Leçons de niveau 16

Topologie générale/Compacité

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Compacité
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Chapitre no 12
Leçon : Topologie générale
Chap. préc. :Connexité
Chap. suiv. :Propriété de Baire

Exercices :

Compacité
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Topologie générale/Compacité
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La compacité en topologie apporte une notion de finitude topologique. On ajoute également une condition de séparabilité à la définition : un espace topologique séparé est dit compact lorsque de tout recouvrement de cet espace par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini. Un espace métrisable est compact si et seulement s'il est séquentiellement compact, c'est-à-dire si dans cet espace, toute suite admet une sous-suite convergente. Une partie d'un espace topologique est dite compacte si elle est compacte pour sa topologie induite.

Exemples :

  • les compacts de R sont ses fermés bornés ;
  • R lui-même n'est donc pas compact, tandis que R achevé (muni de la topologie étendue à R auquel ont été adjointes deux bornes infinies) est homéomorphe à [–1, 1] donc compact ;
  • en ajoutant un seul point à un espace localement compact et en étendant convenablement sa topologie, on construit un espace compact : son compactifié d'Alexandrov. Par exemple, le compactifié d'Alexandrov de R est un cercle.

Définitions[modifier | modifier le wikicode]




Premières propriétés[modifier | modifier le wikicode]



Compacité et applications continues[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème suivant généralise le théorème des bornes, selon lequel l'image d'un segment [a, b], par une application continue à valeurs dans R, est bornée et contient ses deux bornes.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Espaces métriques compacts[modifier | modifier le wikicode]

D'après la remarque ci-dessus sur les intersections de fermés, dans un espace métrique compact, l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite est toujours non vide donc a au moins une sous-suite convergente. On résume cela en disant que tout espace métrique compact est séquentiellement compact (ce qui prouve au passage qu'il est complet). La réciproque, moins évidente, est aussi vraie :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Pour démontrer ce théorème, nous utiliserons deux lemmes :

Début d'un lemme
Fin du lemme

Remarquons au passage que tout espace métrique compact est donc borné.


Début d'un lemme
Fin du lemme

Produit d'espaces compacts[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Plus précisément, tout espace produit d'une famille (non nécessairement finie) d'espaces quasi-compacts est quasi-compact. Pour le démontrer, nous nous servirons du théorème suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Note[modifier | modifier le wikicode]

  1. Même le graphe de f est donc quasi-compact, comme image de C par l'application continue x ↦ (x, f(x)), et ces propriétés s'étendent aux fonctions multivaluées.