Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Équations différentielles

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Équations différentielles
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Équations différentielles
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

Définition d'une équation différentielle ordinaire[modifier | modifier le wikicode]

......On se propose de définir une équation différentielle ordinaire concernant une fonction réelle de la variable réelle .


Équation différentielle non linéaire[modifier | modifier le wikicode]

......La fonction ou ses dérivées peuvent intervenir :

  • élevées à une certaine puissance c’est-à-dire , avec ou
  • multipliées entre elles c’est-à-dire , ,

......Si tel est le cas, l'équation différentielle est dite non linéaire.

Équation différentielle linéaire[modifier | modifier le wikicode]

......Si la fonction et ses dérivées interviennent sans être élevées à une certaine puissance et si elles ne sont pas multipliées entre elles, l'équation différentielle est dite linéaire et elle se présente sous la forme :

sont des fonctions de , l'équation différentielle étant d'ordre deux si dans ce cas, usuellement, on divise les deux membres de l'équation différentielle par de façon à ce que le cœfficient de la dérivée seconde soit , l'équation différentielle étant alors dite « normalisée »

...... est l'excitation de l'équation différentielle, celle-ci est dite :

  • hétérogène dans la mesure où et
  • homogène si .

......Remarques : Si , le plus haut ordre n'est pas deux, mais un si  ;

......Remarques : si avec , il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre deux en mais on peut également considérer que cette équation différentielle est d'ordre un en dans la mesure où puisque s'écrivant [2].

Équation différentielle linéaire à coefficients constants[modifier | modifier le wikicode]

......Une équation différentielle de ce type doit être linéaire et telle que les coefficients de sont des constantes et non des fonctions de  ; elle se présente sous la forme :

est encore une fonction de , étant des constantes réelles, l'équation différentielle linéaire à coefficients constants étant :

  • d'ordre deux en dans la mesure où ,
  • homogène si  » et
  • sinon, hétérogène.

......Normalisation de l'équation différentielle :

............La forme normalisée de l'équation différentielle du 2e ordre en obtenue après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par s'écrit :


 en posant , ainsi que et


............la forme normalisée de l'équation différentielle du 1er ordre en obtenue en supposant et après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par s'écrit :


 en posant ainsi que .

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants homogène[modifier | modifier le wikicode]

Préliminaire : notion d'espace vectoriel à une ou deux dimensions sur l'exemple des vecteurs géométriques[modifier | modifier le wikicode]

......Tous les vecteurs d'une droite forment un espace vectoriel à une dimension c’est-à-dire qu'il suffit d'un vecteur de base pour obtenir tous les vecteurs possibles de la droite comme « multiple » du vecteur de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir d'un élément de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à une dimension » et « l'élément particulier définit la base de l'ensemble » [3] ;

......tous les vecteurs d'un plan forment un espace vectoriel à deux dimensions c’est-à-dire qu'il suffit de deux vecteurs de base [4] pour obtenir tous les vecteurs possibles du plan comme combinaison linéaire des deux vecteurs de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir de deux éléments indépendants [5] de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à deux dimensions » et « ces deux éléments indépendants particuliers définissent la base de l'ensemble » [6].

Propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou deuxième ordre homogène[modifier | modifier le wikicode]

......L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène est un « espace vectoriel à une dimension » et
......celui des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène, un « espace vectoriel à deux dimensions » [7] ;

............il suffit donc de déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c’est-à-dire de trouver :

  • une solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation c'est-à-dire les multiples de la solution particulière ou,
  • deux solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2e ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation c'est-à-dire les combinaisons linéaires des deux solutions particulières indépendantes.

Méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier (ou deuxième) ordre homogène[modifier | modifier le wikicode]

......On cherche une solution du type car ses dérivées première et seconde lui étant proportionnelles, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 1er ou 2e ordre en se transforme en équation algébrique du 1er ou 2e degré en après simplification par [8] ; l'équation algébrique ainsi obtenue est appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène[modifier | modifier le wikicode]

......Soit , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante s'écrivant et se résolvant en , on en déduit

la solution particulière (c’est-à-dire la base de l'ensemble des solutions)
et par suite la « solution générale de l'équation différentielle » est une constante réelle arbitraire.

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène sans terme du premier ordre[modifier | modifier le wikicode]

......Soit avec , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène sans terme du premier ordre ; la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nécessite bien sûr que de telles solutions existent et, en faisant cette hypothèse nous obtenons l'équation caractéristique

qui n'admet deux racines réelles distincts que si est  ;

......aussi nous allons discuter de la forme des solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle suivant le signe de  :

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement négatif[modifier | modifier le wikicode]

......Avec , l'équation caractéristique admettant comme racines réelles distinctes , on en déduit :

les deux solutions indépendantes de l'équation différentielle (base de l'ensemble des solutions)
et la solution générale de l'équation différentielle
avec deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nul[modifier | modifier le wikicode]

......Avec , l'équation caractéristique admettant comme racine réelle double , on en déduit une seule solution particulière de l'équation différentielle sous forme exponentielle (d'ailleurs dégénérée) , ce qui est insuffisant pour en déduire la solution générale de l'équation différentielle ; il faudrait donc trouver une deuxième solution particulière indépendante de la première c’est-à-dire non constante mais dans le cas présent il y a plus simple :

......L'équation différentielle s'écrivant , il suffit d'intégrer deux fois successivement et on obtient avec constante réelle arbitraire puis avec deuxième constante réelle arbitraire ;

......la solution générale de l'équation différentielle est donc avec deux constantes réelles arbitraires, montrant que cette solution est construite à partir

des deux solutions particulières indépendantes [9] constituant une base de l'ensemble des solutions de l'équation différentielle.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif[modifier | modifier le wikicode]

......Avec , l'équation caractéristique n'admettant aucune racine réelle, il n'y a pas de solutions particulières ayant une forme exponentielle (même dégénérée) de l'équation différentielle.

......Toutefois si on résout l'équation différentielle sur au lieu de résoudre sur [10], sachant que l'ensemble des solutions complexes forme un espace vectoriel de dimension deux sur [11], la recherche de deux solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle conduisant toujours à l'équation caractéristique , et celle-ci admettant deux racines imaginaires conjuguées , on en déduit les deux solutions complexes particulières et indépendantes de l'équation différentielle  et la solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit selon avec deux constantes complexes arbitraires ; on peut alors en déduire la solution générale réelle de l'équation différentielle en imposant des relations de liaison entre de façon à ce que soit réelle [12].

......Compte-tenu de ce qui précède, à partir des deux solutions particulières complexes indépendantes de l'équation différentielle, il est possible de trouver, par combinaisons linéaires à cœfficients complexes,

deux solutions particulières réelles indépendantes,  et [13] constituant une base de l'ensemble des solutions réelles [14], et
la solution générale (réelle) de l'équation différentielle
avec deux constantes réelles arbitraires.


......Remarques : On établit que avec dépendant de  ;


......Remarques : en effet, posant ainsi que dans le but de réécrire selon , expression dans laquelle on reconnaît le développement de  ; du système d'équations on en déduit

et
permettant de choisir la détermination de suivant le signe de [15] :

......Remarques : si sont tous deux positifs, , d'où [16],

......Remarques : si sont tous deux négatifs, , d'où [16],

......Remarques : si , , d'où [16],

......Remarques : si , , d'où [16].

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène[modifier | modifier le wikicode]

But recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou du deuxième ordre hétérogène[modifier | modifier le wikicode]

......Trouver une solution particulière de cette équation différentielle hétérogène dans le but d'effectuer un changement de fonction permettant d'obtenir la même équation différentielle mais homogène.

......Justification [17] : soient respectivement et la solution générale et une solution particulière de l'équation hétérogène c'est-à-dire , nous pouvons vérifier aisément en formant la différence que la fonction est solution de la même équation différentielle mais homogène [18] soit [19] ;

......ainsi la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène [20] et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c'est-à-dire

 ;

......dans quasiment tous les cas on peut trouver une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation [21] et alors, on peut écrire


[22] est la solution générale de l'équation homogène et
[23] la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation [24].

Recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)[modifier | modifier le wikicode]

......La solution forcée est la solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou du deuxième ordre hétérogène de même forme que l'excitation ; les principaux cas se présentant sont :

  • , recherche sous la forme est une constante réelle à déterminer ;
  • , recherche sous la forme et sont des constantes réelles à déterminer ;
  • , recherche sous la forme est une constante réelle à déterminer ;
  • , recherche sous la forme et sont des constantes réelles à déterminer ;

............dans ce qui suit nous privilégions le cas d'une excitation constante, la démarche pour les autres formes d'excitation étant identique.

Premier ordre à excitation constante[modifier | modifier le wikicode]

......Soit est l'excitation constante ;

......dans la mesure où [25] il existe toujours une solution particulière de l'équation hétérogène de forme constante car la dérivée étant identiquement nulle on obtient soit et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle [26] avec constante arbitraire,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit .

Deuxième ordre sans terme du premier ordre à excitation constante [modifier | modifier le wikicode]

......Soit est l'excitation constante ;

......dans la mesure où [27] il existe toujours une solution particulière de l'équation hétérogène de forme constante car la dérivée seconde étant identiquement nulle on obtient soit et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle [26] avec constantes arbitraires,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit .

Retour sur la résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre en f(x) sous forme normalisée[modifier | modifier le wikicode]

......La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre en correspondant au cœfficient de la dérivée seconde égal à s'écrit


et sont des réels non nuls [28] et une fonction réelle appelée « excitation ».

......Si l'équation est dite homogène et

......si tel que l'équation est dite hétérogène.

Rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x)[modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons établi dans le paragraphe intitulé « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou deuxième ordre hétérogène » plus haut dans ce chapitre que

......la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène [20] et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c'est-à-dire

 ;

......dans quasiment tous les cas on peut trouver une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation [21] et alors, la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit


[22] est la solution générale de l'équation homogène et
[23] la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation [24].

Recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)[modifier | modifier le wikicode]

......On cherche donc à résoudre avec et des constantes réelles non nulles, pour cela on applique la méthode exposée dans le paragraphe intitulé « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier (ou deuxième) ordre homogène » exposé plus haut dans ce chapitre à savoir

......chercher des solutions du type car ses dérivées première et seconde lui étant proportionnelles, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2e ordre en se transforme en équation algébrique du 2e degré en après simplification par [8], l'équation algébrique ainsi obtenue étant appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)[modifier | modifier le wikicode]

......Appliquant la méthode précédemment rappelée on obtient l'équation caractéristique du 2e degré en la variable algébrique réelle suivante

.

Résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle[modifier | modifier le wikicode]

......La résolution de l'équation caractéristique passe par l'évaluation de son discriminant et l'étude de son signe :

Cas où le discriminant Δ est positif, solution libre apériodique[modifier | modifier le wikicode]

......Si est [29], l'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes et

......la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières exponentielles [30] s'écrit

[31],
et étant deux constantes réelles arbitraires.
Cas où le discriminant Δ est nul, solution libre apériodique critique[modifier | modifier le wikicode]

......Si est [32], l'équation caractéristique admet une solution réelle double et on en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle , il faut donc chercher une 2e solution particulière d'une autre forme, on vérifie ci-dessous que convient ;

......vérification : si , la dérivée première vaut et la dérivée seconde , formant alors la C.L. du 1er membre de l'équation différentielle, on trouve [33] ce qui prouve que est bien solution particulière de l'équation différentielle homogène ;

......la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières et [30] s'écrit

[32],
et étant deux constantes réelles arbitraires.
Cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique[modifier | modifier le wikicode]

......Si est [34], l'équation caractéristique n'admet aucune solution réelle, il n'y a alors pas de solution libre particulière réelle de forme exponentielle à l'équation différentielle, il faudrait donc chercher deux solutions particulières sous une autre forme mais nous allons procéder autrement de façon à utiliser l'équation caractéristique déjà écrite :

......si cette équation caractéristique n'a pas de solutions réelles, elle a néanmoins deux solutions complexes conjuguées distinctes, et par suite il y a deux solutions libres particulières complexes de forme exponentielle à cette équation différentielle servant de base à l'espace vectoriel de ses solutions libres complexes, les deux cœfficients générateurs étant complexes et correspondant à quatre cœfficients générateurs réels ; à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la solution générale libre réelle en écrivant que la partie imaginaire de la solution générale libre complexe est identiquement nulle, ce qui donnant deux relations de liaison entre les quatre cœfficients générateurs réels laissera uniquement deux cœfficients générateurs réels

......Résolution de l'équation caractéristique en complexe et solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène : l'équation caractéristique ayant deux solutions complexes conjuguées distinctes [35], la solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène s'écrit

,
et étant deux constantes complexes arbitraires [36].

......Détermination de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle homogène à partir de la solution générale libre complexe : il faut écrire que la partie imaginaire de est identiquement nulle et pour cela nous définissons les cœfficients générateurs complexes sous leur forme trigonométrique [37] et ce qui permet de réécrire la solution générale libre complexe selon


de partie imaginaire  ;

......la nullité du terme imaginaire est réalisé pour tout si la nullité du terme entre crochets l'est et pour écrire cela on décompose les sinus à l'aide des formules de trigonométrie [38] d'où la réécriture du terme entre crochets dont la nullité pour tout nécessite que les cœfficients de et de soient tous deux nuls d'où soit encore,

  • en faisant la somme membre à membre des carrés ou, les modules étant nécessairement positifs, , ce qui,
  • imposant alors aux arguments d'avoir même cosinus et des sinus opposés selon conduit à  ;

......pour que la solution générale libre complexe soit réelle il faut donc que les cœfficients générateurs et soient conjugués l'un de l'autre c'est-à-dire , d'où la solution générale libre réelle égale à la partie réelle de la solution générale libre complexe dans laquelle on écrit  :

ou encore
[39] en utilisant .

......Forme de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si Δ est < 0 :

[40] avec
et constantes réelles arbitraires [41].

......Autre forme (moins utilisée) de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si Δ est < 0 :

[42] avec
et constantes réelles arbitraires.

......Remarque : On retrouve les deux formes de « solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en f(x) sans terme du 1er ordre » dans les deux formes de solution libre pseudo-périodique ci-dessus en faisant tendre le cœfficient du terme d'ordre un vers zéro c'est-à-dire d'où .

Solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante[modifier | modifier le wikicode]

......Nous cherchons une solution particulière constante à l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en , l'excitation étant une constante notée , l'équation différentielle s'écrivant

 ;

......puisque , il existe toujours une solution particulière de l'équation hétérogène de forme constante car transforme l'équation en d'où la solution forcée s'écrivant

.

Solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante[modifier | modifier le wikicode]

......La solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre et excitation constante en est la somme de la solution libre et de la solution forcée , la solution libre ayant l'une des formes apériodique, apériodique critique ou pseudo-périodique suivant le signe du discriminant de l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre

Méthode « des complexes » de détermination de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants réels hétérogène à excitation sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

Exposé de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

......On cherche la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène du 1er ou du 2e ordre en d'excitation sinusoïdale [43] c'est-à-dire de l'équation différentielle en suivante

  • .........................., [44] ou
  • , et [45],

...... étant l'excitation sinusoïdale de fréquence et d'amplitude , toutes deux fixées, et on cherche, dans le cas où elle existe, la solution forcée sinusoïdale de même fréquence .

Les deux faces identiques de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus[modifier | modifier le wikicode]

......Supposons que l'excitation s'écrive , nous cherchons la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) sous la forme dans laquelle et sont à déterminer en fonction des cœfficients caractérisant l'équation différentielle, la fréquence commune , l'amplitude et la phase à l'origine de l'excitation, ce 1er problème étant noté  ;

......supposons maintenant que l'excitation s'écrive [46], nous cherchons la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) sous la forme avec les mêmes valeurs et que dans le 1er problème précédent [47], ce 2e problème étant noté  ;

......ainsi les deux faces identiques de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus sont :

  • pour une équation du 1er ordre avec recherche de solution forcée selon et
  • pour une équation du 2e ordre avec recherche de solution forcée selon .

Exposé de la méthode « des complexes » pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus[modifier | modifier le wikicode]

......Formant l'équation différentielle et introduisant l'excitation instantanée complexe formée par même C.L. [48] à savoir ainsi que la réponse forcée instantanée complexe selon la même C.L. [48] c'est-à-dire , nous obtenons une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène en fonction complexe et d'excitation complexe s'avérant nettement plus simple pour déterminer la solution forcée  et dont

  • la partie réelle est l'équation différentielle d'excitation , de solution forcée sinusoïdale (dans la mesure où elle existe) et
  • la partie imaginaire est l'équation différentielle d'excitation , de solution forcée sinusoïdale (dans la mesure où elle existe) .

......Remarque : une fois obtenue la solution forcée complexe (quand celle-ci existe) à partir de l'équation différentielle , nous pourrions en déduire la solution sinusoïdale forcée à l'un ou l'autre des problèmes envisagés en en prenant la partie réelle pour le problème et la partie imaginaire pour le problème mais nous n'utiliserons pas cette méthode, en préférant une encore plus simple ne nécessitant pas la prise de partie réelle ou imaginaire.

Grandeurs instantanées complexes et amplitudes complexes associées[modifier | modifier le wikicode]

......La « grandeur instantanée complexe » associée à la fonction est la fonction à valeurs complexes de la variable dont est la partie réelle (resp. imaginaire) suivant que la fonction sinusoïdale est sous forme d'un cosinus (resp. d'un sinus) ; ainsi

est telle que .

......On définit l'« amplitude complexe » comme la grandeur telle que la grandeur instantanée complexe associée s'écrive  ;

l'amplitude complexe est donc égale à ,
son module étant égal à l'amplitude de la fonction sinusoïdale c'est-à-dire
et son argument à la phase initiale de la fonction sinusoïdale c'est-à-dire  ;

......la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la grandeur instantanée complexe et par suite à celle de la fonction sinusoïdale de la variable dans la mesure où on connaît la forme de cette dernière « cosinusoïdale » ou « sinusoïdale ».

Dérivation première ou seconde des grandeurs instantanées complexes par rapport à la variable x[modifier | modifier le wikicode]

......La simplification de la recherche de solution sinusoïdale forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale par la méthode des complexes provient du fait que

  • la dérivation 1ère par rapport à de est équivalente à une multiplication de par et
  • la dérivation 2e par rapport à de est équivalente à une multiplication de par

Recherche de la solution forcée complexe de l'équation différentielle (1')[modifier | modifier le wikicode]

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 1er ordre[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle s'écrivant avec ou, en introduisant la pulsation (spatiale) [49] de l'excitation, , la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme , l'équation de recherche de cette solution se réécrit

ou,

......soit, en simplifiant par , l'équation (indépendante de la variable ) établissant l'existence de la solution forcée complexe dans la mesure où ne peut pas s'annuler correspondant à

une amplitude complexe et
la solution forcée complexe .
Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 2ème ordre[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle s'écrivant avec ou, en introduisant la pulsation (spatiale) de l'excitation, , la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme , l'équation de recherche de cette solution se réécrit

ou,

......soit, en simplifiant par , l'équation (indépendante de la variable ) établissant

  • l'existence de la solution forcée complexe si [50] ou
  • l'existence de la solution forcée complexe si et [50] ou encore si et pour une pulsation (spatiale) [50] correspondant à
    une amplitude complexe et
    la solution forcée complexe ,
  • l'inexistence de solution forcée complexe de cette forme si et avec une pulsation (spatiale) car cette forme conduirait à une amplitude complexe infinie
Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du nème ordre avec n entier naturel non nul[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle s'écrivant avec ou, en introduisant la pulsation (spatiale) de l'excitation, , la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme , l'équation de recherche de cette solution se réécrit, en remplaçant par et en factorisant le 1er membre par selon

dans lequel

est le « polynôme caractéristique de cette équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants » [51]

......soit, en simplifiant par , l'équation (indépendante de la variable ) établissant

  • l'existence de la solution forcée complexe pour les valeurs de pulsation (spatiale) telles que correspondant à
    une amplitude complexe et
    la solution forcée complexe ,
  • l'inexistence de solution forcée complexe de cette forme pour les valeurs de pulsation (spatiale) telles que car cette forme conduirait à une amplitude complexe infinie

Détermination de l'amplitude et de la phase à l'origine de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) à partir de l'amplitude complexe de la réponse forcée complexe[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu de la définition de l'amplitude complexe on en déduit : .

Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 1er ordre[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant introduit la pulsation (spatiale) [49] et trouvé, pour toutes valeurs de celle-ci, une valeur d'amplitude complexe on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale,

  • son amplitude [52] et
  • sa phase à l'origine [53].
Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 2ème ordre[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant introduit la pulsation (spatiale) et trouvé, pour toutes valeurs de celle-ci quand ainsi que avec et dans le cas où avec pour les valeurs différentes de , une valeur d'amplitude complexe on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale,

  • son amplitude [52] et
  • sa phase à l'origine [53], [54].

Expression de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) de l'équation différentielle (1) ou (2) à l'excitation sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

......Dans l'équation différentielle l'excitation ayant la forme , la réponse forcée sinusoïdale de à l'excitation s'écrit et

......dans l'équation différentielle l'excitation ayant la forme , la réponse forcée sinusoïdale de à l'excitation s'écrit .

Cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée[modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons vu qu'il n'y avait jamais échec dans le cas d'une équation différentielle du 1er ordre et du 2e ordre si  ;

......dans une équation différentielle du 2e ordre où , il n'y a pas échec avec mais avec il y a échec pour la pulsation (spatiale) pour laquelle le polynôme caractéristique de l'équation différentielle s'annule ; nous nous plaçons donc dans cette hypothèse ;

......soit l'équation différentielle avec et ou encore

......en posant , l'équation différentielle avec  ;

......n'existant donc pas de solution particulière de l'équation différentielle linéaire hétérogène de même forme que l'excitation, il convient donc d'en chercher une sous une autre forme et nous le ferons sous la forme .

Détermination directe de α et ψ[modifier | modifier le wikicode]

...... et

...... d'où

...... à identifier à ou, sachant que , l'identification suivante d'où la solution particulière de l'équation différentielle hétérogène à excitation sinusoïdale

[55].

Détermination de α et ψ par prolongement de la méthode « des complexes »[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant introduit l'excitation complexe associée à l'excitation sinusoïdale , l'amplitude complexe étant , on cherche
......Ayant introduit la solution particulière complexe de l'équation différentielle sous la forme est le cœfficient multiplicateur de dans la pseudo-amplitude complexe de , solution particulière complexe qui est associée à la solution particulière de l'équation différentielle hétérogène  ;

......on évalue alors les dérivées successives de par rapport à mais celles-ci ne se limitant par à multiplier la fonction complexe par ou , l'utilisation de la généralisation de la méthode « des complexes » est nettement moins intéressante [56] ;

...... et

...... d'où

...... à identifier à soit l'identification suivante donnant pour cœfficient multiplicateur de dans la pseudo-amplitude complexe de

dont on tire
ainsi que et par suite

......la solution particulière de l'équation différentielle hétérogène à excitation sinusoïdale

[55].

Méthode pratique de résolution d'une équation différentielle non linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Il n'est en aucun cas question d'être exhaustif, le sujet étant beaucoup trop vaste.

Exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1er ordre[modifier | modifier le wikicode]

......Soit à résoudre l'équation différentielle non linéaire du 1er ordre en « avec » :

......une méthode pratique de résolution consiste à « séparer les variables » après adoption de la notation différentielle de la dérivée [57] permettant de réécrire l'équation différentielle sous la forme , la séparation des variables consistant à

  • regrouper les termes définis directement à partir de la variable dans le même membre que sa différentielle et
  • regrouper les termes définis directement à partir de la variable dans l'autre membre avec sa différentielle soit
     ;

......on termine en intégrant membre à membre, le 1er membre relativement à la variable et le 2nd membre par rapport à la variable  :

  • intégration du 1er membre : [58], la fonction rationnelle [59] de pôles [60] connus se décompose en éléments simples et c'est-à-dire avec et constantes réelles à déterminer d'où, après détermination de [61], la réécriture de l'intégrale selon soit  ;
  • intégration du 2nd membre : d'où

...... l'expression implicite de la solution générale [62].

Exemple d'une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre sans terme du 1er ordre[modifier | modifier le wikicode]

......Soit à résoudre l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre « avec » :

......une méthode pratique de résolution consiste à « intégrer une 1ère fois » de façon à obtenir une équation différentielle [63] du 1er ordre en et pour cela,

  • multiplier les deux membres par , ce qui donne «» dans laquelle on reconnaît
    ...... dans la dérivée de et
    ...... dans la dérivée de ,
  • intégrer une fois par rapport à ce qui donne [64] c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 1er ordre en  :
     ;

......pour intégrer une 2ème fois, quand cela est possible, on peut tenter d'utiliser la méthode pratique de « séparation des variables » après adoption de la notation différentielle de la dérivée [57] ce qui conduit à chercher la solution de mais dans le cas présent, la solution n'étant pas exprimable à l'aide des fonctions usuelles nous n'irons pas plus loin

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Équation différentielle du premier ordre dans le cas où la dérivée de plus haut ordre est la dérivée première et du second ordre dans le cas où c'est la dérivée seconde 
  2. C'est ce que nous ferons par la suite ; une fois l'équation différentielle d'ordre un en résolue, on connaît alors et l'obtention de n'est qu'une simple prise de primitive.
  3. Il suffit donc de déterminer un élément particulier de l'ensemble (élément non unique) pour pouvoir générer tout élément de l'ensemble et cet élément particulier est appelé « base » de cet espace vectoriel à une dimension.
  4. Ces deux vecteurs doivent être indépendants c’est-à-dire qu'ils ne doivent pas être colinéaires ou « multiples » l'un de l'autre.
  5. C’est-à-dire qu'ils ne doivent pas être « multiples » l'un de l'autre.
  6. Il suffit donc de déterminer deux éléments particuliers indépendants de l'ensemble (éléments non uniques) pour pouvoir générer tout élément de l'ensemble et ces deux éléments particuliers indépendants constitue la « base » de cet espace vectoriel à deux dimensions.
  7. La propriété reste vraie si l'équation différentielle linéaire homogène n'est pas à cœfficients constants, seul le caractère linéaire et l'homogénéité sont nécessaires.
  8. 8,0 et 8,1 La simplification est possible car l'équation différentielle est homogène.
  9. En fait, quand on obtient une solution double de l'équation caractéristique associée à une équation différentielle, donnant une première solution particulière à cette dernière , on établit que la solution est aussi solution particulière de l'équation différentielle et indépendante de la première ; dans le cas présent, étant une première solution particulière de l'équation différentielle correspondant à une racine double de l'équation caractéristique, est une seconde solution particulière de l'équation différentielle, indépendante de la première.
  10. On cherche donc les solutions à valeurs complexes, la variable restant quant à elle réelle.
  11. On admet la généralisation de la propriété du paragraphe propriété de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène de ce chapitre aux fonctions complexes d'une variable réelle (cette propriété serait encore vraie si la variables était complexe).
  12. Comme dépendent chacune de deux constantes réelles (parties réelle et imaginaire) donc au total de quatre constantes réelles, écrire la nullité de la partie imaginaire de pour tout