Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes,
l'espace physique étant $\;{\big (}$sauf avis contraire${\big )}\;$ « orienté à droite ».

Définition du mouvement d'un point à force centrale, exemples

Définition d'une force centrale

Force centrale

     Une force $\;{\vec {F}}\;$ appliquée à un point matériel $\;M\;$ est centrale dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ si son support passe par un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ ;      dans la base locale sphérique de pôle $\;O\;$ associée au point $\;M\;$ «$\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right)\;$» la force centrale s’écrit «$\;{\vec {F}}=F\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\,{\vec {u}}_{r}\;$» ;

• si «$\;F\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$» est «$\;>0\;$» la force est dite « centrifuge » et
• si «$\;F\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$» est «$\;<0\;$» elle est dite       « centripète ».

Définition du mouvement d'un point à force centrale

Mouvement d'un point à force centrale

     Un point $\;M\;$ a un « mouvement à force centrale » si « la seule force » à laquelle il est soumis $\;{\big (}$ou si « la résultante de toutes les forces » qui lui sont appliquées${\big )}\;$ est « centrale ».

Exemples

Liste non exhaustive.

Point matériel M qui n'est soumis qu'à une force de rappel linéaire relativement à un point fixe O

     $\;\succ \;$1^er exemple de « point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement à force centrale » : si $\;M\;$ n'est soumis qu'à la force «$\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}=-k\;r\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k=cste>0\;$», le signe «$\;-\;$» assurant le caractère « attractif » de la force relativement au centre d'action $\;O\;$ $\;{\big [}$en effet le reste de la composante radiale de la force, à savoir «$\;k\;r\;$», étant toujours «$\;>0\;$ pour $\;M\neq O\;$» la force est « centripète » relativement au point $\;O$, conférant à ce dernier une action attractive sur le point matériel $\;M{\big ]}$.

            Exemple de matérialisation : Un point matériel $\;M\;$ soumis à la force créé par un ressort de raideur «$\;k\;$» et de longueur à vide « nulle » dont une extrémité est reliée à $\;M$, l'autre extrémité $\;O\;$ étant fixe, les éventuelles autres forces appliquées à $\;M\;$ se compensant à tout instant ;

            Exemple de matérialisation : la coordonnée radiale de $\;M\;$ à savoir «$\;r\;$» est égale à « la longueur du ressort » et, dans la mesure où sa longueur à vide est « nulle », «$\;r\;$» s'identifie aussi à « l'allongement du ressort » et par suite, l'expression de la force suit la loi de Hooke.

            Le point matériel $\;M\;$ dans un « champ de force de ce type » c'est-à-dire $\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}=-k\;r\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k=cste>0\;$» sans autres forces définit un « oscillateur harmonique spatial ».

Point matériel dans un champ newtonien et qui n'est soumis à aucune autre force

     Deux principaux champs de forces newtoniennes sont connus :

• celui que crée un astre de forme sphérique avec une répartition de masse à symétrie sphérique sur un point matériel $\;M\;$ situé à l'extérieur de l'astre $\;{\big [}$la force exercée étant la force d'attraction gravitationnelle de Newton${\big ]}\;$ et
• celui que crée un point matériel chargé, fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, sur un point matériel $\;M\;$ également chargé, l'espace séparant les deux charges étant le vide $\;{\big [}$la force exercée étant la force d'action électrostatique de Coulomb${\big ]}$ ;

     si le point matériel $\;M\;$ « n'est soumis qu'à cette force newtonienne » ou s'il est soumis à cette force newtonienne avec d'autres forces se compensant, « le mouvement de $\;M\;$ est à force centrale ».

     $\;\succ \;$2^ème exemple de « point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement à force centrale », mouvement de la Terre dans le champ gravitationnel du Soleil étudié dans le référentiel de Copernic : en 1^ère approximation la Terre « ♁ » assimilée à un point matériel $\;M_{\text{♁}}\;$ de masse $\;m_{\text{♁}}\;$ n'est soumis qu'à la force gravitationnelle créée par le Soleil « ☉ » assimilée à un point matériel $\;M_{\text{☉}}\;$ de masse $\;m_{\text{☉}}\;$ «$\;{\vec {F}}_{{\text{gravit}},\,{\text{♁}}\,\leftarrow \,{\text{☉}}}(M_{\text{♁}})$ $=-{\mathcal {G}}\;{\dfrac {m_{\text{☉}}\;m_{\text{♁}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans laquelle $\;r\;$ est la coordonnée radiale de $\;M_{\text{♁}}\;$ dans le repérage sphérique de pôle $\;M_{\text{☉}}$, $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant le 1^er vecteur de base sphérique lié à $\;M_{\text{♁}}\;$ et $\;{\mathcal {G}}\;$ la constante de gravitation universelle valant $\;{\mathcal {G}}=6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$», le signe «$\;-\;$» assurant le caractère « attractif » de la force relativement au centre d'action $\;M_{\text{☉}}\;$ $\;{\bigg [}$en effet le reste de la composante radiale de la force, à savoir «$\;{\mathcal {G}}\;{\dfrac {m_{\text{☉}}\;m_{\text{♁}}}{r^{2}}}\;$», étant toujours «$\;>0$, la force est « centripète » relativement au point $\;M_{\text{☉}}$, conférant à ce dernier une action attractive sur $\;M_{\text{♁}}{\bigg ]}$.

            Exemples analogues : $\;\blacktriangleright \;$ l'une des sept autres planètes ou une comète dans le champ gravitationnel du Soleil étudié dans le référentiel de Copernic,

            Exemples analogues : $\;\blacktriangleright \;$ satellite artificiel dans le champ gravitationnel de la Terre étudié dans le référentiel géocentrique ou

            Exemples analogues : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ satellite artificiel dans celui champ gravitation d’une autre planète étudié dans le référentiel « planétocentrique ».

     $\;\succ \;$3^ème exemple de « point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement à force centrale », mouvement d'un ion M dans le champ électrostatique d'un autre ion O étudié dans le référentiel lié à l'ion source $\;O$ : un ion assimilée à un point matériel $\;M\;$ de charge $\;q\;$ n'est soumis qu'à la force électrostatique créée par un autre ion assimilée à un point matériel $\;O\;$ de charge $\;q_{O}\;$ «$\;{\vec {F}}_{{\text{électrostat}},\,M\,\leftarrow \,O}(M)={\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans laquelle $\;r\;$ est la coordonnée radiale de $\;M\;$ dans le repérage sphérique de pôle $\;O$, $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant le 1^er vecteur de base sphérique lié à $\;M\;$ et $\;\varepsilon _{0}\;$ la permittivité diélectrique du vide telle que $\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}=$ $9\;10^{9}\;U.S.I.\;$», le signe «$\;+\;$» assurant le caractère « répulsif » de la force relativement au centre d'action $\;O\;$ dans le cas où les charges $\;q\;$ et $\;q_{0}\;$ sont de même signe $\;{\big [}$la force étant alors « centrifuge »${\big ]}\;$ et le caractère « attractif » de cette force relativement au centre d'action $\;O\;$ dans le cas où les charges $\;q\;$ et $\;q_{0}\;$ sont de signe contraire $\;{\big [}$la force étant alors « centripète »${\big ]}.$

1^ère intégrale 1^ère du mouvement d’un point à force centrale : conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport au centre de force

Schéma de description d'un mouvement à force centrale

     Le point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ repéré, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, par ses coordonnées sphériques $\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$, acquiert, relativement à $\;{\mathcal {R}}$, un « mouvement à force centrale » dans la mesure où $\;M\;$ n'est soumis qu'à l'action d'« une seule force centrale » $\;{\big (}$le centre d'action de la force, fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, étant noté $\;O\;$ et choisi comme pôle du repérage sphérique de $\;M{\big )}$ «$\;{\vec {F}}(M)={\overline {F}}\!\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)\;{\vec {u}}_{r}\;$» ;

     appliquant le théorème du moment cinétique vectoriel à $\;M\;$ par rapport au point $\;O\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, on obtient «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=$ ${\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,t)}{dt}},\;\;\forall \;t\;$» avec «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {F}}(M)=r\;{\vec {u}}_{r}\wedge {\overline {F}}\!\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)\;{\vec {u}}_{r}={\vec {0}}\;$» d'où «$\;{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,t)}{dt}}={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» et par suite, en intégrant relativement au temps, «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,t)={\overrightarrow {cste}}\;$» avec «$\;{\overrightarrow {cste}}\;$ déterminé par C.I. » soit «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,t)={\vec {\sigma }}_{O}(M,\,0)\;$» c'est-à-dire la « conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$» $\;{\big [}$pour la suite nous noterons «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)\;$ pour $\;{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,t)\;$» et «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)\;$ pour $\;{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,0)\;$»${\big ]}$.

Intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale (non nécessairement conservative)

     Il existe une intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel $\;M\;$ à force centrale $\;{\big (}$conservative ou non${\big )}\;$ correspondant à la conservation du moment cinétique vectoriel du point matériel $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen c'est-à-dire « conservation de $\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)=$ ${\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ relativement à la variation du temps $\;t\;$» soit, mathématiquement, «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0),\;\;\forall \;t\;$ avec $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)\;$» ou,
après simplification par $\;m$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0),\;\;\forall \;t\;$».

1^ère conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : « nature plane (ou rectiligne) du mouvement »

Schéma de description d'un mouvement à force centrale dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales sont colinéaires

Cas où les vecteurs position et vitesse initiales du point sont colinéaires

     Si «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$» le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$ étant nul c'est-à-dire «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {0}}\;$», de la conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ par rapport à $\;O\;$ on en déduit la nullité de ce dernier pour tout instant $\;t\;$ c'est-à-dire «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou encore, après simplification par $\;m$,

«$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ;

                                                                                                       «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ et $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant colinéaires pour tout $\;t\;$», on déduit que le mouvement du point $\;M\;$ est rectiligne selon $\;\left(OM_{0}\right)$ $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$ $\;{\big \{}$pour le justifier on peut procéder par récurrence${\big \}}$.

Schéma de description d'un mouvement à force centrale dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales ne sont pas colinéaires, l'espace physique étant « orienté à droite »

Cas où les vecteurs position et vitesse initiales du point ne sont pas colinéaires

     Si «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$» le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$ étant non nul c'est-à-dire «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)\neq {\vec {0}}\;$», de la conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ par rapport à $\;O\;$ c'est-à-dire de

«$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0),\;\;\forall \;t\;$», on en déduit

     Si «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\nparallel }\;$ à $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}}\;$» la non nullité de «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» ainsi que la conservation de sa direction pour tout instant $\;t\;$ c'est-à-dire «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)=$ ${\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\neq {\vec {0}}\;$ de direction constante $\;\forall \;t\;$» $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}\;$ ou encore, après simplification par $\;m$,

«$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)\neq {\vec {0}}\;$ de direction constante $\;\forall \;t\;$» ;

     Si «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\nparallel }\;$ à $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}}\;$» en utilisant la définition du produit vectoriel, on en déduit que «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ et $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ sont toujours $\;\perp \;$ à cette direction fixe » et par suite « le mouvement du point $\;M\;$ se fait dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)\;$» c'est-à-dire « le plan contenant $\;O$, $\;M_{0}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}\;$».

2^ème conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : applicabilité de la « loi des aires »

L'applicabilité de la « loi des aires » pour le « mouvement d'un point matériel $\;M\;$ à force centrale » doit être connue sans hésitation $\;{\big (}$ainsi que sa justification${\big )}$.

Choix du repère cartésien lié au référentiel d’étude dans lequel O est fixe

     $\;\succ \;$Si «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», le mouvement étant rectiligne suivant $\;\left(OM_{0}\right)$, on choisit pour « axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» la « droite passant par $\;O\;$ contenant $\;M_{0}\;$ et orienté de $\;O\;$ vers $\;M_{0}\;$» ; le mouvement de $\;M\;$ se fait alors le long de $\;{\overrightarrow {Ox}}$.

     $\;\succ \;$Si «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», le mouvement étant plan $\;\perp \;$ à $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)$, on choisit pour « axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» la « droite passant par $\;O\;$ contenant $\;M_{0}\;$ et orienté de $\;O\;$ vers $\;M_{0}\;$» et pour « axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$» un « axe $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ tel que $\;{\vec {V}}_{0}\;$ soit contenu dans le plan $\;xOy\;$», l'« axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$» étant «$\;\perp \;$ aux deux autres axes tel que «$\;\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right)\;$ soit direct $\;{\big (}$l'espace physique étant orienté à droite${\big )}\;$» ; le vecteur moment cinétique initial de $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)\;$» est alors colinéaire à $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et le mouvement de $\;M\;$ se faisant dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)$, se fait alors dans le plan $\;xOy$.

Définition de la constante des aires « C »

     Dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», le vecteur moment cinétique initial de $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)\neq {\vec {0}}\;$» étant colinéaire à $\;{\overrightarrow {Oz}}$, il en est de même de «$\;{\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0)\neq {\vec {0}}\;$».

Définition de la constante des aires « C »

     Dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales du point $\;M\;$ décrivant un mouvement à force centrale ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire dans le cas où $\;M\;$ a un mouvement plan passant par le centre de force $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}$, on définit la constante des aires $\;C\;$ selon «$\;C={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}\cdot {\vec {u}}_{z}=\left[{\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0)\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\neq 0\;$».

     Remarque : dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», on a alors «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0)={\vec {0}}\;$» ;

Schémas de description d'un mouvement à force centrale dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales sont colinéaires $\;{\big (}$schéma de gauche${\big )}\;$ ou non colinéaires $\;{\big (}$schéma de droite${\big )}$

     Remarque : seul l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ ayant été défini car les deux autres axes $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ne jouent aucun rôle, on choisit alors ces derniers quelconques dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;{\big (}$voir schéma de gauche ci-contre${\big )}\;$ et on peut encore définir la constante des aires $\;C\;$ par «$\;C={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}\cdot {\vec {u}}_{z}=\left[{\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0)\right]\cdot {\vec {u}}_{z}=0\;$».

     Détermination de la constante des aires dans le cas où elle n'est pas nulle $\;{\Big [}$c'est-à-dire dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$»${\Big ]}$ $\;{\big (}$voir schéma de droite ci-contre${\big )}$ : avec «$\;{\overrightarrow {OM_{0}}}=r_{0}\;{\vec {u}}_{x}$, $\;r_{0}\;$ étant $\;>0\;$» et «$\;{\vec {V}}_{0}=$ $v_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}$, $\;v_{0}\;$ étant égal à $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert >0\;$ et $\;\alpha _{0}\;$ algébrisé par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ égal à $\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$» on en déduit «$\;C\;{\vec {u}}_{z}={\overrightarrow {OM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}=r_{0}\;{\vec {u}}_{x}\wedge \left[v_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\right]=r_{0}\;v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{z}\;$» soit finalement

«$\;C=r_{0}\;v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$» $\;{\big (}$sur le schéma de droite ci-dessus, $\;\alpha _{0}\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ «$\;C>0\;$»${\big )}$ ;

               autre façon pour déterminer «$\;C\;$» dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$» $\;{\big (}$voir schéma de droite ci-dessus${\big )}$ :

               $\;\succ \;$chercher le signe de $\;C\;$ en regardant dans quel sens le mouvement de $\;M\;$ commence initialement, « ici $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est disposé de tel façon que le mouvement de $\;M\;$ commence initialement dans le sens $\;+\;$» d’où «$\;C>0\;$» puis

               $\;\succ \;$chercher sa valeur absolue selon «$\;\vert C\vert =\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;d\;$» où «$\;d\;$ est le bras de levier de $\;{\vec {V}}_{0}\;$» $\;{\big (}$c'est-à-dire la distance orthogonale séparant $\;O\;$ du support de $\;{\vec {V}}_{0}\;$${\big )}\;$ soit «$\;d=r_{0}\;\vert \sin(\alpha _{0})\vert \;$» dont on déduit «$\;\vert C\vert =v_{0}\;r_{0}\;\vert \sin(\alpha _{0})\vert \;$» et enfin

               $\;\succ \;$on en tire la valeur algébrique de $\;C\;$ en rassemblant les deux informations soit

«$\;C=r_{0}\;v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$».

Établissement de la « loi des aires »

     Supposant « plan » le mouvement à force centrale du point matériel $\;M\;$ et repérant ce dernier dans le plan $\;xOy\;$ de son mouvement par ses coordonnées polaires de pôle « le centre de force $\;O\;$» soit «$\;\left(r\,,\,\theta \right)\;$», la base polaire liée à $\;M\;$ étant «$\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$» d’où, à l'instant $\;t$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=r(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$» et «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» dont on déduit, au même instant $\;t$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)$ $=r(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)\wedge \left[{\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\right]=r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;

     de la conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ relativement à $\;O$, «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0)\;$», ou de la relation de conservation obtenue en divisant par la masse de $\;M$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}\;$» ou encore «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)=C\;{\vec {u}}_{z}\;$», on en déduit $\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}=C\;{\vec {u}}_{z}\;$ soit «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$».

Début d’un théorème

Énoncé de la « loi des aires »

     L'intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel $\;M\;$ décrivant un mouvement à force centrale « plan » dans le plan $\;xOy\;$ avec le centre de force $\;O\;$ choisi comme pôle du repérage polaire de $\;M$, ce dernier y ayant «$\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta (t)\right\rbrace \;$» comme coordonnées polaires à l'instant $\;t$, à savoir « la conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ par rapport au point $\;O\;$» prend la forme, projetée sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\perp \;$ au plan $\;xOy\;$ et orientant ce dernier, de « la loi des aires » s'écrivant selon «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$» dans laquelle «$\;C\;$ est la constante des aires ».

Fin du théorème

     Remarques : $\;\succ \;$Dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», nous avons établi, par récurrence, la nature « rectiligne » du mouvement de $\;M\;$ le long de $\;\left(OM_{0}\right)\;$ et introduit la notion de constante des aires $\;C\;$ dans le paragraphe « définition de la constante des aires “ C ” (remarque) » plus haut dans ce chapitre, obtenant ainsi «$\;C=0\;$» mais, pour que cette introduction ait un sens, il reste à établir la « validité de la loi des aires dans le cas où $\;C=0\;$» $\;{\big [}$plus précisément nous allons établir la validité de la loi des aires dans le cas où $\;C=0\;$ sans tenir compte du caractère rectiligne du mouvement de $\;M$, ce qui permettra de démontrer d'une autre façon la nature rectiligne de son mouvement${\big ]}$ ;

           Remarques : choisissant de repérer le point $\;M\;$ par ses coordonnées sphériques de pôle $\;O\;$ à savoir $\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$, la base sphérique liée à $\;M\;$ étant $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right)\;$ d'où, à l'instant $\;t$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=$ $r(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$» et «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)=r(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)\wedge \left\lbrace {\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }(t)\right\rbrace =$ $r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }(t)-r^{2}\!(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» au même instant $\;t$ ;

           Remarques : de la conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ relativement à $\;O$, «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0)={\vec {0}}\;$», on en déduit «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }(t)-r^{2}\!(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)={\vec {0}}\;$» soit «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)$ $=0\;$» d'une part et «$\;r^{2}\!(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)=0\;$» d'autre part ;

           Remarques : de «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=0\;$» on tire «$\;{\dot {\theta }}(t)=0\;$» qui s'intègre par rapport à $\;t\;$ en «$\;\theta (t)=cste=\theta (0)\;$» et, en choisissant de repérer l'angle $\;\theta \;$ par rapport à la direction $\;\left(OM_{0}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;\theta (0)=0\;$ d'où «$\;\theta (t)=0,\;\;\forall \;t\;$» c'est-à-dire la nature rectiligne du mouvement de $\;M\;$ le long de $\;\left(OM_{0}\right)$ $\;{\big [}$de «$\;\theta (t)=0,\;\;\forall \;t\;$» on déduit que la 2^ème équation «$\;r^{2}\!(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)=0\;$» étant automatiquement réalisée n'a aucun intérêt${\big ]}$ ;

           Remarques : en conclusion si, dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», on choisit l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ porté par $\;\left(OM_{0}\right)$, $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ orthogonaux entre eux, étant choisis dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox}}$, et si on définit la constante des aires $\;C\;$ par «$\;C={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}\cdot {\vec {u}}_{z}=\left[{\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0)\right]\cdot {\vec {u}}_{z}=0\;$», on vérifie que « la loi des aires est applicable quand $\;C=0\;$» sous la forme «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C=0\;$».

     Remarques : $\;\succ \;$De l'expression du rapport du moment cinétique scalaire du point $\;M\;$ relativement à l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ divisé par la masse du point, rapport exprimé en repérage polaire «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$», on en déduit une 3^ème façon de déterminer la constante des aires $\;C\;$ selon «$\;C=r^{2}\!(0)\;{\dot {\theta }}(0)=r(0)\;\left[r(0)\;{\dot {\theta }}(0)\right]=r_{0}\;V_{0,\,\theta }\;$» consistant à « multiplier la distance séparant $\;M_{0}\;$ de $\;O\;$ par la vitesse orthoradiale initiale $\;V_{0,\,\theta }=v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$».

Quelques conséquences de la loi des aires

Utilisation dans le cas où « C = 0 »

     Ayant établi « l'applicabilité de la loi des aires pour un point matériel ayant un mouvement à force centrale quelles que soient les C.I. », que «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ soit $\;\nparallel \;$ ou $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», on peut l'utiliser pour établir que « le mouvement de $\;M\;$ est rectiligne le long de $\;\left(OM_{0}\right)\;$ dans le cas où la constante des aires $\;C\;$ est nulle » en effet de «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C=0,\;\;\forall \;t\;$» avec $\;r(t)\;$ non identiquement nul on tire «$\;{\dot {\theta }}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$» qui s'intègre en «$\;\theta (t)=cste=\theta (0)\;$» soit «$\;\theta (t)=0,\;\;\forall \;t\;$» par choix de l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ passant par $\;M_{0}\;$ d'où la nature rectiligne du mouvement de $\;M\;$ le long de $\;\left(OM_{0}\right)\;$.

Mouvement s’effectuant toujours dans le même sens dans le cas où « C ≠ 0 »

     Dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;C\neq 0\;$» le mouvement de $\;M\;$ se fait toujours dans le même sens dans le plan $\;xOy$, en effet, la loi des aires s’écrivant «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)$ $=C\neq 0,\;\;\forall \;t\;$» avec «$\;r^{2}\!(t)>0\;$» on en déduit que «$\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et $\;C\;$» sont toujours de même signe,

• le mouvement se faisant dans le sens «$\;+\;$» si «$\;C\;$ est $\;>0\;$» et
• le mouvement se faisant dans le sens «$\;-\;$» si «$\;C\;$ est $\;<0\;$» ;

     parallèlement «$\;{\dot {\theta }}(t)\;$» ne s’annule jamais.

Commentaire sur la forme « semi-intégrée » de l’accélération orthoradiale

     Nous avons établi au paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude (autre forme de l'accélération orthoradiale “ forme semi-intégrée ”) » du chap.$2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale «$\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{r(t)}}\;{\dfrac {d\left(r^{2}\;{\dot {\theta }}\right)}{dt}}(t)\;$ si $\;r(t)\neq 0\;$» dans laquelle nous remarquons que la quantité à dériver temporellement est la grandeur conservée dans la loi des aires, cela ne doit pas nous étonner car,

     dans le cas d’un mouvement à force centrale, la composante orthoradiale de la force étant nulle, l’accélération orthoradiale doit aussi l’être comme conséquence de la r.f.d.n. et effectivement,

«$\;\left(r^{2}\;{\dot {\theta }}\right)(t)=C,\;\;\forall \;t\;$ avec $\;r(t)\neq 0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{r(t)}}\;{\dfrac {d\left(r^{2}\;{\dot {\theta }}\right)}{dt}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ avec $\;r(t)\neq 0\;$» $\;\ldots$

Aspect « vitesse aréolaire constante » de la loi des aires

Schéma de description de «$\;d{\mathcal {A}}\;$» l'aire balayée par le rayon vecteur du point matériel $\;M$ $\;{\Big (}$c'est-à-dire par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}{\Big )}\;$ lorsque $\;M\;$ se déplace dans le plan $\;xOy\;$ à partir de l'instant $\;t\;$ sur une durée élémentaire $\;dt$

     Soit «$\;d{\mathcal {A}}\;$» l'aire élémentaire balayée par le « rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ du point matériel $\;M\;$» lorsque ce dernier se déplace dans le plan $\;xOy\;$ à partir de l'instant $\;t\;$ sur une durée élémentaire $\;dt$ $\;{\big (}$voir schéma descriptif ci-contre, l'espace physique étant orienté à droite${\big )}$ ;

     l'aire est algébrisée, elle est $\;>0\;$ si $\;M\;$ tourne dans le sens $\;+$ ${\big (}$cas de la figure${\big )}\;$ et

     l'aire est algébrisée, elle est $\;<0\;$ si $\;M\;$ tourne dans le sens $\;-$ ${\big (}$cas de figure non représenté${\big )}$ ;

     sachant que l'aire $\;{\big (}$non algébrisée${\big )}\;$ d'un triangle est égale à la moitié du produit d'une de ses bases par la hauteur correspondante $\;{\Big [}$la base considérée étant $\;OM_{t}=r(t)$ $\;{\big (}$coordonnée radiale du point $\;M_{t}{\big )}\;$ et la hauteur correspondante $\;dh\;$ c'est-à-dire la valeur absolue du projeté du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}={\overrightarrow {M_{t}M_{t+dt}}}\;$ sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$ $\;{\big (}$le vecteur unitaire orthoradial de la base polaire liée au point $\;M_{t}\;$ dans le plan $\;xOy{\big )}\;$ soit $\;dh=\vert dM_{\theta }\vert =$ $\vert V_{\theta }(t)\vert \;dt=r(t)\;\vert {\dot {\theta }}(t)\vert \;dt$ $\;{\big (}\theta \;$ étant l'abscisse angulaire du point $\;M_{t}{\big )}{\Big ]}\;$ on en tire «$\;{\Big \vert }d{\mathcal {A}}{\Big \vert }={\dfrac {1}{2}}\;r^{2}(t)\;\vert {\dot {\theta }}(t)\vert \;dt\;$» et,

     comme «$\;d{\mathcal {A}}\;$» est $\;>0\;$ si $\;M\;$ tourne dans le sens $\;+\;$ et $\;<0\;$ si $\;M\;$ tourne dans le sens $\;-\;$ c'est-à-dire du signe de $\;{\dot {\theta }}(t)$, on en déduit

«$\;d{\mathcal {A}}={\dfrac {1}{2}}\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;dt\;$» ;

     la vitesse aréolaire du mouvement du point $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ étant définie, à l'instant $\;t$, par «$\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)\;$» est encore égale à

«$\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$»

     soit, quand le point matériel $\;M\;$ décrit un mouvement à force centrale, lequel suit « la loi des aires $\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ avec $\;C$, la constante des aires » $\;{\big [}$restant valable pour $\;C=0{\big ]}$, l'expression de « la vitesse aréolaire du mouvement à force centrale du point $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$»

«$\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)={\dfrac {C}{2}}\;$ avec $\;C$, la constante des aires » $\;{\big [}$restant valable pour $\;C=0{\big ]}\;$ ;

Signification géométrique de la loi des aires : vitesse aréolaire constante

      Lorsqu'un point matériel $\;M\;$ décrit un mouvement à force centrale de centre de force $\;O$, on peut appliquer au point $\;M\;$ du plan $\;xOy\;$ la « loi des aires avec une constante des aires $\;C\;$», la signification géométrique de la loi des aires appliquée au point $\;M\;$ étant « la constance de la vitesse aréolaire du mouvement de $\;M\;$», plus précisément «$\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)={\dfrac {C}{2}}\;$».

Conséquence de la constance de la vitesse aréolaire

      Lorsqu'un point matériel $\;M\;$ décrit un mouvement à force centrale de centre de force $\;O$, on peut appliquer au point $\;M\;$ du plan $\;xOy\;$ la « loi des aires avec une constante des aires $\;C\;$» et de « la constance de la vitesse aréolaire du mouvement de $\;M\;$» on en déduit que « l'aire algébrique balayée par le rayon vecteur du point $\;M\;$ à partir de l'instant initial $\;t=0$ vaut, à l'instant $\;t$, $\;{\mathcal {A}}(t)={\dfrac {C}{2}}\;t\;$» ;      de « la constance de la vitesse aréolaire du mouvement de $\;M\;$» on déduit encore que « l'aire algébrique balayée par le rayon vecteur du point $\;M\;$ pendant deux durées identiques à partir d’instants différents est la même ».

« En complément » : variables et formules de Binet d’un mouvement à force centrale et leur intérêt

Introduction

     Tout d'abord le mouvement d'un point matériel à force centrale est « rectiligne ou plan », conséquence de la « conservation du moment cinétique vectoriel $\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$» ;

     dans les deux cas, la loi des aires est applicable au mouvement du point sous la forme «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ avec $\;C\;$ constante des aires », autre conséquence de la « conservation du moment cinétique vectoriel $\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$» et on a la propriété suivante :

• «$\;C=0\;$ $\Rightarrow$ mouvement rectiligne » et
• «$\;C\neq 0\;$ $\Rightarrow$ mouvement plan ».

     Les variables et formules de Binet peuvent s’employer dès lors que la loi des aires sous la forme «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ avec $\;C\;$ constante des aires » s’applique c'est-à-dire pour tous les mouvements à force centrale $\;{\bigg [}$toutefois leur utilisation n'est intéressante que dans le cas «$\;C\neq 0\;$», elle permet alors d’exprimer la vitesse angulaire «$\;{\dot {\theta }}\;$» en fonction de la coordonnée radiale «$\;r\;$» par «$\;{\dot {\theta }}={\dfrac {C}{r^{2}}}\;$»${\bigg ]}$.

Définition des variables de Binet

     Le principe soutendant l'utilisation des variables de Binet est de supprimer la dépendance directe au temps $\;t\;$ des variables radiale $\;r$ $\;{\big [}$ou d'une fonction $\;{\big (}$à définir${\big )}\;$ de la variable radiale${\big ]}\;$ et angulaire $\;\theta$, la dépendance au temps $\;t\;$ restant localisée uniquement dans la constante des aires $\;C$, laquelle s'exprime en $\;m^{2}\cdot s^{-1}\;$.

     Ainsi on définit d’abord la 1^ère variable de Binet «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$» considérée comme « fonction de $\;\theta \;$», s’exprimant en «$\;m^{-1}\;$»,

     Ainsi on définit d’abord la 2^nde variable de Binet étant la dérivée de $\;u\;$ par rapport à $\;\theta \;$ soit «$\;u'={\dfrac {du}{d\theta }}\;$» également « fonction de $\;\theta \;$», s’exprimant en «$\;m^{-1}\;$» et

     Ainsi on définit d’abord la 3^ème variable de Binet étant la dérivée seconde de $\;u\;$ par rapport à $\;\theta \;$ soit «$\;u''={\dfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}\;$» également « fonction de $\;\theta \;$», s’exprimant en «$\;m^{-1}\;$».

     Remarque : Si la 1^ère variable de Binet peut être définie dans le cas où la constante des aires $\;C\;$ est nulle $\;{\big (}$bien que son introduction n'ait alors aucun intérêt, le mouvement de $\;M\;$ étant rectiligne${\big )}$, les 2^ème et 3^ème variables de Binet n'y auraient aucun sens $\;{\big (}$plus exactement elles seraient infinies${\big )}$, aussi leur introduction nécessite «$\;C\neq 0\;$».

Préliminaire : « expressions de Binet » des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point M

     Le nom des expressions, en fonction des variables de Binet et de la constante des aires, des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point matériel $\;M\;$ dont le mouvement est à force centrale, n'est pas codifié, l'appellation « expressions de Binet » est donc personnelle ;

     ces expressions sont utiles pour démontrer les « formules de Binet » $\;{\big [}$voir les paragraphes « 1^ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse) » et « 2^ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l'accélération radiale) » plus bas dans le chapitre $\;{\big (}$attention l'appellation « formules de Binet » devant être réservée à ces deux formules${\big )}{\big ]}$,
                       elles peuvent aussi être utilisées pour déterminer les constantes d’intégration par conditions initiales.

Expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de M

     La composante radiale de $\;{\vec {V}}_{M}(t)$, le vecteur vitesse du point matériel $\;M\;$ quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy\;$ s'exprimant selon «$\;V_{r}(t)={\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\vec {u}}_{r}(t)={\dot {r}}(t)\;$» avec $\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire lié à $\;M\;$ du plan $\;xOy$, $\;r(t)\;$ étant la loi horaire scalaire du mouvement radial de $\;M\;$ dans $\;xOy$, nous transformons cette expression par utilisation de la formule de dérivation de fonction composée «$\;V_{r}(t)={\dot {r}}(t)={\dfrac {dr}{dt}}(t)={\dfrac {dr}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$» dans laquelle $\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\dot {\theta }}(t)\;$ étant la vitesse angulaire du point $\;M\;$ peut s'exprimer en fonction de sa coordonnée radiale $\;r(t)\;$ ainsi que de la constante des aires $\;C\;$ par utilisation de la loi des aires selon $\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {C}{r^{2}(t)}}\;$» d'où la réécriture de la composante radiale de $\;{\vec {V}}_{M}(t)$ : «$\;V_{r}(t)={\dot {r}}(t)={\dfrac {dr}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {C}{r^{2}(t)}}=C\,\left[{\dfrac {1}{r^{2}(\theta )}}\;{\dfrac {dr}{d\theta }}(\theta )\right]\;$» ou, en reconnaissant dans le facteur entre crochets « l'opposé de la dérivée de $\;{\dfrac {1}{r}}\;$ par rapport à $\;\theta \;$ selon $\;{\dfrac {1}{r^{2}(\theta )}}\;{\dfrac {dr}{d\theta }}(\theta )=r^{-2}(\theta )\;{\dfrac {dr}{d\theta }}(\theta )={\dfrac {1}{-1}}\;{\dfrac {d\left(r^{-1}\right)}{d\theta }}(\theta )=-{\dfrac {d\left({\dfrac {1}{r}}\right)}{d\theta }}(\theta )\;$ c'est-à-dire l'opposé de $\;u'$, la 2^ème variable de Binet soit finalement $\;{\dfrac {1}{r^{2}(\theta )}}\;{\dfrac {dr}{d\theta }}(\theta )=-u'\;$» et par suite «$\;V_{r}(t)={\dot {r}}(t)=-C\;u'\;$».

Expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de M à mouvement à force centrale

     La composante radiale du vecteur vitesse du point matériel $\;M\;$ décrivant un mouvement à force centrale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy\;$ s'exprime simplement en fonction de la 2^ème variable de Binet «$\;u'={\dfrac {d\left({\dfrac {1}{r}}\right)}{d\theta }}\;$ fonction de $\;\theta \;$» $\;{\big (}r\;$ étant la coordonnée radiale de $\;M$, $\;\theta \;$ son abscisse angulaire${\big )}\;$ et de la constante des aires selon «$\;V_{r}(t)={\dot {r}}(t)=-C\;u'\;$ fonction de $\;\theta \;$»
la dépendance par rapport à $\;t\;$ restant localisée dans la constante des aires
selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}V_{r}(t)&=&-C&\times &u'\\m\cdot s^{-1}&=&m^{2}\cdot s^{-1}&\times &m^{-1}\end{array}}\right\rbrace$.

Expression de Binet de la composante orthoradiale du vecteur vitesse de M

     La composante orthoradiale de $\;{\vec {V}}_{M}(t)$, le vecteur vitesse du point matériel $\;M\;$ quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy\;$ s'exprimant selon «$\;V_{\theta }(t)={\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$» avec $\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ le vecteur unitaire orthoradial de la base polaire lié à $\;M\;$ du plan $\;xOy$, $\;r(t)\;$ étant la loi horaire scalaire du mouvement radial de $\;M\;$ dans $\;xOy\;$ et $\;\theta (t)\;$ la loi horaire scalaire de variation de l'abscisse angulaire de $\;M\;$ dans ce même plan, nous transformons cette expression par utilisation de la loi des aires selon $\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dot {\theta }}(t)$ $={\dfrac {C}{r^{2}(t)}}\;$» d'où la réécriture de la composante orthoradiale de $\;{\vec {V}}_{M}(t)$ : «$\;V_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)=r(t)\;{\dfrac {C}{r^{2}(t)}}=C\,\left[{\dfrac {1}{r(\theta )}}\right]\;$» ou, en reconnaissant dans le facteur entre crochets, la 1^ère variable de Binet c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{r(\theta )}}=u\;$», nous en déduisons «$\;V_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;u\;$».

Expression de Binet de la composante orthoradiale du vecteur vitesse de M à mouvement à force centrale

     La composante orthoradiale du vecteur vitesse du point matériel $\;M\;$ décrivant un mouvement à force centrale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy\;$ s'exprime simplement en fonction de la 1^ère variable de Binet «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ fonction de $\;\theta \;$» $\;{\big (}r\;$ étant la coordonnée radiale de $\;M$, $\;\theta \;$ son abscisse angulaire${\big )}\;$ et de la constante des aires selon «$\;V_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;u\;$ fonction de $\;\theta \;$»
la dépendance par rapport à $\;t\;$ restant localisée dans la constante des aires
selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}V_{\theta }(t)&=&C&\times &u\\m\cdot s^{-1}&=&m^{2}\cdot s^{-1}&\times &m^{-1}\end{array}}\right\rbrace$.

1^ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse)

     Pour établir la 1^ère formule de Binet $\;{\big (}$celle relative au carré de la vitesse${\big )}\;$ du mouvement d'un point matériel $\;M\;$ quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy$, il suffit d’évaluer «$\;V_{M}^{2}(t)\;$» dans lequel $\;V_{M}(t)=\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert$, $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant le vecteur vitesse du point $\;M$, c'est-à-dire «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=V_{r}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+V_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» $\;{\big [}$avec $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(t)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace \;$ base polaire lié au point $\;M\;$ à l'instant $\;t{\big ]}$, par «$\;V_{M}^{2}(t)=V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)\;$» en y injectant les 1^ère et 2^ème expressions de Binet des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse $\;{\big [}$voir les paragraphes « expression des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M » plus haut dans le chapitre${\big ]}\;$ à savoir «$\;V_{r}(t)=-C\;u'\;$ et $\;V_{\theta }(t)=C\;u\;$ toutes deux fonction de $\;\theta \;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{M}^{2}(t)=\left(-C\;u'\right)^{2}+\left(-C\;u\right)^{2}=C^{2}\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$», cette dernière expression constituant la 1^ère formule de Binet $\;{\big (}$ou formule de Binet relative au carré de la vitesse${\big )}$.

1^ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse) d'un mouvement à force centrale

     Le carré de la vitesse du point matériel $\;M\;$ décrivant un mouvement à force centrale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy\;$ s'exprime simplement en fonction des 1^ère et 2^ème variables de Binet respectivement «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ et $\;u'=$ ${\dfrac {d\left({\dfrac {1}{r}}\right)}{d\theta }}\;$ toutes deux fonction de $\;\theta \;$» $\;{\big (}r\;$ étant la coordonnée radiale de $\;M$, $\;\theta \;$ son abscisse angulaire${\big )}\;$ ainsi que de la constante des aires selon la 1^ère formule de Binet suivante «$\;V_{M}^{2}(t)=V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)=C^{2}\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$ fonction de $\;\theta \;$»
la dépendance par rapport à $\;t\;$ restant localisée dans le carré de la constante des aires
selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}V_{M}^{2}(t)&=&C^{2}&\times &\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\\m^{2}\cdot s^{-2}&=&m^{4}\cdot s^{-2}&\times &m^{-2}\end{array}}\right\rbrace$.

     Remarque : On peut se servir de l’homogénéité pour retenir la 1^ère formule de Binet $\;{\big (}$celle relative au carré de la vitesse${\big )}\;$ d'un mouvement à force centrale : en effet «$\;V_{M}^{2}(t)\;$ s'exprimant en $\;m^{2}\cdot s^{-2}\;$» et « la dépendance relativement au temps $\;t\;$ se trouvant, dans les expressions ou formules de Binet, exclusivement dans la constante des aires laquelle s'exprime en $\;m^{2}\cdot s^{-1}\;$» il est donc nécessaire que cette dernière apparaisse au carré dans un 1^er facteur correspondant à «$\;C^{2}\;$ en $\;m^{4}\cdot s^{-2}\;$», le 2^ème facteur devant s'exprimer en $\;m^{-2}\;$ pouvant être, par exemple, représenté par un carré $\;{\big (}$ou une somme de carré${\big )}\;$ de variables de Binet c'est en fait «$\;\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$» $\;\ldots$

2^ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l’accélération radiale)

     Pour établir la 2^ème formule de Binet $\;{\big (}$celle relative à l'accélération radiale${\big )}\;$ du mouvement d'un point matériel $\;M\;$ quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy$, il suffit d’évaluer «$\;a_{r}(t)={\vec {a}}_{M}(t)\cdot {\vec {u}}_{r}(t)\;$» dans lequel $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est le vecteur accélération du point $\;M$, encore égal à «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=a_{r}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+a_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» $\;{\big [}$avec $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(t)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace \;$ base polaire lié au point $\;M\;$ à l'instant $\;t{\big ]}$, par «$\;a_{r}(t)={\ddot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» dans laquelle il faut expliciter les deux termes «$\;{\ddot {r}}(t)\;$» et «$\;-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» à l'aide des variables de Binet ainsi que de la constante des aires en utilisant éventuellement les 1^ère et 2^ème expressions de Binet des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse $\;{\big [}$voir les paragraphes « expression des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M » plus haut dans le chapitre${\big ]}\;$ à savoir «$\;V_{r}(t)={\dot {r}}(t)=-C\;u'\;$ et $\;V_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;u\;$ toutes deux fonction de $\;\theta \;$» :

• «$\;{\ddot {r}}(t)={\dfrac {d{\dot {r}}}{dt}}(t)={\dfrac {dV_{r}}{d\theta }}(\theta )\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\dfrac {d\left(-C\;u'\right)}{d\theta }}(\theta )\;{\dot {\theta }}(t)\;$» dans laquelle on remplace $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ par son expression tirée de la loi des aires $\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {C}{r^{2}(t)}}$, vitesse angulaire qui s'exprime ainsi en fonction de la constante des aires et de la 1^ère variable de Binet $\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ selon «$\;{\dot {\theta }}(t)=C\;u^{2}\;$ considérée comme fonction de $\;\theta \;$» soit finalement «$\;{\ddot {r}}(t)=-C\;u''\;C\;u^{2}=-C^{2}\;u^{2}\;u''\;$ fonction de $\;\theta \;$» puis
• «$\;-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» dans laquelle on remplace $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ par son expression tirée de la loi des aires $\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {C}{r^{2}(t)}}$, vitesse angulaire qui s'exprime ainsi en fonction de la constante des aires et de la 1^ère variable de Binet $\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ selon «$\;{\dot {\theta }}(t)=C\;u^{2}\;$ considérée comme fonction de $\;\theta \;$» soit encore «$\;-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=-{\dfrac {1}{u}}\left(C\;u^{2}\right)^{2}=-C^{2}\;u^{3}\;$ fonction de $\;\theta \;$» ;

     en conclusion «$\;a_{r}(t)={\ddot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=\left(-C^{2}\;u^{2}\;u''\right)+\left(-C^{2}\;u^{3}\right)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$», cette dernière expression constituant la 2^ème formule de Binet $\;{\big (}$ou formule de Binet relative à l'accélération radiale${\big )}$.

2^ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l'accélération radiale) d'un mouvement à force centrale

     L'accélération radiale du point matériel $\;M\;$ décrivant un mouvement à force centrale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy\;$ s'exprime simplement en fonction des 1^ère et 3^ème variables de Binet respectivement «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ et $\;u''=$ ${\dfrac {d^{2}\left({\dfrac {1}{r}}\right)}{d\theta ^{2}}}\;$ toutes deux fonction de $\;\theta \;$» $\;{\big (}r\;$ étant la coordonnée radiale de $\;M$, $\;\theta \;$ son abscisse angulaire${\big )}\;$ ainsi que de la constante des aires selon la 2^ème formule de Binet suivante «$\;a_{r}(t)={\ddot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$ fonction de $\;\theta \;$»
la dépendance par rapport à $\;t\;$ restant localisée dans le carré de la constante des aires
selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c c c}a_{r}(t)&=&-C^{2}&\times &u^{2}&\times &\left(u''+u\right)\\m\cdot s^{-2}&=&m^{4}\cdot s^{-2}&\times &m^{-2}&\times &m^{-1}\end{array}}\right\rbrace$.

     Remarques : On peut se servir de l’homogénéité pour retenir la 2^ème formule de Binet $\;{\big (}$celle relative à l'accélération radiale${\big )}\;$ d'un mouvement à force centrale : en effet «$\;a_{r}(t)\;$ s'exprimant en $\;m\cdot s^{-2}\;$» et « la dépendance relativement au temps $\;t\;$ se trouvant, dans les expressions ou formules de Binet, exclusivement dans la constante des aires laquelle s'exprime en $\;m^{2}\cdot s^{-1}\;$» il est donc nécessaire que cette dernière apparaisse au carré dans un 1^er facteur correspondant à «$\;C^{2}\;$ en $\;m^{4}\cdot s^{-2}\;$», le 2^ème facteur devant s'exprimer en $\;m^{-3}\;$ pouvant être, par exemple, représenté par un cube $\;{\big (}$ou un carré multiplié par une somme${\big )}\;$ de variables de Binet c'est en fait «$\;-u^{2}\left(u''+u\right)\;$» $\;\ldots$

     Remarques : On rappelle que l’accélération orthoradiale est toujours nulle dans un mouvement à force centrale ; on pourra se souvenir de cela pour retenir la forme semi-intégrée de l’accélération orthoradiale «$\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{r(t)}}\;{\dfrac {d\left(r^{2}\;{\dot {\theta }}\right)}{dt}}(t)\;$» dont le 2^ème facteur est la dérivée temporelle de l'expression intervenant dans la loi des aires «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$» $\;{\big (}$laquelle étant constante dans un mouvement à force centrale entraîne une dérivée temporelle nulle${\big )}\;$ expression en $\;m^{2}\cdot s^{-1}\;$ conduisant à une dérivée temporelle en «$\;{\dfrac {m^{2}\cdot s^{-1}}{s}}=m^{2}\cdot s^{-2}\;$» d'où la nécessité d'un 1^er facteur devant assurer le bon dimensionnement du produit en accélération c'est-à-dire en $\;m\cdot s^{-2}$, « ce 1^er facteur devant s’exprimer en $\;m^{-1}\;$» $\Leftarrow$ «$\;{\dfrac {1}{r(t)}}\;$» est un candidat satisfaisant en dimension.

Exemple d’utilisation de la formule de Binet relative à l’accélération radiale

     Soit un point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement à force centrale, de centre de force $\;O\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, de constante des aires $\;C\neq 0\;$ assurant que le mouvement de $\;M\;$ se fait dans un plan fixe du référentiel $\;{\mathcal {R}}$ ; ayant choisi ce plan comme plan $\;xOy\;$ et y adoptant le repérage polaire de $\;M$ $\;{\Big [}\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(t)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace \;$ étant la base polaire lié au point $\;M\;$ à l'instant $\;t$, $\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta (t)\right\rbrace \;$ ses coordonnées polaires au même instant $\;t{\Big ]}$, nous appliquons la r.f.d.n. au point matériel $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen sachant que la force centrale appliquée à $\;M\;$ s'exprime selon «$\;{\vec {F}}(M)=$ $F(r,\,\theta )\;{\vec {u}}_{r}\;$», ce qui nous donne, en projetant cette relation sur $\;{\vec {u}}_{r}$, «$\;F(r,\,\theta )=m\;a_{r}(t)\;$», $\;m\;$ étant la masse de $\;M\;$ et $\;a_{r}(t)\;$ son accélération radiale à l'instant $\;t$ ;

     le mouvement étant à force centrale nous pouvons utiliser les variables de Binet permettant d'expliciter l'accélération radiale de $\;M\;$ selon la 2^ème formule de Binet «$\;a_{r}(t)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$», la composante de la force s'exprimant en fonction de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ et de la 1^ère variable de Binet «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$» selon «$\;F(r,\,\theta )=F\!\left({\dfrac {1}{u}},\,\theta \right)\;$» soit finalement

l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;u(\theta )\;$ «$\;F\!\left({\dfrac {1}{u}},\,\theta \right)=-m\;C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$»

     Un exemple aboutissant à une résolution simplifiée par utilisation de la 2^ème formule de Binet $\;\rightsquigarrow \;$ mouvement à force centrale d'un point matériel $\;M\;$ dans un champ de force newtonienne $\;{\vec {F}}(M)=$ ${\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k\;$ constante réelle non nulle $\;{\big [}$si $\;k\;$ est $\;<0\;$ le centre de force $\;O\;$ est attractif et si $\;k\;$ est $\;>0\;$ il est répulsif${\big ]}$ :

     Un exemple la composante radiale de la force s'écrivant, en utilisant la 1^ère variable de Binet «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$», «$\;F(r{\cancel {,\,\theta }})={\dfrac {k}{r^{2}}}=k\;u^{2}\;$» conduit à l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;u(\theta )\;$ du mouvement de $\;M\;$ dans le champ de force newtonienne «$\;k\;u^{2}=-m\;C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$» soit encore, après simplification par $\;u^{2}\;$ et normalisation,

«$\;u''(\theta )+u(\theta )=-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}\;$» c'est-à-dire
une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en $\;u(\theta )\;$ sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante ;

     Un exemple la résolution ne présentant aucune difficulté nous obtenons la solution de cette équation selon $\;u(\theta )=u_{f}+u_{\mathit {l}}(\theta )\;$ avec la solution forcée de même forme que l'excitation $\;u_{f}=-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}\;$ et la solution libre $\;u_{\mathit {l}}(\theta )=A\;\cos(\theta +\psi )\;$ avec $\;A\;$ et $\;\psi \;$ constantes réelles d'intégration soit finalement

«$\;u(\theta )=-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}+A\;\cos(\theta +\psi )\;$» avec $\;A\;$ et $\;\psi \;$ constantes à déterminer à l'aide des C.I.
d'où, en revenant à la coordonnée polaire «$\;r\;$» du point $\;M\;$ par «$\;r(\theta )={\dfrac {1}{u(\theta )}}\;$»,
$\;r(\theta )={\dfrac {1}{-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}+A\;\cos(\theta +\psi )}}={\dfrac {-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}}{1+A'\;\cos(\theta +\psi )}}\;$ avec $\;A'\;$ et $\;\psi \;$ constantes à déterminer à l'aide des C.I..

2^ème intégrale 1^ère du mouvement d’un point à force centrale quand cette dernière est conservative : conservation de son énergie mécanique

Condition pour que la force centrale soit conservative

     $\;\succ \;$Nous nous plaçons d'abord dans le cas où la force centrale agissant sur le point matériel $\;M\;$ est la seule $\Rightarrow$ le point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement à force centrale de centre de force $\;O$, décrit une trajectoire plane $\;{\big (}$ou rectiligne${\big )}$ ;

          avec le « choix du repère cartésien lié au référentiel d'étude dans lequel O est fixe » précisé plus haut dans le chapitre, la force centrale s'exerçant sur $\;M\;$ s’écrit «$\;{\vec {F}}(M)=F(r,\,\theta )\;{\vec {u}}_{r}\;$» dans laquelle $\;{\vec {u}}_{r}\;$ est le vecteur unitaire radial lié à $\;M\;$ dans son repérage polaire de pôle $\;O$, $\;\left(r\,,_{,}\theta \right)\;$ les coordonnées polaires de $\;M$ ;

          on en déduit le travail élémentaire de la force «$\;{\vec {F}}(M)\;$» lors d'un déplacement élémentaire quelconque de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ «$\;\delta W({\vec {F}})={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=F(r,\,\theta )\;dr\;$» et cette forme différentielle est une différentielle de fonction si «$\;F(r,\,\theta )\;$ est indépendant de $\;\theta \;$».

     $\;\succ \;$Dans le cas où la force centrale agissant sur le point matériel $\;M\;$ n'est pas la seule, le point matériel $\;M\;$ n'ayant pas, a priori, un mouvement à force centrale, ce dernier n'est pas nécessairement plan et il convient de maintenir le repérage sphérique de pôle « le centre de force $\;O\;$» lié à $\;M\;$ d'où l'expression de la force centrale «$\;{\vec {F}}(M)=F(r,\,\theta ,\,\varphi )\;{\vec {u}}_{r}\;$» dans laquelle $\;{\vec {u}}_{r}\;$ est le vecteur unitaire radial lié à $\;M\;$ dans son repérage sphérique de pôle $\;O$, $\;\left(r\,,_{,}\theta \,,\,\varphi \right)\;$ les coordonnées sphériques de $\;M$ ;

          on en déduit le travail élémentaire de la force «$\;{\vec {F}}(M)\;$» lors d'un déplacement élémentaire quelconque de $\;M\;$ dans l'espace «$\;\delta W({\vec {F}})={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=F(r,\,\theta ,\,\varphi )\;dr\;$» et cette forme différentielle est une différentielle de fonction si «$\;F(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ est indépendant de $\;\theta \;$ et de $\;\varphi \;$».

     $\;\succ \;$En conclusion « la condition pour que la force centrale soit conservative » est que « l'intensité de la force ne dépende que de $\;r\;$» soit «$\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$» en repérage polaire du plan du mouvement à force centrale du point matériel $\;M$ $\;{\big [}$ou en repérage sphérique dans le cas où le point matériel sur lequel la force centrale agit n'a pas un mouvement à force centrale${\big ]}$.

Définition de l’énergie potentielle « U(r) » dont « dérive » la force centrale conservative et exemples

     L'énergie potentielle «$\;U(r)\;$» dont « dérive » la force centrale conservative appliquée au point matériel $\;M\;$ «$\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\;{\big (}$avec $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire radial lié à $\;M$, $\;r\;$ sa coordonnée radiale de son repérage polaire de pôle « le centre de force $\;O\;$» dans le plan $\;xOy\;$ du mouvement de $\;M{\big )}\;$ est définie par «$\;\delta W({\vec {F}})=F(r)\;dr=-dU\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {dU}{dr}}(r)=-F(r)\;$» d'où, après intégration,

«$\;U(r)=\displaystyle \int ^{r}-F(r')\;dr'\;$» avec la nécessité de préciser sa référence.

     Exemples de force centrale conservative : on vérifie que les forces des exemples cités dans le paragraphe « exemples (de mouvement à force centrale) » plus haut dans ce chapitre sont effectivement conservatives ;

     Exemples de force centrale conservative : $\;\succ \;$ force de rappel linéaire relativement à un point fixe $\;O$ : «$\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}=-k\;r\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k=cste>0\;$», le signe «$\;-\;$» assurant le caractère « attractif » de la force relativement au centre d'action $\;O$ $\;{\big [}$en effet le reste de la composante radiale de la force, à savoir «$\;k\;r\;$», étant toujours «$\;>0\;$ pour $\;M\neq O\;$» la force est « centripète » relativement au point $\;O$, conférant à ce dernier une action attractive sur le point matériel $\;M{\big ]}$ ; $\;F(r)=-k\;r\;$ ne dépendant que de $\;r\;$ est effectivement conservative $\;{\big [}$que le mouvement du point matériel sur lequel elle s'applique soit à force centrale ou non${\big ]}\;$ et l'énergie potentielle dont elle « dérive » est «$\;U(r)=\displaystyle \int ^{r}k\;r'\;dr'={\dfrac {1}{2}}\;k\;r^{2}+cste\;$» soit, « en choisissant sa référence en $\;O$, $\;U(r)={\dfrac {1}{2}}\;k\;r^{2}\;$» $\;{\big [}$où $\;r=OM\;$ que ce soit en repérage polaire du plan $\;xOy\;$ ou sphérique${\big ]}$ ;

     Exemples de force centrale conservative : $\;\succ \;$ force newtonienne de gravitation ou électrostatique, le centre de force étant en $\;O$ : «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k=cste\;$ algébrique $\;\neq 0\;$» $\;{\bigg \{}$«$\;k<0\;$» si attractive comme le cas d'une force d'attraction gravitationnelle $\;{\big [}$par exemple créée par le Soleil de masse $\;m_{\text{☉}}\;$ sur un point matériel de masse $\;m\;$ $\Rightarrow$ «$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;m\;$», $\;{\mathcal {G}}\;$ étant la constante de gravitation universelle${\big ]}\;$ ou le cas d'une force électrostatique entre points de charge de signe contraire $\;{\bigg [}$par exemple créée par une charge ponctuelle en $\;O\;$ de charge $\;q_{O}>0\;$ sur une autre charge ponctuelle en $\;M\;$ de charge $\;q<0$ $\;{\big (}$ou $\;q_{O}<0\;$ et $\;q>0{\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;k={\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}<0\;$», $\;\varepsilon _{0}\;$ étant la permittivité diélectrique du vide${\bigg ]}\;$ et «$\;k>0\;$» si répulsive comme le cas d'une force électrostatique entre points de charge de même signe $\;{\bigg [}$par exemple créée par une charge ponctuelle en $\;O\;$ de charge $\;q_{O}>0\;$ sur une autre charge ponctuelle en $\;M\;$ de charge $\;q>0$ $\;{\big (}$ou $\;q_{O}<0\;$ et $\;q<0{\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;k={\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}>0\;$», $\;\varepsilon _{0}\;$ étant la permittivité diélectrique du vide${\bigg ]}{\bigg \}}$ ; $\;F(r)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;$ ne dépendant que de $\;r\;$ est effectivement conservative $\;{\big [}$que le mouvement du point matériel sur lequel elle s'applique soit à force centrale ou non${\big ]}\;$ et l'énergie potentielle dont elle « dérive » est «$\;U(r)=\displaystyle \int ^{r}-{\dfrac {k}{{r'}^{2}}}\;dr'={\dfrac {k}{r}}+cste\;$» soit, « en choisissant sa référence à l'infini de $\;O$, $\;U(r)={\dfrac {k}{r}}\;$» $\;{\big [}$où $\;r=OM\;$ que ce soit en repérage polaire du plan $\;xOy\;$ ou sphérique${\big ]}$.

2^ème intégrale 1^ère du mouvement d’un point à force centrale quand cette dernière est conservative : conservation de son énergie mécanique

     Le point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ ayant, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, un mouvement à force centrale conservative $\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$ de centre de force $\;O$ $\;{\big (}{\vec {u}}_{r}\;$ étant le vecteur unitaire radial de la base polaire liée à $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ du mouvement de $\;M\;$ avec $\;r\;$ la coordonnée radiale de ce dernier${\big )}$, il possède, en plus de son énergie cinétique «$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}\!(t)\;$», une réserve d'énergie potentielle dont « dérive » la force conservative $\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$ c'est-à-dire «$\;U(r)=\displaystyle \int ^{r}-F(r')\;dr'\;$ avec choix de sa référence à préciser », soit au total une énergie mécanique dans le champ de la force conservative «$\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U\!\left[r(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}\!(t)+\displaystyle \int ^{r(t)}-F(r')\;dr'\;$» ;

     en absence d'autre force que la force centrale conservative, le point matériel $\;M\;$ étant « à mouvement conservatif », il y a conservation de l’énergie mécanique du point $\;M\;$, «$\;E_{m}(t)=cste,\;\;\forall \;t\;$» ou encore «$\;E_{m}(t)=E_{m}(0)\;$ avec $\;E_{m}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}+U(r_{0})\;$ dans laquelle $\;U(r_{0})=\displaystyle \int ^{r_{0}}-F(r')\;dr'\;$», ceci constituant la 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale quand cette dernière est conservative.

2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale quand cette dernière est conservative

     Il existe une 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ à force centrale quand cette dernière est conservative $\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du point matériel $\;M\;$ dans le champ de force conservative c'est-à-dire « conservation de $\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U\!\left[r(t)\right]\;$ relativement à la variation du temps $\;t\;$» avec $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}\!(t)\;$ l'énergie cinétique de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et $\;U(r)=\displaystyle \int ^{r}-F(r')\;dr'$ $\;{\big (}$avec choix de sa référence à préciser${\big )}\;$ l'énergie potentielle dont « dérive » la force conservative soit, mathématiquement, «$\;E_{m}(t)=E_{m}(0),\;\;\forall \;t\;$ avec $\;E_{m}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+U(r_{0})\;$ dans laquelle $\;U(r_{0})=\displaystyle \int ^{r_{0}}-F(r')\;dr'\;$» ou,
«$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}\!(t)+U\!\left[r(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+U(r_{0}),\;\;\forall \;t\;$» dans laquelle $\;U\!\left[r(t)\right]=\displaystyle \int ^{r(t)}-F(r')\;dr'\;$».

Exemple d’utilisation de la formule de Binet relative au carré de la vitesse

     Soit un point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement à force centrale conservative, de centre de force $\;O\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, de constante des aires $\;C\neq 0\;$ assurant que le mouvement de $\;M\;$ soit « conservatif » dans un plan fixe du référentiel $\;{\mathcal {R}}$ ; ayant choisi ce plan comme plan $\;xOy\;$ et y adoptant le repérage polaire de $\;M$ $\;{\Big [}\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(t)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace \;$ étant la base polaire lié au point $\;M\;$ à l'instant $\;t$, $\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta (t)\right\rbrace \;$ ses coordonnées polaires au même instant $\;t{\Big ]}$, nous écrivons la conservation de l'énergie mécanique du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, l'énergie potentielle de $\;M\;$ dans le champ de la force centrale conservative $\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$ s'exprimant selon «$\;U(r)=\displaystyle \int ^{r}-F(r')\;dr'$ $\;{\big (}$avec choix de sa référence à préciser${\big )}\;$», soit «$\;E_{m}(t)=E_{m}(0),\;$ $\;\forall \;t\;$» avec «$\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U\!\left[r(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}\!(t)+\displaystyle \int ^{r(t)}-F(r')\;dr'\;$» et «$\;E_{m}(0)=K_{M}(0)+U(r_{0})={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+\displaystyle \int ^{r_{0}}-F(r')\;dr'\;$» ;

     le mouvement étant à force centrale nous pouvons utiliser les variables de Binet permettant d'expliciter le carré de la vitesse de $\;M\;$ selon la 1^ère formule de Binet «$\;V_{M}^{2}\!(t)=C^{2}\,\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$», l'énergie potentielle de $\;M\;$ dans le champ de la force centrale conservative s'exprimant en fonction de la coordonnée radiale de $\;M\;$ c'est-à-dire $\;r\;$ peut se réécrire en fonction de la 1^ère variable de Binet «$\;u=$ ${\dfrac {1}{r}}\;$» selon «$\;U\!\left[{\dfrac {1}{u}}\right]=\displaystyle \int ^{\frac {1}{u}}-F(r')\;dr'\;$» soit finalement

l'intégrale 1^ère spatiale en $\;u(\theta )\;$ $\;{\big [}$ou équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;u(\theta ){\big ]}\;$
soit «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left[{u'}^{2}(\theta )+u^{2}(\theta )\right]+U\!\left[{\dfrac {1}{u(\theta )}}\right]=E_{m}(0)\;$»
avec «$\;E_{m}(0)=K_{M}(0)+U(r_{0})={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+\displaystyle \int ^{r_{0}}-F(r')\;dr'\;$».

     Un exemple à résolution abordable par utilisation de la 1^ère formule de Binet $\;\rightsquigarrow \;$ mouvement à force centrale conservative d'un point matériel $\;M\;$ dans un champ de force newtonienne $\;{\vec {F}}(M)=$ ${\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ « dérivant » du champ d'énergie potentielle newtonienne $\;U(M)={\dfrac {k}{r}}\;$ avec $\;k\;$ constante réelle non nulle $\;{\big [}$si $\;k\;$ est $\;<0\;$ le centre de force $\;O\;$ est attractif, l'énergie potentielle $\;U(M)\;$ étant toujours $\;<0\;$ et si $\;k\;$ est $\;>0\;$ le centre de force $\;O\;$ est répulsif, l'énergie potentielle $\;U(M)\;$ étant toujours $\;>0\;$${\big ]}$ :

     Un exemple l'intégrale 1^ère spatiale en $\;u(\theta )\;$ $\;{\big [}$ou équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;u(\theta ){\big ]}\;$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left[{u'}^{2}(\theta )+u^{2}(\theta )\right]+U\!\left[{\dfrac {1}{u(\theta )}}\right]=E_{m}(0)\;$» se réécrit, avec «$\;U(r)={\dfrac {k}{r}}\;$ $\Rightarrow$ $\;U\!\left[{\dfrac {1}{u(\theta )}}\right]={\dfrac {k}{\dfrac {1}{u(\theta )}}}=k\;u(\theta )\;$», selon «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left[{u'}^{2}(\theta )+u^{2}(\theta )\right]+k\;u(\theta )=E_{m}(0)\;$» laquelle, en absence de simplification par une grandeur dépendant de la 1^ère variable de Binet, reste une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;u(\theta )\;$ dont la résolution compliquée est néanmoins abordable $\;\ldots$

     Un exemple à résolution trop compliquée par utilisation de la 1^ère formule de Binet $\;\rightsquigarrow \;$ mouvement à force centrale conservative d'un point matériel $\;M\;$ dans un champ de force attractive $\;\propto \;$ à $\;r$ $\;{\vec {F}}(M)=-k\;r\;{\vec {u}}_{r}\;$ « dérivant » du champ d'énergie potentielle $\;U(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\;r^{2}\;$ avec $\;k\;$ constante réelle $\;>0$, l'énergie potentielle $\;U(M)\;$ étant toujours $\;>0$ :

     Un exemple l'intégrale 1^ère spatiale en $\;u(\theta )\;$ $\;{\big [}$ou équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;u(\theta ){\big ]}\;$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left[{u'}^{2}(\theta )+u^{2}(\theta )\right]+U\!\left[{\dfrac {1}{u(\theta )}}\right]=E_{m}(0)\;$» se réécrit, avec «$\;U(r)={\dfrac {1}{2}}\;k\;r^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;U\!\left[{\dfrac {1}{u(\theta )}}\right]={\dfrac {1}{2}}\;k\left[{\dfrac {1}{u(\theta )}}\right]^{\!2}={\dfrac {k}{2\;u^{2}(\theta )}}\;$», selon «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left[{u'}^{2}(\theta )+u^{2}(\theta )\right]+{\dfrac {k}{2\;u^{2}(\theta )}}=E_{m}(0)\;$» laquelle, en absence de simplification par une grandeur dépendant de la 1^ère variable de Binet, reste une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;u(\theta )\;$ dont la résolution est non abordable dans cet exposé $\;\ldots$