Leçons de niveau 15

Fonctions d'une variable complexe/Fonctions holomorphes

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Fonctions holomorphes
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Chapitre no 1
Leçon : Fonctions d'une variable complexe
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Fonction holomorphe et dérivée[modifier | modifier le wikicode]



Celà revient à demander à ce que l’application réelle sous-jacente , définie par : , soit de classe et que sa dérivée soit -linéaire.

Équation de Cauchy-Riemann[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque : représente l'opérateur de dérivation partielle par rapport à la première variable, parfois noté .

L'équation de Cauchy-Riemann fournit ainsi une condition nécessaire (voir plus bas) et suffisante d'holomorphie sur un ouvert.

L'équation de Cauchy-Riemann peut aussi s'écrire sous la forme d'un système de deux équations aux dérivées partielles réelles :

On obtient alors :

,

ce qui donne le système :

Dérivées des fonctions holomorphes[modifier | modifier le wikicode]

Les règles de dérivation des fonctions réelles s'appliquent aussi au fonctions holomorphes.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

  • La fonction constante est holomorphe de dérivée nulle.
  • Les monômes sont des fonctions holomorphes sur , et on a pour tout .
  • et sont définies holomorphes sur et les règles de dérivations usuelles dans s'étendent. Ainsi, on a : , .
  • De même pour l'exponentielle : .
  • La fonction est holomorphe sur et l'on a .

Propriétés des fonctions holomorphes[modifier | modifier le wikicode]




Début de l'exemple


Fin de l'exemple