Leçons de niveau 16

Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C

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Topologie de R ou C
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Exercices no1
Leçon : Topologie générale

Ces exercices sont de niveau 16.

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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

1.— Soit une suite réelle bornée telle que . Montrer que l’ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est un segment non vide de .

2.— Soit une fonction continue et définie par et la relation . Montrer que la suite converge si (et bien sûr seulement si) .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit un sous-groupe additif non nul de . On note l'ensemble (non vide et minoré) des éléments strictement positifs de et sa borne inférieure.

  1. Montrer que si alors .
  2. Montrer que si alors est dense dans .
  3. Décrire les sous-groupes fermés de .
  4. Soit . Montrer que le sous-groupe est dense dans si et seulement si .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Quels sont les sous-groupes multiplicatifs non denses de  ? (Indication : regarder l'image par et utiliser l'exercice précédent). En déduire les sous-groupes multiplicatifs non denses de .
  2. Montrer qu'un sous-groupe multiplicatif de est soit cyclique d'ordre fini, soit dense dans . (Indication : utiliser l'application .)
  3. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est .