Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion

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Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes,
l'espace physique étant $\;{\big (}$sauf avis contraire${\big )}\;$ « orienté à droite ».

Rappel de la 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d’un point à force centrale conservative, conservation de son énergie mécanique

2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale conservative

     Il existe une 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ à force centrale conservative $\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du point matériel $\;M\;$ dans le champ de force conservative c'est-à-dire « conservation de $\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U\!\left[r(t)\right]\;$ relativement à la variation du temps $\;t\;$» avec $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}\!(t)\;$ l'énergie cinétique de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et $\;U(r)=\displaystyle \int ^{r}-F(r')\;dr'$ $\;{\big (}$avec choix de sa référence à préciser${\big )}\;$ l'énergie potentielle dont « dérive » la force conservative soit, mathématiquement, «$\;E_{m}(t)=E_{m}(0),\;\;\forall \;t\;$ avec $\;E_{m}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+U(r_{0})\;$ dans laquelle $\;U(r_{0})=\displaystyle \int ^{r_{0}}-F(r')\;dr'\;$» ou,
«$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}\!(t)+U\!\left[r(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+U(r_{0}),\;\;\forall \;t\;$» dans laquelle $\;U\!\left[r(t)\right]=\displaystyle \int ^{r(t)}-F(r')\;dr'\;$».

Expression de la partie orthoradiale de l’énergie cinétique d’un point ayant un mouvement à force centrale en fonction de sa distance au centre de force

     La partie orthoradiale de l'énergie cinétique du point matériel $\;M\;$ en mouvement à force centrale étant «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{2}(t)\;$» se réécrit, avec utilisation de la loi des aires «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {C}{r^{2}(t)}}\;$» $\;{\big [}C\;$ étant la constante des aires, $\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta (t)\right\rbrace \;$ les lois horaires polaires du mouvement de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ contenant la trajectoire du point $\;M{\big ]}\;$ $\Rightarrow$ «$\;V_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)=r(t)\;{\dfrac {C}{r^{2}(t)}}=$ ${\dfrac {C}{r(t)}}\;$», que l'on reporte dans l'expression de la partie orthoradiale de l'énergie cinétique du point matériel $\;M\;$ en mouvement à force centrale d’où

«$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}(t)}}\;$» dans laquelle « la dimension du temps est localisée dans $\;C^{2}\;$» car
$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c c c}{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{2}(t)&=&{\dfrac {m}{2}}&\times &C^{2}&\times &{\dfrac {1}{r^{2}(t)}}\\J\;\left({\text{ou}}\;kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}\right)&=&kg&\times &m^{4}\cdot s^{-2}&\times &m^{-2}\end{array}}\right\rbrace \;$.

Définition de l’énergie potentielle effective du point M ayant un mouvement à force centrale conservative et réécriture de la conservation de son énergie mécanique à l’aide de ses paramètres de position radiale « r = OM » et de vitesse radiale « v_r = ṙ », problème à un seul degré de liberté

Réécriture de la conservation de l’énergie mécanique en distinguant parties radiale et orthoradiale de l’énergie cinétique du point M ayant un mouvement à force centrale conservative

     Utilisant «$\;V_{M}^{2}(t)=V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)\;$» dans l'expression de l’énergie mécanique du point $\;M\;$ en mouvement à force centrale conservative de constante des aires $\;C\;$ et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle $\;U(r)$, on obtient «$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\left[V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)\right]+U\!\left[r(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{r}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{2}(t)+U\!\left[r(t)\right]\;$» ou encore, avec l’expression de la partie orthoradiale de l'énergie cinétique ne dépendant que de $\;r(t)$ $\;{\big [}$la dimension du temps $\;t\;$ n'y étant apparente que dans la constante des aires${\big ]}\;$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}(t)}}\;$» et celle de sa partie radiale ne dépendant pas directement de $\;r(t)\;$ mais de sa dérivée temporelle $\;{\dot {r}}(t)\;$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{r}^{2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)\;$», «$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}(t)}}+U\!\left[r(t)\right]\right\rbrace \;$», l'expression entre accolades dans le 2^nd membre regroupant les termes ne dépendant que de $\;r(t)$, le reste du 2^nd membre ne dépendant pas directement de $\;r(t)\;$ mais de sa dérivée temporelle $\;{\dot {r}}(t)$.

     Dans l'expression précédente de l'énergie mécanique considérée à l'instant $\;t$, la partie entre accolades «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}+U(r)\;$» ne dépendant que du paramètre de position $\;r\;$ se comporte comme une énergie potentielle $\;{\bigg [}$sans en être une car, si l'opposée de sa dérivée par rapport à $\;r\;$ à la dimension d'une force, elle est égale à $\;F(r)+{\dfrac {m\;C^{2}}{r^{3}}}\;$ dans laquelle $\;{\dfrac {m\;C^{2}}{r^{3}}}\;$ n'est pas une force${\bigg ]}$, la partie hors accolades «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)\;$» ne dépendant que de la dérivée temporelle du paramètre de position $\;{\dot {r}}\;$ se comporte comme une énergie cinétique $\;{\big [}$sans en être la totalité mais uniquement la partie radiale${\big ]}$.

     Compte-tenu de ce qui précède, la conservation de l'énergie mécanique du point $\;M\;$ en mouvement à force centrale conservative de constante des aires $\;C\;$ et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle $\;U(r)\;$ se réécrit, avec «$\;E_{m}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+U(r_{0})\;$ l'énergie mécanique initiale du point », selon

«$\;\left.{\begin{array}{c c c c c}{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)&+&\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}(t)}}+U\!\left[r(t)\right]\right\rbrace &=&E_{m}(0)\\{\begin{array}{c}{\text{expression se comportant}}\\{\text{comme une énergie cinétique}}\end{array}}&+&{\begin{array}{c}{\text{expression se comportant}}\\{\text{comme une énergie potentielle}}\end{array}}&=&{\text{cste}}\end{array}}\right.\;$».

Définition de l’énergie potentielle effective du point M ayant un mouvement à force centrale conservative

Énergie potentielle effective d'un point matériel dont le mouvement est à force centrale conservative

     L'énergie potentielle effective d'un point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ en mouvement à force centrale conservative de constante des aires $\;C\;$ et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle $\;U(r)$, notée $\;U_{\text{eff}}(M)$, est définie comme la somme de l'énergie potentielle $\;U(r)\;$ du point $\;M\;$ dans le champ de la force centrale conservative et de la partie orthoradiale de l'énergie cinétique de $\;M\;$ écrite, entre autres, en fonction de la constante des aires $\;C\;$ et de la coordonnée radiale $\;r\;$ de $\;M\;$ c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\;$ à l'instant $\;t\;$» soit mathématiquement, au même instant $\;t$, «$\;U_{\text{eff}}(r)=U(r)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\;$».

Réécriture de la conservation de l’énergie mécanique comme somme de la partie radiale de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle effective du point ayant un mouvement à force centrale conservative

     Compte-tenu de la définition de l’énergie potentielle effective «$\;U_{\text{eff}}(r)=U(r)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\;$», la conservation de l’énergie mécanique du point $\;M\,\left(m\right)\;$ en mouvement à force centrale conservative de constante des aires $\;C\;$ et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle $\;U(r)\;$ se réécrit, à l'instant $\;t$, selon

«$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+U_{\text{eff}}\!\left[r(t)\right]=E_{m}(0)\;$» avec «$\;E_{m}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+U(r_{0})\;$ l'énergie mécanique initiale du point ».

Commentaires

     La conservation de l’énergie mécanique du point $\;M\,\left(m\right)\;$ en mouvement à force centrale conservative de constante des aires $\;C\;$ et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle $\;U(r)$, écrite sous la forme «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+U_{\text{eff}}\!\left[r(t)\right]=E_{m}(0)\;$», étant une intégrale 1^ère du mouvement de $\;M\;$ à un seul degré de liberté « le paramètre de position linéaire $\;r=OM\;$», peut être utilisée,

     à défaut d'une intégration de cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;r(t)\;$ facile $\;{\big (}$ou même possible${\big )}$,

     pour faire une étude par diagramme d’énergies potentielle $\;{\big (}$effective${\big )}\;$ et mécanique comme celle qui a été exposée, entre autres, dans les paragraphes « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre », « diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A. (pendule élastique horizontal non amorti) » et « diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “ 1a ” (pendule pesant simple non amorti) » du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $\;\ldots$

Diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d’un point ayant un mouvement à force centrale conservative, 1^ers exemples, états lié et de diffusion

Rappel de la méthode d’étude du mouvement d’un point à un paramètre de position par diagramme d’énergies potentielle et mécanique

     La méthode d'étude du mouvement d'un point à un paramètre de position par diagramme d’énergies potentielle et mécanique est exposée en détail dans l'un des paragraphes suivants du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » :

• « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre » explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. ainsi que « le cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque » non explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. $\;{\big (}$mais sans aucune difficulté de compréhension${\big )}$,
• « diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A. (pendule élastique horizontal non amorti) » non explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. $\;{\big (}$mais particulièrement utile pour exposer la méthode${\big )}\;$ et
• « diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “ 1a ” (pendule pesant simple non amorti) » ainsi que « étude d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans des C.I. “ 1b ” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique (pour déterminer à quelle condition le mouvement est oscillatoire ou révolutif) ».

     Ci-après rappel des grandes lignes : Dans un même système d'axes, « paramètre de position $\;{\big (}$par exemple $\;x{\big )}\;$» en abscisse et « énergie » en ordonnée, on trace les courbes

• d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ c'est-à-dire l'ensemble des points $\;P_{u}\;$ d'abscisse « le paramètre de position $\;x\;$» et d'ordonnée « l'énergie potentielle $\;U(x)\;$» et
• d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ c'est-à-dire l'ensemble des points $\;P_{m}\;$ d'abscisse « le paramètre de position $\;x\;$» et d'ordonnée « l'énergie mécanique $\;E_{m}(x)\;$» laquelle, restant égale à l'énergie mécanique initiale $\;E_{m}(t=0)\;$ pour toute valeur du paramètre de position, fait que $\;(\Gamma _{m})\;$ est une droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;x\;$ d'ordonnée $\;E_{m}(t=0)$ ;

     Ci-après rappel des grandes lignes : de la superposition des deux courbes on en déduit les éventuels « murs d'énergie potentielle » correspondant aux « abscisses $\;x_{\text{mur}}\;$» pour lesquelles «$\;E_{m}(x_{\text{mur}})=$ $U(x_{\text{mur}})\;$» c'est-à-dire «$\;K(x_{\text{mur}})=0\;$», les « zones interdites étant les domaines d'abscisses $\;x_{\text{interdit}}\;$ répondant à $\;E_{m}(x_{\text{interdit}})<U(x_{\text{interdit}})\;$» c'est-à-dire ceux qui nécessiteraient «$\;K(x_{\text{interdit}})<0\;$» ;

     Ci-après rappel des grandes lignes : trois cas sont alors possibles :

• une énergie mécanique initiale $\;E_{m}(t=0)\;$ telle que «$\;E_{m}(t=0)\;$ est supérieure à la valeur maximale de l'énergie potentielle $\;U_{\text{max}}\;$», il n’y a alors aucun mur d’énergie potentielle, la trajectoire est non bornée $\;{\big (}$c'est l'exemple du mouvement révolutif d’un P.P.S.${\big )}$ $\;{\big [}$voir le paragraphe « condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif » du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}$,
• une énergie mécanique initiale $\;E_{m}(t=0)\;$ telle qu'il n’y a qu’un mur d’énergie potentielle, la trajectoire est $\;{\big (}$cinématiquement${\big )}\;$ non bornée avec éventuellement un point de changement de sens du mouvement sur le mur d’énergie potentielle $\;{\big (}$c'est l'exemple de la chute verticale d’un corps, le mur d’énergie potentielle correspondant à l’altitude maximale${\big )}$ $\;{\big [}$voir le paragraphe « cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque » du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}$, la présence d'un seul mur d'énergie potentielle a pour conséquence :
       $\;\succ \;$si les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ ont un déplacement tel que leur abscisse commune se rapproche de $\;x_{\text{mur}}\;$ il y a un changement de sens du mouvement lors de l'arrivée sur le mur d'énergie potentielle suivi d'une phase d'éloignement de ces points du mur tel que leur abscisse commune tende vers l'infini,
       $\;\succ \;$si les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ ont un déplacement tel que leur abscisse commune se rapproche de $\;x_{\text{mur}}\;$ il n'y a aucun changement de sens du mouvement, l'abscisse commune tendant alors vers l'infini,
       $\;\succ \;$dans les deux cas, on dit que le point $\;M\;$ est dans un état de diffusion ou
• une énergie mécanique initiale $\;E_{m}(t=0)\;$ telle qu'il y a deux murs d’énergie potentielle en regard, la trajectoire est $\;{\big (}$cinématiquement${\big )}\;$ bornée avec un changement de sens du mouvement sur chaque mur d’énergie potentielle assurant un mouvement oscillatoire du point matériel $\;{\big (}$c'est l'exemple du mouvement pendulaire du P.P.S.N.A.${\big )}$ $\;{\big [}$voir le paragraphe « condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire » du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}$, on dit que le point $\;M\;$ est dans un état lié.

     Remarque : Par la conservation de l’énergie mécanique on peut exprimer la durée élémentaire «$\;dt\;$» correspondant à la variation élémentaire du paramètre de position «$\;dz\;$ ou $\;dx\;$ ou encore $\;d\theta \;$», puis exprimer, sous forme intégrale, définie sur un intervalle de paramètre de position, la « durée nécessaire au parcours de cet intervalle » $\;{\big \{}$sur l’exemple du P.P.S.N.A. on montre ainsi que le mouvement révolutif ou pen-dulaire est périodique et on exprime la période sous forme intégrale $\;{\big [}$voir les paragraphes « détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale dans le cas du P.P.S. lancé dans les C.I. “ 1a ” » ainsi que « dans le cas révolutif » du chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}$.

Exemples de diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d’un point ayant un mouvement à force centrale conservative

     $\;\succ \;$Tout d'abord il s'agit de tracer, dans un même système d'axes, avec pour abscisse « la coordonnée radiale $\;r=OM\;$ du point matériel $\;M\;$ dont le mouvement est à force centrale conservative » $\;{\big (}$servant de paramètre de position${\big )}\;$ et pour ordonnée « l'énergie $\;{\big (}$potentielle effective ou mécanique${\big )}\;$», les courbes

• d'énergie potentielle effective $\;(\Gamma _{u_{\text{eff}}})\;$ c'est-à-dire l'ensemble des points $\;P_{u_{\text{eff}}}\;$ ayant pour abscisse « la coordonnée radiale $\;r\;$ de $\;M\;$» et pour ordonnée « l'énergie potentielle effective $\;U_{\text{eff}}(r)=$ $U(r)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\;$» $\;{\big [}U(r)\;$ étant l'énergie potentielle dont « dérive » la force centrale conservative et $\;C\;$ la constante des aires du mouvement du point matériel $\;M\left(m\right){\big ]}$ $\;{\bigg \{}$sachant que le 2^ème terme de l'énergie potentielle effective «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\;$» est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;r\;$ variant de $\;+\infty \;$ à $\;0\;$ quand $\;r\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;+\infty$, la forme de $\;(\Gamma _{u_{\text{eff}}})\;$ dépend de la variation du 1^er terme de l'énergie potentielle effective «$\;U(r)\;$» sur le même intervalle de variation de $\;r\;$ à savoir «$\;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$» c'est-à-dire encore du caractère « répulsif ou attractif » du centre de force $\;O$
       $\;\succ \;$« si $\;O\;$ est un centre répulsif » $\;F(r)\;$ est $\;>0\;\;\forall \;r\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dU}{dr}}(r)=-F(r)\;$ est $\;<0\;\;\forall \;r\;$ $\Rightarrow$ «$\;U(r)\searrow \;$ quand $\;r\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;+\infty \;$ avec $\;U(+\infty )=0\;$ si la référence de $\;U(r)\;$ est choisie à l'infini », la conséquence étant que «$\;U_{\text{eff}}(r)\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;r\;$ variant de $\;+\infty \;$ à $\;0\;$ quand $\;r\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;+\infty \;$» alors que
       $\;\succ \;$« si $\;O\;$ est un centre attractif » $\;F(r)\;$ est $\;<0\;\;\forall \;r\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dU}{dr}}(r)=-F(r)\;$ est $\;>0\;\;\forall \;r\;$ $\Rightarrow$ «$\;U(r)\nearrow \;$ quand $\;r\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;+\infty \;$ avec $\;U(+\infty )=0\;$ si la référence de $\;U(r)\;$ est choisie à l'infini » $\;{\big [}U(r)\;$ est donc $\;<0\;\;\forall \;r{\big ]}$, une conséquence possible $\;{\big (}$mais ce n'est pas la seule${\big )}\;$ étant que «$\;U_{\text{eff}}(r)\;$ est une fonction d'abord $\;\searrow \;$ de $\;r\;$ quand $\;r\nearrow \;$ à partir de $\;0\;$ avec $\;U_{\text{eff}}(r=0)=+\infty$ $\;{\bigg [}$ceci supposant que $\;U(r)<0\;$ est telle que $\;\vert U(r)\vert \searrow \;$ moins rapidement que $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\;$ au voisinage de $\;r=0{\bigg ]}\;$ puis une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;r\;$ à partir d'une valeur $\;r_{\text{stat}}\;$ pour laquelle $\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r_{\text{stat}})=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {dU}{dr}}(r_{\text{stat}})-{\dfrac {m\;C^{2}}{r_{\text{stat}}^{\,3}}}=0\;$ soit, avec $\;F(r_{\text{stat}})=-{\dfrac {dU}{dr}}(r_{\text{stat}})$, «$\;F(r_{\text{stat}})=-{\dfrac {m\;C^{2}}{r_{\text{stat}}^{\,3}}}\;$» $\;{\bigg [}$cette phase de croissance nécessitant l'existence d'une solution à l'équation $\;{\big (}$usuellement algébrique${\big )}\;$ «$\;F(r)=$ $-{\dfrac {m\;C^{2}}{r^{3}}}\;$», ce qui est réalisé dans la mesure où $\;C\;$ n'est pas trop grand $\;{\big (}$sinon l'absence de solution entraîne que l'énergie potentielle effective est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;r\;$ sur tout l'intervalle $\;\left]0\,,\,+\infty \right[{\big )}{\bigg ]}$, la limite de $\;U_{\text{eff}}(r)\;$ quand $\;r\;\rightarrow \;+\infty \;$ étant $\;0^{-}{\bigg \}}\;$ et
• d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ c'est-à-dire l'ensemble des points $\;P_{m}\;$ d'abscisse « la coordonnée radiale $\;r\;$ de $\;M\;$» et d'ordonnée « l'énergie mécanique $\;E_{m}(r)=E_{m,\,0}\;$» d'où $\;E_{m}(r)\;$ restant égale à l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}\;$ pour toute valeur de la coordonnée radiale, fait que $\;(\Gamma _{m})\;$ est une droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;r\;$ d'ordonnée $\;E_{m,\,0}$.

Exemples de diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique d'un mouvement à force centrale conservative, celui de gauche entraînant un état de diffusion et celui de droite un état lié ou de diffusion suivant la valeur de l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}$

     $\;\succ \;$Une fois ces tracés effectués $\;{\big [}$voir ci-contre, la référence de $\;U(r)\;$ y étant choisie à l'infini $\;{\big (}$ce qui n'est pas toujours possible${\big )}{\big ]}\;$ ,
          $\;\blacktriangleright \;$celui de gauche correspondant à un centre de force répulsif $\;{\big (}$ou attractif avec une constante des aires suffisamment grande${\big )}\;$ et
          $\;\blacktriangleright \;$celui de droite correspondant à un centre de force attractif $\;{\bigg [}$avec une constante des aires non trop grande et $\;\vert U(r)\vert \searrow \;$ moins rapidement que $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\;$ au voisinage de $\;r=0{\bigg ]}$.

     $\;\succ \;$La justification de l'applicabilité de l'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du mouvement du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à force centrale conservative provient de la forme de la conservation de l'énergie mécanique de $\;M\;$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+U_{\text{eff}}\!\left[r(t)\right]=$ $E_{m,\,0}\;$» montrant que le mouvement radial de $\;M\;$ dépend de la variation temporelle du « paramètre de position $\;r\;$» ainsi que de celle de « la dérivée temporelle de ce dernier $\;{\dot {r}}\;$», ces variations pouvant s'obtenir de façon qualitative par diagramme d'énergies de point à un seul paramètre de position $\;r$, $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}\;$ jouant le rôle de l'énergie cinétique et $\;U_{\text{eff}}(r)\;$ celui de l'énergie potentielle $\;\ldots$

     Commentaires sur le diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du mouvement du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à force centrale conservative représenté ci-dessus à gauche :

     Commentaires supposons que les C.I. de lancement du point $\;M$ $\;{\big (}$non indiquées sur le diagramme ci-dessus à gauche${\big )}\;$ correspondent à une coordonnée radiale $\;r_{0}$ $\;{\big (}>\;$ à la quantité $\;r_{\text{min}}\;$ représentée sur le diagramme ci-dessus à gauche${\big )}\;$ et une vitesse radiale $\;{\dot {r}}_{0}<0$, nous en déduisons une $\;\searrow \;$ de $\;r\;$ entraînant un déplacement simultané des points génériques $\;P_{u_{\text{eff}}}\;$ et $\;P_{m}\;$ des courbes $\;\left(\Gamma _{u_{\text{eff}}}\right)\;$ et $\;\left(\Gamma _{m}\right)\;$ ainsi qu'une $\;\searrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u_{\text{eff}}}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}\;$ $\Rightarrow$ une $\;\searrow \;$ continue de $\;\vert {\dot {r}}\vert \;$ jusqu'à ce que $\;P_{u_{\text{eff}}}\;$ et $\;P_{m}\;$ rencontrent « l'unique mur d'énergie potentielle effective d'abscisse $\;r_{\text{min}}\;$» ;

     Commentaires à ce stade la présence du mur d'énergie potentielle effective interdisant la $\;\searrow \;$ de $\;r\;$ nous en déduisons que «$\;r\;$ reste constant ou $\;\nearrow \;$» ;

     Commentaires montrons que $\;r=r_{\text{min}}\;\;\forall \;t\;$ n'est pas acceptable compte-tenu de «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r_{\text{min}})\neq 0\;$» $\;{\bigg \{}$en effet $\;U_{\text{eff}}(r)=U(r)+{\dfrac {m\;C^{2}}{2\;r^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)={\dfrac {dU}{dr}}(r)-{\dfrac {m\;C^{2}}{r^{3}}}\;$» se réécrivant, avec la composante de la force centrale conservative $\;F(r)=-{\dfrac {dU}{dr}}(r)\;$ et l'utilisation de la loi des aires $\;r^{2}\;{\dot {\theta }}=C$, «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)=-F(r)-{\dfrac {m\;r^{4}\;{\dot {\theta }}^{2}}{r^{3}}}=-\left[F(r)+m\;r\;{\dot {\theta }}^{2}\right]\;$» ou encore, en utilisant l'expression de l'accélération radiale du repérage polaire $\;a_{r}={\ddot {r}}-r\;{\dot {\theta }}^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;r\;{\dot {\theta }}^{2}={\ddot {r}}-a_{r}$, «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)=-\left[F(r)+m\;{\ddot {r}}-m\;a_{r}\right]\;$» soit finalement, compte-tenu de la projection sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ de la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ «$\;F(r)=m\;a_{r}\;$», «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)=-m\;{\ddot {r}}\;$» et par suite «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r_{\text{min}})\neq 0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\ddot {r}}(r_{\text{min}})\neq 0\;$» ce qui interdit que $\;r\;$ reste constant à la valeur de $\;r_{\text{min}}{\bigg \}}$ ;

     Commentaires en conséquence la seule possibilité pour les points $\;P_{u_{\text{eff}}}\;$ et $\;P_{m}\;$ lorsqu'ils arrivent sur « l'unique mur d'énergie potentielle effective d'abscisse $\;r_{\text{min}}\;$» est de repartir vers la droite sur leur courbe respective, ce qui entraîne la $\;\nearrow \;$ continue de $\;r\;$ jusqu'à l'infini en absence d'un 2^nd mur d'énergie potentielle effective en regard du 1^er ;

     Commentaires la présence d'un seul mur d'énergie potentielle effective correspond à un état de diffusion du mouvement radial du point $\;M$.

     Commentaires sur le diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du mouvement du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à force centrale conservative représenté ci-dessus à droite :

     Commentaires $\;\succ \;$dans le cas où l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;>0\;$ il n'y a qu'un seul mur d'énergie potentielle effective d'abscisse $\;r_{\text{min}}\;$ permettant de refaire exactement le même raisonnement que celui qui a été exposé lors de l'étude du diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du mouvement du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à force centrale conservative représenté ci-dessus à gauche, on observe donc un état de diffusion du mouvement radial du point $\;M$ ;

     Commentaires $\;\succ \;$dans le cas où l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;<0\;$ il y a deux murs d'énergie potentielle effective d'abscisse respective $\;r_{\text{min}}\;$ et $\;r_{\text{max}}$, le raisonnement de description du mouvement radial du point $\;M\;$ est le suivant :

          Commentaires $\;\blacktriangleright \;$supposons que les C.I. de lancement du point $\;M$ $\;{\big (}$non indiquées sur le diagramme ci-dessus à droite${\big )}\;$ correspondent à une coordonnée radiale $\;r_{0}$ $\;{\big (}>\;$ à la quantité $\;r_{\text{min}}\;$ et $\;<\;$ à la quantité $\;r_{\text{max}}\;$ toutes deux représentées sur le diagramme ci-dessus à droite${\big )}\;$ et une vitesse radiale $\;{\dot {r}}_{0}>0$, C.I. telles que «$\;E_{m,\,0}\;$ soit $\;>\;$ à $\;U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}\;$ la valeur minimale de l'énergie potentielle effective », nous en déduisons une $\;\nearrow \;$ de $\;r\;$ entraînant un déplacement simultané des points génériques $\;P_{u_{\text{eff}}}\;$ et $\;P_{m}\;$ des courbes $\;\left(\Gamma _{u_{\text{eff}}}\right)\;$ et $\;\left(\Gamma _{m}\right)\;$ ainsi qu'une variation continue de $\;{\overline {P_{u_{\text{eff}}}P_{m}}}\;{\widehat {=}}$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}\;$ $\;{\big [}$éventuellement d'abord une $\;\nearrow \;$ si $\;r_{0}\;$ est $\;<\;$ à la valeur $\;r_{\text{stat}}\;$ de $\;r\;$ rendant $\;U_{\text{eff}}\;$ minimale, suivie d'une $\;\searrow \;$ jusqu'à $\;0\;$ à l'arrivée sur le mur${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ une même variation continue de $\;\vert {\dot {r}}\vert \;$ se terminant par une $\;\searrow \;$ jusqu'à ce que $\;P_{u_{\text{eff}}}\;$ et $\;P_{m}\;$ rencontrent « le mur d'énergie potentielle effective d'abscisse $\;r_{\text{max}}\;$» ;

                Commentaires à ce stade la présence du mur d'énergie potentielle effective de droite interdisant la $\;\nearrow \;$ de $\;r\;$ nous en déduisons que «$\;r\;$ reste constant ou $\;\searrow \;$» ;

                Commentaires montrons que $\;r=r_{\text{max}}\;\;\forall \;t\;$ n'est pas acceptable compte-tenu de «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r_{\text{max}})\neq 0\;$» $\;{\bigg \{}$en effet $\;U_{\text{eff}}(r)=U(r)+{\dfrac {m\;C^{2}}{2\;r^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)={\dfrac {dU}{dr}}(r)-{\dfrac {m\;C^{2}}{r^{3}}}\;$» se réécrivant, avec la composante de la force centrale conservative $\;F(r)=-{\dfrac {dU}{dr}}(r)\;$ et l'utilisation de la loi des aires $\;r^{2}\;{\dot {\theta }}=C$, «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)=-F(r)-{\dfrac {m\;r^{4}\;{\dot {\theta }}^{2}}{r^{3}}}=-\left[F(r)+m\;r\;{\dot {\theta }}^{2}\right]\;$» ou encore, en utilisant l'expression de l'accélération radiale du repérage polaire $\;a_{r}={\ddot {r}}-r\;{\dot {\theta }}^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;r\;{\dot {\theta }}^{2}={\ddot {r}}-a_{r}$, «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)=-\left[F(r)+m\;{\ddot {r}}-m\;a_{r}\right]\;$» soit finalement, compte-tenu de la projection sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ de la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ «$\;F(r)=m\;a_{r}\;$», «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)=-m\;{\ddot {r}}\;$» et par suite «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r_{\text{max}})\neq 0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\ddot {r}}(r_{\text{max}})\neq 0\;$» ce qui interdit que $\;r\;$ reste constant à la valeur de $\;r_{\text{max}}{\bigg \}}$ ;

                Commentaires en conséquence la seule possibilité pour les points $\;P_{u_{\text{eff}}}\;$ et $\;P_{m}\;$ lorsqu'ils arrivent sur « le mur d'énergie potentielle effective d'abscisse $\;r_{\text{max}}\;$» est de repartir vers la gauche sur leur courbe respective, ce qui entraîne la $\;\searrow \;$ continue de $\;r\;$ jusqu'à ce que $\;P_{u_{\text{eff}}}\;$ et $\;P_{m}\;$ rencontrent « le 2^ème mur d'énergie potentielle effective d'abscisse $\;r_{\text{min}}\;$» ;

                Commentaires à ce stade la présence du mur d'énergie potentielle effective de gauche interdisant la $\;\searrow \;$ de $\;r\;$ nous en déduisons que «$\;r\;$ reste constant ou $\;\nearrow \;$» ;

                Commentaires nous montrons alors que $\;r=r_{\text{min}}\;\;\forall \;t\;$ n'est pas acceptable compte-tenu de «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r_{\text{min}})\neq 0\;$» $\;{\bigg \{}$la justification étant la même que celle exposée lors de l'étude de l'arrivée des points $\;P_{u_{\text{eff}}}\;$ et $\;P_{m}\;$ sur le mur d'énergie potentielle effective dans le diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du mouvement du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à force centrale conservative représenté ci-dessus à droite $\;\ldots \;$ «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)=-m\;{\ddot {r}}\;$» et par suite «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r_{\text{min}})\neq 0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\ddot {r}}(r_{\text{min}})\neq 0\;$» ce qui interdit que $\;r\;$ reste constant à la valeur de $\;r_{\text{min}}{\bigg \}}$ ;

                Commentaires en conséquence la seule possibilité pour les points $\;P_{u_{\text{eff}}}\;$ et $\;P_{m}\;$ lorsqu'ils arrivent sur « le 2^ème mur d'énergie potentielle effective d'abscisse $\;r_{\text{min}}\;$» est de repartir vers la droite sur leur courbe respective, ce qui entraîne la $\;\nearrow \;$ continue de $\;r\;$ jusqu'à ce que $\;P_{u_{\text{eff}}}\;$ et $\;P_{m}\;$ rencontrent « le 1^er mur d'énergie potentielle effective d'abscisse $\;r_{\text{max}}\;$» ;

                Commentaires $\;\ldots$

                Commentaires la présence de deux murs d'énergie potentielle effective en regard correspond à un état lié du mouvement radial du point $\;M$ ;

          Commentaires $\;\blacktriangleright \;$supposons que les C.I. de lancement du point $\;M$ $\;{\big (}$non indiquées sur le diagramme ci-dessus à droite${\big )}\;$ correspondent à une coordonnée radiale particulière $\;r_{0}=r_{\text{stat}}$ $\;{\big (}$abscisse pour laquelle l'énergie potentielle effective $\;U_{\text{eff}}\;$ est minimale, non représentée sur le diagramme ci-dessus à droite${\big )}\;$ et une vitesse radiale $\;{\dot {r}}_{0}=0$, C.I. telles que «$\;E_{m,\,0}\;$ est $\;=\;$ à $\;U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}\;$ la valeur minimale de l'énergie potentielle effective », nous en déduisons la confusion des deux murs d'énergie potentielle effective en regard précédemment introduits dans le cas où $\;E_{m,\,0}\in \left]U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}\,,\,0\right[\;$ en un « guide d'énergie potentielle effective » d'abscisse $\;r_{\text{stat}}$ ; les points génériques $\;P_{u_{\text{eff}}}\;$ et $\;P_{m}\;$ des courbes $\;\left(\Gamma _{u_{\text{eff}}}\right)\;$ et $\;\left(\Gamma _{m}\right)\;$ restent donc bloqués sur ce « guide » ce qui a pour conséquence que $\;r\;$ reste constant à la valeur de $\;r_{\text{stat}}$ $\;{\bigg \{}$la constance de $\;r\;$ à la valeur $\;r_{\text{stat}}\;$ est en accord avec «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r_{\text{stat}})=0\;$» sachant que «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)=-m\;{\ddot {r}}\;$» étant toujours applicable nous conduit à $\;{\ddot {r}}(r_{\text{stat}})=0\;$ simultanément à $\;{\dot {r}}(r_{\text{stat}})=0\;$ donc finalement $\;r=r_{\text{stat}}\;\;\forall \;t{\bigg \}}$ ;

                Commentaires la présence d'un guide d'énergie potentielle effective d'abscisse en laquelle l'énergie potentielle effective est minimale correspond à un état lié associé à un mouvement circulaire du point $\;M$ $\;{\big (}$de centre « le centre d'action de la force » et de rayon « l'abscisse du guide d'énergie potentielle effective »${\big )}$.

États lié et de diffusion du point M dans le champ de force centrale conservative

     Nous avons observé, dans les exemples précédemment traités de diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique de mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ à force centrale conservative, deux types d’états possibles pour le mouvement radial de $\;M\;$ suivant que

• «$\;r\;$ peut prendre toutes valeurs $\;\geqslant \;r_{\text{min}}\;$» valeur du paramètre de position radiale du seul mur d’énergie potentielle effective de la courbe de même nom, «$\;r_{\text{min}}\;$ définissant la distance minimale d’approche », l'état suivi par le mouvement radial du point $\;M\;$ étant qualifié d’« état de diffusion » ou
• «$\;r\;$ ne peut sortir d’un intervalle $\;\left[r_{\text{min}}\,,\,r_{\text{max}}\right]\;$» valeurs du paramètre de position radiale des deux murs d’énergie potentielle effective de la courbe de même nom, avec «$\;r_{\text{min}}\;$ définissant la distance minimale d’approche » et «$\;r_{\text{max}}\;$ la distance maximale d’éloignement », l'état suivi par le mouvement radial du point $\;M\;$ étant qualifié d’« état lié ».

Détermination des distances extrémales d’approche et d’éloignement sous réserve d'existence

     Les distances extrémales d’approche et d’éloignement du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ décrivant un mouvement à force centrale conservative de constante des aires $\;C\;$ «$\;r_{\text{min}}\;$ et $\;r_{\text{max}}\;$» peuvent se déterminer $\;{\big (}$quand celles-ci existent${\big )}\;$

• graphiquement comme valeurs du paramètre de position radiale des murs d’énergie potentielle effective du courbe de même nom ou
• algébriquement par équation utilisant $\;{\dot {r}}=0\;$ dans la conservation de l’énergie mécanique $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}+U_{\text{eff}}(r)=E_{m,\,0}\;$ soit l'équation «$\;U_{\text{eff}}(r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}})=E_{m,\,0}\;$», cette équation $\;{\big (}$usuellement${\big )}\;$ algébrique admet « une seule solution réelle $\;>0\;$ dans un état de diffusion » et « deux solutions réelles $\;>0\;$ dans un état lié ».

     Exemple de détermination algébrique des distances extrémales d'approche et d'éloignement dans le cas d'une force newtonienne $\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k\;$ constante réelle non nulle « dérivant » de l'énergie potentielle «$\;U(M)={\dfrac {k}{r}}\;$», le choix de sa référence étant en $\;+\infty \;$ : l'énergie potentielle effective s'écrivant «$\;U_{\text{eff}}(r)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m\;C^{2}}{r^{2}}}+U(r)={\dfrac {m\;C^{2}}{2\;r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$», les distances extrémales d’approche et d’éloignement du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ sont solutions de l'équation algébrique «$\;U_{\text{eff}}(r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}})=E_{m,\,0}\;$» ou «$\;{\dfrac {m\;C^{2}}{2\;r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}}^{\,2}}}+{\dfrac {k}{r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}}}}=E_{m,\,0}\;$» laquelle est équivalente à «$\;m\;C^{2}+2\;k\;r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}}$ $=2\;E_{m,\,0}\;r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}}^{\,2}\;$» c'est-à-dire
     Exemple pour $\;E_{m,\,0}\neq 0\;$ l'équation algébrique du 2^ème degré en $\;r\;$ normalisée «$\;r^{2}-{\dfrac {k}{E_{m,\,0}}}\;r-{\dfrac {m\;C^{2}}{2\;E_{m,\,0}}}=0\;$» de discriminant $\;\Delta ={\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {2\;m\;C^{2}}{E_{m,\,0}}}={\dfrac {k^{2}+2\;E_{m,\,0}\;m\;C^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\;$ toujours $\;>0$ soit deux racines réelles dont le signe dépend de celui de $\;E_{m,\,0}\;$ plus précisément
          Exemple $\;\succ \;$si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;>0\;$ le produit des racines $\;-{\dfrac {m\;C^{2}}{2\;E_{m,\,0}}}\;$ étant $\;<0\;$ il n'y a qu'une seule racine $\;>0\;$ correspondant à la distance minimale d'approche $\;r_{\text{min}}\;$ alors que
          Exemple $\;\succ \;$si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;<0\;$ le produit des racines $\;-{\dfrac {m\;C^{2}}{2\;E_{m,\,0}}}\;$ étant $\;>0\;$ et la somme $\;{\dfrac {k}{E_{m,\,0}}}\;$ étant en pratique toujours $\;>0$ $\;{\bigg \{}$en effet pour avoir $\;E_{m,\,0}<0\;$ il est nécessaire que $\;U_{\text{eff}}(r)=$ ${\dfrac {m\;C^{2}}{2\;r^{2}}}+{\dfrac {k}{r}}\;$ puisse prendre des valeurs $\;<0\;$ ce qui impose $\;k<0\;$ c'est-à-dire un centre de force attractif${\bigg \}}$, il y a donc deux racines $\;>0\;$ distinctes correspondant, pour la plus petite, à la distance minimale d'approche $\;r_{\text{min}}\;$ et, pour la plus grande, à la distance maximale d'éloignement $\;r_{\text{max}}\;$ ;
     Exemple pour $\;E_{m,\,0}=0\;$ l'équation algébrique du 1^er degré en $\;r\;$ normalisée «$\;r+{\dfrac {m\,C^{2}}{2\;k}}=0\;$» admet toujours une racine réelle mais, pour que celle-ci soit $\;>0$, $\;k\;$ doit être $\;<0\;$ correspondant à un centre de force attractif $\;{\big [}E_{m,\,0}\;$ ne pouvant être nulle avec un centre de force répulsif${\big ]}$, cette racine $\;>0\;$ correspondant à la distance minimale d'approche $\;r_{\text{min}}\;$.

En complément : « possibilité de détermination de la loi horaire r = r(t) et de l’équation polaire de la trajectoire r = r(θ) »

     On peut aussi se servir de la conservation de l'énergie mécanique du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ décrivant un mouvement à force centrale conservative de constante des aires $\;C\;$ pour déterminer

• la loi horaire radiale du mouvement du point $\;M\;$ à savoir «$\;r=r(t)\;$ » ou
• l'équation polaire de la trajectoire de ce dernier à savoir «$\;r=r(\theta )\;$ »

     mais dans les deux cas c'est le plus souvent compliqué $\;{\big (}$voire très compliqué${\big )}\;$ et même parfois, non intégrable autrement que numériquement $\;\ldots$

« Possibilité de détermination de la loi horaire radiale r = r(t) de M dont le mouvement est à force centrale conservative »

     De l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ décrivant un mouvement à force centrale conservative « dérivant » de l'énergie potentielle $\;U(r)\;$ et de constante des aires $\;C\;$ à savoir «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+U_{\text{eff}}\!\left[r(t)\right]=E_{m,\,0}\;$» avec $\;U_{\text{eff}}(r)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m\;C^{2}}{r^{2}}}+U(r)\;$ et $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+U(r_{0})$, on tire «$\;\vert {\dot {r}}(t)\vert ={\Bigg \vert }{\dfrac {dr}{dt}}(t){\Bigg \vert }={\sqrt {\dfrac {2\left\lbrace E_{m,\,0}-U_{\text{eff}}\!\left[r(t)\right]\right\rbrace }{m}}}\;$» ou, en séparant les variables, «$\;dt=$ $\pm {\dfrac {dr}{\sqrt {\dfrac {2\left[E_{m,\,0}-U_{\text{eff}}(r)\right]}{m}}}}\;$» avec choix du « signe $\;+\;$ si le mouvement à l'instant $\;t\;$ correspond à une phase d'éloignement du centre de force $\;O\;$» et du « signe $\;-\;$ si le mouvement à l'instant $\;t\;$ est une phase d'approche de $\;O\;$» ;

     après une éventuelle intégration analytique ou numérique de «$\;t=\displaystyle \int _{r_{0}}^{r}\pm {\dfrac {dr'}{\sqrt {\dfrac {2\left[E_{m,\,0}-U_{\text{eff}}(r')\right]}{m}}}}\;$» on peut obtenir la loi horaire radiale du mouvement de $\;M\;$ sous la forme «$\;t=t(r)\;$» puis, si la fonction $\;t(r)\;$ est inversable, sous la forme «$\;r=r(t)\;$» $\;\ldots$

     Dans la mesure où la loi horaire radiale du mouvement du point $\;M\;$ a pu être trouvée et mise sous la forme «$\;r=r(t)\;$», on peut déterminer la loi horaire de vitesse angulaire du mouvement du point $\;M\;$ par utilisation de la loi des aires «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\dfrac {C}{r^{2}(t)}}\;$» puis, après séparation des variables «$\;d\theta ={\dfrac {C\;dt}{r^{2}(t)}}\;$», poursuivre en intégrant analytiquement ou numériquement selon «$\;\theta =$ $\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {C\;dt'}{r^{2}(t')}}\;$» pour obtenir la loi horaire angulaire du mouvement du point $\;M\;$ «$\;\theta =\theta (t)\;$».

« Possibilité de détermination de l'équation polaire r = r(θ) de la trajectoire de M dont le mouvement est à force centrale conservative »

     De l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement du point matériel $\;M\left(m\right)\;$ décrivant un mouvement à force centrale conservative « dérivant » de l'énergie potentielle $\;U(r)\;$ et de constante des aires $\;C\;$ à savoir «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+U_{\text{eff}}\!\left[r(t)\right]=E_{m,\,0}\;$» avec $\;U_{\text{eff}}(r)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m\;C^{2}}{r^{2}}}+U(r)\;$ et $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+U(r_{0})$, on a tiré dans le paragraphe précédent «$\;{\dot {r}}(t)={\dfrac {dr}{dt}}(t)=\pm {\sqrt {\dfrac {2\left\lbrace E_{m,\,0}-U_{\text{eff}}\!\left[r(t)\right]\right\rbrace }{m}}}\;$» avec choix du « signe $\;+\;$ si le mouvement à l'instant $\;t\;$ correspond à une phase d'éloignement du centre de force $\;O\;$» et du « signe $\;-\;$ si le mouvement à l'instant $\;t\;$ est une phase d'approche de $\;O\;$» ;

     de «$\;{\dfrac {dr}{dt}}(t)={\dfrac {dr}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\times {\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$» on en déduit, par utilisation de la loi des aires «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\dfrac {C}{r^{2}(t)}}\;$», «$\;{\dfrac {dr}{dt}}(t)={\dfrac {dr}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\times {\dfrac {C}{r^{2}(t)}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {dr}{d\theta }}(\theta )={\dfrac {r^{2}(t)}{C}}\;{\dfrac {dr}{dt}}(t)\;$» ou, en reportant l'expression de $\;{\dfrac {dr}{dt}}(t)\;$ en fonction de $\;r(t)\;$ précédemment trouvée, «$\;{\dfrac {dr}{d\theta }}(\theta )=\pm {\dfrac {r^{2}}{C}}\;{\sqrt {\dfrac {2\left[E_{m,\,0}-U_{\text{eff}}(r)\right]}{m}}}\;$» ou, en séparant les variables, «$\;d\theta =\pm C\;{\dfrac {dr}{r^{2}\;{\sqrt {\dfrac {2\left[E_{m,\,0}-U_{\text{eff}}(r)\right]}{m}}}}}\;$» avec, dans le cas où $\;C\;$ est $\;>0$, choix du « signe $\;+\;$ si l'abscisse angulaire $\;\theta \nearrow \;$ lors d'une phase d'éloignement du centre de force $\;O\;$» et du « signe $\;-\;$ si $\;\theta \searrow \;$ lors d'une phase d'approche de $\;O\;$» alors que, dans le cas où $\;C\;$ est $\;<0$, les choix sont inversés c'est-à-dire choix du « signe $\;+\;$ si l'abscisse angulaire $\;\theta \searrow \;$ lors d'une phase d'éloignement du centre de force $\;O\;$» et du « signe $\;-\;$ si $\;\theta \nearrow \;$ lors d'une phase d'approche de $\;O\;$» ;

     après une éventuelle intégration analytique ou numérique de «$\;\theta =\displaystyle \int _{r_{0}}^{r}\pm C\;{\dfrac {dr'}{{r'}^{2}\;{\sqrt {\dfrac {2\left[E_{m,\,0}-U_{\text{eff}}(r')\right]}{m}}}}}\;$» on peut obtenir l'équation polaire de la trajectoire de $\;M\;$ sous la forme «$\;\theta =\theta (r)\;$» puis, si la fonction $\;\theta (r)\;$ est inversable, sous la forme «$\;r=r(\theta )\;$» $\;\ldots$

En complément : oscillateur harmonique spatial (non amorti), détermination de son mouvement par r.f.d.n., de ses demi-grand axe et demi-petit axe par étude énergétique utilisant l’énergie potentielle effective

     L'étude de l'oscillateur harmonique spatial n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., ce dernier n’exigeant que la connaissance de l’oscillateur harmonique à une dimension, toutefois, quand on projette un oscillateur harmonique spatial sur un axe on obtient un oscillateur harmonique à une dimension, d'où l'intérêt de présenter cette étude $\;\ldots$

Définition d’un oscillateur harmonique spatial (non amorti)

Oscillateur harmonique spatial (non amorti)

     Un oscillateur harmonique spatial $\;{\big (}$non amorti${\big )}\;$ est un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ ayant $\;{\big (}$sauf cas particuliers${\big )}\;$ plus de $\;1\;$ degré de liberté soumis uniquement à une force de rappel linéaire vers un centre attractif $\;O\;$ fixe dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ du type «$\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}=-k\;r\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k\;$ constante réelle $\;>0\;$»,
«$\;r=OM\;$ étant la coordonnée radiale de $\;M\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à $\;M\;$».

     Remarque : Il peut, bien sûr, y avoir d’autres forces mais celles-ci doivent avoir une influence négligeable devant celle de la force $\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}$ $\;{\Big [}$par exemple, si le référentiel d’étude est la Terre, il y a nécessairement le poids du point matériel mais l'influence de celui-ci peut être négligée si sa norme est faible devant celle de $\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}{\Big ]}\;$ ou se compenser entre elles $\;{\big (}$par exemple, le référentiel d’étude étant toujours la Terre, le poids du point matériel reposant, sans frottement solide, sur un plan horizontal, est compensé par la réaction de ce plan${\big )}$.

1^ères propriétés du mouvement de M

     La définition d'un oscillateur harmonique spatial $\;{\big (}$non amorti${\big )}\;$ communique à ce dernier un « mouvement à force centrale conservative », on en déduit donc les propriétés suivantes $\;{\big [}$les 1^ères étant caractéristiques d'un mouvement à force centrale $\;{\big (}$conservative ou non${\big )}$, les 2^ndes nécessitant que le mouvement soit à force centrale conservative${\big ]}$, ceci dans la mesure où le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est galiléen :

• « conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport à $\;O\;$» $\Rightarrow$ nature plane $\;{\big (}$ou rectiligne${\big )}\;$ du mouvement,
         « conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport à O » applicabilité de la loi des aires et
         « conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport à O » possibilité d’utiliser la formule de Binet relative à l’accélération radiale,
• « conservation de son énergie mécanique $\;{\big (}$simultanément à l’utilisation de la loi des aires${\big )}\;$» $\Rightarrow$ possibilité d’utiliser la formule de Binet relative au carré de la vitesse ou
          « conservation de son énergie mécanique (simultanément à l’utilisation de la loi des aires) » possibilité d'utiliser le diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique du mouvement radial de $\;M\;$ pour établir qu'il est dans un « état lié » d'une part et déterminer les distances extrémales d’approche et d’éloignement du point $\;M$ $\;{\big (}$de façon graphique ou algébrique${\big )}\;$ d'autre part.

Nature de la trajectoire

     Bien que le mouvement d'un oscillateur harmonique spatial $\;{\big (}$non amorti${\big )}\;$ soit à force centrale, il est inutile $\;{\big (}$et même nettement plus compliqué${\big )}\;$ d’utiliser cette propriété car l’application directe de la r.f.d.n. nous conduit à une équation différentielle linéaire homogène à cœfficients constants du 2^ème ordre en «$\;{\vec {r}}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\;$» sans terme du 1^er ordre particulièrement simple à intégrer.

Détermination de l’équation différentielle en vecteur position de M par application de la r.f.d.n.

     La r.f.d.n. appliquée à l'oscillateur harmonique spatial $\;{\big (}$non amorti${\big )}$ $\;M\left(m\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen donne «$\;{\vec {F}}(M)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ ou $\;-k\;{\vec {r}}(t)=m\;{\dfrac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}(t)\;$» soit, après normalisation,

«$\;{\dfrac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {k}{m}}\;{\vec {r}}(t)={\vec {0}}\;$»
une équation différentielle linéaire $\;{\big (}$homogène${\big )}\;$ à cœfficients constants du 2^ème ordre en «$\;{\vec {r}}(t)\;$» sans terme du 1^er ordre
caractéristique d'un oscillateur harmonique spatial non amorti ;

     on définit alors la pulsation propre de cet oscillateur harmonique spatial non amorti «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$» et la forme canonique de l’équation différentielle vectorielle du mouvement de ce dernier s'écrit selon

«$\;{\ddot {\vec {r}}}(t)+\omega _{0}^{2}\;{\vec {r}}(t)={\vec {0}}\;$».

Loi horaire vectorielle du vecteur position de M

     Le vecteur position de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\vec {r}}(t)\;$» est donc la solution libre de l’équation précédente c'est-à-dire du type «$\;{\vec {r}}(t)={\vec {A}}\;\cos(\omega _{0}\;t)+{\vec {B}}\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$» avec $\;{\vec {A}}\;$ et $\;{\vec {B}}\;$ vecteurs constants d’intégration déterminés par C.I.

Schéma décrivant la trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial non amorti $\;M$, de pulsation propre $\;\omega _{0}$, lancé dans des C.I. telles que les vecteurs position et vitesse initiales $\;{\vec {r}}_{0}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}\;$ ne sont pas colinéaires c'est-à-dire une ellipse de centre de symétrie « le centre de force $\;O\;$» $\;{\big (}$sont aussi représentés les demi-grand axe et demi-petit axe de l'ellipse${\big )}$

• «$\;{\vec {r}}(0)={\vec {r}}_{0}=r_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant choisi passant par $\;M_{0}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\vec {r}}(0)={\vec {A}}\;\cos(\omega _{0}\times 0)\;{\cancel {+{\vec {B}}\;\sin(\omega _{0}\times 0)}}={\vec {A}}\;$ d'où «$\;{\vec {A}}={\vec {r}}_{0}=r_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$» et
• «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ étant choisi $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ tel que $\;{\vec {V}}_{0}\;$ soit dans le plan $\;xOy\;$ et $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$» avec «$\;\alpha _{0}\neq 0\;$ et $\;\pi \;$» $\;{\Big (}$les angles du plan $\;xOy\;$ étant orientés par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\perp \;$ au plan et pointant vers le lecteur en accord avec $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ direct $\;{\big [}$l'espace physique étant orienté à droite${\big ]}\;$${\Big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M}(0)={\cancel {-\omega _{0}\;{\vec {A}}\;\sin(\omega _{0}\times 0)\;+}}\;\omega _{0}\;{\vec {B}}\;\cos(\omega _{0}\times 0)=\omega _{0}\;{\vec {B}}\;$ d'où «$\;{\vec {B}}=$ ${\dfrac {{\vec {V}}_{0}}{\omega _{0}}}\;$» ou, en décomposant sur les deux axes cartésiens, «$\;{\vec {B}}={\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}}}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}}}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\;$» ;

     finalement la loi horaire vectorielle du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial non amorti s’écrit

«$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)+{\dfrac {{\vec {V}}_{0}}{\omega _{0}}}\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$»,
on y observe une relaxation périodique de période propre «$\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}\;$».

Étude du mouvement et nature de la trajectoire

     La trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial non amorti $\;M\;$ d'équation paramétrique vectorielle «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\vec {r}}_{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)+{\dfrac {{\vec {V}}_{0}}{\omega _{0}}}\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$» est, dans la mesure où $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ « une ellipse de centre $\;O\;$» inscrite dans un parallélogramme de côtés respectivement $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}\;$ car

• d'une part la trajectoire est plane contenue dans le plan contenant $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}$ $\;{\Big (}{\overrightarrow {OM}}\;$ étant une C.L. de $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}{\Big )}\;$ et
• d'autre part le mouvement est « la composition de deux mouvements rectilignes sinusoïdaux en quadrature, de même pulsation $\;\omega _{0}\;$», d’amplitudes respectives «$\;r_{0}\;$ et $\;{\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}}}\;$» $\;{\Big (}$dans laquelle $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert {\Big )}\;$ suivant deux directions distinctes «$\;{\overrightarrow {OA_{0}}}={\vec {r}}_{0}\;$» et «$\;{\overrightarrow {OB_{0}}}={\dfrac {{\vec {V}}_{0}}{\omega _{0}}}\;$», voir schéma ci-dessus,

     ces deux propriétés caractérisant le mouvement d'un point décrivant une ellipse de centre $\;O\;$ inscrite dans un parallélogramme dont les côtés sont respectivement $\;\parallel \;$ aux directions suivant lesquelles sont repérés les mouvements rectilignes sinusoïdaux en quadrature et de même pulsation $\;{\big [}$généralisation du paragraphe « équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap.$11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » quand les axes ne sont plus $\;\perp {\big ]}$ ;

     le mouvement de $\;M\;$ sur l'ellipse est périodique, de période propre «$\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$», $\;M\;$ occupe successivement, sur l'ellipse, les positions suivantes :

• «$\;M\;$ en $\;A_{0}=M_{0}\;$» à l'instant initial «$\;t=0\;$»,
• «$\;M\;$ en $\;B_{0}\;$» à l'instant «$\;t\equiv {\dfrac {T_{0}}{4}}\!\!{\pmod {T_{0}}}\;$»,
• «$\;M\;$ en $\;{A'}_{0}\;$» $\;{\big (}$le symétrique de $\;A_{0}\;$ par rapport à $\;O{\big )}\;$ à l'instant «$\;t\equiv {\dfrac {T_{0}}{2}}\!\!{\pmod {T_{0}}}\;$»,
• «$\;M\;$ en $\;{B'}_{0}\;$» $\;{\big (}$le symétrique de $\;B_{0}\;$ par rapport à $\;O{\big )}\;$ à l'instant «$\;t\equiv {\dfrac {3\;T_{0}}{4}}\!\!{\pmod {T_{0}}}\;$» et
• «$\;M\;$ de retour en $\;A_{0}\;$» à l'instant «$\;t=T_{0}\;$» ainsi que «$\;t\equiv 0\!\!{\pmod {T_{0}}}\;$»,

     les positions $\;A_{0}$, $\;B_{0}$, $\;{A'}_{0}\;$ et $\;{B'}_{0}\;$ étant les points de contact de l'ellipse sur le parallélogramme dans lequel elle est inscrite.

Équation cartésienne de la trajectoire sous forme implicite

     Les axes $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ ayant été précisés au paragraphe « loi horaire vectorielle du vecteur position de M » plus haut dans ce chapitre, on détermine les équations paramétriques cartésiennes de la trajectoire de $\;M\;$ à partir de son équation paramétrique vectorielle «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)+{\dfrac {{\vec {V}}_{0}}{\omega _{0}}}\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$» en projetant cette dernière sur les deux axes du plan $\;xOy\;$ selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x(t)={\vec {r}}(t)\cdot {\vec {u}}_{x}\\y(t)={\vec {r}}(t)\cdot {\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l l l l l}x(t)&=&r_{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)&+&{\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}}}\;\cos(\alpha _{0})\;\sin(\omega _{0}\;t)\\y(t)&=&&&{\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}}}\;\sin(\alpha _{0})\;\sin(\omega _{0}\;t)\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     on élimine alors le paramètre «$\;t\;$» pour déduire l’équation cartésienne de la trajectoire de $\;M\;$ en exprimant «$\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$ et $\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$» selon «$\;\sin(\omega _{0}\;t)={\dfrac {\omega _{0}}{V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}}\;y\;$» que l'on reporte dans l'équation de définition de $\;x(t)\;$ soit «$\;x(t)-{\dfrac {V_{0}}{\omega _{0}}}\;\cos(\alpha _{0})\;{\dfrac {\omega _{0}}{V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}}\;y(t)=r_{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x(t)-\cot(\alpha _{0})\;y(t)=r_{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$» dont on tire «$\;\cos(\omega _{0}\;t)={\dfrac {x-\cot(\alpha _{0})\;y}{r_{0}}}\;$», l’élimination de «$\;t\;$» se faisant à l’aide «$\;\cos ^{2}(\omega _{0}\;t)+\sin ^{2}(\omega _{0}\;t)=1\;$» d'où l’équation cartésienne de la trajectoire de $\;M\;$ sous forme implicite «$\;{\dfrac {\left[x-\cot(\alpha _{0})\;y\right]^{2}}{r_{0}^{2}}}+{\dfrac {\omega _{0}^{2}}{V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\;y^{2}=1\;$» ou encore en développant

«$\;{\dfrac {x^{2}}{r_{0}^{2}}}+\left[{\dfrac {\cot ^{2}(\alpha _{0})}{r_{0}^{2}}}+{\dfrac {\omega _{0}^{2}}{V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}\right]y^{2}-{\dfrac {2\;\cot(\alpha _{0})}{r_{0}^{2}}}\;x\;y=1\;$» ;

     l'équation cartésienne ci-dessus étant de forme quadratique des deux variables $\;x\;$ et $\;y\;$ représente effectivement l’équation d'une conique admettant «$\;O\;$ comme centre de symétrie » n’admettant « aucun point à distance infinie de $\;O\;$», il s’agit donc d’une ellipse $\;{\big (}$de centre $\;O{\big )}$ ;

     si on fait une rotation du système d’axes d’un angle $\;\varphi _{0}\;$ autour de $\;O\;$ de façon à ce que « les nouveaux axes deviennent les axes focaux et non focaux », on obtient l’équation caractéristique d’une ellipse de centre $\;O\;$ et dont les axes sont les axes du système cartésien «$\;{\dfrac {{x'}^{2}}{{a'}^{2}}}+{\dfrac {{y'}^{2}}{{b'}^{2}}}=1\;$».

« Tentative » d’utilisation de la formule de Binet relative à l’accélération radiale pour déterminer l’équation polaire de la trajectoire

     Préliminaire : La présentation qui est faite ici a pour seul but d’expliquer pourquoi il ne faut pas d’utiliser la formule de Binet relative à l’accélération radiale pour déterminer l’équation polaire d'un oscillateur harmonique spatial non amorti alors que son utilisation est si performante dans le cas du mouvement d'un point matériel dans un champ de force newtonienne $\;{\big [}$voir le paragraphe « exemple d'utilisation de la formule de Binet relative à l'accélération radiale (un exemple aboutissant à une résolution simplifiée par utilisation de la 2^ème formule de Binet → mouvement à force centrale d'un point matériel M dans un champ de force newtonienne) » du chap.$12$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » pour un 1^er exposé${\big ]}$ ;

     Préliminaire : ainsi le fait que l'oscillateur harmonique spatial non amorti soit un mouvement à force centrale n’est pas une raison suffisante pour utiliser la formule de Binet relative à l'accélération radiale $\;\ldots$

     Présentation de la tentative : La projection, sur le vecteur unitaire radial $\;{\vec {u}}_{r}$, de la r.f.d.n. appliquée à l'oscillateur harmonique spatial $\;{\big (}$non amorti${\big )}$ $\;M\left(m\right)\;$ donnant «$\;-k\;r(t)=m\;a_{r}(t)\;$» où $\;a_{r}(t)\;$ est l'accélération radiale de $\;M\;$ à l'instant $\;t$, $\;r(t)\;$ étant sa coordonnée radiale au même instant $\;t$, se réécrit, en utilisant la 2^ème formule de Binet «$\;a_{r}(t)=-C^{2}\;u^{2}\left[u''+u\right]\;$» avec $\;C\;$ la constante des aires du mouvement de $\;M\;$ ainsi que $\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ et $\;u''={\dfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}\;$ la 1^ère et 3^ème variables de Binet, toutes deux fonctions de $\;\theta \;$, «$\;-{\dfrac {k}{u(\theta )}}=-m\;C^{2}\;u^{2}(\theta )\left[u''(\theta )+u(\theta )\right]\;$» soit, avec $\;C\neq 0$,

«$\;{\dfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}(\theta )+u(\theta )-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}\;{\dfrac {1}{u^{3}(\theta )}}=0\;$» c'est-à-dire
une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;u(\theta )$ $\;{\big [}$de résolution non simple donc utilisation à proscrire${\big ]}$.

« Détermination des demi grand axe et demi petit axe » par étude énergétique

     La force centrale $\;{\vec {F}}(M)=-k\;r\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k\;$ constante $\;>0$, $\;r=OM\;$ la coordonnée radiale de l'oscillateur harmonique spatial non amorti $\;M\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire radial du repérage polaire de $\;M\;$ lié à ce dernier dans le plan $\;xOy\;$ de son mouvement, étant conservative « dérive » de l'énergie potentielle «$\;U(r)={\dfrac {1}{2}}\;k\;r^{2}$, la référence de cette dernière étant choisie au centre de force $\;O\;$» ;

     le mouvement de $\;M\left(m\right)\;$ étant conservatif, on peut écrire la conservation de son énergie mécanique «$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{2}(t)+U\!\left[r(t)\right]=E_{m,\,0}\;$ dans laquelle $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{2}+U(r_{0})\;$ est l'énergie mécanique initiale de l'oscillateur harmonique spatial non amorti » et, dans la mesure où le mouvement de $\;M\;$ est « à force centrale conservative » réécrire la conservation de son énergie mécanique selon «$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}(t)+U_{\text{eff}}\!\left[r(t)\right]=E_{m,\,0}\;$ avec $\;U_{\text{eff}}(r)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m\;C^{2}}{r^{2}}}+U(r)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m\;C^{2}}{r^{2}}}+{\dfrac {1}{2}}\;k\;r^{2}\;$ son énergie potentielle effective et $\;C\;$ sa constante des aires » ;

     on peut alors tracer le diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique de l'oscillateur harmonique spatial non amorti dans les buts exposés ci-après :

• vérifier que le point $\;M\;$ est, quelles que soient les C.I., dans un « état lié » $\;{\big (}$ayant établi au paragraphe « étude du mouvement et nature de la trajectoire d'un oscillateur harmonique spatial non amorti » plus haut dans ce chapitre que le mouvement de ce dernier est elliptique de centre $\;O\;$ quelles que soient les C.I.${\big )}\;$ et pour cela il faut
  $\;\succ \;$étudier la variation de $\;U_{\text{eff}}\;$ en fonction de $\;r$ $\;{\big (}$ou même de $\;r^{2}$, $\;U_{\text{eff}}\;$ dépendant de $\;r^{2}\;$ et $\;r\;$ étant $\;>0{\big )}\;$ en évaluant sa dérivée par rapport à $\;r^{2}\;$ soit «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{d\!\left(r^{2}\right)}}(r^{2})=-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m\;C^{2}}{r^{4}}}+{\dfrac {1}{2}}\;k\;$» qui s’annule pour «$\;r_{1}^{2}=\vert C\vert \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}={\dfrac {\vert C\vert }{\omega _{0}}}\;$» avec «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ la pulsation propre de l’oscillateur harmonique spatial » soit finalement $\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r_{1})=0\;$ avec «$\;r_{1}={\sqrt {\dfrac {\vert C\vert }{\omega _{0}}}}\;$»,
        la dérivée «$\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{dr}}(r)\;$» étant «$\;>0\;$ pour $\;r\;$ grand, car $\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{d\!\left(r^{2}\right)}}(r^{2})\sim {\dfrac {1}{2}}\;k>0\;$» et «$\;<0\;$ pour $\;r\;$ petit, car $\;{\dfrac {dU_{\text{eff}}}{d\!\left(r^{2}\right)}}(r^{2})\sim -{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m\;C^{2}}{r^{4}}}<0\;$», «$\;U_{\text{eff}}\searrow \;$ sur $\;\left[0\,,\,r_{1}\right]\;$ puis $\;\nearrow \;$ sur $\;\left[r_{1}\,,\,+\infty \right[\;$»,
        avec «$\;r=0\;$ comme asymptote pour les faibles valeurs de $\;r\;$» mais une « absence d’asymptote $\;{\big (}$car branche parabolique${\big )}\;$ pour les grandes valeurs de $\;r\;$»,
        de plus la valeur du minimum de $\;U_{\text{eff}}(r)\;$ pour $\;r_{1}\;$ est «$\;U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m\;C^{2}}{r_{1}^{2}}}+{\dfrac {1}{2}}\;k\;r_{1}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m\;C^{2}}{\vert C\vert \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}}}+{\dfrac {1}{2}}\;k\;\vert C\vert \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}=\vert C\vert \;{\sqrt {m\;k}}\;$» soit encore «$\;U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}=m\;\vert C\vert \;\omega _{0}=m\;\omega _{0}^{2}\;r_{1}^{2}$» puis

Diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique d'un oscillateur harmonique spatial non amorti de masse $\;m$, de constante des aires $\;C\;$ et de pulsation propre $\;\omega _{0}$

$\;\succ \;$tracer le diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique de l'oscillateur harmonique spatial non amorti $\;{\big (}$voir ci-contre, l'abscisse étant exprimée en multiple de $\;r_{1}\;$ et l'ordonnée en multiple de $\;m\;\omega _{0}^{2}\;r_{1}^{2}{\big )}\;$ dans lequel on constate la « présence de deux murs d'énergie potentielle effective en regard » dans la mesure où la vitesse radiale initiale $\;{\dot {r}}_{0}\;$ de $\;M\;$ est $\;\neq \;$ de $\;0\;$ simultanément à sa coordonnée radiale initiale $\;r_{0}\neq \;$ de $\;r_{1}\;$ la coordonnée radiale pour laquelle $\;U_{\text{eff}}(r)\;$ est minimale $\;{\bigg [}\Rightarrow \;$l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}_{0}^{2}+U_{\text{eff}}(r_{0})\;$ est $\;>\;$ à $\;U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}{\bigg ]}$, l'existence des murs d'énergie potentielle effective résultant du fait que $\;\lim _{r\,\rightarrow \,0}U_{\text{eff}}(r)\sim \lim _{r\,\rightarrow \,0}\left[{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m\;C^{2}}{r^{2}}}\right]=+\infty$ $\;{\big (}$prépondérance du terme d'énergie cinétique orthoradiale dans $\;U_{\text{eff}}\;$ aux faibles valeurs de $\;r{\big )}\;$ et $\;\lim _{r\,\rightarrow \,+\infty }U_{\text{eff}}(r)\sim \lim _{r\,\rightarrow \,+\infty }\left[{\dfrac {1}{2}}\;k\;r^{2}\right]=+\infty$ $\;{\big (}$prépondérance du terme d'énergie potentielle dans $\;U_{\text{eff}}\;$ aux grandes valeurs de $\;r{\big )}\;$ d'où la vérification que l'état de $\;M\;$ ne peut être que « lié » ;
      dans la mesure où la coordonnée radiale initiale $\;r_{0}\;$ de $\;M\;$ est égale à la coordonnée radiale pour laquelle $\;U_{\text{eff}}(r)\;$ est minimale c'est-à-dire $\;r_{1}\;$ simultanément à l'absence de vitesse radiale initiale de $\;M\;$ c'est-à-dire $\;{\dot {r}}_{0}=0$, l'énergie mécanique initiale de $\;M\;$ valant $\;E_{m,\,0}=U_{\text{eff}}(r_{1})=U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}$, on constate la présence d'un guide d'énergie potentielle effective impliquant que la coordonnée radiale $\;r\;$ de $\;M\;$ reste constante égale à $\;r_{1}\;$ d'où la nature circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;r_{1}\;$ de la trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial non amorti dans ces C.I. de lancement ;

• déterminer les distances minimale d'approche et maximale d'éloignement de l'oscillateur harmonique spatial non amorti $\;M$ : ayant établi auparavant que la trajectoire de ce dernier est « une ellipse de centre $\;O\;$», le « demi-petit axe $\;b\;$» s’identifie à la « distance minimale d’approche $\;r_{\text{min}}\;$» et le « demi-grand axe $\;a\;$» à la « distance maximale d’éloignement $\;r_{\text{max}}\;$», ces deux grandeurs pouvant être trouvées
  $\;\succ \;$graphiquement $\;{\Bigg [}$les résultats sont alors numériques, sur l'exemple d'état lié présenté sur le diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique de $\;M\;$ ci-dessus dans lequel $\;E_{m,\,0}=5\;U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}=5\;m\;\omega _{0}^{2}\;r_{1}^{2}$, on trouve «$\;b=r_{\text{min}}\simeq 0,3\;r_{1}=0,3\;{\sqrt {\dfrac {\vert C\vert }{\omega _{0}}}}\;$» et «$\;a=r_{\text{max}}\simeq 3,15\;r_{1}=3,15\;{\sqrt {\dfrac {\vert C\vert }{\omega _{0}}}}\;$»${\Bigg ]}\;$ ou
  $\;\succ \;$algébriquement $\;{\big [}$revoir la méthode au paragraphe « détermination des distances extrémales d'approche et d'éloignement sous réserve d'existence » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$ : on écrit la conservation de l'énergie mécanique $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}+U_{\text{eff}}(r)=E_{m,\,0}\;$ et on cherche les valeurs de $\;r\;$ satisfaisant à $\;{\dot {r}}=0\;$ soit l'équation «$\;U_{\text{eff}}(r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}})=E_{m,\,0}\;$» ou «$\;{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m\;C^{2}}{r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}}^{\,2}}}+{\dfrac {1}{2}}\;k\;r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}}^{\,2}=E_{m,\,0}\;$» cette équation algébrique admettant « deux solutions réelles $\;>0\;$ puisque l'état de l'oscillateur harmonique spatial non amorti est lié » ;
        l'équation algébrique se réécrit sous forme de l'équation bicarrée $\;{\dfrac {1}{2}}\;k\;r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}}^{\,4}-E_{m,\,0}\;r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}}^{\,2}+{\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}=0\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}}^{\,4}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{k}}\;r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}}^{\,2}+{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}=0\;$» soit,
        en introduisant $\;r_{1}^{2}=\vert C\vert \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}=r_{1}^{4}\;$» et $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;k=m\;\omega _{0}^{2}\;$ ou, avec $\;U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}=m\;\omega _{0}^{2}\;r_{1}^{2}$, «$\;k={\dfrac {U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}}{r_{1}^{2}}}\;$» la réécriture de l'équation algébrique bicarrée selon «$\;r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}}^{\,4}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}}}\;r_{1}^{2}\;r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}}^{\,2}+r_{1}^{4}=0\;$» soit enfin, en divisant par $\;r_{1}^{4}\;$ et en introduisant la variable «$\;\chi ={\dfrac {r_{{\text{min}}\,{\text{ou}}\,{\text{max}}}}{r_{1}}}\;$» l'équation bicarrée en $\;\chi \;$ «$\;\chi ^{\,4}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}}}\;\chi ^{\,2}+1=0\;$» ;
        le discriminant réduit de l'équation bicarrée ci-dessus s'écrivant «$\;\Delta '={\dfrac {E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}^{\,2}}}-1>0\;$» dans la mesure où $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;>\;$ à $\;U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}$, on obtient deux solutions réelles distinctes pour $\;\chi ^{2}\;$ toutes deux $\;>0$ $\;{\bigg [}$leur produit valant $\;+1>0\;$ et leur somme $\;{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}}}>0{\bigg ]}\;$ soit «$\;\chi _{\text{min}}^{\,2}={\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}}}-{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}^{\,2}}}-1}}\;$» et «$\;\chi _{\text{max}}^{\,2}={\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}}}+{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}^{\,2}}}-1}}\;$» soit encore, en gardant les valeurs positives des solutions de l'équation bicarrée, «$\;\chi _{\text{min}}={\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}}}-{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}^{\,2}}}-1}}}}\;$» et «$\;\chi _{\text{max}}={\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}}}+{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}^{\,2}}}-1}}}}\;$» ;
        finalement le demi-petit axe de l'ellipse vaut «$\;b=r_{\text{min}}=r_{1}\;{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}}}-{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}^{\,2}}}-1}}}}\simeq 0,318\;r_{1}\;$» et son demi-grand axe «$\;a=r_{\text{max}}=r_{1}\;{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}}}+{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}^{\,2}}}-1}}}}\simeq 3,146\;r_{1}\;$» $\;{\big (}$les applications numériques étant faites dans le cadre du diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique ci-dessus dans lequel $\;E_{m,\,0}=5\;U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}{\big )}$ ;
        on en déduit la distance séparant le centre de l'ellipse d'un de ses foyers «$\;c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=r_{1}\;{\sqrt {\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}}}+{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}^{\,2}}}-1}}\right]-\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}}}-{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}^{\,2}}}-1}}\right]}}=r_{1}\;{\sqrt {2}}\;{\sqrt[{4}]{{\dfrac {E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}^{\,2}}}-1}}\;$» et par suite son excentricité «$\;e={\dfrac {c}{a}}={\dfrac {{\sqrt {2}}\;{\sqrt[{4}]{{\dfrac {E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}^{\,2}}}-1}}}{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}}}+{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}^{\,2}}}-1}}}}}\;$» soit numériquement, dans le cadre où $\;E_{m,\,0}=5\;U_{{\text{eff}},\,{\text{min}}}$, «$\;c\simeq 3,130\;r_{1}\;$» et «$\;e\simeq 0,995\;$» ${\big [}$voir le paragraphe « principales propriétés d'une ellipse (à retenir) » du chap.$11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »${\big ]}\;$ correspondant à une ellipse très étirée sur son axe focal.

En complément : « oscillateur harmonique spatial amorti », détermination de son mouvement par r.f.d.n., établissement de la décroissance exponentielle de son moment cinétique vectoriel par rapport à O

     L'étude de l'oscillateur harmonique spatial « amorti » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I. $\;{\big (}$tout comme ne l'est pas non plus l'étude de l'oscillateur harmonique spatial non amorti${\big )}$, le programme n’exigeant que la connaissance de l'oscillateur harmonique amorti à une dimension $\;{\big (}$de même qu'il n'exige que celle de l'oscillateur harmonique non amorti à une dimension${\big )}$, toutefois, quand on projette un oscillateur harmonique spatial « amorti » sur un axe on obtient un oscillateur harmonique amorti à une dimension, d'où l'intérêt de présenter cette étude $\;\ldots$

     On notera que ce paragraphe ne devrait pas être dans ce chapitre car l’oscillateur harmonique spatial amorti n’a pas un mouvement à force centrale, toutefois sa résolution étant semblable à celle d’un oscillateur harmonique spatial non amorti, c’est encore le meilleur endroit pour l’exposer $\;\ldots$

Définition d’un oscillateur harmonique spatial amorti

Oscillateur harmonique spatial amorti

     Un oscillateur harmonique spatial amorti est un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ ayant $\;{\big (}$en général${\big )}\;$ plus de $\;1\;$ degré de liberté soumis à

• une force de rappel linéaire vers un centre attractif $\;O\;$ fixe dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ du type «$\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}=-k\;r\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k\;$ constante réelle $\;>0\;$»,
  «$\;r=OM\;$ étant la coordonnée radiale de $\;M\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à $\;M\;$» et
• une force de frottement fluide linéaire due à l'action du fluide lié au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dans lequel $\;M\;$ se déplace du type «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)=-h\;{\vec {V}}_{M}\;$ avec $\;h\;$ constante réelle $\;>0\;$»,
  «$\;{\vec {V}}_{M}\;$ étant le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$»

     Remarque : Il peut, bien sûr, y avoir d’autres forces mais celles-ci doivent avoir une influence négligeable devant celle des deux forces $\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}\;$ et $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)=-h\;{\vec {V}}_{M}$ $\;{\Big [}$par exemple, si le référentiel d’étude est la Terre, il y a nécessairement le poids du point matériel mais l'influence de celui-ci peut être négligée si sa norme est faible devant celle de $\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}\;$ et de $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)=$ $-h\;{\vec {V}}_{M}{\Big ]}\;$ ou se compenser entre elles $\;{\big (}$par exemple, le référentiel d’étude étant toujours la Terre, le poids du point matériel se déplaçant dans un fluide, sans frottement solide, sur un plan horizontal, est compensé par la réaction de ce plan${\big )}$.

1^ers commentaires

     Un oscillateur harmonique spatial amorti étant soumis à une force centrale $\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}\;$ mais aussi à une autre force non centrale $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)=-h\;{\vec {V}}_{M}$, « son mouvement n'est pas à force centrale » et par suite « son moment cinétique vectoriel par rapport à $\;O\;$ n'est pas conservé » d'où les propriétés qui auraient pu découler de sa conservation sont, a priori, non vérifiées c'est-à-dire

• la nature plane $\;{\big (}$ou rectiligne${\big )}\;$ du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial amorti, a priori, fausse,
• la loi des aires, a priori, non applicable et
• l’utilisation de la formule de Binet relative à l’accélération radiale, a priori, impossible $\;{\big (}$en effet celle-ci nécessite l'applicabilité de la loi des aires${\big )}$ ;

     de plus, seule la force centrale $\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}\;$ étant conservative, l'autre force non centrale $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)=-h\;{\vec {V}}_{M}\;$ ne l'étant pas, « le mouvement de l'oscillateur harmonique spatial amorti n'est pas conservatif » et par suite « son énergie mécanique n'est pas conservée » d'où les propriétés qui auraient pu découler de sa conservation sont, a priori, non vérifiées c'est-à-dire

• l’utilisation de la formule de Binet relative au carré de la vitesse, a priori, impossible et
• l'introduction de l'énergie potentielle effective de $\;M$, a priori, inconcevable $\;{\big (}$en effet cette notion nécessite l'applicabilité de la loi des aires${\big )}$.

Nature de la trajectoire

     Le mouvement d'un oscillateur harmonique spatial amorti n'étant pas à force centrale, les méthodes spécifiques à cette propriété ne lui sont donc pas applicables ;

     en procédant par application directe de la r.f.d.n. à l'oscillateur harmonique spatial amorti $\;{\big (}$c'est-à-dire de la même façon que pour un oscillateur harmonique spatial non amorti, la méthode spécifique aux mouvements à force centrale s'y avérant insuffisamment simple dans ce cas${\big )}\;$ nous obtenons une équation différentielle linéaire homogène à cœfficients constants du 2^ème ordre en «$\;{\vec {r}}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\;$» $\;{\big (}$avec terme du 1^er ordre${\big )}\;$ simple à intégrer.

Détermination de l’équation différentielle en vecteur position de M par application de la r.f.d.n.

     La r.f.d.n. appliquée à l'oscillateur harmonique spatial amorti $\;M\left(m\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen donne «$\;{\vec {F}}(M)+{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ ou $\;-k\;{\vec {r}}(t)-h\;{\dfrac {d{\vec {r}}}{dt}}(t)=m\;{\dfrac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}(t)\;$» soit, après normalisation,

«$\;{\dfrac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dfrac {d{\vec {r}}}{dt}}(t)+{\dfrac {k}{m}}\;{\vec {r}}(t)={\vec {0}}\;$»
une équation différentielle linéaire $\;{\big (}$homogène${\big )}\;$ à cœfficients constants du 2^ème ordre en «$\;{\vec {r}}(t)\;$» $\;{\big (}$avec terme du 1^er ordre${\big )}\;$
caractéristique d'un oscillateur harmonique spatial amorti ;

     on définit alors les grandeurs canoniques de cet oscillateur harmonique spatial amorti à savoir sa pulsation propre «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$» et son facteur d'amortissement «$\;\sigma \;$ $\;{\big (}$quantité $\;>0\;$ sans dimension${\big )}\;$ tel que $\;{\dfrac {h}{m}}=2\;\sigma \;\omega _{0}\;$ » , la forme canonique de l’équation différentielle vectorielle du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial amorti s'écrivant alors selon

«$\;{\ddot {\vec {r}}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {\vec {r}}}(t)+\omega _{0}^{2}\;{\vec {r}}(t)={\vec {0}}\;$».

Loi horaire vectorielle du vecteur position de M

     Le vecteur position de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\vec {r}}(t)\;$» est donc la solution libre de l’équation précédente, solution dont la forme dépend du facteur d'amortissement $\;\sigma \;$ ;

• si $\;\sigma \;$ est $\;<\;$ à $\;1$ $\;{\big (}$correspondant à un faible amortissement${\big )}$, en définissant la « pseudo-pulsation $\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$», la solution de l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique spatial amorti prend la forme «$\;{\vec {r}}(t)=\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\left[{\vec {A}}\;\cos(\omega \;t)+{\vec {B}}\;\sin(\omega \;t)\right]\;$» avec $\;{\vec {A}}\;$ et $\;{\vec {B}}\;$ vecteurs constants d’intégration déterminés par C.I.

Schéma décrivant la trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial amorti $\;M$, de pulsation propre $\;\omega _{0}$, de facteur d'amortissement $\;\sigma <1$, lancé dans des C.I. telles que les vecteurs position et vitesse initiales $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}\;$ ne sont pas colinéaires c'est-à-dire une courbe ouverte admettant « le centre de force $\;O\;$» pour point asymptote autour duquel $\;M\;$ se rapproche en spiralant

$\;\succ \;$«$\;{\vec {r}}(0)={\vec {r}}_{0}=r_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant choisi passant par $\;M_{0}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\vec {r}}(0)=\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\times 0\right)\left[{\vec {A}}\;\cos(\omega \times 0)\;{\cancel {+{\vec {B}}\;\sin(\omega \times 0)}}\right]={\vec {A}}\;$ d'où «$\;{\vec {A}}$ $={\vec {r}}_{0}=r_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$» et
$\;\succ \;$«$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ étant choisi $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ tel que $\;{\vec {V}}_{0}\;$ soit dans le plan $\;xOy\;$ et $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$» avec «$\;\alpha _{0}\neq 0\;$ et $\;\pi \;$» $\;{\Big (}$les angles du plan $\;xOy\;$ étant orientés par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\perp \;$ au plan, de sens tel que $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ soit direct $\;{\big [}$on rappelle que l'espace physique est choisi orienté à droite${\big ]}\;$${\Big )}\;$ dont on déduit l'explicitation du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{M}(0)=$ $-\sigma \;\omega _{0}\;\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\times 0\right)\,\left[{\vec {A}}\;\cos(\omega \times 0)\;{\cancel {+{\vec {B}}\;\sin(\omega \times 0)}}\right]+\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\times 0\right)\;\omega \;\left[\;{\cancel {-{\vec {A}}\;\sin(\omega \times 0)\;+}}{\vec {B}}\;\cos(\omega \times 0)\right]=$ $-\sigma \;\omega _{0}\;{\vec {A}}+\omega \;{\vec {B}}\;$ d'où «$\;{\vec {B}}={\dfrac {{\vec {V}}_{0}+\sigma \;\omega _{0}\;{\vec {A}}}{\omega }}={\dfrac {{\vec {V}}_{0}+\sigma \;\omega _{0}\;{\vec {r}}_{0}}{\omega }}\;$» ou «$\;{\vec {B}}={\dfrac {V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\sigma \;\omega _{0}\;r_{0}}{\omega }}\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{\omega }}\;{\vec {u}}_{y}\;$» en décomposant sur les deux axes cartésiens ;
     finalement la loi horaire vectorielle du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial faiblement amorti s’écrit «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\vec {r}}(t)=\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\left[{\vec {r}}_{0}\;\cos(\omega \;t)+{\dfrac {{\vec {V}}_{0}+\sigma \;\omega _{0}\;{\vec {r}}_{0}}{\omega }}\;\sin(\omega \;t)\right]$»,
on y observe une relaxation pseudo-périodique de pseudo-période «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}\;$» telle que
«$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}={\dfrac {T_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}>T_{0}\;$» dans laquelle «$\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}\;$ est la période propre de l'oscillateur » ;

     quand $\;t\rightarrow +\infty$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\rightarrow {\vec {0}}\;$» établissant que le centre $\;O\;$ de la force centrale est effectivement un point asymptote de la trajectoire, de plus les équations paramétriques cartésiennes de cette dernière étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l l}x(t)\!\!&=\!\!&\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\left[r_{0}\;\cos(\omega \;t)+{\dfrac {V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\sigma \;\omega _{0}\;r_{0}}{\omega }}\;\sin(\omega \;t)\right]\\y(t)\!\!&=\!\!&\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\left[{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{\omega }}\;\sin(\omega \;t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ on en déduit la variation de «$\;{\dfrac {y(t)}{x(t)}}=$ ${\dfrac {{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{\omega }}\;\sin(\omega \;t)}{r_{0}\;\cos(\omega \;t)+{\dfrac {V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\sigma \;\omega _{0}\;r_{0}}{\omega }}\;\sin(\omega \;t)}}={\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{r_{0}\;\omega \;\cot(\omega \;t)+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\sigma \;\omega _{0}\;r_{0}}}\;$» ou celle de «$\;{\dfrac {x(t)}{y(t)}}={\dfrac {r_{0}\;\omega \;\cot(\omega \;t)+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\sigma \;\omega _{0}\;r_{0}}{V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}}\;$» de période $\;{\dfrac {T}{2}}={\dfrac {\pi }{\omega }}$, «$\;\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;-\infty \;$ sur chaque période », ce qui établit que « l'angle $\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\nearrow \;$ jusqu'à $\;+\infty \;$ quand $\;t\rightarrow +\infty \;$» et par suite que « le point $\;M\;$ se rapproche du point asymptote $\;O\;$ en spiralant dans le sens positif » $\;{\big (}$voir diagramme ci-dessus${\big )}$ ;

• si $\;\sigma \;$ est $\;=\;$ à $\;1$ $\;{\big (}$correspondant à un amortissement critique${\big )}$, la solution de l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique spatial amorti prend la forme «$\;{\vec {r}}(t)=\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\,\left[{\vec {A}}+{\vec {B}}\;t\right]\;$» avec $\;{\vec {A}}\;$ et $\;{\vec {B}}\;$ vecteurs constants d’intégration déterminés par C.I.

Schéma décrivant la trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial amorti $\;M$, de pulsation propre $\;\omega _{0}$, de facteur d'amortissement $\;\sigma =1$, lancé dans des C.I. telles que les vecteurs position et vitesse initiales $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}\;$ ne sont pas colinéaires c'est-à-dire une courbe ouverte admettant « le centre de force $\;O\;$» pour point asymptote vers lequel $\;M\;$ se rapproche sous une direction fixée

$\;\succ \;$«$\;{\vec {r}}(0)={\vec {r}}_{0}=r_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant choisi passant par $\;M_{0}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\vec {r}}(0)=\exp \!\left(-\omega _{0}\times 0\right)\left[{\vec {A}}\;{\cancel {+{\vec {B}}\times 0)}}\right]={\vec {A}}\;$ d'où «$\;{\vec {A}}={\vec {r}}_{0}=r_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$» et
$\;\succ \;$«$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ étant choisi $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ tel que $\;{\vec {V}}_{0}\;$ soit dans le plan $\;xOy\;$ et $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$» avec «$\;\alpha _{0}\neq 0\;$ et $\;\pi \;$» $\;{\Big (}$les angles du plan $\;xOy\;$ étant orientés par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\perp \;$ au plan, de sens tel que $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ soit direct $\;{\big [}$on rappelle que l'espace physique est choisi orienté à droite${\big ]}\;$${\Big )}\;$ dont on déduit l'explicitation du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{M}(0)=$ $-\omega _{0}\;\exp \!\left(-\omega _{0}\times 0\right)\,\left[{\vec {A}}\;{\cancel {+{\vec {B}}\times 0}}\right]+\exp \!\left(-\omega _{0}\times 0\right)\,\left[{\vec {B}}\right]=$ $-\omega _{0}\;{\vec {A}}+{\vec {B}}\;$ d'où «$\;{\vec {B}}={\vec {V}}_{0}+\omega _{0}\;{\vec {A}}={\vec {V}}_{0}+\omega _{0}\;{\vec {r}}_{0}\;$» ou, en décomposant sur les deux axes cartésiens, «$\;{\vec {B}}=\left[V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\omega _{0}\;r_{0}\right]\,{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\;$» ;
     finalement la loi horaire vectorielle du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial en amortissement critique s’écrit «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\vec {r}}(t)=\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\,\left[{\vec {r}}_{0}+\left({\vec {V}}_{0}+\omega _{0}\;{\vec {r}}_{0}\right)\,t\right]$»,
on y observe une relaxation apériodique critique par laquelle
le centre de force $\;O\;$ est atteint le plus rapidement ;

     quand $\;t\rightarrow +\infty$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\rightarrow {\vec {0}}\;$» établissant que le centre $\;O\;$ de la force centrale est effectivement un point asymptote de la trajectoire, de plus les équations paramétriques cartésiennes de cette dernière étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l l}x(t)\!\!&=\!\!&\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\,\left\lbrace r_{0}+\left[V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\omega _{0}\;r_{0}\right]\,t\right\rbrace \\y(t)\!\!&=\!\!&\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\,\left[V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ on en déduit la variation de «$\;{\dfrac {y(t)}{x(t)}}=$ ${\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t}{r_{0}+\left[V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\omega _{0}\;r_{0}\right]\,t}}\;$» ou celle de «$\;{\dfrac {x(t)}{y(t)}}={\dfrac {r_{0}+\left[V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\omega _{0}\;r_{0}\right]\,t}{V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t}}={\dfrac {{\dfrac {r_{0}}{t}}+\left[V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\omega _{0}\;r_{0}\right]}{V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}}\;$», «$\;\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;{\dfrac {V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\omega _{0}\;r_{0}}{V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}}\;$ quand $\;t\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;+\infty \;$», ce qui établit que « l'angle $\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\nearrow \;$ jusqu'à $\;\arctan \!\left[{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\omega _{0}\;r_{0}}}\right]\;$ quand $\;t\rightarrow +\infty \;$» et par suite que « le point $\;M\;$ se rapproche du point asymptote $\;O\;$ sous la direction faisant l'angle $\;\arctan \!\left[{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\omega _{0}\;r_{0}}}\right]\;$ avec $\;{\vec {u}}_{x}$» $\;{\big (}$voir diagramme ci-dessus${\big )}$ ;

• si $\;\sigma \;$ est $\;>\;$ à $\;1$ $\;{\big (}$correspondant à un fort amortissement${\big )}$, la solution de l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique spatial amorti, dépendant des solutions réelles $\;s_{(+)}>s_{(-)}\;$ de l'équation caractéristique $\;s^{2}+2\;\sigma \;\omega _{0}\;s+\omega _{0}^{2}=0\;$ associée à la recherche de la solution libre de l'équation différentielle, prend la forme «$\;{\vec {r}}(t)={\vec {A}}_{(+)}\;\exp \!\left[s_{(+)}\;t\right]+{\vec {A}}_{(-)}\;\exp \!\left[s_{(-)}\;t\right]\;$ avec $\;s_{(\pm )}=$ $-\sigma \;\omega _{0}\pm \omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$» avec $\;{\vec {A}}_{(+)}\;$ et $\;{\vec {A}}_{(-)}\;$ vecteurs constants d’intégration ou encore, en factorisant par $\;\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\;$ et en introduisant les fonctions cosinus et sinus hyperboliques, «$\;{\vec {r}}(t)$ $=\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\left[{\vec {A}}\;\cosh \!\left(\omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;t\right)+{\vec {B}}\;\sinh \!\left(\omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;t\right)\right]\;$» avec $\;{\vec {A}}\;$ et $\;{\vec {B}}\;$ vecteurs constants d’intégration déterminés par C.I. $\;{\big [}$pour la suite on pose $\;\beta =$ $\omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\big ]}$

Schéma décrivant la trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial amorti $\;M$, de pulsation propre $\;\omega _{0}$, de facteur d'amortissement $\;\sigma >1$, lancé dans des C.I. telles que les vecteurs position et vitesse initiales $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}\;$ ne sont pas colinéaires c'est-à-dire une courbe ouverte admettant « le centre de force $\;O\;$» pour point asymptote vers lequel $\;M\;$ se rapproche sous une direction fixée

$\;\succ \;$«$\;{\vec {r}}(0)={\vec {r}}_{0}=r_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant choisi passant par $\;M_{0}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\vec {r}}(0)=\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\times 0\right)\left[{\vec {A}}\;\cosh(\beta \times 0)\;{\cancel {+{\vec {B}}\;\sinh(\beta \times 0)}}\right]={\vec {A}}\;$ d'où «$\;{\vec {A}}$ $={\vec {r}}_{0}=r_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$» et
$\;\succ \;$«$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\;$ l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ étant choisi $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ tel que $\;{\vec {V}}_{0}\;$ soit dans le plan $\;xOy\;$ et $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$» avec «$\;\alpha _{0}\neq 0\;$ et $\;\pi \;$» $\;{\Big (}$les angles du plan $\;xOy\;$ étant orientés par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\perp \;$ au plan, de sens tel que $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ soit direct $\;{\big [}$on rappelle que l'espace physique est choisi orienté à droite${\big ]}\;$${\Big )}\;$ dont on déduit l'explicitation du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{M}(0)=$ $-\sigma \;\omega _{0}\;\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\times 0\right)\,\left[{\vec {A}}\;\cosh(\beta \times 0)\;{\cancel {+{\vec {B}}\;\sinh(\beta \times 0)}}\right]+\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\times 0\right)\;\beta \;\left[\;{\cancel {{\vec {A}}\;\sinh(\beta \times 0)\;+}}{\vec {B}}\;\cosh(\omega \times 0)\right]=$ $-\sigma \;\omega _{0}\;{\vec {A}}+\beta \;{\vec {B}}\;$ d'où «$\;{\vec {B}}={\dfrac {{\vec {V}}_{0}+\sigma \;\omega _{0}\;{\vec {A}}}{\beta }}={\dfrac {{\vec {V}}_{0}+\sigma \;\omega _{0}\;{\vec {r}}_{0}}{\beta }}\;$» ou «$\;{\vec {B}}={\dfrac {V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\sigma \;\omega _{0}\;r_{0}}{\beta }}\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{\beta }}\;{\vec {u}}_{y}\;$» en décomposant sur les deux axes cartésiens ;
     finalement la loi horaire vectorielle du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial fortement amorti s’écrit «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)={\vec {r}}(t)=\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\left[{\vec {r}}_{0}\;\cosh \!\left(\omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;t\right)+{\dfrac {{\vec {V}}_{0}+\sigma \;\omega _{0}\;{\vec {r}}_{0}}{\omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\;\sinh \!\left(\omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;t\right)\right]$»,
on y observe une relaxation apériodique par laquelle
le centre de force $\;O\;$ est atteint plus lentement qu'en relaxation apériodique critique ;

     quand $\;t\rightarrow +\infty$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\rightarrow {\vec {0}}\;$» établissant que le centre $\;O\;$ de la force centrale est effectivement un point asymptote de la trajectoire, de plus les équations paramétriques cartésiennes de cette dernière étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l l}x(t)\!\!&=\!\!&\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\left[r_{0}\;\cosh(\beta \;t)+{\dfrac {V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\sigma \;\omega _{0}\;r_{0}}{\beta }}\;\sinh(\beta \;t)\right]\\y(t)\!\!&=\!\!&\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\left[{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{\beta }}\;\sinh(\beta \;t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\beta =\omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\;$ on en déduit la variation de «$\;{\dfrac {y(t)}{x(t)}}={\dfrac {{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{\beta }}\;\sinh(\beta \;t)}{r_{0}\;\cosh(\beta \;t)+{\dfrac {V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\sigma \;\omega _{0}\;r_{0}}{\beta }}\;\sinh(\beta \;t)}}={\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{r_{0}\;\beta \;\coth(\beta \;t)+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\sigma \;\omega _{0}\;r_{0}}}\;$» ou celle de «$\;{\dfrac {x(t)}{y(t)}}=$ ${\dfrac {r_{0}\;\beta \;\coth(\beta \;t)+V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\sigma \;\omega _{0}\;r_{0}}{V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}}\;$» «$\;\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;{\dfrac {V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\omega _{0}\;r_{0}}{V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}}\;$ quand $\;t\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;+\infty \;$», ce qui établit que « l'angle $\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\nearrow \;$ de $\;0\;$ jusqu'à sa valeur limite $\;\arctan \!\left[{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\omega _{0}\;r_{0}}}\right]\;$ quand $\;t\rightarrow +\infty \;$» et par suite que « le point $\;M\;$ se rapproche du point asymptote $\;O\;$ sous la direction faisant l'angle $\;\arctan \!\left[{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{V_{0}\;\cos(\alpha _{0})+\sigma \;\omega _{0}\;r_{0}}}\right]\;$ avec $\;{\vec {u}}_{x}$» $\;{\big (}$voir diagramme ci-dessus${\big )}$.

Étude du mouvement et tracé de la trajectoire

     L'étude du mouvement d'un oscillateur harmonique spatial amorti dans chacun de ses trois modes de relaxation $\;{\big (}$pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique${\big )}\;$ ainsi que le tracé de la trajectoire correspondante ayant été traités en détail dans le paragraphe intitulé « loi horaire vectorielle du vecteur position de M (c'est-à-dire de l'oscillateur harmonique spatial amorti) » plus haut dans ce chapitre, nous ne rappelons, ci-dessous, que les points essentiels :

• le mouvement est plan $\;{\Big (}$dans la mesure où les vecteurs position et vitesse initiales $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}\;$ ne sont pas colinéaires${\Big )}\;$ dans le plan passant par $\;O$, $\;M_{0}\;$ et contenant $\;{\vec {V}}_{0}$,
• le mouvement est pseudo-périodique si le facteur d'amortissement $\;\sigma \;$ est $\;<\;$ à $\;1\;$ avec une pseudo-période $\;T={\dfrac {T_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}>T_{0}$ $\;{\bigg (}T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$ étant la période propre de l'oscillateur harmonique spatial${\bigg )}\;$ ou apériodique si $\;\sigma \;$ est $\;\geqslant \;$ à $\;1$ $\;{\big (}$avec le qualificatif supplémentaire « critique » pour $\;\sigma =1{\big )}$,
• la trajectoire admet le centre $\;O\;$ de la force centrale comme point asymptote, $\;M\;$ s'en rapprochant en spiralant si le facteur d'amortissement $\;\sigma \;$ est $\;<\;$ à $\;1\;$ ou sous une direction précise dépendant des C.I. de lancement ainsi que du facteur d'amortissement si $\;\sigma \;$ est $\;\geqslant \;$ à $\;1\;$ et
• le temps nécessaire pour atteindre pratiquement le centre $\;O\;$ de la force centrale est minimal dans le cas de la relaxation apériodique critique.

Décroissance exponentielle du moment cinétique vectoriel de M par rapport à O et conséquences

     On peut se poser la question « qu'obtient-on en appliquant le théorème du moment cinétique vectoriel à l'oscillateur harmonique spatial amorti $\;M\left(m\right)$, les moments vectoriels étant évalués par rapport à $\;O\;$ “ le centre de la force centrale ”, point fixe du référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen ? »

     Son application à l'instant $\;t\;$ nous donne «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}}}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]+{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)\right]={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}}{dt}}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» est le moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ au même instant $\;t$, avec «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}}}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \left[-k\;{\overrightarrow {OM}}(t)\right]={\vec {0}}\;$» le moment vectoriel de la force centrale à cet instant $\;t\;$ et «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)\right]={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \left[-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\;$» celui de la force de frottement fluide linéaire au même instant $\;t$, lequel est encore égal, à un facteur multiplicatif près, au moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ soit «$\;{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M)\right]=-{\dfrac {h}{m}}\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \left[m\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]=-{\dfrac {h}{m}}\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)\;$» d'où l'équation différentielle suivie par le moment cinétique vectoriel de $\;M\;$

«$\;{\vec {0}}-{\dfrac {h}{m}}\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}}{dt}}(t)\;$» ou, en ordonnant, «$\;{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}}{dt}}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {0}}\;$»,
une équation différentielle linéaire vectorielle à cœfficients constants du 1^er ordre en $\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)\;$ homogène ;

     La solution de l'équation différentielle linéaire vectorielle à cœfficients constants du 1^er ordre en $\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)\;$ homogène ci-dessus est $\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {A}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$ avec «$\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$ la constante de temps d'amortissement du moment cinétique vectoriel » et $\;{\vec {A}}\;$ un vecteur constant d’intégration à déterminer par C.I. «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\wedge m\;{\vec {V}}_{0}\;$» ce qui donne $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\vec {A}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {0}{\tau }}\right)={\vec {A}}\;$ et par suite

«$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0)\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» avec «$\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$ constante de temps d'amortissement ».

     Conséquences : « L'existence d'une force de frottement fluide linéaire s'exerçant sur $\;M$, l'oscillateur harmonique spatial, en plus de la force centrale dont $\;O\;$ est le centre actif », fait qu'il n'y a plus conservation de «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)\;$», le moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ relativement à $\;O\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ galiléen, mais décroissance exponentielle de «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)\;$» relativement au moment cinétique vectoriel initial «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)\;$» avec la constante de temps d'amortissement «$\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$» soit «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0)\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» ;

     Conséquences : une 1^ère conséquence est que
     Conséquences : $\;\succ \;$dans la mesure où $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}$, $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)\;$ est nul et par suite $\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ aussi $\Rightarrow$ le mouvement de $\;M\;$ est rectiligne le long de $\;\left(OM_{0}\right)\;$ ou
     Conséquences : $\;\succ \;$dans la mesure où $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}$, $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)\;$ est non nul, « il y a conservation de la direction et du sens du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ relativement à $\;O\;$ c'est-à-dire de $\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)=$ ${\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$», sa direction et son sens restant ceux de «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\wedge m\;{\vec {V}}_{0}\;$» d'où $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)\;$ $\Rightarrow$ le mouvement de $\;M\;$ est plan dans le plan contenant $\;O$, $\;M_{0}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}$, avec un déplacement restant toujours dans le même sens, celui défini par $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\wedge m\;{\vec {V}}_{0}$, $\;{\Big \{}$par la suite nous adoptons le repérage cartésien avec $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ tels que «$\;{\vec {u}}_{x}\;$» est le vecteur unitaire de $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ orienté de $\;O\;$ vers $\;M_{0}$, «$\;{\vec {u}}_{y}\perp \;$» à «$\;{\vec {u}}_{x}\;$» dans le plan $\;\left\lbrace M_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right\rbrace \;$ et «$\;{\vec {u}}_{z}\perp \;$» aux deux autres satisfaisant «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$» direct $\;{\big [}$l'espace physique étant orienté à droite${\big ]}\;$${\Big \}}$,
     Conséquences : une 2^ème conséquence utilisant la « constante des aires » «$\;C={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)\cdot {\vec {u}}_{z}}{m}}=\left[{\overrightarrow {OM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}=r_{0}\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$» avec $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}$, est que la loi des aires n'est plus applicable en effet si, en utilisant le repérage polaire de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ on a toujours «$\;{\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(t)\cdot {\vec {u}}_{z}}{m}}=r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$», de la relation «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0)\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» on en déduit, en multipliant scalairement chaque membre par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et en les divisant par $\;m$,

«$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» avec «$\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$ constante de temps d'amortissement »,

     Conséquences : une 3^ème conséquence se déduisant de la précédente et utilisant « la vitesse aréolaire $\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$» est une décroissance exponentielle de cette dernière selon «$\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)=$ ${\dfrac {C}{2}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» ou encore, avec $\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(0)={\dfrac {C}{2}}$, «$\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(0)\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» avec «$\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$ constante de temps d'amortissement ».

« Approche documentaire » : relier l’« échelle spatiale sondée » à l’ «énergie mise en jeu » lors d’une collision en s’appuyant sur l’expérience de Rutherford

Cette « approche documentaire à partir de l'expérience de Rutherford » est explicite dans le programme de physique de P.C.S.I..

Approche documentaire : expérience de Rutherford

     L'expérience connue sous le nom d'« expérience de Rutherford » est une expérience historique réalisée par « Hans Geiger » et « Ernest Marsden » sous la direction de « Ernest Rutherford » dont les résultats ont été publiés en $\;1909$ ; les résultats obtenus à cette époque étaient si étonnants qu’il fallut à E.Rutherford deux années pour en comprendre les conséquences logiques et formuler une théorie satisfaisante publiée en $\;1911$.

     Dans cette expérience, Hans Geiger et Ernest Marsden bombardent des feuilles d'or très fines $\;{\big (}6\;\mu m\;$ c'est-à-dire environ $\;1000\;$ couches atomiques${\big )}\;$ par des particules $\;\alpha \;$ ayant une vitesse de $\;2\;10^{7}\;m\cdot s^{-1}$ $\;{\big (}\simeq 0,067\;c\;$ dans laquelle $\;c\;$ est la vitesse maximale de la cinématique relativiste${\big )}$.

     La plupart des particules $\;\alpha \;$ traversent la feuille sans être déviées mais, de manière inattendue, une particule sur $\;10000\;$ ou $\;20000\;$ environ « rebondit » sur la feuille et est renvoyée vers l’arrière.

     Ces évènements sont incompréhensibles avec les « modèles atomiques de l’époque », quelques années plus tard E.Rutherford dira « It was quite the most incredible as if you fired a 15-inch shell at a piece of tissue paper and it came back and hit you. ».

     E.Rutherford interprète ces évènements comme la preuve de la présence au cœur des atomes d’un objet massif de charge positive dont il estime la taille à moins de $\;10^{-14}\;m\;$ et qu’il nomme « noyau ».

     À partir de là, le modèle atomique actuel est prouvé : « un atome est constitué d’un noyau central de rayon $\;\simeq 10^{-15}\;m\;$ entouré d’un nuage électronique diffus de rayon $\;\simeq 10^{-10}\;m\;$».

Liaison entre l’« échelle spatiale sondée » et l’« énergie mise en jeu » par les particules α entrant en collision avec les noyaux d’or dans l’expérience de Rutherford

     L’interaction existant entre la particule projectile $\;\alpha \;$ centrée en $\;M\;$ et le noyau cible de l’atome d’$Au\;$ centré en $\;O\;$ est une interaction électrique répulsive, le noyau cible d’$Au\;$ étant le centre de force subie par la particule $\;\alpha \;$ dont l’intensité d’interaction est «$\;F_{{\text{élec}}\,M\,\leftarrow \,O}={\dfrac {2\;Z\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;$» avec «$\;Z=79\;$ le nombre de charge de l’$Au\;$», «$\;2\;$ étant celui de l’hélion $\;{\big (}$ou particule $\;\alpha {\big )}\;$», «$\;\varepsilon _{0}\;$ la permittivité diélectrique du vide » et «$\;r\;$ la distance séparant la particule $\;\alpha \;$ du noyau d’$Au$ $\;{\big (}$tous deux considérés comme ponctuels${\big )}\;$» ;

     la force subie par la particule $\;\alpha \;$ dans le champ de force électrique du noyau d’$Au\;$ étant centrale et considérée comme la seule force, l’hélion a un mouvement à force centrale dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ lié au noyau d’$Au$, référentiel considéré comme galiléen, on peut donc en déduire « la conservation du moment cinétique vectoriel de l'hélion par rapport au noyau d’$Au\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$» $\;{\big [}$ainsi que la nature plane ou rectiligne du mouvement de l'hélion, l'applicabilité de la loi des aires et l'utilisation possible de la formule de Binet relative à l'accélération radiale${\big ]}\;$ et

     la force subie par la particule α dans le champ de force électriquede plus cette force étant conservative « dérivant » de l’énergie potentielle électrique «$\;U_{{\text{élec}}\,M\,\leftarrow \,O}={\dfrac {2\;Z\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r}}\;$» avec choix de référence à l’infini, on a aussi « conservation de l’énergie mécanique de l'hélion dans le champ de force du noyau d’$Au\;$ évaluée dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$» soit «$\;E_{m,\,\alpha \,\leftrightarrow \,Au}=K_{\alpha \,\leftrightarrow \,Au}+{\dfrac {2\;Z\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r}}=E_{m,\,\alpha ,\,0}=K_{\alpha ,\,0}\;$» $\;{\big [}$ainsi que l'utilisation possible de la formule de Binet relative au carré de la vitesse et l'étude du mouvement radial de l'hélion par diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique${\big ]}$ ;

     certaines particules $\;\alpha$ $\;{\big (}1\;$ sur $\;\simeq 10000\;$ à $\;20000{\big )}\;$ étant telles que «$\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;\parallel \;$ à $\;{\vec {V}}_{0}\;$» correspondant à une constante des aires «$\;C=0\;$» ont un mouvement rectiligne, faisant demi-tour quand elles sont à la distance minimale d'approche $\;r_{\text{min}}\;$ de leur noyau cible d’$Au\;$ correspondant soit, avec «$\;K_{\alpha \,\leftrightarrow \,Au}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}\;$», la réécriture de la conservation de l'énergie mécanique de l'hélion dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;E_{m,\,\alpha \,\leftrightarrow \,Au}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}+{\dfrac {2\;Z\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r}}=E_{m,\,\alpha ,\,0}=K_{\alpha ,\,0}\;$» d’où l’équation de détermination de $\;r_{\text{min}}\;$ pour laquelle $\;{\dot {r}}=0\;$ «$\;{\dfrac {2\;Z\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r_{\text{min}}}}=K_{\alpha ,\,0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;r_{\text{min}}={\dfrac {2\;Z\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;K_{\alpha ,\,0}}}\;$».

     Conclusion : Constatant que la détermination expérimentale de la distance minimale d'approche $\;r_{\text{min}}\;$ d'un noyau d'$Au\;$ par des particules $\;\alpha \;$ d'énergie cinétique $\;K_{\alpha ,\,0}\;$ fixée suit la relation «$\;r_{\text{min}}=$ ${\dfrac {2\;Z\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;K_{\alpha ,\,0}}}\;$» $\;{\big [}$plus $\;K_{\alpha ,\,0}\;$ est grande, plus $\;r_{\text{min}}\;$ possible est petite $\;{\big (}$en restant dans le cadre de l'expérience de Rutherford, c'est-à-dire une interaction purement électrostatique entre l'hélion et le noyau d'$Au\;$ correspondant${\big )}{\big ]}$, on peut affirmer que l’« échelle spatiale sondée d'un noyau cible d'$Au\;$» est en liaison avec l’« énergie mise en jeu par les particules projectiles $\;\alpha \;$», la 1^ère étant d'autant plus petite que la 2^nde est plus grande, sous réserve d'un choix adéquat d'interaction ;

     Conclusion : numériquement pour $\;V_{0}\simeq 2\;10^{7}\;m\cdot s^{-1}\;$ et $\;m_{\alpha }=6,8\;10^{-27}\;kg\;$ on trouve $\;K_{\alpha ,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\alpha }\;V_{0}^{2}\simeq {\dfrac {1}{2}}\times 6,8\;10^{-27}\times \left(2\;10^{7}\right)^{\!2}\simeq 1,36\;10^{-12}\;J$ $\;{\big [}\simeq 8,5\;MeV\;$${\big ]}\;$ et on en déduit, avec $\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\;U.S.I.\;$, $\;e\simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;$ et $\;Z=79$, «$\;r_{\text{min}}={\dfrac {2\;Z\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;K_{\alpha ,\,0}}}\simeq 9\;10^{9}\times {\dfrac {2\times 79\times \left(1,6\;10^{-19}\right)^{\!2}}{1,36\;10^{-12}}}\simeq 2,7\;10^{-14}\;m\;$» soit

«$\;r_{\text{min}}\simeq 27\;fm\;$» ordre de grandeur de la taille du noyau d'$Au$.