Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle

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Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle
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Chapitre no 1
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
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     Soit la fonction scalaire de la variable réelle continue et dérivable en toute valeur d'un intervalle de définition.

Rappel des notions de continuité et dérivabilité de fonction[modifier | modifier le wikicode]

     Notions vues dans le secondaire.

Continuité d'une fonction[modifier | modifier le wikicode]

     La fonction est dite continue en si, quand , admet une limite égale à soit

.

Dérivabilité d'une fonction[modifier | modifier le wikicode]

     La fonction est dite dérivable en si existe, sa valeur définissant soit

 [1] ;

     la fonction est dite dérivable sur un domaine de dérivabilité si son nombre dérivé existe pour toutes les valeurs du domaine.

     Propriétés du nombre dérivé : Le nombre dérivé est le cœfficient directeur ou pente de la tangente du graphe de en fonction de au point d'abscisse , l'équation de la tangente s'écrivant ,
     Propriétés du nombre dérivé : c'est encore la tangente de l'angle orienté que fait la tangente du graphe de en fonction de au point d'abscisse , avec l'axe des abscisses soit, .

Fonction dérivée f' d'une fonction f[modifier | modifier le wikicode]

     Si la fonction scalaire est dérivable sur un domaine de dérivabilité, « ses nombres dérivés définis pour chaque valeur » sont les « images de par une fonction »,
     cette fonction définie par «» est appelée « dérivée de la fonction ».

Théorème de dérivation des fonctions composées[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : la fonction étant dérivable en «» notant pour simplifier «» «»,

     Démonstration : la fonction étant continue en soit, en remplaçant par , «» ou encore, compte-tenu que quand , «» que nous pouvons finalement réécrire «» ;

     Démonstration : pour terminer transformons le taux de variation de la fonction composée selon «» dans lequel
Démonstration : pour terminer le « 1er facteur du 2ème membre a pour limite quand » résultat établi ci-dessus et
Démonstration : pour terminer le « 2ème facteur du 2ème membre pour limite quand » définition du nombre dérivé de en d'où

«».

Notion de dérivée logarithmique d'une fonction[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de la « fonction scalaire dérivable en et telle que soit », on définit le « nombre dérivé logarithmique de en » selon

«» dans lequel est le nombre dérivé de en  ;

     Justification du nom « dérivée logarithmique » : D'une part la fonction scalaire « logarithme népérien » [2] est « continue et dérivable sur » de « dérivée 1ère, pour , »,
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : d'autre part la « fonction scalaire est dérivable en » de « nombre dérivé » avec «»,
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en «» se réécrivant selon «»
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée en » soit

«» ;

     Justification du nom « dérivée logarithmique » : d'une part la fonction scalaire composée « logarithme népérien de valeur absolue » [2] est « continue et dérivable sur » [3] de « dérivée 1ère, pour , » [4],
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : d'autre part la « fonction scalaire est dérivable en » de « nombre dérivé » avec «»,
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en «» se réécrivant selon «»
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée en » soit

«».

     Justification du nom « dérivée logarithmique » : En conclusion, à partir de la « fonction scalaire dérivable en de nombre dérivé et telle que soit », le « nombre dérivé logarithmique de en » à savoir «» est aussi le « nombre dérivé de en » c.-à-d.

«» d'où le nom.

     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : Si la fonction scalaire est dérivable sur un domaine de dérivabilité, la fonction dérivée de est définie selon «» et
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : si l'image de par ne contient pas [5] c.-à-d. «» [5] ou «» [5],
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : « ses nombres dérivés logarithmiques définis pour chaque valeur » [5] sont les « images de par une fonction » [6], cette fonction définie par «» [5] est appelée « dérivée logarithmique de la fonction » c'est aussi la « dérivée de la fonction composée ».

Dérivabilité du second ordre[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     La fonction est dite dérivable en au 2ème ordre si existe, sa valeur définissant , soit

 [7].

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

     La valeur du nombre dérivé du 2nd ordre traduit la façon dont la dérivée 1ère varie avec la variable, une valeur positive correspondra à une «  de la dérivée 1ère » [8] alors qu'une valeur négative correspondra à une « » [9].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Appelé nombre dérivé.
  2. 2,0 et 2,1 John Napier (1550 - 1617) est un physicien, astronome, mathématicien et théologien écossais à qui on doit essentiellement l'invention des logarithmes et la construction de tables de logarithmes
  3. En fait continue et dérivable sur «» mais l'étude sur « où la fonction composée s'identifie à » ayant déjà été traitée, nous n'y revenons pas.
  4. En effet se réécrit, « pour , » soit la « réécriture de la fonction composée appliquée sur selon » avec symbole de multiplication sur d'où l'application du théorème de dérivation d'une fonction composée conduit à «».
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 et 5,4 Et si s'annule pour des valeurs de il convient de « restreindre au plus grand tel que ».
  6. Notation personnelle car il n'y a aucune réglementation pour noter cette fonction.
  7. Appelé nombre dérivé du 2nd ordre.
  8. C.-à-d. une concavité dirigée vers les ordonnées positives.
  9. C.-à-d. une concavité dirigée vers les ordonnées négatives.