En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Topologie de R ou C
Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
1.— Soit
une suite réelle bornée telle que
. Montrer que l’ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est un segment non vide de
.
Solution
- L'existence d'au moins une valeur d'adhérence est garantie par le fait que la suite est bornée dans
localement compact.
- Supposons que a et b soient valeurs d'adhérence de la suite (avec par exemple
)
Soit
. Montrons que c est aussi valeur d'adhérence de la suite :
Soit
et

Quitte à le remplacer par
on peut considérer
.
Comme a et b valeurs d'adhérence de la suite, alors


et


Supposons par exemple
:
Considérons
{
}
On a :
(par (1))
et
(par (2))
E est non vide et inclus dans
majoré, donc il admet un maximum N qui vérifie :

D'où
Conclusion : on a bien montré que
c'est-à-dire que
est valeur d'adhérence de la suite.
Ainsi, l’ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est un intervalle I non vide, borné de
Enfin, I est fermé, comme tout ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite. Donc I est un segment.
2.— Soit
une fonction continue et
définie par
et la relation
. Montrer que la suite converge si (et bien sûr seulement si)
.
Solution
Supposons que
.
Remarquons d'abord que toute valeur d'adhérence de la suite est un point fixe de la fonction. En effet, si
alors, par continuité de
en
,
, or
, donc
.
D'après la question 1, l'ensemble des valeurs d'adhérence est un segment
et d'après la remarque, ce segment est constitué de points fixes. Montrons par l'absurde que
: si
alors la suite prend au moins une fois ses valeurs dans
; elle est alors stationnaire, ce qui contredit l'hypothèse
. Par conséquent, la suite (bornée) n'a qu'une valeur d'adhérence, donc converge vers cette valeur.
Soit
un sous-groupe additif non nul de
. On note
l'ensemble (non vide et minoré) des éléments strictement positifs de
et
sa borne inférieure.
- Montrer que si
alors
.
- Montrer que si
alors
est dense dans
.
- Décrire les sous-groupes fermés de
.
- Soit
. Montrer que le sous-groupe
est dense dans
si et seulement si
.
Solution
- Si
alors :
appartient à
. En effet, sinon, il existerait dans
une suite
strictement décroissante et de limite
, et
serait alors une suite de
convergeant vers 0, ce qui contredirait
.
car
appartient à
et
est stable par additions et opposés.
car pour tout élément
de
, en notant
la partie entière de
on a
, c'est-à-dire
. Comme par ailleurs
appartient à
, on en déduit (par définition de
) que
, d'où
.
d'après les deux inclusions précédentes.
- Si
alors pour tout
, il existe un élément
de
tel que
. Tout intervalle de longueur
contient alors au moins un multiple entier de
et ce multiple appartient à
, donc
est dense.
- Les sous-groupes fermés de
sont donc
,
et les
pour tout réel
.
est non dense si et seulement s'il existe un réel
tel que
et
, c'est-à-dire s'il existe deux entiers
et
tels que
et
(autrement dit, d'après le théorème de Bézout :
et
premiers entre eux), donc si et seulement si
.
- Quels sont les sous-groupes multiplicatifs non denses de
? (Indication : regarder l'image par
et utiliser l'exercice précédent). En déduire les sous-groupes multiplicatifs non denses de
.
- Montrer qu'un sous-groupe multiplicatif de
est soit cyclique d'ordre fini, soit dense dans
. (Indication : utiliser l'application
.)
- Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite
est
.
Solution
-
- Soient
un tel sous-groupe et
son image dans
par l'homéomorphisme
. Alors,
n'est pas dense dans
. Il est donc de la forme
avec
, et
pour
. Réciproquement, toute partie
de cette forme est un sous-groupe non dense.
- Soient
un sous-groupe de
non inclus dans
, puis
et
(donc
). Si
est dense dans
,
est dense dans
. Si
,
. Si
avec
, comme
, il existe
tel que
, et en remplaçant
par son produit par une puissance adéquate de
, on peut se ramener à
ou
(selon la parité de
). Si
,
. Si
,
avec
.
- Soient
un tel sous-groupe et
son image réciproque par l'application
(donc
). Si
est dense dans
,
est dense dans
(car
donc
). Si
alors
donc
le sous-groupe des
racines
-ièmes de l'unité.
- Soit
. D'après la question précédente,
est dense dans
. Or l'application « partie réelle »
est continue, donc
. L'ensemble
est donc dense dans
. Par conséquent, tout élément de
est point d'accumulation de cet ensemble donc valeur d'adhérence de la suite.
Déterminer toutes les applications
telles que

et, parmi elles :
- toutes celles qui sont continues ;
- des exemples simples de solutions non continues.
Solution
Posons
. Ainsi, l'équation fonctionnelle sur
équivaut à l'équation suivante sur
:
,
que nous allons résoudre par analyse-synthèse (les solutions
de l'équation initiale s'en déduiront en posant
).
- Analyse
- Soit
une solution. L'ensemble
est alors un sous-groupe additif de
, et
.
- Soit
un ensemble de représentants du groupe quotient
et soit
la restriction de
à
.
- Tout réel
se décompose alors de façon unique sous la forme
avec
et
,
- et son image par
est donnée par :
.
- Synthèse
- Soient
un sous-groupe de
et
une application arbitraire,
étant un ensemble quelconque de représentants de
. Alors, l'application
définie par

- vérifie
et
(et même
, mais peu importe), donc elle vérifie
. La solution
correspondante est donnée par :
,
En résumé, les solutions
sont, pour un sous-groupe arbitraire
de
, les fonctions
-périodiques congrues à l'identité modulo
.
- Solutions continues
- Si
(donc
) est continue, le sous-groupe
est un intervalle (d'après le théorème des valeurs intermédiaires) donc est égal à
ou
.
- Si
,
est l'application nulle donc
.
- Si
,
est un singleton quelconque, par exemple
,
, et
.
- Les solutions continues
sont donc l'identité et les fonctions constantes.
- Exemples de solutions non continues
- Pour construire une solution non continue, il faut commencer par choisir dans
un sous-groupe
non trivial. Prenons le plus simple :
. Les solutions
correspondantes sont les fonctions de la forme

- où
désigne la partie fractionnaire de
et
est une application quelconque de
dans
.
Déterminer, pour tous les sous-ensembles de
suivants, si ce sont des ouverts, des fermés, les deux, ou ni l'un ni l'autre. Donner également leurs intérieurs, adhérences et frontières.
où
.
.
.
.
.
.
Solution
est un fermé car trivialement stable par limite de suite convergente. Son adhérence est donc lui-même. Son intérieur étant vide, sa frontière est également lui-même.
n'est pas fermé car
lui est adhérent (comme limite de la suite
) sans lui appartenir. De même, son complémentaire
n'est pas fermé car
lui est adhérent. Ce sous-ensemble n'est pas non plus ouvert. Son intérieur est
car le seul point qui n'est pas intérieur est
, son adhérence est
, et sa frontière est donc la paire
.
- L'adhérence de
est
(d'après les deux points précédents) et l'intérieur est
. Ce sous-ensemble n'est donc ni fermé, ni ouvert, et sa frontière est
.
est une union d'ouverts ; c'est donc un ouvert et son intérieur est lui-même. Son adhérence est
, et sa frontière est donc
.
est un (intervalle) ouvert. Son intérieur est donc lui-même. Son adhérence est
, et sa frontière est donc
.
n'est pas fermé dans
car son adhérence est
(autrement dit :
est dense dans
). De même,
est dense dans
, donc
n'est pas ouvert car son intérieur est vide. Donc sa frontière est
.
Décrire géométriquement les 7 ensembles suivants de
et dire s'il s'agit d'une partie ouverte, fermée, les deux, ou ni l'un ni l'autre. On utilisera la définition uniquement, à partir des boules ouvertes pour la distance euclidienne.
.
.
.
.
.
.
.
Solution
est le plan privé des deux droites verticales
,
et des deux droites horizontales
,
. C'est donc un ouvert, comme intersection de quatre ouverts. En effet, le plan privé d'une droite
est ouvert car si
alors
et
. Ce n'est pas un fermé, car son complémentaire (l'union E des quatre droites) n'est pas un ouvert et même, pour tout point M de E, aucun disque B(M, r) (r > 0) n'est incluse dans E.
est la réunion des deux droites verticales
,
, privées chacune des deux points d'ordonnée
ou
. Ce n'est ni un ouvert (comme E dans la question précédente), ni un fermé car son complémentaire n'est pas voisinage des quatre points particuliers mentionnés
.
est l'ensemble de ces mêmes quatre points. Il est donc fermé, comme union finie de fermés. En effet, le plan privé d'un point est ouvert (par le même argument que pour le plan privé d'une droite). Et il n'est pas ouvert (comme E dans la question 1).
est une droite. Elle est donc fermée (cf. question 1) et non ouverte (comme E dans la question 1).
est un disque ouvert donc un ouvert. Il n'est pas fermé car pour tout point
du cercle qui le borde, tout disque ouvert de centre
rencontre
.
- Le demi-plan
est ouvert, par le même raisonnement que l'ensemble de la question 1. Il n'est pas fermé car pour tout point
de la droite qui le borde, tout disque ouvert de centre
rencontre
.
- Le demi-disque
est ouvert, comme intersection d'ouverts. Il n'est pas fermé car pour tout point
de sa frontière (constituée d'un segment et d'un demi-cercle) tout disque ouvert de centre
rencontre
.
Soit
une fonction continue. Montrer que l'ensemble
est ouvert et en déduire que l'ensemble
est fermé. Retrouver ainsi que toute droite de
est fermée.
Solution
Soient
et
. Par continuité de
au point
, il existe
tel que pour tout
,
, ce qui implique
. Ainsi,
, ce qui achève de prouver que
est ouvert. On montre de même que l'ensemble
est ouvert (ou on le déduit de ce qui précède, en remplaçant
par
). Ainsi,
est ouvert (comme toute union — finie ou pas — d'ouverts) donc son complémentaire
est fermé. En particulier, toute droite est fermée car son équation est de la forme
avec
continue.
Déterminer (en justifiant) si les sous-ensembles de
ci-dessous sont ouverts, fermés, bornés, compacts :
,
.
Solution
Dans
, les compacts sont les fermés bornés.
Clairement,
et
sont bornés mais pas
ni
.
,
et
sont fermés, comme images réciproques de fermés de
(les fermés
,
et
) par des applications continues de
dans
.
La cardioïde
est un compact, comme image directe du compact
par une application continue à valeurs dans
. Une autre méthode est de mettre cet ensemble sous la même forme que les trois précédents : il a pour équation polaire
, ou encore
, donc pour équation cartésienne
.
Ces quatre fermés ne sont pas ouverts, puisque
est connexe.
Décrire géométriquement les 6 parties suivantes de
et dire pour chacune d'elles si c'est un ouvert, un fermé, ou ni l'un ni l'autre.
;
;
;
;
;
.
Solution
- Cette hyperbole est un fermé, comme image réciproque du fermé
de
par l'application continue
.
- Cette réunion de deux bandes verticales ouvertes
et
est un ouvert, comme image réciproque de l'ouvert
de
par l'application continue
.
- Ce carré avec ses deux bords horizontaux mais sans ses deux bords verticaux n'est ni ouvert (il contient des points d'ordonnée
, qui sont sur sa frontière), ni fermé (il ne contient pas les points d'abscisse
de sa frontière).
- Cette droite est (comme toute droite) un fermé, comme image réciproque du fermé
de
par l'application continue
.
- Cette bande verticale avec son bord droit n'est ni ouverte (elle contient la droite
, qui est sur sa frontière), ni fermée (elle ne contient pas les points d'abscisse
de sa frontière).
- Ce plan privé de quatre droites est un ouvert, puisque ces droites sont des fermés, ou encore : c'est l'intersection de deux ouverts images réciproques de l'ouvert
de
par deux applications continues (
et
).
Soit
constituée en intercalant de façon arbitraire toutes les valeurs de deux suites réelles
,
(par exemple :
). Démontrer que
et
.
Solution
Prouvons la première égalité (la seconde se démontre de même, ou s'en déduit par passage aux opposés).
Soient
les
respectives de ces trois suites, et
. Il s'agit de montrer que
.
D'abord,
car
et
. En effet,
et
sont limites de sous-suites de
et de
respectivement, or ce sont des sous-suites de
, donc
et
sont des valeurs d'adhérence de
, or
est la plus petite.
Réciproquement,
car
est limite d'une sous-suite de
, qui contient au moins une infinité de termes de la
suite
ou une infinité de termes de la suite
(ou les deux). De cette sous-suite de
on peut alors extraire une sous-suite de
ou une sous-suite de
. La limite de cette sous-sous-suite sera
dans le premier cas et
dans le second, donc
dans les deux cas. Or cette limite de la sous-sous-suite est celle de la sous-suite, c'est-à-dire
.
Soient
, montrer que
.