Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices carrées, leur réduction, généralités

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Définition de la réduction d'une matrice carrée

     Préliminaire : Une « matrice carrée $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» étant, quelle que soit la matrice $\;\left[A\right]$,
        Préliminaire : la « matrice d'un endomorphisme $\;\varphi \;$ d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ dans une base particulière $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» c.-à-d. telle que         Préliminaire : la «$\;\left[A\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$»,
     Préliminaire : on peut « envisager une nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;E\;$ de matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à cette nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$»
     Préliminaire : on peut « envisager pour que « la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans cette nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$
     Préliminaire : on peut « envisager pour que «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$ soit la plus simple possible » c.-à-d.
     Préliminaire : on peut « trouver la matrice $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ telle que «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=$
     Préliminaire : on peut « trouver la matrice $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ telle que «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$ soit la plus simple possible » ;
     Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans cette nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace$, $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$»
     Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est « une matrice carrée particulière $\;\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ identique à $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$» et
     Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace$, $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$»
     Préliminaire : sachant que « la matrice de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est « la matrice carrée d'origine $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ identique à $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$»,
     Préliminaire : le fait que «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[B\right]\;$ soit plus simple que $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;$» a pour conséquence que
     Préliminaire : le fait que « la matrice carrée particulière $\;\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ est plus simple que la matrice carrée d'origine $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$»,
     Préliminaire : cette simplification $\;{\big (}$lorsqu'elle est poussée à son maximum possible${\big )}\;$ correspond à la « réduction de la matrice $\;\left[A\right]\;$».

Définition de la réduction d'une matrice carrée

     « Réduire la matrice carrée $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» identifiable à
  « Réduire « la matrice d'un endomorphisme $\;\varphi \;$ d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$ dans une base particulière $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» c.-à-d.
  « Réduire « la matrice d'un endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;$» c'est
     « faire un changement de bases de $\;E\;$ avec une matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$»
     « faire un changement de bases de $\;\color {transparent}{E}\;$ tel que « la nouvelle matrice $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;E\;$
      « faire un changement de bases de $\;\color {transparent}{E}\;$ tel que « la nouvelle matrice dans la base particulière $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ soit simplifiée au mieux à l'instar de
     « faire un changement de bases de $\;\color {transparent}{E}\;$ tel que « la matrice initiale $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de l'endomorphisme $\;\varphi$ de $\;E\;$
     « faire un changement de bases de $\;\color {transparent}{E}\;$ tel que « la matrice initiale $\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[A\right]}$ dans la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$», c'est donc
     « trouver une matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ de la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» telle que
     « trouver une matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}\;$ «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ soit la plus
     « trouver une matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}\;$ «$\;\color {transparent}{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}$ simple possible par rapport à $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$» ou, telle que
     « trouver une matrice de passage $\;\color {transparent}{\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }}\;$ «$\;\left[B\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ soit simplifiée au mieux $\;/\;$ à $\;\left[A\right]\;$».

Définition (équivalente) de la réduction d'une matrice carrée

     « Réduire la matrice carrée $\;\left[A\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» c'est donc aussi
     « Réduire la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]\;}$ « trouver une matrice $\;\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ semblable à la matrice initiale $\;\left[A\right]\;$,
     « Réduire la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]\;}$ « trouver une matrice $\;\color {transparent}{\left[B\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la plus simple possible relativement à la matrice initiale $\;\left[A\right]\;$».

Notion de déterminant d'une matrice carrée

     « Une matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» étant « la juxtaposition des matrices coordonnées $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\!\!\!\!\in \;M_{n,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de la famille de $\;n$
        « Une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$» étant « “$\;n$-uplets ” $\;\left(a_{1,\,j},\,\cdots \,a_{i,\,j},\,\cdots \,a_{n,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;\mathbb {R} ^{n}\;$
        « Une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$» étant « dans la base canonique $\;\left\lbrace E\right\rbrace =\left\lbrace e_{1},\cdots e_{i},\cdots e_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}\;$ de ce dernier » avec
        « Une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$» étant «$\;e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}\;$ où $\;\delta _{k,\,i}=\left\lbrace {\begin{array}{c}0\;\;{\text{si }}k\neq i\\1\;\;{\text{si }}k=i\end{array}}\right\rbrace \;$
        « Une matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$» étant «$\;\color {transparent}{e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}}\;$ où $\;\color {transparent}{\delta _{k,\,i}};$ est le symbole de Kronecker »,
     « le déterminant de la matrice carrée $\;\left[A\right]\;$» est défini comme « le déterminant de la famille de ses$\;n\;$“$n$-uplets ”$\;x_{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}=\left(a_{1,\,j},\,\cdots \,a_{i,\,j},\,\cdots \,a_{n,\,j}\right)\;$dans la base canonique de $\;\mathbb {R} ^{n}\;$»,
  « le déterminant de la matrice carrée$\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» il se calcule selon la « formule de Leibniz » «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=\mathrm {det} _{\left\lbrace E\right\rbrace }\!\left(x_{1},\,\cdots \,x_{j},\,\cdots \,x_{n}\right)=\sum \limits _{\sigma \,\in \,S_{n}}\left[\varepsilon (\sigma )\;\prod \limits _{j=1}^{n}a_{\sigma (j),\,j}\right]\;$» avec
       « le déterminant de la matrice carrée$\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» il se calcule selon la « formule de Leibniz » «$\;\sigma \;$ une permutation de $\;S_{n}\;$» $\;{\Big (}$ensemble des permutations des éléments de $\;\left[\left[1\,,\,n\right]\right]{\Big )}$,
       « le déterminant de la matrice carrée$\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» il se calcule selon la « formule de Leibniz » «$\;\sigma (j)\;$ étant le j^ème élément de la permutation $\;\sigma \;$» soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\left[1\,,\,n\right]\right]\!\!&{\text{:}}\!\!&1\!\!&\cdots \!\!&j\!\!&\cdots \!\!&n\\\sigma \!\!&{\text{:}}\!\!&\sigma (1)\!\!&\cdots \!\!&\sigma (j)\!\!&\cdots \!\!&\sigma (n)\end{array}}\right\rbrace \;$» et
       « le déterminant de la matrice carrée$\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» il se calcule selon la « formule de Leibniz » «$\;\varepsilon (\sigma )\;$ la signature de la permutation $\;\sigma \;$» soit «$\;\varepsilon (\sigma )=\left\lbrace {\begin{array}{l}+1\;\;{\text{si }}\;\sigma \;{\text{est paire}}\\-1\;\;{\text{si }}\;\sigma \;{\text{est impaire}}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
       « le déterminant de la matrice carrée$\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» il se calcule selon la « formule de Leibniz » « une permutation $\;\sigma \;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{paire}}\\{\text{impaire}}\end{array}}\right\rbrace \;$ si le nombre d'inversions est $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{pair}}\\{\text{impair}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Remarque : la « formule de Leibniz » permet de définir le déterminant d'une matrice carrée mais
          Remarque : la « formule de Leibniz » n'est pas la façon la plus efficace pour le calculer,
     Remarque : nous allons néanmoins l'utiliser sur deux exemples de matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\,,\,3\right)\;$ pour préciser cette méthode :
     Remarque : $\succ \;$1^er exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;\;$ ; $\bullet \;$lister tout d'abord les six $\;{\big (}3\,!{\big )}\;$ permutations de colonnes numérotées de $\;1\;$ à $\;3\;$ en déterminant la signature de chacune
                                                                      Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$1^er exemple : $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma _{1}{\text{ :}}\!\!&1&2&3&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{2}{\text{ :}}\!\!&1&3&2&{\text{:}}\!\!&-1\\\sigma _{3}{\text{ :}}\!\!&2&1&3&{\text{:}}\!\!&-1\\\sigma _{4}{\text{ :}}\!\!&2&3&1&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{5}{\text{ :}}\!\!&3&1&2&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{6}{\text{ :}}\!\!&3&2&1&{\text{:}}\!\!&-1\end{array}}\right\rbrace \;$ puis
                                                                      Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$1^er exemple : $\bullet \;$évaluer chaque produit associé à une permutation $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sigma _{1}{\text{ :}}\!\!&+0\times 4\times 8&=+0\\\sigma _{2}{\text{ :}}\!\!&-0\times 5\times 7&=-0\\\sigma _{3}{\text{ :}}\!\!&-1\times 3\times 8&=-24\\\sigma _{4}{\text{ :}}\!\!&+1\times 5\times 6&=+30\\\sigma _{5}{\text{ :}}\!\!&+2\times 3\times 7&=+42\\\sigma _{6}{\text{ :}}\!\!&-2\times 4\times 6&=-48\end{array}}\right\rbrace \;$ soit au final
                                                                      Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$1^er exemple : $\bullet \;$«$\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;=+0-0-24+30+42-48=0\;$» ;
     Remarque : $\succ \;$2^ème exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;\;$ ; $\bullet \;$lister tout d'abord les six $\;{\big (}3\,!{\big )}\;$ permutations de colonnes numérotées de $\;1\;$ à $\;3\;$ en déterminant la signature de chacune
                                                                      Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$2^ème exemple : $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma _{1}{\text{ :}}\!\!&1&2&3&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{2}{\text{ :}}\!\!&1&3&2&{\text{:}}\!\!&-1\\\sigma _{3}{\text{ :}}\!\!&2&1&3&{\text{:}}\!\!&-1\\\sigma _{4}{\text{ :}}\!\!&2&3&1&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{5}{\text{ :}}\!\!&3&1&2&{\text{:}}\!\!&+1\\\sigma _{6}{\text{ :}}\!\!&3&2&1&{\text{:}}\!\!&-1\end{array}}\right\rbrace \;$ puis
                                                                        Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$2^ème exemple : $\bullet \;$évaluer chaque produit associé à une permutation $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sigma _{1}{\text{ :}}\!\!&+0\times 5\times 8&=+0\\\sigma _{2}{\text{ :}}\!\!&-0\times 3\times 7&=-0\\\sigma _{3}{\text{ :}}\!\!&-1\times 4\times 8&=-32\\\sigma _{4}{\text{ :}}\!\!&+1\times 3\times 6&=+18\\\sigma _{5}{\text{ :}}\!\!&+2\times 4\times 7&=+56\\\sigma _{6}{\text{ :}}\!\!&-2\times 5\times 6&=-60\end{array}}\right\rbrace \;$ soit au final
                                                                        Remarque : $\;\color {transparent}{\succ }\;$2^ème exemple : $\bullet \;$«$\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;=+0-0-32+18+56-60=-18\;$».

Évaluation pratique du déterminant d'une matrice carrée par formule de Laplace

Notion de comatrice d'une matrice carrée

     Soit « la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$», on appelle
     Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\bullet \;$« cofacteur d'indice $\;_{i,\,j}\;$ de la matrice $\;\left[A\right]\;$» « le réel $\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)\;$» où «$\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]\;$ est la matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ déduite de $\;\left[A\right]\;$
     Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» « le réel $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)}\;$» où «$\;\color {transparent}{\left[{A'}_{i,\,j}\right]}\;$ en remplaçant la j^ème colonne par une colonne constituée de $\;0\;$
     Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» « le réel $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)}\;$» où «$\;\color {transparent}{\left[{A'}_{i,\,j}\right]}\;$ à l'exception du cœfficient de la i^ème ligne remplacé par $\;1\;$» soit
     Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» « le réel $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)}\;$» où «$\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{1,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{i,\,j}}}\rightsquigarrow 1\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{n,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» $\Rightarrow$
     Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» le réel «$\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$» où «$\;\left[A_{i,\,j}\right]\;$ la sous-matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n-1\;$
     Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» le réel «$\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)}\;$» où «$\;\color {transparent}{\left[A_{i,\,j}\right]}\;$ déduite de $\;\left[A\right]\;$ en supprimant la i^ème ligne et
     Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» le réel «$\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)}\;$» où «$\;\color {transparent}{\left[A_{i,\,j}\right]}\;$ déduite de $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ en supprimant la j^ème colonne » soit
     Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» le réel «$\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)}\;$» où «$\;\left[A_{i,\,j}\right]\!=\!\left[\!{\begin{array}{c c c c c c}a_{1,\,1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{1,\,j-1}\!\!&\!\!a_{1,\,j+1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!\!\!&\!\!\vdots \!\!&\!\!\vdots \!\!&\!\!\!\!&\!\!\\a_{i-1,\,1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{i-1,\,j-1}\!\!&\!\!a_{i-1,\,j+1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{i-1,\,n}\\a_{i+1,\,1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{i+1,\,j-1}\!\!&\!\!a_{i+1,\,j+1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{i+1,\,n}\\\!\!&\!\!\!\!&\!\!\vdots \!\!&\!\!\vdots \!\!&\!\!\!\!&\!\!\\a_{n,\,1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{n,\,j-1}\!\!&\!\!a_{n,\,j+1}\!\!&\!\!\cdots \!\!&\!\!a_{n,\,n}\end{array}}\!\right]$ $\in M_{n-1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»,
   Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\color {transparent}{\bullet }\;$« cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» le réel «$\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=(-1)^{i+j}}$«$\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$ définissant un mineur de $\;\left[A\right]\;$» puis
     Soit « la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}$ $\bullet \;$« comatrice de $\;\left[A\right]\;$ la matrice de ses cofacteurs » : «$\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$».

Formule de Laplace pour évaluer le déterminant d'une matrice carrée

     On peut calculer le déterminant de la matrice $\;\left[A\right]\;\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ en le développant en fonction des cœfficients d'une seule colonne $\;{\big (}$ou d'une seule ligne${\big )}\;$ et des cofacteurs correspondants.

     Cette formule est dite « formule de Laplace », elle permet de « ramener le calcul d'un déterminant d'ordre $\;n\;$ à celui de $\;n\;$ de déterminants d'ordre $\;n-1\;$».

     Formules de développement du déterminant «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$ d'ordre $\;n\;$» : $\bullet \;$par rapport à la colonne $\;j$ : «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}$
                                                           Formules de développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ d'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$» : $\color {transparent}{\bullet }\;$par rapport à la colonne $\;\color {transparent}{j}$ : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ $=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$» ;
                                                           Formules de développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ d'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$» : $\bullet \;$par rapport à la ligne $\;i$ : «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=\sum _{j=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}$
                                                           Formules de développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ d'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$» : $\color {transparent}{\bullet }\;$par rapport à la ligne $\;\color {transparent}{i}$ : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ $=\sum _{j=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$».

Retour sur les deux exemples exposés précédemment

     Retour sur le 1^er exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;\;$ ; le plus simple est de développer selon la 1^ère colonne ou la 1^ère ligne par formule de Laplace soit
                                                                        Retour sur le 1^er exemple : $\succ \;$selon la 1^ère colonne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\cancel {0\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&7\;\\\;5&8\;\end{array}}}}\;-1\;\;{\begin{array}{|c c|}\;3&6\;\\\;5&8\;\end{array}}+2\;\;{\begin{array}{|c c|}\;3&6\;\\\;4&7\;\end{array}}\;$ dans lequel
                                                                        Retour sur le 1^er exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1^ère colonne : $\;{\begin{array}{|c c|}\;3&6\;\\\;5&8\;\end{array}}=3\times 8-5\times 6=-6\;$ et $\;{\begin{array}{|c c|}\;3&6\;\\\;4&7\;\end{array}}=3\times 7-4\times 6=$ $-3\;$ d'où
                                                                        Retour sur le 1^er exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1^ère colonne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=-1\times (-6)+2\times (-3)=0\;$ en accord avec le résultat trouvé précédemment ;
                                                                        Retour sur le 1^er exemple : $\succ \;$selon la 1^ère ligne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\cancel {0\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&7\;\\\;5&8\;\end{array}}}}\;-3\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&7\;\\\;2&8\;\end{array}}+6\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&4\;\\\;2&5\;\end{array}}\;$ dans lequel
                                                                        Retour sur le 1^er exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1^ère ligne : $\;{\begin{array}{|c c|}\;1&7\;\\\;2&8\;\end{array}}=$ $1\times 8-2\times 7=-6\;$ et $\;{\begin{array}{|c c|}\;1&4\;\\\;2&5\;\end{array}}=1\times 5-2\times 4=-3\;$ d'où
                                                                        Retour sur le 1^er exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1^ère ligne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=-3\times (-6)+6\times (-3)=0\;$ identique au résultat trouvé précédemment.

     Retour sur le 2^ème exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;\;$ ; le plus simple est de développer selon la 1^ère colonne ou la 1^ère ligne par formule de Laplace soit
                                                                        Retour sur le 2^ème exemple : $\succ \;$selon la 1^ère colonne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\cancel {0\;\;{\begin{array}{|c c|}\;5&7\;\\\;3&8\;\end{array}}}}\;-1\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;3&8\;\end{array}}+2\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;5&7\;\end{array}}\;$ dans lequel
                                                                        Retour sur le 2^ème exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1^ère colonne : $\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;3&8\;\end{array}}=4\times 8-3\times 6=14\;$ et $\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;5&7\;\end{array}}=4\times 7-5\times 6=-2\;$ d'où
                                                                        Retour sur le 2^ème exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1^ère colonne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=-1\times 14+2\times (-2)=-18\;$ en accord avec le résultat trouvé précédemment ;
                                                                        Retour sur le 2^ème exemple : $\succ \;$selon la 1^ère ligne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\cancel {0\;\;{\begin{array}{|c c|}\;5&7\;\\\;3&8\;\end{array}}}}\;-4\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&7\;\\\;2&8\;\end{array}}+6\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&5\;\\\;2&3\;\end{array}}\;$ dans lequel
                                                                        Retour sur le 2^ème exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1^ère ligne : $\;{\begin{array}{|c c|}\;1&7\;\\\;2&8\;\end{array}}=1\times 8-2\times 7=-6\;$ et $\;{\begin{array}{|c c|}\;1&5\;\\\;2&3\;\end{array}}=1\times 3-2\times 5=-7\;$ d'où
                                                                        Retour sur le 2^ème exemple : $\color {transparent}{\succ }\;$selon la 1^ère ligne : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=-4\times (-6)+6\times (-7)=-18\;$ identique au résultat trouvé précédemment.

     Conclusion : on constate que l'utilisation de la formule de Laplace pour évaluer le déterminant d'une matrice carrée fait intervenir un calcul toujours plus simple que la formule de définition de Leibniz et ceci même si la colonne $\;{\big (}$ou la ligne${\big )}\;$ selon laquelle le développement est fait ne contient pas de zéros $\;\ldots$

Quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n

Énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n

Propriétés du déterminant d'une matrice carrée

     $\succ \;1\;$Le déterminant d'une matrice carrée dans laquelle on ramène la j^ème colonne devant la 1^ère est multipliée par le scalaire $\;(-1)^{(j-1)}$.

     $\succ \;2\;$Le déterminant d'une matrice carrée avec deux colonnes identiques est nul.

     $\succ \;3\;$Le déterminant d'une matrice carrée est multiplié par le scalaire $\;\alpha \;$ si on multiplie une des colonnes de la matrice par le scalaire $\;\alpha$.

     $\succ \;4\;$Le déterminant d'une matrice carrée est inchangé si on ajoute à une colonne une C.L. des autres.

     $\succ \;5\;$Le déterminant d'une matrice carrée dont les colonnes sont liées est nul.

     $\succ \;1',\;2',\;3',\;4'\;$ et $\;5'\;$Mêmes propriétés si on remplace colonne par ligne.

     Démonstrations : Soit « la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$» et « son déterminant $\;\mathrm {det} (A)=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$»,
     Démonstrations : nous nous proposons d'effectuer successivement les démonstrations des $\;5\;$ principales propriétés énoncées ci-dessus,
     Démonstrations : nous nous proposons d'effectuer successivement des démonstrations analogues pourraient être établies en remplaçant colonne par ligne.

     Démonstrations : Propriété 1 : Supposons que l'« on déplace la colonne $\;C_{j\,\neq \,1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$ devant la 1^ère colonne $\;C_{1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\\\vdots \\a_{n,\,1}\end{array}}\right)\;$» et
     Démonstrations : Propriété 1 : comparons le « nouveau déterminant $\;\mathrm {det} (A')=\;{\begin{array}{|c c c c c c|}\;a_{1,\,j}\!\!&a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,j}\!\!&a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j-1}\!\!&a_{i,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,j}\!\!&a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» au « déterminant initial $\;\mathrm {det} (A)=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$»
     Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, « le nouveau déterminant $\;\mathrm {det} (A')\;$ selon la nouvelle 1^ère colonne $\;{C'}_{1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$» soit
          Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, « le nouveau déterminant $\;\mathrm {det} (A')=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A'\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+1}\;\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)\;$ ou
           Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, « le nouveau déterminant $\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A'\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+1}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$ et
          Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, « le déterminant initial $\;\mathrm {det} (A)\;$ selon la j^ème colonne $\;C_{j}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$» soit
          Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, « le déterminant initial $\;\mathrm {det} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$ d'où
          Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, «$\;\mathrm {det} (A')=(-1)^{j-1}\left\lbrace \sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i-j+2}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\right\rbrace =(-1)^{j-1}\left\lbrace \sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;$
          Démonstrations : Propriété 1 : comparons en développant, selon la formule de Laplace, «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $=(-1)^{j-1}\;\mathrm {det} (A)\;$» C.Q.F.D..

     Démonstrations : Propriété 2 : Supposons « la colonne $\;C_{j\,\neq \,1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$ identique à la colonne $\;C_{1}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\\\vdots \\a_{n,\,1}\end{array}}\right)\;$» et
     Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant par utilisation de la formule de Laplace selon la 1^ère ligne soit
     Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\rightsquigarrow a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\rightsquigarrow a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\rightsquigarrow a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}=\sum _{k=1}^{n}a_{1,\,k}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,k}=\sum _{k=1}^{n}a_{1,\,k}\;(-1)^{1+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,k}\right)\;$
     Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ $=a_{1,\,1}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,1}\right)+a_{1,\,j}\;(-1)^{1+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,j}\right)+\sum \limits _{k=2\,..\,j-1}^{k=j+1\,..\,n}a_{1,\,k}\;(-1)^{1+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,k\,\neq \,1\,{\text{et}}\,j}\right)\;$
     Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ $=a_{1,\,1}\;(-1)^{j-2}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,j}\right)+a_{1,\,j}\;(-1)^{1+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,j}\right)+\sum \limits _{k=2\,..\,j-1}^{k=j+1\,..\,n}a_{1,\,k}\;(-1)^{1+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,k\,\neq \,1\,{\text{et}}\,j}\right)\;$ ou
     Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ $={\cancel {a_{1,\,1}\left\lbrace 1+(-1)^{3}\right\rbrace (-1)^{j-2}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,j}\right)\;}}+\sum \limits _{k=2\,..\,j-1}^{k=j+1\,..\,n}a_{1,\,k}\;(-1)^{1+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,k\,\neq \,1\,{\text{et}}\,j}\right)\;$» dans laquelle
     Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ chaque déterminant $\;\mathrm {det} \!\left(A_{1,\,k\,\neq \,1\,{\text{et}}\,j}\right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n-1\;$ ayant deux colonnes identiques conduit
     Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}$ après $\;n-2\;$ itérations successives à un déterminant de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;2\;$ à colonnes identiques donc nul $\Rightarrow$
     Démonstrations : Propriété 2 : effectuons le développement du déterminant «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\rightsquigarrow a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\rightsquigarrow a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\rightsquigarrow a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}=0\;$» C.Q.F.D..

     Démonstrations : Propriété 3 : « Multipliant la colonne $\;C_{j}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$ par le scalaire $\;\alpha \;$» nous obtenons le « nouveau déterminant $\;\mathrm {det} (A')=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\alpha \;a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\alpha \;a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\alpha \;a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» soit,
     Démonstrations : Propriété 3 : en développant suivant la j^ème colonne par formule de Laplace «$\;\mathrm {det} (A')=\sum _{i=1}^{n}\alpha \;a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A'\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}=\sum _{i=1}^{n}\alpha \;a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)\;$
           Démonstrations : Propriété 3 : en développant suivant la j^ème colonne par formule de Laplace «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $=\alpha \;\left\lbrace \sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;$ après factorisation par $\;\alpha \;$ ou encore,
           Démonstrations : Propriété 3 : en développant suivant la j^ème colonne par formule de Laplace «$\;\mathrm {det} (A')=\alpha \;\mathrm {det} (A)\;$» C.Q.F.D..

     Démonstrations : Propriété 4 : « Ajoutons à la colonne $\;C_{k}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,k}\\\vdots \\a_{i,\,k}\\\vdots \\a_{n,\,k}\end{array}}\right)\;$ une C.L. $\;\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;C_{j}=\left({\begin{array}{c}\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{1,\,j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{n,\,j}\end{array}}\right)\;$ des autres colonnes » et
     Démonstrations : Propriété 4 : évaluons le nouveau déterminant «$\;\mathrm {det} (A')=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» soit, en développant suivant la k^ème colonne par formule de Laplace
     Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\mathrm {det} (A')=\sum _{i=1}^{n}\left[\left\lbrace a_{i,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\right\rbrace \left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A'\right]\right\rbrace \right)_{i,\,k}\right]=\sum _{i=1}^{n}\left[\left\lbrace a_{i,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\right\rbrace \;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,k}\right)\right]\;$
     Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $=\sum _{i=1}^{n}\left[\left\lbrace a_{i,\,k}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\right\rbrace \;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,k}\right)\right]\;$ $=\sum _{i=1}^{n}\left[a_{i,\,k}\;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,k}\right)\right]+\sum _{i=1}^{n}\left[\left\lbrace \sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\right\rbrace \;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,k}\right)\right]\;$
     Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $=\mathrm {det} \!(A)+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\left\lbrace \sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,k}\right)\right\rbrace \;$ » ; or constatant que $\;\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,k}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,k}\;$
           Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $\color {transparent}{=\mathrm {det} \!(A)+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\left\lbrace \sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;(-1)^{i+k}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,k}\right)\right\rbrace }\;$ » ; or constatant que est le développement suivant la k^ème colonne par formule de Laplace
                                                                                       Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $\color {transparent}{=\mathrm {det} \!(A)+}\;$ » ; or constatant que du déterminant d'une matrice $\;\left[A\right]_{k\,\rightsquigarrow \,j\,\neq \,k}\;$ dans laquelle la k^ème colonne
                                                                                       Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $\color {transparent}{=\mathrm {det} \!(A)+}\;$ » ; or constatant que du déterminant d'une matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]_{k\,\rightsquigarrow \,j\,\neq \,k}}\;$ a été substituée par la j^ème $\Rightarrow$
                                                                                       Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} (A')}$ $\color {transparent}{=\mathrm {det} \!(A)+}\;$ » ; or constatant que $\;\sum _{i=1}^{n}a_{i,\,j}\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,k}=\mathrm {det} \!\left(A_{k\,\rightsquigarrow \,j\,\neq \,k}\right)=0\;$ et par suite
     Démonstrations : Propriété 4 : «$\;\mathrm {det} (A')=\mathrm {det} \!(A)+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{k\,\rightsquigarrow \,j\,\neq \,k}\right)=\mathrm {det} \!(A)+\sum \limits _{j\,\in \,\left[[1,\,n\right]]}^{j\,\neq \,k}\alpha _{j}\;0\;$ $=\mathrm {det} \!(A)\;$» C.Q.F.D..

     Démonstrations : Propriété 5 : Soit «$\;C_{1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;C_{j}=\left({\begin{array}{c}a_{1,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{1,\,j}\\\vdots \\a_{i,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\\\vdots \\a_{n,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{n,\,j}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\\vdots \\0\\\vdots \\0\end{array}}\right)\;$ la relation de liaison entre colonnes de la matrice $\;\left[A\right]\;$» dont on souhaite évaluer le déterminant,
     Démonstrations : Propriété 4 : ce dernier étant inchangé si on ajoute à la colonne «$\;_{1}\;$» la C.L. $\;\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;C_{j}\;$ des autres colonnes «$\;_{\forall \,j\,\neq \,1}\;$» on obtient alors
     Démonstrations : Propriété 5 : «$\;\mathrm {det} (A)=\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{i,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}+\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[2\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c c c c|}\;0\!\!&a_{1,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;0\!\!&a_{i,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;0\!\!&a_{n,\,2}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;=0\;$» $\;{\big (}$par développement selon la 1^ère colonne${\big )}$.

     Démonstrations : Propriété 1', 2', 3', 4' et 5' : les démonstrations sont calquées sur celles des propriétés $\;1,\;2,\;3,\;4\;$ et $\;5\;$ en permutant colonnes et lignes.

Nouveau retour sur les deux exemples exposés précédemment

     On se propose d'utiliser la propriété $\;4\;$ « le déterminant d'une matrice carrée est inchangé si on ajoute à une colonne une C.L. des autres $\;{\big (}$même propriété en remplaçant colonne par ligne${\big )}\;$»
     On se propose d'utiliser la propriété $\;\color {transparent}{4}\;$ de façon à introduire le plus de zéros possible dans une même colonne $\;{\big (}$ou une même ligne${\big )}\;$ de la matrice sans changer la valeur de son déterminant, puis
     On se propose d'évaluer ce dernier en le développant selon cette colonne ou cette ligne $\;{\big (}$ou d'utiliser au préalable une des autres propriétés${\big )}$.

     Retour sur le 1^er exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;\;$ ; $\bullet \;$modifier la colonne $\;\left(C_{3}\right)\;$ en lui ajoutant la C.L. «$\;0\;C_{1}-2\;C_{2}=-2\;C_{2}\;$» des colonnes $\;\left(C_{1}\right)\;$ et $\;\left(C_{2}\right)\;$ d'où
                                                                     Retour sur le 1^er exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6-2\times 3\;\\\;1&4&7-2\times 4\;\\\;2&5&8-2\times 5\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&0\;\\\;1&4&-1\;\\\;2&5&-2\;\end{array}}\;$ $\;=-1\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&0\;\\\;1&4&1\;\\\;2&5&2\;\end{array}}\;\;$ en multipliant la 3^ème colonne par $\;-1\;$ et enfin,
                                                                     Retour sur le 1^er exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=-1\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&0\;\\\;1&4&1\;\\\;2&5&2\;\end{array}}\;=0\;$» mêmes 3^ème et 1^ère colonnes identique au résultat trouvé précédemment ;
                                                                      Retour sur le 1^er exemple : ; $\bullet \;$modifier la ligne $\;\left(L_{3}\right)\;$ en lui ajoutant la C.L. «$\;0\;L_{1}-2\;L_{2}=-2\;L_{2}\;$» des lignes $\;\left(L_{1}\right)\;$ et $\;\left(L_{2}\right)\;$ d'où
                                                                      Retour sur le 1^er exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2&5&8\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;2-2\times 1&5-2\times 4&8-2\times 7\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;0&-3&-6\;\end{array}}\;$ ou, en multipliant la 3^ème ligne par $\;-1\;$ $\Rightarrow$
                                                                      Retour sur le 1^er exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right)=-1\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&3&6\;\\\;1&4&7\;\\\;0&3&6\;\end{array}}\;=0\;$» mêmes 3^ème et 1^ère lignes identique au résultat trouvé précédemment.

     Retour sur le 2^ème exemple : $\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;\;$ ; $\bullet \;$modifier la colonne $\;\left(C_{3}\right)\;$ en lui ajoutant la C.L. «$\;0\;C_{1}-{\dfrac {3}{2}}\;C_{2}=-{\dfrac {3}{2}}\;C_{2}\;$» des colonnes $\;\left(C_{1}\right)\;$ et $\;\left(C_{2}\right)\;$ d'où
                                                                     Retour sur le 2^ème exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6-{\dfrac {3}{2}}\times 4\;\\\;1&5&7-{\dfrac {3}{2}}\times 5\;\\\;2&3&8-{\dfrac {3}{2}}\times 3\;\end{array}}\;=$ $\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&0\;\\\;1&5&-{\dfrac {1}{2}}\;\\\;2&3&{\dfrac {7}{2}}\;\end{array}}\;\;$ soit, en développant par formule de Laplace suivant la 1^ère ligne,
                                                                     Retour sur le 2^ème exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=-4\;\;{\begin{array}{|c c|}\;1&-{\dfrac {1}{2}}\;\\\;2&{\dfrac {7}{2}}\;\end{array}}\;=-4\,\left(1\times {\dfrac {7}{2}}-2\times {\dfrac {-1}{2}}\right)=-18\;$» identique au résultat trouvé précédemment ;
                                                                      Retour sur le 2^ème exemple : ; $\bullet \;$modifier la ligne $\;\left(L_{3}\right)\;$ en lui ajoutant la C.L. «$\;0\;L_{1}-2\;L_{2}=-2\;L_{2}\;$» des lignes $\;\left(L_{1}\right)\;$ et $\;\left(L_{2}\right)\;$ d'où
                                                                      Retour sur le 2^ème exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2&3&8\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;2-2\times 1&3-2\times 5&8-2\times 7\;\end{array}}\;=\;{\begin{array}{|c c c|}\;0&4&6\;\\\;1&5&7\;\\\;0&-7&-6\;\end{array}}\;$ soit, en développant par formule de Laplace
                                                                      Retour sur le 2^ème exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$suivant la 1^ère colonne «$\;\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right)=-1\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\\\;-7&-6\;\end{array}}\;=-\left[4\times (-6)-(-7)\times 6\right]=-18\;$»
                                                                                   Retour sur le 2^ème exemple : ; $\color {transparent}{\bullet }\;$suivant la 1^ère colonne «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left({\begin{array}{c c c}1&5&7\end{array}}\right)=-1\;\;{\begin{array}{|c c|}\;4&6\;\end{array}}\;=}$identique au résultat trouvé précédemment.

Déterminant d'un endomorphisme

Déterminant des matrices d'un endomorphisme suivant la base choisie dans l'espace vectoriel de définition

     Soit «$\;E\;$ un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;n\;$ dans lequel on définit une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$» et
     Soit «$\;\varphi \;$ un endomorphisme de $\;E\;$», on peut associer à ce dernier « une matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$ notée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» puis
     Soit «$\;\color {transparent}{\varphi }\;$ un endomorphisme de $\;\color {transparent}{E}\;$», on peut définir « le déterminant de cette matrice $\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace \;$» c.-à-d. « le déterminant de la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$
           Soit «$\;\color {transparent}{\varphi }\;$ un endomorphisme de $\;\color {transparent}{E}\;$», on peut définir « le déterminant de cette matrice $\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace }\;$» c.-à-d. « le dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$» avec la question sous-jacente :
           Soit «$\;\color {transparent}{\varphi }\;$ un endomorphisme de $\;\color {transparent}{E}\;$», on peut définir « le déterminant de cette matrice $\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace }\;$» c.-à-d. « le déterminant dépend-il de la base choisie » ?
     Pour tenter d'y répondre, considérons «$\;\left\lbrace C\right\rbrace =\left\lbrace c_{1},\cdots c_{i},\cdots c_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}\;$ une nouvelle base de $\;E\;$» et
     Pour tenter d'y répondre, considérons «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ la matrice de passage de la base initiale $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$ à la nouvelle base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;E\;$»,
     Pour tenter d'y répondre, on définit alors « la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans le nouveau couple de bases $\;\left(\left\lbrace C\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» relativement à
     Pour tenter d'y répondre, on définit alors « celle du même endomorphisme $\;\varphi \;$ dans le couple initial de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$» par
     Pour tenter d'y répondre, on définit alors «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$» $\Rightarrow$
     Pour tenter d'y répondre, on définit alors « le déterminant de la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans le nouveau couple de bases $\;\left(\left\lbrace C\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» selon
     Pour tenter d'y répondre, on définit alors «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace =\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right\rbrace \;$».

     Pour poursuivre, il est nécessaire de préciser quelques propriétés du déterminant d'un produit de matrices carrées de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$.

Déterminant d'un produit de matrices de même dimension (ou taille)

     Propriété : « le déterminant d'un produit de matrices carrées de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}\;$ est égal au produit des déterminants de chaque matrice » soit
     Propriété : « le déterminant d'un produit de matrices carrées «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace =\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[B\right]\right\rbrace \;\;\forall \;\left(\left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right)\;\in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;$».

     Conséquence : « Deux matrices inverses l'une de l'autre ont des déterminants inverses l'un de l'autre » en effet
     Conséquence : «$\;\left[P\right]^{-1}\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ étant la matrice inverse de $\;\left[P\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», on a «$\;\left[P\right]^{-1}\times \left[P\right]=\left[I_{n}\right]\;$» avec «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[I_{n}\right]\right\rbrace =1\;$ $\Rightarrow$ $\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]^{-1}\times \left[P\right]\right\rbrace =\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[I_{n}\right]\right\rbrace =1\;$» d'une part et
           Conséquence : «$\;\color {transparent}{\left[P\right]^{-1}\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ étant la matrice inverse de $\;\color {transparent}{\left[P\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$», on a «$\;\color {transparent}{\left[P\right]^{-1}\times \left[P\right]=\left[I_{n}\right]}\;$» avec «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]^{-1}\times \left[P\right]\right\rbrace$ $=\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]^{-1}\right\rbrace \;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \;$» d'autre part d'où
     Conséquence : «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]^{-1}\right\rbrace =\left(\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace \right)^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]\right\rbrace }}\;$».

Indépendance du déterminant des matrices d'un endomorphisme par rapport à la base choisie dans l'espace vectoriel de définition, définition du déterminant d'un endomorphisme

     « Les matrices de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$» respectivement « dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace C\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» et « dans celui $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$»
     « Les matrices de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$» étant liées par «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$»
     « Les matrices de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$» dans laquelle «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ est la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ de $\;E\;$»,
     nous en déduisons, en prenant le déterminant de la matrice du membre de gauche et celui du produit matriciel du membre de droite,
     nous en déduisons, «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace =\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right\rbrace \;$» ou,
     nous en déduisons, en utilisant les résultats sur le déterminant du produit de matrices du membre de droite et sur le déterminant d'une matrice inverse,
     nous en déduisons, «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace =\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\right\rbrace \;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace \;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right\rbrace \;$» ou encore,
     nous en déduisons, «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace ={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right\rbrace }}\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace \;\mathrm {det} \!\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right\rbrace \;$ $=\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace \;$» c.-à-d.
     nous en déduisons, l'indépendance du déterminant des matrices de l'endomorphisme$\;\varphi \;$ de $\;E\;$par rapport à la base choisie dans ce dernier.

Déterminant d'un endomorphisme

     On appelle « déterminant de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$»
     On appel« le déterminant commun des matrices de cet endomorphisme dans n'importe couple de bases de $\;E\;$» soit
     On appelle «$\;\mathrm {det} \!\left(\varphi \right)=\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace \;\;\forall \;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ base de $\;E\;$».

     Propriété : Si on considère « une famille de $\;n\;$ vecteurs $\;\left\lbrace X\right\rbrace =\left\lbrace x_{1},\cdots x_{j},\cdots x_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$» de ce dernier et
     Propriété : Si on considère « son image par l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;E\;$ à savoir $\;\varphi \!\left(\left\lbrace X\right\rbrace \right)=\left\lbrace \varphi (x_{1}),\cdots \varphi (x_{j}),\cdots \varphi (x_{n})\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ dans la même base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$» ainsi que
     Propriété : Si on considère « le déterminant de chaque famille dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» c.-à-d. $\bullet \;$« le déterminant de la famille de ces $\;n\;$ vecteurs $\;x_{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}=\left(x_{1,\,j},\,\cdots \,x_{i,\,j},\,\cdots \,x_{n,\,j}\right)\;$
      Propriété : Si on considère « le déterminant de chaque famille dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\bullet }\;$« le déterminant de la famille de ces dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» noté «$\;\mathrm {det} _{\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\left\lbrace X\right\rbrace \right)\;$» et
      Propriété : Si on considère « le déterminant de chaque famille dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$» c.-à-d. $\bullet \;$« le déterminant de la famille de ces $\;n\;$ vecteurs images $\;\varphi \!\left(x_{j\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\right)\;$
      Propriété : Si on considère « le déterminant de chaque famille dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\bullet }\;$« le déterminant de la famille de ces dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» noté «$\;\mathrm {det} _{\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \left(\left\lbrace X\right\rbrace \right)\right)\;$»,
     Propriété : « le déterminant de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;E\;$» est « le scalaire $\;\mathrm {det} \!\left(\varphi \right)\;$ vérifiant $\;\mathrm {det} _{\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \left(\left\lbrace X\right\rbrace \right)\right)=\mathrm {det} \!\left(\varphi \right)\;\mathrm {det} _{\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\left\lbrace X\right\rbrace \right)\;$».

     Conséquence : « Deux matrices semblables étant des matrices d'un même endomorphisme d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans des couples de bases différents » et
                  Conséquence : « Deux matrices semblables étant des « ces dernières ayant même déterminant » $\;{\big (}$définissant le déterminant de l'endomorphisme${\big )}\;$ on en déduit que
     Conséquence : « deux matrices semblables ont même déterminant » ;
     Conséquence : réciproquement « deux matrices de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}\;$ qui ont même déterminant pouvant être considérées comme
     Conséquence : réciproquement « deux matrices d'un même endomorphisme d'un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ dans des couples de bases différents » on en déduit que
     Conséquence : réciproquement « deux matrices de même dimension$\;{\big (}$ou taille${\big )}\;$ayant même déterminant sont semblables ».

Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme

     Soit l'« endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n\;$», on appelle $\bullet \;$« valeur propre de l'endomorphisme$\;\varphi \;$» un « scalaire $\;\lambda \;\in \mathbb {R} \;$» tel que «$\;\exists \;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$ vérifiant
     Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\color {transparent}{\bullet }\;$« valeur propre de l'endomorphisme$\;\color {transparent}{\varphi }\;$» un « scalaire $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tel que «$\;\varphi (x)=\lambda \;x\;$» ;
     Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\bullet \;$« vecteur propre de l'endomorphisme$\;\varphi \;$» un « vecteur $\;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$» tel que «$\;\exists \;\lambda \;\in \mathbb {R} \;$ vérifiant
     Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\color {transparent}{\bullet }\;$« vecteur propre de l'endomorphisme$\;\color {transparent}{\varphi }\;$» un « vecteur $\;\color {transparent}{x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace }\;$» tel que «$\;\varphi (x)=\lambda \;x\;$»,
     Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\color {transparent}{\bullet }\;$« on dit alors que «$\;x\;$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\;\lambda \;$» ;
     Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\bullet \;$« sous-espace propre de l'endomorphisme$\;\varphi \;$» un « sous-espace vectoriel $\;{\mathcal {S}}_{E}\subseteq E\;$ constitué de l'ensemble des
     Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\color {transparent}{\bullet }\;$« sous-espace propre de l'endomorphisme$\;\color {transparent}{\varphi }\;$» un « vecteurs propres associés à une valeur propre $\;\lambda \;$ auquel on a
     Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\color {transparent}{\bullet }\;$« sous-espace propre de l'endomorphisme$\;\color {transparent}{\varphi }\;$» un « adjoint le vecteur nul $\;0_{E}\;$»,
     Soit l'« endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel $\;\color {transparent}{E}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{n}\;$», on appelle $\color {transparent}{\bullet }\;$« on dit alors que «$\;{\mathcal {S}}_{E}\;$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre $\;\lambda \;$».

Polynôme caractéristique d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n

     On appelle « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\left[A\right]\;$ de $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», le « polynôme d'indéterminée $\;X\;$» défini par
     On appelle « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$», le «$\;p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\right)=\sum \limits _{\sigma \,\in \,S_{n}}\left[\varepsilon (\sigma )\;\prod \limits _{j=1}^{n}\alpha _{\sigma (j),\,j}(X)\right]\;$»,
     On appelle « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$», le «$\;\alpha _{i,\,j}(X)\;$ étant le polynôme $\;\delta _{i,\,j}\;X-a_{i,\,j}\;$ », cœfficient d'indice $\;_{i,\,j}\;$ de la matrice «$\;X\,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\;$» $\Rightarrow$
     le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\left[A\right]\;$ de $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ selon les puissances $\;\searrow \;$» : «$\;p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\left[A\right]\right)$
     le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ selon les puissances $\;\color {transparent}{\searrow }\;$» : «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):}$$=X^{n}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{n-1}+f_{2}(\left[A\right])\;X^{n-2}-\cdots +(-1)^{n}\;f_{n}(\left[A\right])\;$»,
     le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ selon les puissances $\;\color {transparent}{\searrow }\;$» : «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):}$avec «$\;f_{k}(\left[A\right])=\sum _{I\,\subset \,\left\lbrace 1,\,\dots ,\,n\right\rbrace }^{\mathrm {card} (I)=k}\mathrm {\det } \!\left(A_{I,\,I}\right)\;$» c.-à-d.
     le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ selon les puissances $\;\color {transparent}{\searrow }\;$» : «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):}$avec « la somme des mineurs principaux d'ordre $\;k\;$ de $\;\left[A\right]\;$»
     le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ selon les puissances $\;\color {transparent}{\searrow }\;$» : «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):}$ où «$\;I\;$ est une partie à $\;k\;$ éléments de l'ensemble des entiers naturels
           le « développement du polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ de $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ selon les puissances $\;\color {transparent}{\searrow }\;$» : «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):}$où «$\;\color {transparent}{I}\;$ est une partie à $\;\color {transparent}{k}\;$ éléments de l'ensemble $\;\left\lbrace 1,\,\dots ,\,n\right\rbrace \;$».

     Remarques : « le cœfficient constant $\;p_{\left[A\right]}(0)\;$» vaut «$\;(-1)^{n}\;f_{n}(\left[A\right])\;$ avec $\;f_{n}(\left[A\right])=\mathrm {det} \!\left(A\right)\;$ c.-à-d. le déterminant de la matrice $\;\left[A\right]\;$» ;
     Remarques : « le cœfficient de $\;X^{n-1}\;$» est égal à «$\;-f_{1}(\left[A\right])\;$ dans laquelle $\;f_{1}(\left[A\right])=\sum _{i\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}a_{i,\,i}=\mathrm {Tr} \!\left(A\right)\;$ c.-à-d. la trace de la matrice $\;\left[A\right]\;$».

     Exemples : $\bullet \;$1^er exemple, déterminer le « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right]\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d.
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple, déterminer «$\;p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)={\begin{array}{|c c c|}\;X&-3&-6\;\\\;-1&X-4&-7\;\\\;-2&-5&X-8\;\end{array}}\;=X^{3}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{2}+f_{2}(\left[A\right])\;X-f_{3}(\left[A\right])\;$» avec
                                             Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\succ \;$«$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f_{1}(\left[A\right])\!\!&=\mathrm {Tr} \!\left(A\right)\!\!&=0+4+8\!\!&=12\\f_{3}(\left[A\right])\!\!&=\mathrm {det} \!\left(A\right)\!\!&\!\!&=0\end{array}}\right\rbrace \;$» et
                                             Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\succ \;$«$\;f_{2}(\left[A\right])=\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 1,\,2\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 1,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 2,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 2\,,\,3\right\rbrace }\right)\;$
                                              Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[A\right])}$ $={\begin{array}{|c c|}\;0&3\;\\\;1&4\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;0&6\;\\\;2&8\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;4&7\;\\\;5&8\;\end{array}}=(-3)+(-12)+(4\times 8-5\times 7)$
                                              Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[A\right])}$ $=-18\;$» d'où
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple, déterminer le « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}0&3&6\\1&4&7\\2&5&8\end{array}}\right]\;$ est $\;p_{\left[A\right]}(X)=X^{3}-12\;X^{2}-18\;X\;$» ;
     Exemples : $\bullet \;$2^nd exemple, déterminer le « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right]\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d.
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple, déterminer «$\;p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)={\begin{array}{|c c c|}\;X&-4&-6\;\\\;-1&X-5&-7\;\\\;-2&-3&X-8\;\end{array}}\;=X^{3}-f_{1}(\left[A\right])\;X^{2}+f_{2}(\left[A\right])\;X-f_{3}(\left[A\right])\;$» avec
                                             Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\succ \;$«$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f_{1}(\left[A\right])\!\!&=\mathrm {Tr} \!\left(A\right)\!\!&=0+5+8\!\!&=13\\f_{3}(\left[A\right])\!\!&=\mathrm {det} \!\left(A\right)\!\!&\!\!&=-18\end{array}}\right\rbrace \;$» et
                                             Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\succ \;$«$\;f_{2}(\left[A\right])=\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 1,\,2\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 1,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace }\right)+\mathrm {det} \!\left(A_{\left\lbrace 2,\,3\right\rbrace \,,\,\left\lbrace 2\,,\,3\right\rbrace }\right)\;$
                                              Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[A\right])}$ $={\begin{array}{|c c|}\;0&4\;\\\;1&5\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;0&6\;\\\;2&8\;\end{array}}+{\begin{array}{|c c|}\;5&7\;\\\;3&8\;\end{array}}=(-4)+(-12)+(5\times 8-3\times 7)$
                                              Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple, déterminer «$\;\color {transparent}{p_{\left[A\right]}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{3}\right]-\left[A\right]\right)=\;=}$ $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{f_{2}(\left[A\right])}$ $=3\;$» d'où
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple, déterminer le « polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}0&4&6\\1&5&7\\2&3&8\end{array}}\right]\;$ est $\;p_{\left[A\right]}(X)=X^{3}-13\;X^{2}+3\;X-18\;$».

Polynôme caractéristique d'un endomorphisme

     Soit «$\;E\;$ un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;n\;$ dans lequel on définit une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\cdots b_{j},\cdots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$» et
     Soit «$\;\varphi \;$ un endomorphisme de $\;E\;$», on peut associer à ce dernier « une matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$ notée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» puis
     Soit «$\;\color {transparent}{\varphi }\;$ un endomorphisme de $\;\color {transparent}{E}\;$», on peut définir « le polynôme caractéristique de cette matrice $\;p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;$ $=\sum \limits _{\sigma \,\in \,S_{n}}\left[\varepsilon (\sigma )\;\prod \limits _{j=1}^{n}\alpha _{\sigma (j),\,j}(X)\right]\;$»,
     Soit «$\;\color {transparent}{\varphi }\;$ un endomorphisme de $\;\color {transparent}{E}\;$», on peut définir «$\;\alpha _{i,\,j}(X)\;$ étant le polynôme $\;\delta _{i,\,j}\;X-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)_{i,\,j}\;$ », cœfficient d'indice $\;_{i,\,j}\;$ de la matrice «$\;X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$» ;
     Soit «$\;\color {transparent}{\varphi }\;$ un endomorphisme de $\;\color {transparent}{E}\;$», on peut définir question sous-jacente : « le polynôme caractéristique obtenu dépend-il de la base choisie » ?

     Propriété : « le polynôme caractéristique de la matrice représentant l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ de $\;E\;$» c.-à-d. «$\;p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;$»
     Propriété : « le polynôme caractéristique de la matrice représentant l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{E}\;$» est « indépendant du choix de la base » en effet,
     Propriété : soit $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$ une autre base de $\;E\;$ on définit «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la matrice de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ dans le couple de bases $\;\left(\left\lbrace C\right\rbrace \,,\,\left\lbrace C\right\rbrace \right)\;$» et
     Propriété : soit $\;\color {transparent}{\left\lbrace C\right\rbrace }\;$ une autre base de $\;\color {transparent}{E}\;$ on définit « le polynôme caractéristique de cette matrice $\;p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;$»,
     Propriété : le lien entre les deux matrices étant «$\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$» avec «$\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$» la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace C\right\rbrace \;$,
     Propriété : on en déduit, par report dans «$\;p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;$» et
     Propriété : on en déduit, par l'utilisation de «$\;\left[I_{n}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[I_{n}\right]=\left[I_{n}\right]^{2}=\left[I_{n}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }=$ $\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[I_{n}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\;$»,
     Propriété : on en déduit, «$\;p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[I_{n}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }-\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right)\;$ ou, par factorisation matricielle à gauche et à droite
     Propriété : on en déduit, «$\;\color {transparent}{p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)}$ $=\mathrm {det} \!\left(\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\times \left\lbrace X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace \times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right)\;$ soit finalement,
     Propriété : on en déduit, «$\;\color {transparent}{p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)}$ $=\mathrm {det} \!\left(\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\right)\;\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;\mathrm {det} \!\left(\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right)\;$», ou encore, avec «$\;\mathrm {det} \!\left(\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }^{\,-1}\right)={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace C\right\rbrace }\right)}}\;$»,
     Propriété : on en déduit, «$\;p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace C\right\rbrace ,\left\lbrace C\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)=p_{\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)}(X)\;$» C.Q.F.D..

Polynôme caractéristique d'un endomorphisme

     On définit le polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel $\;E\;$ de dimension $\;n$, par
     On définit le polynôme caractéristique de la matrice carrée $\;\left[A\right]\;$ représentant $\;\varphi \;$ dans une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ quelconque de $\;E\;$, c.-à-d.
     On définit «$\;p_{\varphi }(X):=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)=\sum \limits _{\sigma \,\in \,S_{n}}\left[\varepsilon (\sigma )\;\prod \limits _{j=1}^{n}\alpha _{\sigma (j),\,j}(X)\right]\;$»,
     On définit «$\;\alpha _{i,\,j}(X)\;$ étant le polynôme $\;\delta _{i,\,j}\;X-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)_{i,\,j}\;$ »,
     On définit «$\;\color {transparent}{\alpha _{i,\,j}(X)}\;$ cœfficient d'indice $\;_{i,\,j}\;$ de la matrice «$\;X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$».

     Conséquence : Deux matrices semblables pouvant être considérées comme représentant le même endomorphisme $\;{\Big (}$car elles sont liées par la relation $\;\exists \,\left[P\right]\;\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et inversible telle que
     Conséquence : Deux matrices semblables pouvant être considérées comme représentant le même endomorphisme $\;\color {transparent}{\Big (}$car elles sont liées par la relation $\;\left[B\right]=\left[P\right]^{-1}\times \left[A\right]\times \left[P\right]{\Big )}\;$
     Conséquence : Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique.

Lien entre valeurs propres d'un endomorphisme et son polynôme caractéristique

     Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet considérant «$\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,\ldots b_{j},\,\ldots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ une base de $\;E\;$» et
           Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet considérant «$\;\varphi (\left\lbrace B\right\rbrace )=\left\lbrace \varphi (b_{1}),\,\ldots \varphi (b_{j}),\,\ldots \varphi (b_{n})\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ son image dans $\;E\;$ par $\;\varphi \;$»,
           Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\bullet \;$« si $\;\varphi \;$ est non injectif », «$\;\exists \;\xi \,\in \,E\;$ tel que $\;\varphi (\xi )=0_{E}\Rightarrow \xi \neq 0_{E}\;$» ou, en explicitant $\;\xi$,
           Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est non injectif », «$\;\exists \!\!\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\!\!\!\alpha _{j}\;b_{j}\,\in E\;$ tel que $\;\varphi \,{\bigg (}\!\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\!\!\!\alpha _{j}\;b_{j}\!{\bigg )}=0_{E}\;$ $\Rightarrow$ $\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\!\!\!\alpha _{j}\;b_{j}\neq 0_{E}\;$»
           Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est non injectif », «$\;\color {transparent}{\exists \!\!\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\!\!\!\alpha _{j}\;b_{j}\,\in E}\;$ ou «$\;\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;\varphi (b_{j})=0_{E}\;$ $\Rightarrow$ $\;\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;b_{j}\neq 0_{E}\;$»
           Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est non injectif », c.-à-d. « l'existence d'une relation de liaison entre les images de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$
           Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est non injectif », c.-à-d. « $\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;\varphi (b_{j})=0_{E}\;$ avec $\;\alpha _{j}\;$ non tous nuls » $\Rightarrow$
           Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est non injectif », $\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;\varphi (b_{1})_{1}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{j})_{1}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{n})_{1}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;\varphi (b_{1})_{i}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{j})_{i}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{n})_{i}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;\varphi (b_{1})_{n}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{j})_{n}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{n})_{n}\;\end{array}}\;=0\;$ ou $\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace =0$,
           Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ est non injectif », c.-à-d. la « nullité du déterminant de l'endomorphisme $\;\varphi$, $\;\mathrm {det} (\varphi )=0\;$»,
           Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\bullet \;$« si $\;\mathrm {det} (\varphi )=\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\right\rbrace =0\;$» $\;\forall \;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,\ldots b_{j},\,\ldots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ de $\;E$, c.-à-d.
           Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;\varphi (b_{1})_{1}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{j})_{1}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{n})_{1}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;\varphi (b_{1})_{i}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{j})_{i}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{n})_{i}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;\varphi (b_{1})_{n}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{j})_{n}\!\!&\cdots \!\!&\varphi (b_{n})_{n}\;\end{array}}=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\begin{array}{|c}\;{\text{existence d'une relation de liaison}}\\\;{\text{entre les images de la base}}\;\left\lbrace B\right\rbrace \\{\text{c.-à-d.}}\;\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;\varphi (b_{j})=0_{E}\\{\text{avec}}\;\alpha _{j}\;{\text{non tous nuls}}\end{array}}\;$»
           Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« $\Leftrightarrow$ «$\;\varphi \,{\bigg (}\!\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\!\!\!\alpha _{j}\;b_{j}\!{\bigg )}=0_{E}\;$ avec $\;\alpha _{j}\;$ non tous nuls » dont on déduit
           Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\exists \;\xi =\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\alpha _{j}\;b_{j}\,\in E\;$ et $\;\neq 0_{E}\;$ tel que $\;\varphi (\xi )=0_{E}\;$» c.-à-d.
           Préliminaire : Un endomorphisme est de « déterminant nul » ss'il est « non injectif » en effet $\color {transparent}{\bullet }\;$« $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ « le caractère « non injectif » de l'endomorphisme $\;\varphi \;$.

Lien entre valeurs propres et polynôme caractéristique d'un endomorphisme

     « Les racines du polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ sont ses valeurs propres ».

     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ sont les scalaires $\;\lambda \;\in \mathbb {R} \;$» tels que «$\;\exists \;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$ vérifiant $\;\varphi (x)=\lambda \;x\;$» ou
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\exists \;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$ vérifiant $\;\left\lbrace \lambda \;Id-\varphi \right\rbrace \!(x)=0_{E}\;$» ou encore,
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\exists \;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$ vérifiant $\;\psi _{\lambda }(x)=0_{E}\;$» avec «$\;\psi _{\lambda }:=\lambda \;Id-\varphi \;$
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\color {transparent}{\exists \;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace }\;$ vérifiant $\;\color {transparent}{\psi _{\lambda }(x)=0_{E}}\;$» avec « endomorphisme de $\;E\;$» soit, en
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que « décomposant $\;x\;$ sur la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,\ldots b_{j},\,\ldots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ de $\;E\;$ selon
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que « décomposant $\;\color {transparent}{x}\;$ sur la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1},\,\ldots b_{j},\,\ldots b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}}\;$ $x=\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1,\,n\right]\right]}x_{j}\;b_{j}\;$»,
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\exists \;\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1,\,n\right]\right]}x_{j}\;b_{j}\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$ vérifiant $\;\psi _{\lambda }\!{\bigg (}\!\sum \limits _{j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]}\!\!\!x_{j}\;b_{j}\!{\bigg )}=0_{E}\;$ c.-à-d.
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\color {transparent}{\exists \;\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1,\,n\right]\right]}x_{j}\;b_{j}\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace }\;$ vérifiant $\;\sum \limits _{j\,\in \,\left[\left[1,\,n\right]\right]}x_{j}\;\psi _{\lambda }(b_{j})=0_{E}\;$», relation de liaison
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que entre les vecteurs de la famille $\;\left\lbrace \psi _{\lambda }(B)\right\rbrace =\left\lbrace \psi _{\lambda }(b_{1}),\ldots \psi _{\lambda }(b_{j}),\ldots \psi _{\lambda }(b_{n})\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}$ $\Rightarrow$
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que « la nullité du déterminant de la matrice de l'endomorphisme $\;\psi _{\lambda }\;$ dans le couple de bases
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que « la nullité du déterminant de la matrice de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\psi _{\lambda }}\;$ $\;\left(\left\lbrace B\right\rbrace \,,\,\left\lbrace B\right\rbrace \right)\;$» c.-à-d.
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\mathrm {det} \!\left\lbrace \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\psi _{\lambda }\right)\right\rbrace =0\;$» $\Rightarrow$ « la nullité du déterminant de l'endomorphisme $\;\psi _{\lambda }\;$»
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que «$\;\mathrm {det} \!\left(\psi _{\lambda }\right)=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\mathrm {det} \!\left(\lambda \;Id-\varphi \right)=0\;$» assurant que
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que « la valeur propre $\;\lambda \;$ de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ est une racine de son polynôme caractéristique
     Justification : Par définition « les valeurs propres de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ sont les scalaires $\;\color {transparent}{\lambda \;\in \mathbb {R} }\;$» tels que « la valeur propre $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ de l'endomorphisme $p_{\varphi }(X):=\mathrm {det} \!\left(X\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;$» ;
     Justification : réciproquement, « les racines $\;\lambda \;$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ “$\;p_{\varphi }(X)=\mathrm {det} \!\left(X\,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)\;$” »
            Justification : réciproquement, « les racines $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ vérifiant «$\;p_{\varphi }(\lambda )=\mathrm {det} \!\left(\lambda \,\left[I_{n}\right]-\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left\lbrace \varphi \right\rbrace \right)=0\;$» c.-à-d.
            Justification : réciproquement, « les racines $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ vérifiant « la nullité du déterminant de l'endomorphisme $\;\psi _{\lambda }=\lambda \;Id-\varphi \;$ de $\;E\;$», assurant
            Justification : réciproquement, « les racines $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ « le caractère non injectif de l'endomorphisme $\;\psi _{\lambda }=\lambda \;Id-\varphi \;$ de $\;E\;$» ce qui se traduit par
            Justification : réciproquement, « les racines $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ «$\;\exists \;x\;\in \left\lbrace E\;\backslash \;0_{E}\right\rbrace \;$ vérifiant $\;\psi _{\lambda }(x)=0_{E}\;$ ou encore $\;\varphi (x)=\lambda \;x\;$» assurant que
            Justification : réciproquement, « les racines $\;\color {transparent}{\lambda }\;$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ «$\;\lambda \;$ est une valeur propre de l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de vecteur propre associé $\;x\;$».