Leçons de niveau 13

Initiation au calcul intégral/Intégration par parties

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Intégration par parties
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Chapitre no 4
Leçon : Initiation au calcul intégral
Chap. préc. :Propriétés de l'intégrale
Chap. suiv. :Intégrale sans bornes et primitives

Exercices :

Intégration par parties
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Initiation au calcul intégral/Intégration par parties
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Intégration par parties ».

L'intégration par parties (IPP) est une propriété couramment utilisée dans le calcul d'intégrales car elle simplifie radicalement des expressions complexes. Elle consiste à "jouer" avec les applications mises en jeu.

Formule d'intégration par parties[modifier | modifier le wikicode]

La formule de l'Intégration Par Parties (IPP) est donnée par la relation suivante:

Début d’un théorème


Fin du théorème


Cette formule provient de l'intégration de la formule de dérivation d'un produit.

Exemple simple[modifier | modifier le wikicode]

On sait qu'une primitive de est .

On souhaite ici calculer sans utiliser cette primitive, grâce à la formule d'intégration par parties en écrivant que

On pose :
  • sur la fonction , donc pour tout
  • u une fonction telle que pour tout , par exemple

ce qui se simplifie en :

Donc

Exemple classique[modifier | modifier le wikicode]

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Calculer
  • On choisit u telle que pour tout
  • On pose pour tout

On obtient pour tout et :


Avec cosinus[modifier | modifier le wikicode]

Avec un logarithme[modifier | modifier le wikicode]

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En utilisant consécutivement plusieurs IPP[modifier | modifier le wikicode]

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Exemple corrigé[modifier | modifier le wikicode]

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