Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne
Icône de la faculté
Chapitre no 17
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chap. préc. :Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Satellites géostationnaires
Chap. suiv. :Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Vitesses cosmiques
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 2 (PCSI) : Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne
Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes.

Rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Le champ de force newtonien [1] «» dans lequel est la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle le centre de force du point matériel [2] et le vecteur unitaire radial de la base sphérique de pôle le centre de force liée à [2] avec étant conservatif et « dérivant » du champ d’énergie potentielle newtonien[3] « avec choix de sa référence [4] à l'infini », on peut écrire
     « la conservation de l’énergie mécanique du point matériel uniquement soumis à ce champ de force newtonien » [5] étant l'énergie mécanique initiale

«» dans laquelle
est le vecteur vitesse de à l'instant dans le référentiel d'étude.

     En tenant compte de l'« applicabilité de la loi des aires au mouvement du point matériel uniquement soumis à un champ de force newtonien [1] » [6] à savoir «» dans laquelle « est la constante des aires » [7] la « loi des aires » n'étant rien d'autre que la projection de la « conservation du moment cinétique vectoriel du point [8] divisé par sa masse » sur exprimée en polaire [9] soit «» et l'abscisse angulaire du point dans son repérage polaire [9] de pôle le centre de force du plan du mouvement de [10],
                  En tenant compte de l'« applicabilité de la loi des aires au mouvement du point matériel M ( m ) uniquement soumis à un champ de force newtonien » la constante des aires dépendant des C.I. [11] pouvant être évaluée, après avoir choisi comme « axe polaire le support de dirigé de vers » avec « et », selon «»,
                  En tenant compte de l'« applicabilité de la loi des aires au mouvement du point matériel M ( m ) uniquement soumis à un champ de force newtonien » on peut :

  • utiliser les 1ères variables de Binet [12] « et » définissant respectivement la 1re et 2ème variables de Binet [12] la définition de la 2ème variable de Binet [12] nécessitant introduites au paragraphe « définition des variables de Binet » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que la formule de Binet [12] relative au carré de la vitesse [13], ce qui permet de réécrire la conservation de l'énergie mécanique selon «» ou
  • utiliser la notion d’énergie potentielle effective [14] «» la réécriture de la conservation de l’énergie mécanique selon « » ou encore selon «» [15].

Expression de l’énergie mécanique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif, application au champ de gravitation solaire ou terrestre[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l’expression de la vitesse linéaire d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     La « vitesse linéaire » [16] d'un point matériel en mouvement circulaire de rayon dans un champ de force newtonien attractif « avec » [1] le mouvement circulaire du point étant de centre le centre de force[17] a une expression établie au paragraphe « application au cas d'une force newtonienne attractive » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », expression dépendant du rayon du cercle donc de valeur constante égale à «» [18] ;

  • dans le cas d'un champ de force gravitationnel la constante « est égale à » dans laquelle « est la constante de gravitation universelle, étant la masse de la source de centre » et
  • dans le cas d’un champ de force coulombien attractif «» dans laquelle « avec la permittivité diélectrique du vide [19], est la charge de l’objet à symétrie sphérique de charge de centre et la charge de étant de signe contraire à ».

Expression de l’énergie cinétique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     L’énergie cinétique d’un point matériel s’écrivant «», on obtient l’énergie cinétique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif « avec » [1] en y reportant l’expression de la vitesse du point rappelée au paragraphe « rappel de l'expression de la vitesse linéaire d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire » plus haut dans ce chapitre «» [18] «» soit finalement «» ;

  • dans le cas d'un champ de force gravitationnel «» dans laquelle « est la constante de gravitation universelle, étant la masse de la source de centre » d'où «» et
  • dans le cas d’un champ de force coulombien attractif «» dans laquelle « avec la permittivité diélectrique du vide [19], étant la charge de l’objet à symétrie sphérique de charge de centre et la charge de étant de signe contraire à » d'où «».

Rappel de l’expression de l’énergie potentielle newtonienne d’un point matériel et expression de l’énergie mécanique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force newtonien «» [1] ayant été mentionnée au paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences » plus haut dans ce chapitre sous la forme « avec choix de sa référence [4] à l'infini », on en déduit que

  • l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif [1] est « et
  • cellel'énergie potentd'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif [1] est «.

     De l'expression de l’énergie cinétique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif « avec » [1] établie dans le paragraphe « expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire » plus haut dans ce chapitre «» et de la définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien «» [1] soit «» on en déduit

     l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement circulaire de rayon dans un champ de force newtonien attractif « avec » [1] selon « » soit finalement «» [15].

     Remarques : On constate que «» c.-à-d. l'énergie mécanique de en mouvement circulaire de rayon dans un champ de force newtonien attractif « avec » [1] est liée aux énergies cinétique «» [20] et potentielle «» du point selon

«» et «».

     Remarques : La propriété de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif « avec » [1] à savoir «» [21] est caractéristique de la nature circulaire du mouvement de dans ce champ de force newtonien attractif caractérisation admise[22].

En complément, cas d’un champ de force coulombien attractif[modifier | modifier le wikicode]

Non explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. [23] mais néanmoins traité car il ne présente aucune difficulté apparente.

     Dans le cas où le point matériel , de charge , soumis à un champ de force coulombien attractif où «» dans laquelle « avec la permittivité diélectrique du vide [19], étant la charge de l’objet à symétrie sphérique de charge de centre étant de signe contraire à », décrit un mouvement circulaire de rayon , l'expression de son énergie mécanique « » [15] voir le paragraphe « rappel de l'expression de l'énergie potentielle newtonienne d'un point matériel et expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire » plus haut dans ce chapitre se réécrit selon «» [15] l’énergie potentielle étant « » [24] et l’énergie cinétique «» [20], [25], nous vérifions que la propriété « ou » caractérise encore la nature circulaire du mouvement de dans le cas d'un champ de force coulombien attractif.

     Exemple : Atome d'hydrogène dans son état fondamental traité dans le cadre de la mécanique classique en considérant que l'électron gravite autour du noyau d'hydrogène en décrivant une trajectoire circulaire de rayon égal au rayon de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental à savoir «» [26] ;
     Exemple : l'énergie mécanique de l'état fondamental de l'électron en mouvement circulaire dans le champ de force coulombien attractif créé par le noyau d'hydrogène ou encore l'énergie mécanique de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental s'écrit «» avec la charge élémentaire le noyau d'hydrogène et l'électron étant respectivement de charge et , la référence de l'énergie potentielle [4] de l'électron dans le champ de force coulombien attractif créé par le noyau d'hydrogène étant à l'infini, soit «» ou encore, en utilisant une unité d'énergie adaptée à la physique atomique à savoir l'« électronvolt de symbole », «» [27] soit «» correspondant effectivement à l’énergie de l’atome d’hydrogène dans son état fondamental [28].

Cas d’un champ de force newtonien gravitationnel[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas où le point matériel soumis à un champ de force newtonien gravitationnel où «», « étant la constante de gravitation universelle, la masse de la source de centre » [29], a un mouvement circulaire de rayon , l'expression de son énergie mécanique « » [15] voir le paragraphe « rappel de l'expression de l'énergie potentielle newtonienne d'un point matériel et expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire » plus haut dans ce chapitre se réécrit «» [15] l’énergie potentielle étant « » [24] et l’énergie cinétique «» [20], [30], nous vérifions que la propriété « ou » caractérise encore la nature circulaire du mouvement de dans le cas d'un champ de force newtonien gravitationnel.

     Exemples :Dans le champ de force gravitationnel solaire, «» où «» est la masse du Soleil (☉) de centre , nous en déduisons l’expression de l’énergie mécanique du point matériel en mouvement circulaire de rayon «» dans le champ de force gravitationnel solaire «» [15], l’énergie potentielle étant «» et l’énergie cinétique pour un mouvement circulaire de rayon «» [20].

     Exemples :Dans le champ de force gravitationnel terrestre, «» où «» est la masse de la Terre (♁) de centre , nous en déduisons l’expression de l’énergie mécanique du point matériel en mouvement circulaire de rayon «» dans le champ de force gravitationnel terrestre «» [15], l’énergie potentielle étant «» et l’énergie cinétique pour un mouvement circulaire de rayon «» [20].

En complément, détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point dans un champ de force newtonien attractif ou répulsif en fonction de l’excentricité[modifier | modifier le wikicode]

     La détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point matériel dans un champ de force newtonien attractif ou répulsif [1] en fonction de l’excentricité de la conique suivi par le point n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. mais
     elle permet d’aborder la discussion de la nature de la conique des paragraphes « en complément, vérification de la nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien répulsif compte-tenu du signe de l'énergie mécanique » et « en complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l'énergie mécanique » plus bas dans ce chapitre discussion qui n’est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. sous cette forme mais qui ne présente, a priori, aucune difficulté apparente [31].

Méthode adoptée : utiliser l’expression de l’énergie mécanique du point M dans un champ de force newtonien en variables de Binet simultanément à l’équation polaire de la trajectoire de M en fonction du paramètre « p » et de l’excentricité « e » de cette dernière[modifier | modifier le wikicode]

     On rappelle la nature plane ou rectiligne du mouvement d'un point matériel dans un champ de force newtonien [1] «» dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] du plan contenant son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans avec ,
     On rappelle que l'énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien [1] «» s’écrit, en variables de Binet [12] dans le cas où la constante des aires du mouvement est , selon l'expression fournie au paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences (utiliser les deux 1ères variables de Binet) » plus haut dans ce chapitre «» étant l'abscisse angulaire de dans et
     On rappelle que l’équation polaire de la conique décrite par le point matériel dans un champ de force newtonien [1] «» est [32] :

  • dans le cas d’un champ de force newtonien attractif c.-à-d. si « est » «» avec le paramètre de la conique, l'excentricité de cette dernière et l'angle que fait l'axe focal [33] avec l'axe polaire ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I. [11] «» et «» ou
  • dans le cas d’un champ de force newtonien répulsif c.-à-d. si « est » «» avec le paramètre de la conique, l'excentricité de cette dernière et l'angle que fait l'axe focal [33] avec l'axe polaire ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I. [11] «» et «».

Détermination de l’énergie mécanique d’un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le point[modifier | modifier le wikicode]

     Reportant les expressions des 1re et 2ème variables de Binet [12] en fonction de l'abscisse angulaire du point dans le champ de force newtonien attractif « avec » [1] dans lequel sont les coordonnées polaires du repérage de pôle le centre de force du point matériel [9] du plan contenant son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans c.-à-d. « et » [34] dans l'expression de l'« énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien [1] en variables de Binet [12] » [35] «» [36] on obtient :

     «» [36] dans laquelle on utilise « » ce qui permet de mettre «» en facteur dans l'ensemble des termes soit «» [36] ou, en développant la somme élevée au carré dans le facteur entre accolades «» [36] et en faisant les simplifications évidentes,

«» [36].

     Remarques : L’énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien attractif étant conservée doit impérativement être « indépendante de », si nous ne trouvions pas ce résultat nous pourrions affirmer la présence d’une erreur ;

     Remarques : « étant » «», nous pouvons réécrire l'énergie mécanique selon «» [36].

Détermination de l’énergie mécanique d’un point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le point[modifier | modifier le wikicode]

     Reportant les expressions des 1re et 2ème variables de Binet [12] en fonction de l'abscisse angulaire du point dans le champ de force newtonien répulsif « avec » [1] dans lequel sont les coordonnées polaires du repérage de pôle le centre de force du point matériel [9] du plan contenant son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans c.-à-d. « et » [37] dans l'expression de l'« énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien [1] en variables de Binet [12] » [35] «» [36] on obtient :

     «» [36] dans laquelle on utilise « » ce qui permet de mettre «» en facteur dans l'ensemble des termes soit «» [36] ou, en développant la somme élevée au carré dans le facteur entre accolades « » [36] et en faisant les simplifications évidentes,

«» [36].

     Remarques : L’énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien répulsif étant conservée doit impérativement être « indépendante de », si nous ne trouvions pas ce résultat nous pourrions affirmer la présence d’une erreur ;

     Remarques : « étant » «», nous pouvons réécrire l'énergie mécanique selon «» [36], c.-à-d. la même expression que dans le cas d'un champ newtonien attractif.

En complément, vérification de la nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien répulsif compte-tenu du signe de l’énergie mécanique[modifier | modifier le wikicode]

     Préambule : « La détermination de l’énergie mécanique d’un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le point » traitée dans un paragraphe plus haut dans ce chapitre n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. mais elle permet d’aborder ci-dessous la vérification de la nature de la conique discussion qui n’est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. sous cette forme mais qui ne présente, a priori, aucune difficulté apparente [31].

     Vérification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien répulsif : Nous avons établi au paragraphe « nature de la trajectoire dans le cas d'une force newtonienne répulsive (k > 0) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la trajectoire du point matériel dans un champ de force newtonien répulsif « avec » [1] dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans est une branche d’hyperbole dont le centre de force est un des foyers, le foyer non contourné par la branche en question, nous devons donc vérifier, dans ce cas, que l’excentricité de la conique est effectivement à quelles que soient les C.I. [11] ;

     Vérification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien répulsif : or l’énergie mécanique du point dans un champ de force newtonien [1] s'écrivant selon « » [38] étant, dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif correspondant à , la somme de deux termes «» vérifie «» et par suite,

     Vérification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien répulsif : de l'expression de son énergie mécanique en fonction de l'excentricité de la conique que le point décrit [39] «» [36] laquelle est nécessairement «», nous en déduisons et, comme , par définition, est , «» C.Q.F.D. [40] d'où

la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif [1] est
une branche d'hyperbole dont le centre de force est le foyer non contourné par la branche en question.

En complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l’énergie mécanique[modifier | modifier le wikicode]

     Préambule : « La détermination de l’énergie mécanique d’un point matériel dans un champ de force newtonien attractif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le point » traitée dans un paragraphe plus haut dans ce chapitre n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. mais elle permet d’aborder ci-dessous l'identification de la nature de la conique suivant le signe de l'énergie mécanique du point dans un champ de force newtonien attractif [1] discussion qui n’est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. sous cette forme mais qui ne présente, a priori, aucune difficulté apparente [31].

     Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : Nous avons établi au paragraphe « nature de la trajectoire dans le cas d'une force newtonienne attractive (k < 0) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la trajectoire du point matériel dans un champ de force newtonien attractif « avec » [1] dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans est une conique ou branche de conique en ce qui concerne l’hyperbole dont le centre de force est le ou l'un des foyer(s) le foyer en ce qui concerne la parabole, l'un des foyers en ce qui concerne l'ellipse et l'hyperbole, celui intervenant dans ce dernier cas étant le foyer contourné par la branche d'hyperbole en question,
     Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : la nature de la conique dépendant du positionnement de l'excentricité «» de cette dernière relativement à «» : une ellipse si est à , une parabole si est à et une branche d'hyperbole si est à , la valeur de dépendant des C.I. [11] ;

     Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : or l’énergie mécanique du point dans un champ de force newtonien [1] s'écrivant selon « » [38] étant, dans le cas d'un champ de force newtonien attractif correspondant à , la somme d'un 1er terme «» et d'un 2nd «» correspond à «» suivant la comparaison des valeurs absolues des deux termes et par suite,

     Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : de l'expression de son énergie mécanique en fonction de l'excentricité de la conique décrite par le point [41] «» [36] dans laquelle le 1er facteur étant «», nous en déduisons que

«» est du signe de «» [36] ou,

     Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : comme l'énergie mécanique de dans un champ de force newtonien est conservée,

«» est du signe de l'énergie mécanique initiale «» [38] de ce dernier, soit :

     Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : si « est », est à et comme , par définition, est , nous en déduisons «» c.-à-d. que « la conique décrite par dans un champ de force newtonien attractif avec une énergie mécanique initiale négative est une ellipse » [42],

     Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : si « est à », est à et comme , par définition, est , nous en déduisons «» c.-à-d. que « la conique décrite par dans un champ de force newtonien attractif avec une énergie mécanique initiale nulle est une parabole » [42],

     Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : si « est », est à et comme , par définition, est , nous en déduisons «» c.-à-d. que « la branche de conique décrite par dans un champ de force newtonien attractif avec une énergie mécanique initiale positive est une branche d'hyperbole, celle contournant le centre de force » [42].

     Remarques : Les conditions sur l'énergie mécanique initiale du point matériel dans un champ de force newtonien attractif [1] pour déterminer la nature de la conique suivie par peuvent se réécrire en conditions sur la norme du vecteur vitesse initiale de en fonction de la coordonnée radiale initiale de ce dernier selon :
     Remarques : pour « », la trajectoire est une ellipse dont est un des foyers,
     Remarques : pour « », la trajectoire est une parabole dont est le foyer et
     Remarques : pour « », la trajectoire est une branche d'hyperbole dont est l'un des deux foyers, celui contourné par la branche en question.

     Remarques : «» est la vitesse minimale de lancement que doit avoir le point matériel en sa position de lancement distante de du centre de force pour que le point puisse s'arracher à l'attraction de centre car seules une parabole et une branche d'hyperbole ont une distance maximale d'éloignement infinie.

Expression de l’énergie mécanique d'un point en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi grand axe de sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     La seule exigence du programme de physique de P.C.S.I. est de généraliser l'expression de l'« énergie mécanique d'un point en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif « avec » [1] dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans en fonction du rayon du cercle décrit par » [43] «» [15] au cas d’un mouvement elliptique de demi-grand axe sans exiger une démonstration, mais

     néanmoins la démonstration ne présentant aucune difficulté à partir de l’expression de l’énergie mécanique en fonction de l’excentricité [41] sera exposée au paragraphe « établissement de l'énergie mécanique du point en mouvement elliptique dans un champ newtonien attractif en fonction du demi-grand axe de sa trajectoire » plus bas dans ce chapitre.

Établissement de l’énergie mécanique du point en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi grand axe de sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     L'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif « avec » [1] dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans en fonction de l'excentricité de la conique décrite par le point [41] étant «» et

     le demi-grand axe «» d'une ellipse étant lié au paramètre «» et à l'excentricité «» de cette dernière [44] selon « »,

     on en déduit aisément l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi-grand axe «» selon

«» à retenir.

Généralisation au cas d’un mouvement elliptique de l’expression de l’énergie mécanique d’un point M en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif[modifier | modifier le wikicode]

     Nous reprenons la généralisation exposée aux paragraphes « généralisation de la 3ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'une planète » et « généralisation de la 3ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'un satellite autour de la Terre » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à partir de l'établissement de la 3ème loi de Kepler [45] dans le cas d'un mouvement circulaire généralisation dont on admet la validité pour tout mouvement de point matériel dans un champ de force newtonien attractif [1] consistant
     à remplacer le rayon de l'orbite supposée circulaire du point par le demi-grand axe de la trajectoire elliptique réellement suivie par le point

     en admettant son applicabilité à l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif « avec » [1] dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans pour passer d'un mouvement circulaire de rayon à un mouvement elliptique de demi-grand axe d'où

     de l'expression d'énergie mécanique de en mouvement circulaire de rayon dans un champ de force newtonien attractif [1] «» [15] on déduit

                     celle d'énergie mécanique de en mouvement elliptique de demi-grand axe dans un champ de force newtonien attractif [1] «» à retenir.

En complément, expression de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal dans un mouvement hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

     La détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point matériel à mouvement hyperbolique dans un champ de force newtonien attractif [1] en fonction du demi axe focal de la branche d'hyperbole suivie par le point n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., elle constitue donc un complément et doit donc être retrouvée si besoin est toutefois son expression est assez facile à retenir car elle a la même valeur absolue que celle obtenue pour un mouvement elliptique laquelle est à retenir en étant de signe opposé .

     L'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif « avec » [1] dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans en fonction de l'excentricité de la conique décrite par le point [41] étant «» et

     le demi axe focal «» d'une hyperbole étant lié au paramètre «» et à l'excentricité «» de cette dernière [46] selon « »,

     on en déduit aisément l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement hyperbolique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal «» selon

«» à retrouver si besoin est.

En complément, expression de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction du demi axe focal de la trajectoire hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

     La détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif [1] en fonction du demi axe focal de la branche d'hyperbole nécessairement suivie par le point n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., elle constitue donc un complément et doit donc être retrouvée si besoin est toutefois son expression est assez facile à retenir car elle a la même valeur absolue que celle obtenue pour un mouvement elliptique à retenir dans un champ de force newtonien attractif pour la même valeur absolue de constante en étant de signe opposé .

     L'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif « avec » [1] dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans en fonction de l'excentricité de la conique décrite par le point [39] étant «» et

     le demi axe focal «» d'une hyperbole étant lié au paramètre «» et à l'excentricité «» de cette dernière [46] selon « »,

     on en déduit aisément l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif [1] en fonction du demi axe focal «» de la branche d'hyperbole nécessairement suivie par le point selon

«» à retrouver si besoin est.

En complément, diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif, états lié ou de diffusion[modifier | modifier le wikicode]

     Le traitement du mouvement d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif [1] par diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. doit donc être envisagé comme un complément de cours mais

     toutes les notions introduites étant, par ailleurs, au programme, ce traitement peut être considéré comme un bon exercice sur les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique à savoir refaire.

Rappel de l’expression de l’énergie potentielle effective d’un point dans un champ de force newtonien attractif[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant rappelé l'expression de l'énergie potentielle effective d'un point matériel dans un champ de force newtonien quelconque « avec » [1] dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans dans le paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre [14] «» avec la constante des aires [7] du mouvement du point et

     sachant que le paramètre de la conique décrite par le point s'exprime, dans le cas d'un champ de force newtonien attractif , selon «» [47] «»,

     l'expression de l'énergie potentielle effective de dans un champ de force newtonien attractif se réécrit, en fonction du paramètre de la conique suivie par , selon «» ou, en mettant «» on rappelle que est en facteur

«» à retrouver si besoin est.

Réécriture de la conservation de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif[modifier | modifier le wikicode]

     L'intégrale 1re énergétique d'un point matériel dans un champ de force newtonien quelconque « avec » [1] dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans évoquée au paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre, «» [15], se réécrit, dans le cas d'un champ de force newtonien attractif , selon

«» [15] dans laquelle
«» est l'énergie potentielle effective de et
                         «» est son énergie mécanique initiale
                                                                                                                           dans le champ de force newtonien attractif .

Tracé du diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif[modifier | modifier le wikicode]

Tracés superposés des diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif (k < 0), états lié et de diffusion

     Diagramme d'énergie potentielle effective voir ci-contre en noir : tracé de la courbe d’énergie potentielle effective c.-à-d. la courbe de variation de l'énergie potentielle effective en fonction du paramètre de position , d'équation « » quand , , quand , , s'annule pour  ;
     Diagramme d'énergie potentielle effective son tracé nécessite le calcul de «», la recherche de son ou ses zéro(s) il n'y en a qu'un seul ainsi que son signe suivant les intervalles de variation du paramètre de position « sur , est » le 1er facteur étant et le 2nd alors que « sur , est » le 1er et le 2nd facteurs étant tous deux d'où « sur » puis « sur » ;
     Diagramme d'énergie potentielle effective la courbe que nous appellerons par la suite avec pour point générique admet une asymptote à l'axe des énergies «», coupe l'axe du paramètre de position en «», admet un minimum pour « » «» et une autre asymptote à l'axe du paramètre de position «».

     Diagramme d'énergie mécanique voir ci-dessus en bleu, vert ou rouge : tracé de la courbe d’énergie mécanique c.-à-d. la courbe de variation de l'énergie mécanique en fonction du paramètre de position  ;
     Diagramme d'énergie mécanique il s'agit, dans chacun des trois cas considérés, d'une droite à l'axe du paramètre de position, compte-tenu de la conservation de l'énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien [1] dans la suite nous appellerons chacune de ces trois courbes et le point générique de la courbe considérée.

Discussion suivant la valeur d’énergie mécanique initiale du point[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : La méthode d'étude du mouvement d'un point à un paramètre de position par diagramme d’énergies potentielle et mécanique ayant été exposée en détail dans l'un des paragraphes suivants du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » :

     Préliminaire : « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre » explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. ainsi que « le cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque » non explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais sans aucune difficulté de compréhension,

     Préliminaire : « diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A. (pendule élastique horizontal non amorti) » non explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais particulièrement utile pour exposer la méthode