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Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit la fonction scalaire de la variable réelle continue et dérivable en toute valeur d'un intervalle de définition.
Rappel des notions de continuité et dérivabilité de fonction[modifier | modifier le wikicode]
Notions vues dans le secondaire.
La fonction est dite continue en si, quand , admet une limite égale à soit
.
La fonction est dite dérivable en si existe, sa valeur définissant soit
[1] ;
la fonction est dite dérivable sur un domaine de dérivabilité si son nombre dérivé existe pour toutes les valeurs du domaine.
Propriétés du nombre dérivé : Le nombre dérivé est le cœfficient directeur ou pente de la tangente du graphe de en fonction de au point d'abscisse , l'équation de la tangente s'écrivant ,
Propriétés du nombre dérivé : c'est encore la tangente de l'angle orienté que fait la tangente du graphe de en fonction de au point d'abscisse , avec l'axe des abscisses soit, .
Si la fonction scalaire est dérivable sur un domaine de dérivabilité, « ses nombres dérivés définis pour chaque valeur » sont les « images de par une fonction »,
cette fonction définie par «» est appelée « dérivée de la fonction ».
Début d’un théorème
Théorème de dérivation d'une fonction composée
À partir d'une « 1
ère fonction scalaire
continue sur un intervalle
et à valeurs dans l'intervalle
» et une « 2
ème fonction scalaire
continue sur l'intervalle
», nous définissons la « fonction composée
continue sur l'intervalle
» ;
« si la fonction
est dérivable en
» et « la fonction
dérivable en
», « la fonction composée
est dérivable en
» et son nombre dérivé se détermine par
«».
Fin du théorème
Démonstration : la fonction étant dérivable en «» ou notant «» «»,
Démonstration : la fonction étant continue en soit, en remplaçant par , «» ou, compte-tenu de quand , «» que nous pouvons finalement réécrire «» ;
Démonstration : pour terminer transformons le taux de variation de la fonction composée selon «» dans lequel
Démonstration : pour terminer le « 1er facteur du 2ème membre a pour limite quand » résultat établi ci-dessus et
Démonstration : pour terminer le « 2ème facteur du 2ème membre pour limite quand » définition du nombre dérivé de en d'où
«».
À partir de la « fonction scalaire dérivable en et telle que soit », on définit le « nombre dérivé logarithmique de en » selon
«» dans lequel est le nombre dérivé de en ;
Justification du nom « dérivée logarithmique » : la fonction scalaire « logarithme népérien » [2] est « continue et dérivable sur » de « dérivée 1ère, pour , »
Justification du nom « dérivée logarithmique » : et la « fonction scalaire est dérivable en » de « nombre dérivé » avec «» d'où
Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en «» se réécrivant selon «»
Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée en » soit
Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en «» ;
Justification du nom « dérivée logarithmique » : la fonction scalaire composée « logarithme népérien de valeur absolue » [2] est « continue et dérivable sur » [3] de « dérivée 1ère
Justification du nom « dérivée logarithmique » : la fonction scalaire composée « logarithme népérien de valeur absolue » est « pour , » [4]
Justification du nom « dérivée logarithmique » : et la « fonction scalaire est dérivable en » de « nombre dérivé » avec «» d'où
Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en «» se réécrivant selon «»
Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée en » soit
Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en «».
Justification du nom « dérivée logarithmique » : En conclusion, à partir de la « fonction scalaire dérivable en de nombre dérivé et telle que soit »,
Justification du nom « dérivée logarithmique » : En conclusion, le « nombre dérivé logarithmique de en » à savoir «» est aussi le « nombre dérivé de en » c.-à-d.
Justification du nom « dérivée logarithmique » : En conclusion, le « nombre dérivé logarithmique de en » à savoir «» d'où le nom.
Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : Si la fonction scalaire est dérivable sur un domaine de dérivabilité, la fonction dérivée de est définie selon «» et
Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : si l'image de par ne contient pas [5] c.-à-d. «» [5] ou «» [5],
Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : « ses nombres dérivés logarithmiques définis pour chaque valeur » [5] sont les « images de par une fonction » [6],
Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : cette fonction définie par «» [5] est appelée « dérivée logarithmique de la fonction »
Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : c'est aussi la « dérivée de la fonction composée ».
La fonction est dite dérivable en au 2ème ordre si existe, sa valeur définissant , soit [7].
La valeur du nombre dérivé du 2nd ordre traduit la façon dont la dérivée 1ère varie avec la variable, une valeur positive correspondra à une « de la dérivée 1ère » [8] alors que
La valeur du nombre dérivé du 2nd ordre traduit la façon dont la dérivée 1ère varie avec la variable, une valeur négative correspondra à une « » [9].
- ↑ Appelé nombre dérivé.
- ↑ 2,0 et 2,1 John Napier (1550 - 1617) est un physicien, astronome, mathématicien et théologien écossais à qui on doit essentiellement l'invention des logarithmes et la construction de tables de logarithmes
- ↑ En fait continue et dérivable sur «» mais l'étude sur « où la fonction composée s'identifie à » ayant déjà été traitée, nous n'y revenons pas.
- ↑ En effet se réécrit, « pour , » la « réécriture de la fonction composée appliquée sur selon » avec symbole de multiplication sur d'où l'application du théorème de dérivation d'une fonction composée conduit à «».
- ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 et 5,4 Et si s'annule pour des valeurs de il convient de « restreindre au plus grand tel que ».
- ↑ Notation personnelle car il n'y a aucune réglementation pour noter cette fonction.
- ↑ Appelé nombre dérivé du 2nd ordre.
- ↑ C.-à-d. une concavité dirigée vers les ordonnées positives.
- ↑ C.-à-d. une concavité dirigée vers les ordonnées négatives.