Aller au contenu

Fonctions d'une variable complexe/Fonctions holomorphes

Leçons de niveau 15
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
Fonctions holomorphes
Icône de la faculté
Chapitre no 1
Leçon : Fonctions d'une variable complexe
Retour auSommaire
Chap. suiv. :Le logarithme complexe
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonctions d'une variable complexe : Fonctions holomorphes
Fonctions d'une variable complexe/Fonctions holomorphes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Fonction holomorphe et dérivée

[modifier | modifier le wikicode]


Celà revient à demander à ce que l’application réelle sous-jacente , définie par : , soit de classe et que sa dérivée soit -linéaire.

Équation de Cauchy-Riemann

[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque : représente l'opérateur de dérivation partielle par rapport à la première variable, parfois noté .

L'équation de Cauchy-Riemann fournit ainsi une condition nécessaire (voir plus bas) et suffisante d'holomorphie sur un ouvert.

L'équation de Cauchy-Riemann peut aussi s'écrire sous la forme d'un système de deux équations aux dérivées partielles réelles :

On obtient alors :

,

ce qui donne le système :

Dérivées des fonctions holomorphes

[modifier | modifier le wikicode]

Les règles de dérivation des fonctions réelles s'appliquent aussi aux fonctions holomorphes.

  • La fonction constante est holomorphe de dérivée nulle.
  • Les monômes sont des fonctions holomorphes sur , et on a pour tout .
  • et sont définies holomorphes sur et les règles de dérivations usuelles dans s'étendent. Ainsi, on a : , .
  • De même pour l'exponentielle : .
  • La fonction est holomorphe sur et l'on a .

Propriétés des fonctions holomorphes

[modifier | modifier le wikicode]
Début de l'exemple
Fin de l'exemple