Leçons de niveau 16

Topologie générale/Compacité

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Compacité
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Chapitre no 12
Leçon : Topologie générale
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La compacité en topologie apporte une notion de finitude topologique. On ajoute également une condition de séparabilité à la définition : un espace topologique séparé est dit compact lorsque de tout recouvrement de cet espace par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini. Un espace métrisable est compact si et seulement s'il est séquentiellement compact, c'est-à-dire si dans cet espace, toute suite admet une sous-suite convergente. Une partie d'un espace topologique est dite compacte si elle est compacte pour sa topologie induite.

Exemples :

  • les compacts de R sont ses fermés bornés ;
  • R lui-même n'est donc pas compact, tandis que R achevé (muni de la topologie étendue à R auquel ont été adjointes deux bornes infinies) est homéomorphe à [–1, 1] donc compact ;
  • en ajoutant un seul point à un espace localement compact et en étendant convenablement sa topologie, on construit un espace compact : son compactifié d'Alexandrov. Par exemple, le compactifié d'Alexandrov de R est un cercle.