Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion

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Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion
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Chapitre no 13
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chap. préc. :Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités
Chap. suiv. :Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler
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Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion
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Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes.

Sommaire

Rappel de la 2ème intégrale 1ère du mouvement d’un point à force centrale conservative, conservation de son énergie mécanique[modifier | modifier le wikicode]

Expression de la partie orthoradiale de l’énergie cinétique d’un point ayant un mouvement à force centrale en fonction de sa distance au centre de force[modifier | modifier le wikicode]

     La partie orthoradiale de l'énergie cinétique du point matériel en mouvement à force centrale étant «» se réécrit, avec utilisation de la loi des aires « » étant la constante des aires [4], les lois horaires polaires du mouvement de dans le plan contenant la trajectoire du point « » [5], que l'on reporte dans l'expression de la partie orthoradiale de l'énergie cinétique du point matériel en mouvement à force centrale d’où

«» [6] dans laquelle « la dimension du temps est localisée dans » car
[7].

Définition de l’énergie potentielle effective du point M ayant un mouvement à force centrale conservative et réécriture de la conservation de son énergie mécanique à l’aide de ses paramètres de position radiale « r = OM » et de vitesse radiale « vr = ṙ », problème à un seul degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

Réécriture de la conservation de l’énergie mécanique en distinguant parties radiale et orthoradiale de l’énergie cinétique du point M ayant un mouvement à force centrale conservative[modifier | modifier le wikicode]

     Utilisant «» dans l'expression de l’énergie mécanique du point en mouvement à force centrale conservative de constante des aires [4] et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle , on obtient «» ou encore, avec l’expression de la partie orthoradiale de l'énergie cinétique ne dépendant que de la dimension du temps n'y étant apparente que dans la constante des aires «» et celle de sa partie radiale ne dépendant pas directement de mais de sa dérivée temporelle «», «», l'expression entre accolades dans le 2nd membre regroupant les termes ne dépendant que de , le reste du 2nd membre ne dépendant pas directement de mais de sa dérivée temporelle .

     Dans l'expression précédente de l'énergie mécanique considérée à l'instant , la partie entre accolades «» ne dépendant que du paramètre de position se comporte comme une énergie potentielle sans en être une car, si l'opposée de sa dérivée par rapport à à la dimension d'une force, elle est égale à [8] dans laquelle n'est pas une force, la partie hors accolades «» ne dépendant que de la dérivée temporelle du paramètre de position se comporte comme une énergie cinétique sans en être la totalité mais uniquement la partie radiale.

     Compte-tenu de ce qui précède, la conservation de l'énergie mécanique du point en mouvement à force centrale conservative de constante des aires [4] et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle se réécrit, avec « l'énergie mécanique initiale du point », selon

«».

Définition de l’énergie potentielle effective du point M ayant un mouvement à force centrale conservative[modifier | modifier le wikicode]

Réécriture de la conservation de l’énergie mécanique comme somme de la partie radiale de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle effective du point ayant un mouvement à force centrale conservative[modifier | modifier le wikicode]

     Compte-tenu de la définition de l’énergie potentielle effective [9] «», la conservation de l’énergie mécanique du point en mouvement à force centrale conservative de constante des aires [4] et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle se réécrit, à l'instant , selon

«» avec « l'énergie mécanique initiale du point ».

Commentaires[modifier | modifier le wikicode]

     La conservation de l’énergie mécanique du point en mouvement à force centrale conservative de constante des aires [4] et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle , écrite sous la forme «», étant une intégrale 1ère du mouvement de à un seul degré de liberté « le paramètre de position linéaire », peut être utilisée,

     à défaut d'une intégration de cette équation différentielle non linéaire du 1er ordre en facile ou même possible,

     pour faire une étude par diagramme d’énergies potentielle effective [9] et mécanique comme celle qui a été exposée, entre autres, dans les paragraphes « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre », « diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A. (pendule élastique horizontal non amorti) » et « diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “ 1a ” (pendule pesant simple non amorti) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »

Diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d’un point ayant un mouvement à force centrale conservative, 1ers exemples, états lié et de diffusion[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la méthode d’étude du mouvement d’un point à un paramètre de position par diagramme d’énergies potentielle et mécanique[modifier | modifier le wikicode]

     La méthode d'étude du mouvement d'un point à un paramètre de position par diagramme d’énergies potentielle et mécanique est exposée en détail dans l'un des paragraphes suivants du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » :

     Ci-après rappel des grandes lignes : Dans un même système d'axes, « paramètre de position par exemple » en abscisse et « énergie » en ordonnée, on trace les courbes

  • d'énergie potentielle c'est-à-dire l'ensemble des points d'abscisse « le paramètre de position » et d'ordonnée « l'énergie potentielle » et
  • d'énergie mécanique c'est-à-dire l'ensemble des points d'abscisse « le paramètre de position » et d'ordonnée « l'énergie mécanique » laquelle, restant égale à l'énergie mécanique initiale pour toute valeur du paramètre de position, fait que est une droite à l'axe des d'ordonnée  ;

     Ci-après rappel des grandes lignes : de la superposition des deux courbes on en déduit les éventuels « murs d'énergie potentielle » correspondant aux « abscisses » pour lesquelles « » c'est-à-dire «», les « zones interdites étant les domaines d'abscisses répondant à » c'est-à-dire ceux qui nécessiteraient «» ;

     Ci-après rappel des grandes lignes : trois cas sont alors possibles :

  • une énergie mécanique initiale telle que « est supérieure à la valeur maximale de l'énergie potentielle », il n’y a alors aucun mur d’énergie potentielle, la trajectoire est non bornée c'est l'exemple du mouvement révolutif d’un P.P.S. voir le paragraphe « condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »,
  • une énergie mécanique initiale telle qu'il n’y a qu’un mur d’énergie potentielle, la trajectoire est cinématiquement non bornée avec éventuellement un point de changement de sens du mouvement sur le mur d’énergie potentielle c'est l'exemple de la chute verticale d’un corps, le mur d’énergie potentielle correspondant à l’altitude maximale voir le paragraphe « cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », la présence d'un seul mur d'énergie potentielle a pour conséquence :
         si les points et ont un déplacement tel que leur abscisse commune se rapproche de il y a un changement de sens du mouvement lors de l'arrivée sur le mur d'énergie potentielle suivi d'une phase d'éloignement de ces points du mur tel que leur abscisse commune tende vers l'infini,
         si les points et ont un déplacement tel que leur abscisse commune se rapproche de il n'y a aucun changement de sens du mouvement, l'abscisse commune tendant alors vers l'infini,
         dans les deux cas, on dit que le point est dans un état de diffusion ou
  • une énergie mécanique initiale telle qu'il y a deux murs d’énergie potentielle en regard, la trajectoire est cinématiquement bornée avec un changement de sens du mouvement sur chaque mur d’énergie potentielle assurant un mouvement oscillatoire du point matériel c'est l'exemple du mouvement pendulaire du P.P.S.N.A. voir le paragraphe « condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », on dit que le point est dans un état lié.

     Remarque : Par la conservation de l’énergie mécanique on peut exprimer la durée élémentaire «» correspondant à la variation élémentaire du paramètre de position « ou ou encore », puis exprimer, sous forme intégrale, définie sur un intervalle de paramètre de position, la « durée nécessaire au parcours de cet intervalle » [10] sur l’exemple du P.P.S.N.A. on montre ainsi que le mouvement révolutif ou pen-dulaire est périodique et on exprime la période sous forme intégrale voir les paragraphes « détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale dans le cas du P.P.S. lancé dans les C.I. “ 1a ” » ainsi que « dans le cas révolutif » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Exemples de diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d’un point ayant un mouvement à force centrale conservative[modifier | modifier le wikicode]

     Tout d'abord il s'agit de tracer, dans un même système d'axes, avec pour abscisse « la coordonnée radiale du point matériel dont le mouvement est à force centrale conservative » servant de paramètre de position et pour ordonnée « l'énergie potentielle effective [9] ou mécanique», les courbes

  • d'énergie potentielle effective [9] c'est-à-dire l'ensemble des points d'abscisse « la coordonnée radiale de » et d'ordonnée « l'énergie potentielle effective [9] » étant l'énergie potentielle dont « dérive » la force centrale conservative et la constante des aires [4] du mouvement du point matériel sachant que le 2ème terme de l'énergie potentielle effective [9] «» est une fonction de variant de à quand de à , la forme de dépend de la variation du 1er terme de l'énergie potentielle effective [9] «» sur le même intervalle de variation de à savoir «» c'est-à-dire encore du caractère « répulsif ou attractif » du centre de force
         « si est un centre répulsif » est est « quand de à avec si la référence de [2] est choisie à l'infini », la conséquence étant que « est une fonction de variant de à quand de à » alors que
         « si est un centre attractif » est est « quand de à avec si la référence de [2] est choisie à l'infini » est donc , une conséquence possible mais ce n'est pas la seule étant que « est une fonction d'abord de quand à partir de avec ceci supposant que est telle que moins rapidement que au voisinage de puis une fonction de à partir d'une valeur pour laquelle soit, avec , «» cette phase de croissance nécessitant l'existence d'une solution à l'équation usuellement algébrique [11] «», ce qui est réalisé dans la mesure où n'est pas trop grand sinon l'absence de solution entraîne que l'énergie potentielle effective [9] est une fonction de sur tout l'intervalle , la limite de quand étant et
  • d'énergie mécanique c'est-à-dire l'ensemble des points d'abscisse « la coordonnée radiale de » et d'ordonnée « l'énergie mécanique » d'où restant égale à l'énergie mécanique initiale pour toute valeur de la coordonnée radiale, fait que est une droite à l'axe des d'ordonnée .
Exemples de diagrammes d'énergies potentielle effective [9] et mécanique d'un mouvement à force centrale conservative, celui de gauche entraînant un état de diffusion et celui de droite un état lié ou de diffusion suivant la valeur de l'énergie mécanique initiale

     Une fois ces tracés effectués voir ci-contre, la référence de [2] y étant choisie à l'infini ce qui n'est pas toujours possible[12] ,
          celui de gauche correspondant à un centre de force répulsif ou attractif avec une constante des aires suffisamment grande et
          celui de droite correspondant à un centre de force attractif avec une constante des aires non trop grande et moins rapidement que au voisinage de .

     La justification de l'applicabilité de l'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du mouvement du point matériel à force centrale conservative provient de la forme de la conservation de l'énergie mécanique de « » montrant que le mouvement radial de dépend de la variation temporelle du « paramètre de position » ainsi que de celle de « la dérivée temporelle de ce dernier », ces variations pouvant s'obtenir de façon qualitative par diagramme d'énergies de point à un seul paramètre de position , jouant le rôle de l'énergie cinétique et celui de l'énergie potentielle

     Commentaires sur le diagramme d'énergies potentielle effective [9] et mécanique du mouvement du point matériel à force centrale conservative représenté ci-dessus à gauche :

     Commentaires supposons que les C.I. [13] de lancement du point non indiquées sur le diagramme ci-dessus à gauche correspondent à une coordonnée radiale à la quantité représentée sur le diagramme ci-dessus à gauche et une vitesse radiale , nous en déduisons une de entraînant un déplacement simultané des points génériques et des courbes et ainsi qu'une continue de [14] une continue de jusqu'à ce que et rencontrent « l'unique mur d'énergie potentielle effective [9] d'abscisse » ;

     Commentaires à ce stade la présence du mur d'énergie potentielle effective [9] interdisant la de nous en déduisons que « reste constant [15] ou » ;

     Commentaires montrons que n'est pas acceptable compte-tenu de «» en effet «» se réécrivant, avec la composante de la force centrale conservative et l'utilisation de la loi des aires , «» ou encore, en utilisant l'expression de l'accélération radiale du repérage polaire [16] , «» soit finalement, compte-tenu de la projection sur de la r.f.d.n. [17] appliquée à «», «» et par suite « » ce qui interdit que reste constant [15] à la valeur de  ;

     Commentaires en conséquence la seule possibilité pour les points et lorsqu'ils arrivent sur « l'unique mur d'énergie potentielle effective [9] d'abscisse » est de repartir vers la droite sur leur courbe respective, ce qui entraîne la continue de jusqu'à l'infini en absence d'un 2nd mur d'énergie potentielle effective [9] en regard du 1er ;

     Commentaires la présence d'un seul mur d'énergie potentielle effective [9] correspond à un état de diffusion du mouvement radial du point .

     Commentaires sur le diagramme d'énergies potentielle effective [9] et mécanique du mouvement du point matériel à force centrale conservative représenté ci-dessus à droite :

     Commentaires dans le cas où l'énergie mécanique initiale est il n'y a qu'un seul mur d'énergie potentielle effective [9] d'abscisse permettant de refaire exactement le même raisonnement que celui qui a été exposé lors de l'étude du diagramme d'énergies potentielle effective [9] et mécanique du mouvement du point matériel à force centrale conservative représenté ci-dessus à gauche, on observe donc un état de diffusion du mouvement radial du point  ;

     Commentaires dans le cas où l'énergie mécanique initiale est il y a deux murs d'énergie potentielle effective [9] d'abscisse respective et , le raisonnement de description du mouvement radial du point est le suivant :

          Commentaires supposons que les C.I. [13] de lancement du point non indiquées sur le diagramme ci-dessus à droite correspondent à une coordonnée radiale à la quantité et à la quantité toutes deux représentées sur le diagramme ci-dessus à droite et une vitesse radiale , C.I. [13] telles que « soit à la valeur minimale de l'énergie potentielle effective » [9], nous en déduisons une de entraînant un déplacement simultané des points génériques et des courbes et ainsi qu'une variation continue de [14] éventuellement d'abord une si est à la valeur de rendant minimale, suivie d'une jusqu'à à l'arrivée sur le mur une même variation continue de se terminant par une jusqu'à ce que et rencontrent « le mur d'énergie potentielle effective [9] d'abscisse » ;

                Commentaires à ce stade la présence du mur d'énergie potentielle effective [9] de droite interdisant la de nous en déduisons que « reste constant [15] ou » ;

                Commentaires montrons que n'est pas acceptable compte-tenu de «» en effet «» se réécrivant, avec la composante de la force centrale conservative et l'utilisation de la loi des aires , «» ou encore, en utilisant l'expression de l'accélération radiale du repérage polaire [16] , «» soit finalement, compte-tenu de la projection sur de la r.f.d.n. [17] appliquée à «», «» et par suite « » ce qui interdit que reste constant [15] à la valeur de  ;

                Commentaires en conséquence la seule possibilité pour les points et lorsqu'ils arrivent sur « le mur d'énergie potentielle effective [9] d'abscisse » est de repartir vers la gauche sur leur courbe respective, ce qui entraîne la continue de jusqu'à ce que et rencontrent « le 2ème mur d'énergie potentielle effective [9] d'abscisse » ;

                Commentaires à ce stade la présence du mur d'énergie potentielle effective [9] de gauche interdisant la de nous en déduisons que « reste constant [15] ou » ;

                Commentaires nous montrons alors que n'est pas acceptable compte-tenu de «» la justification étant la même que celle exposée lors de l'étude de l'arrivée des points et sur le mur d'énergie potentielle effective [9] dans le diagramme d'énergies potentielle effective [9] et mécanique du mouvement du point matériel à force centrale conservative représenté ci-dessus à droite «» et par suite « » ce qui interdit que reste constant [15] à la valeur de  ;

                Commentaires en conséquence la seule possibilité pour les points et lorsqu'ils arrivent sur « le 2ème mur d'énergie potentielle effective [9] d'abscisse » est de repartir vers la droite sur leur courbe respective, ce qui entraîne la continue de jusqu'à ce que et rencontrent « le 1er mur d'énergie potentielle effective [9] d'abscisse » ;

                Commentaires

                Commentaires la présence de deux murs d'énergie potentielle effective [9] en regard correspond à un état lié du mouvement radial du point  ;

          Commentaires supposons que les C.I. [13] de lancement du point non indiquées sur le diagramme ci-dessus à droite correspondent à une coordonnée radiale particulière abscisse pour laquelle l'énergie potentielle effective [9] est minimale, non représentée sur le diagramme ci-dessus à droite et une vitesse radiale , C.I. [13] telles que « est à la valeur minimale de l'énergie potentielle effective » [9], nous en déduisons la confusion des deux murs d'énergie potentielle effective en regard précédemment introduits dans le cas où en un « guide d'énergie potentielle effective » d'abscisse  ; les points génériques et des courbes et restent donc bloqués sur ce « guide » ce qui a pour conséquence que reste constant [15] à la valeur de la constance de à la valeur est en accord avec «» sachant que «» étant toujours applicable nous conduit à simultanément à donc finalement  ;

                Commentaires la présence d'un guide d'énergie potentielle effective [9] d'abscisse en laquelle l'énergie potentielle effective [9] est minimale correspond à un état lié associé à un mouvement circulaire du point de centre « le centre d'action de la force » et de rayon « l'abscisse du guide d'énergie potentielle effective » [9].

États lié et de diffusion du point M dans le champ de force centrale conservative[modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons observé, dans les exemples précédemment traités de diagramme d'énergies potentielle effective [9] et mécanique de mouvement d'un point matériel à force centrale conservative, deux types d’états possibles pour le mouvement radial de suivant que

  • « peut prendre toutes valeurs » valeur du paramètre de position radiale du seul mur d’énergie potentielle effective [9] de la courbe de même nom, « définissant la distance minimale d’approche », l'état suivi par le mouvement radial du point étant qualifié d’« état de diffusion » ou
  • « ne peut sortir d’un intervalle » valeurs du paramètre de position radiale des deux murs d’énergie potentielle effective [9] de la courbe de même nom, avec « définissant la distance minimale d’approche » et « la distance maximale d’éloignement », l'état suivi par le mouvement radial du point étant qualifié d’« état lié ».

Détermination des distances extrémales d’approche et d’éloignement sous réserve d'existence[modifier | modifier le wikicode]

     Les distances extrémales d’approche et d’éloignement du point matériel décrivant un mouvement à force centrale conservative de constante des aires [4] « et » peuvent se déterminer quand celles-ci existent

  • graphiquement comme valeurs du paramètre de position radiale des murs d’énergie potentielle effective [9] du courbe de même nom ou
  • algébriquement par équation utilisant dans la conservation de l’énergie mécanique soit l'équation «» [18], cette équation usuellement algébrique [11] admet « une seule solution réelle dans un état de diffusion » et « deux solutions réelles dans un état lié » [19].

     Exemple de détermination algébrique des distances extrémales d'approche et d'éloignement dans le cas d'une force newtonienne [20] avec constante réelle non nulle [21] « dérivant » de l'énergie potentielle «», le choix de sa référence [2] étant en  : l'énergie potentielle effective [9] s'écrivant «», les distances extrémales d’approche et d’éloignement du point matériel sont solutions de l'équation algébrique [11] «» ou «» laquelle est équivalente à «» c'est-à-dire
     Exemple pour l'équation algébrique [11] du 2ème degré en normalisée «» de discriminant toujours [22] soit deux racines réelles dont le signe dépend de celui de plus précisément
          Exemple si est le produit des racines étant il n'y a qu'une seule racine correspondant à la distance minimale d'approche [23] alors que
          Exemple si est le produit des racines étant et la somme étant en pratique toujours en effet pour avoir il est nécessaire que puisse prendre des valeurs ce qui impose c'est-à-dire un centre de force attractif, il y a donc deux racines distinctes correspondant, pour la plus petite, à la distance minimale d'approche [24] et, pour la plus grande, à la distance maximale d'éloignement [25] ;
     Exemple pour l'équation algébrique [11] du 1er degré en normalisée «» admet toujours une racine réelle mais, pour que celle-ci soit , doit être [26] correspondant à un centre de force attractif ne pouvant être nulle avec un centre de force répulsif [26], cette racine correspondant à la distance minimale d'approche [27].

En complément : « possibilité de détermination de la loi horaire r = r(t) et de l’équation polaire de la trajectoire r = r(θ) »[modifier | modifier le wikicode]

     On peut aussi se servir de la conservation de l'énergie mécanique du point matériel décrivant un mouvement à force centrale conservative de constante des aires [4] pour déterminer

  • la loi horaire radiale du mouvement du point à savoir «[28] » ou
  • l'équation polaire de la trajectoire de ce dernier à savoir «[29] »

     mais dans les deux cas c'est le plus souvent compliqué voire très compliqué et même parfois, non intégrable autrement que numériquement

« Possibilité de détermination de la loi horaire radiale r = r(t) de M dont le mouvement est à force centrale conservative »[modifier | modifier le wikicode]

     De l'intégrale 1ère énergétique du mouvement du point matériel décrivant un mouvement à force centrale conservative « dérivant » de l'énergie potentielle et de constante des aires [4] à savoir «» avec et , on tire «» ou, en séparant les variables, « » avec choix du « signe si le mouvement à l'instant correspond à une phase d'éloignement du centre de force » et du « signe si le mouvement à l'instant est une phase d'approche de » ;

     après une éventuelle intégration analytique [30] ou numérique de «» [31] on peut obtenir la loi horaire radiale du mouvement de sous la forme «» puis, si la fonction est inversable, sous la forme «»

     Dans la mesure où la loi horaire radiale du mouvement du point a pu être trouvée et mise sous la forme «», on peut déterminer la loi horaire de vitesse angulaire du mouvement du point par utilisation de la loi des aires «» «» puis, après séparation des variables «», poursuivre en intégrant analytiquement [30] ou numériquement selon « » [31] pour obtenir la loi horaire angulaire du mouvement du point «».

« Possibilité de détermination de l'équation polaire r = r(θ) de la trajectoire de M dont le mouvement est à force centrale conservative »[modifier | modifier le wikicode]

     De l'intégrale 1ère énergétique du mouvement du point matériel décrivant un mouvement à force centrale conservative « dérivant » de l'énergie potentielle et de constante des aires [4] à savoir «» avec et , on a tiré dans le paragraphe précédent «» avec choix du « signe si le mouvement à l'instant correspond à une phase d'éloignement du centre de force » et du « signe si le mouvement à l'instant est une phase d'approche de » ;

     de «» on en déduit, par utilisation de la loi des aires «» «», «» «» ou, en reportant l'expression de en fonction de précédemment trouvée, «» ou, en séparant les variables, «» avec, dans le cas où est , choix du « signe si l'abscisse angulaire lors d'une phase d'éloignement du centre de force » et du « signe si lors d'une phase d'approche de » alors que, dans le cas où est , les choix sont inversés c'est-à-dire choix du « signe si l'abscisse angulaire lors d'une phase d'éloignement du centre de force » et du « signe si lors d'une phase d'approche de » ;

     après une éventuelle intégration analytique [30] ou numérique de «» [31] on peut obtenir l'équation polaire de la trajectoire de sous la forme «» puis, si la fonction est inversable, sous la forme «»

En complément : oscillateur harmonique spatial (non amorti), détermination de son mouvement par r.f.d.n., de ses demi-grand axe et demi-petit axe par étude énergétique utilisant l’énergie potentielle effective[modifier | modifier le wikicode]

     L'étude de l'oscillateur harmonique spatial n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., ce dernier n’exigeant que la connaissance de l’oscillateur harmonique à une dimension, toutefois, quand on projette un oscillateur harmonique spatial sur un axe on obtient un oscillateur harmonique à une dimension, d'où l'intérêt de présenter cette étude

Définition d’un oscillateur harmonique spatial (non amorti)[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : Il peut, bien sûr, y avoir d’autres forces mais celles-ci doivent avoir une influence négligeable devant celle de la force par exemple, si le référentiel d’étude est la Terre, il y a nécessairement le poids du point matériel mais l'influence de celui-ci peut être négligée si sa norme est faible devant celle de ou se compenser entre elles par exemple, le référentiel d’étude étant toujours la Terre, le poids du point matériel reposant, sans frottement solide, sur un plan horizontal, est compensé par la réaction de ce plan.

1ères propriétés du mouvement de M[modifier | modifier le wikicode]

     La définition d'un oscillateur harmonique spatial non amorti communique à ce dernier un « mouvement à force centrale conservative », on en déduit donc les propriétés suivantes les 1ères étant caractéristiques d'un mouvement à force centrale conservative ou non, les 2ndes nécessitant que le mouvement soit à force centrale conservative, ceci dans la mesure où le référentiel d'étude est galiléen :

  • « conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport à » nature plane ou rectiligne [34] du mouvement,
           « conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport à O » applicabilité de la loi des aires et
           « conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport à O » possibilité d’utiliser la formule de Binet [35] relative à l’accélération radiale [36],
  • « conservation de son énergie mécanique simultanément à l’utilisation de la loi des aires» possibilité d’utiliser la formule de Binet [35] relative au carré de la vitesse [36] ou
            « conservation de son énergie mécanique (simultanément à l’utilisation de la loi des aires) » possibilité d'utiliser le diagramme d’énergies potentielle effective [9] et mécanique du mouvement radial de pour établir qu'il est dans un « état lié » [37] d'une part et déterminer les distances extrémales d’approche et d’éloignement du point de façon graphique ou algébrique d'autre part.

Nature de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     Bien que le mouvement d'un oscillateur harmonique spatial non amorti soit à force centrale, il est inutile et même nettement plus compliqué d’utiliser cette propriété car l’application directe de la r.f.d.n. [17] nous conduit à une équation différentielle linéaire homogène à cœfficients constants du 2ème ordre en «» sans terme du 1er ordre particulièrement simple à intégrer.

Détermination de l’équation différentielle en vecteur position de M par application de la r.f.d.n.[modifier | modifier le wikicode]

     La r.f.d.n. [17] appliquée à l'oscillateur harmonique spatial non amorti dans le référentiel d'étude galiléen donne « ou » soit, après normalisation,

«»
une équation différentielle linéaire homogène à cœfficients constants du 2ème ordre en «» sans terme du 1er ordre
caractéristique d'un oscillateur harmonique spatial non amorti [38] ;

     on définit alors la pulsation propre de cet oscillateur harmonique spatial non amorti «» et la forme canonique de l’équation différentielle vectorielle du mouvement de ce dernier s'écrit selon

«».

Loi horaire vectorielle du vecteur position de M[modifier | modifier le wikicode]

     Le vecteur position de à l'instant «» est donc la solution libre de l’équation précédente c'est-à-dire du type «» [39] avec et vecteurs constants d’intégration [40] déterminés par C.I. [13]

Schéma décrivant la trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial non amorti , de pulsation propre , lancé dans des C.I. telles que les vecteurs position et vitesse initiales et ne sont pas colinéaires c'est-à-dire une ellipse de centre de symétrie « le centre de force » sont aussi représentés les demi-grand axe et demi-petit axe de l'ellipse [41]
  • « l'axe étant choisi passant par » d'où «» et
  • « l'axe étant choisi à tel que soit dans le plan et » avec « et » [42] les angles du plan étant orientés par le vecteur unitaire au plan et pointant vers le lecteur en accord avec direct d'où «» ou, en décomposant sur les deux axes cartésiens, «» ;

     finalement la loi horaire vectorielle du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial non amorti s’écrit

«»,
on y observe une relaxation périodique de période propre «».

Étude du mouvement et nature de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     La trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial non amorti d'équation paramétrique vectorielle «» est, dans la mesure où est à « une ellipse de centre » [34] inscrite dans un parallélogramme de côtés respectivement à et car

  • d'une part la trajectoire est plane [43] contenue dans le plan contenant et étant une C.L. [44] de et et
  • d'autre part le mouvement est « la composition de deux mouvements rectilignes sinusoïdaux en quadrature, de même pulsation », d’amplitudes respectives « et » dans laquelle suivant deux directions distinctes «» et «», voir schéma ci-dessus,

     ces deux propriétés caractérisant le mouvement d'un point décrivant une ellipse de centre inscrite dans un parallélogramme dont les côtés sont respectivement aux directions suivant lesquelles sont repérés les mouvements rectilignes sinusoïdaux en quadrature et de même pulsation généralisation [45] du paragraphe « équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » quand les axes ne sont plus  ;

     le mouvement de sur l'ellipse est périodique, de période propre «»,