Leçons de niveau 16

Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C

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Topologie de R ou C
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Exercices no1
Leçon : Topologie générale

Exercices de niveau 16.

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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

1.— Soit une suite réelle bornée telle que . Montrer que l’ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est un segment non vide de .

2.— Soit une fonction continue et définie par et la relation . Montrer que la suite converge si (et bien sûr seulement si) .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit un sous-groupe additif non nul de . On note l'ensemble (non vide et minoré) des éléments strictement positifs de et sa borne inférieure.

  1. Montrer que si alors .
  2. Montrer que si alors est dense dans .
  3. Décrire les sous-groupes fermés de .
  4. Soit . Montrer que le sous-groupe est dense dans si et seulement si .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Quels sont les sous-groupes multiplicatifs non denses de  ? (Indication : regarder l'image par et utiliser l'exercice précédent). En déduire les sous-groupes multiplicatifs non denses de .
  2. Montrer qu'un sous-groupe multiplicatif de est soit cyclique d'ordre fini, soit dense dans . (Indication : utiliser l'application .)
  3. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est .

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer toutes les applications telles que

et, parmi elles :

  • toutes celles qui sont continues ;
  • des exemples simples de solutions non continues.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer, pour tous les sous-ensembles de suivants, si ce sont des ouverts, des fermés, les deux, ou ni l'un ni l'autre. Donner également leurs intérieurs, adhérences et frontières.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Décrire géométriquement les 7 ensembles suivants de et dire s'il s'agit d'une partie ouverte, fermée, les deux, ou ni l'un ni l'autre. On utilisera la définition uniquement, à partir des boules ouvertes pour la distance euclidienne.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
  7. .

Soit une fonction continue. Montrer que l'ensemble est ouvert et en déduire que l'ensemble est fermé. Retrouver ainsi que toute droite de est fermée.

Déterminer (en justifiant) si les sous-ensembles de ci-dessous sont ouverts, fermés, bornés, compacts :

,

.

Décrire géométriquement les 6 parties suivantes de et dire pour chacune d'elles si c'est un ouvert, un fermé, ou ni l'un ni l'autre.

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6. .