ainsi, pour démontrer une convergence, il est peut être utile de construire deux suites adjacentes et d’utiliser le théorème qui va suivre.



Début d’un théorème


Fin du théorème


Applications[modifier | modifier le wikicode]

Voyons maintenant des exemples classiques d'applications des suites adjacentes.

  1. La première application va nous permettre de montrer que le nombre est irrationnel. Plus exactement, on va seulement redémontrer que la suite définie par
    converge et que sa limite vérifie
    (dans Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e, on démontre cela, dont on déduit que cette limite est irrationnelle, et l'on démontre par ailleurs qu'elle est égale à ).
    Il suffit de vérifier que les deux suites et sont adjacentes, la suite étant définie par :
    .
    Manifestement, est strictement croissante et  ; montrons alors que est décroissante : pour tout entier ,
    Ainsi, et sont bien adjacentes.
  2. Pour la seconde application, on va étudier l'approximation décimale d'un nombre réel.
    Soit . On définit les deux suites suivantes :
    désigne la partie entière.
    On appelle l'approximation par défaut de et l'approximation par excès. Ces deux suites donnent les premiers chiffres après la virgule de .
    On a : . Il faut donc montrer que (resp. ) est croissante (resp. décroissante).
    Soit . Par définition de la partie entière, on a :
    On en déduit que : .
    Comme les nombres sont des nombres entiers, on en déduit :
    .
    Et finalement, en multipliant les deux inéquations par , on a bien montré que et .
    Les suites et sont donc adjacentes et convergent donc vers une même limite que l'on notera . Or, on a : , ce qui permet de conclure que par passage à la limite.
    On vient donc de construire deux suites adjacentes de nombres décimaux qui convergent vers . Au passage, on vient de montrer que tout nombre réel peut être vu comme limite d'une suite de nombres décimaux, on dit alors que les nombres décimaux sont denses dans les nombres réels. Remarquons également que dans ce qui précède on peut remplacer par n'importe quel entier supérieur ou égal à , c'est-à-dire que l'on peut écrire le nombre réel dans une autre base que la base décimale.
  3. La troisième application est le calcul d'un zéro d'une fonction par la méthode de dichotomie.
    Soit une fonction continue sur le segment et telle que , c'est-à-dire que change de signe sur le segment. On sait alors par le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation admet une unique solution .
    La preuve par dichotomie de ce théorème pemet de trouver une valeur approchée de quand on ne sait pas résoudre algébriquement l'équation. L'idée de cet algorithme est de regarder la valeur de au milieu du segment, et en fonction de cette valeur on va pouvoir réduire l'intervalle. On va ainsi diviser en deux à chaque fois la taille de l'intervalle où se situe. Pour plus de détails, voir Continuité et variations/Théorème des valeurs intermédiaires.
  4. La dernière application est l'un des théorèmes fondamentaux sur la topologie de  : le théorème des segments emboîtés. Sa démonstration est directe par application du théorème des suites adjacentes. Il permet, en particulier, de démontrer un autre résultat fondamental : le théorème de Bolzano-Weierstrass.


Début d’un théorème


Fin du théorème

Ce théorème sera généralisé au niveau 16 par le théorème des fermés emboîtés.