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Fonctions d'une variable complexe : Fonctions holomorphes Fonctions d'une variable complexe/Fonctions holomorphes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition d'une fonction holomorphe
Soit
f
{\displaystyle f}
, une application définie sur un ouvert
Ω
{\displaystyle \Omega }
de
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
et à valeurs dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
(on dit aussi
fonction définie sur
Ω
{\displaystyle \Omega }
).
Soit
z
0
∈
Ω
{\displaystyle z_{0}\in \Omega }
tel que
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
−
f
(
z
0
)
z
−
z
0
{\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}
existe dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
Alors
f
{\displaystyle f}
est dite holomorphe en
z
0
{\displaystyle z_{0}}
et cette limite est appelée la dérivée de
f
{\displaystyle f}
en
z
0
{\displaystyle z_{0}}
. Nous noterons ce nombre
f
′
(
z
0
)
{\displaystyle f'(z_{0})}
, voire parfois,
D
f
(
z
0
)
{\displaystyle \mathrm {D} f(z_{0})}
.
On dira que
f
{\displaystyle f}
est
holomorphe sur
Ω
{\displaystyle \Omega }
, lorsqu'elle est holomorphe en tout point de
Ω
{\displaystyle \Omega }
.
Celà revient à demander à ce que l’application réelle sous-jacente
f
r
:
Ω
⊂
R
2
→
R
2
=
C
{\displaystyle f_{r}:\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {C} }
, définie par :
(
Re
f
(
z
)
,
Im
f
(
z
)
)
=
f
r
(
Re
z
,
Im
z
)
{\displaystyle (\operatorname {Re} f(z),\operatorname {Im} f(z))=f_{r}(\operatorname {Re} z,\operatorname {Im} z)}
, soit de classe
C
1
{\displaystyle C^{1}}
et que sa dérivée soit
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
-linéaire.
Soient
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}
et
f
∈
C
1
(
Ω
)
{\displaystyle f\in C^{1}(\Omega )}
.
Début d’un théorème
Théorème
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ƒ est holomorphe dans Ω si et seulement si
D
x
f
+
i
D
y
f
=
0
{\displaystyle \mathrm {D} _{x}f+\mathrm {i} \mathrm {D} _{y}f=0}
.
Fin du théorème
Remarque :
D
x
{\displaystyle D_{x}}
représente l'opérateur de dérivation partielle par rapport à la première variable, parfois noté
∂
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial {}}{\partial {x}}}}
.
L'équation de Cauchy-Riemann fournit ainsi une condition nécessaire (voir plus bas) et suffisante d'holomorphie sur un ouvert.
L'équation de Cauchy-Riemann peut aussi s'écrire sous la forme d'un système de deux équations aux dérivées partielles réelles :
D
x
f
+
i
D
y
f
=
D
x
(
Re
f
+
i
Im
f
)
+
i
D
y
(
Re
f
+
i
Im
f
)
{\displaystyle \mathrm {D} _{x}f+\mathrm {i} \mathrm {D} _{y}f=\mathrm {D} _{x}(\operatorname {Re} f+\mathrm {i} \operatorname {Im} f)+\mathrm {i} \mathrm {D} _{y}(\operatorname {Re} f+\mathrm {i} \operatorname {Im} f)}
On obtient alors :
[
D
x
(
Re
f
)
−
D
y
(
Im
f
)
]
+
i
[
D
y
(
Re
f
)
+
D
x
(
Im
f
)
]
=
0
{\displaystyle \left[\mathrm {D} _{x}\left(\operatorname {Re} f\right)-\mathrm {D} _{y}\left(\operatorname {Im} f\right)\right]+\mathrm {i} \left[\mathrm {D} _{y}\left(\operatorname {Re} f\right)+\mathrm {D} _{x}\left(\operatorname {Im} f\right)\right]=0}
,
ce qui donne le système :
{
D
x
(
Re
f
)
=
D
y
(
Im
f
)
D
y
(
Re
f
)
=
−
D
x
(
Im
f
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {D} _{x}\left(\operatorname {Re} f\right)=\mathrm {D} _{y}\left(\operatorname {Im} f\right)\\\mathrm {D} _{y}\left(\operatorname {Re} f\right)=-\mathrm {D} _{x}\left(\operatorname {Im} f\right).\end{cases}}}
Les règles de dérivation des fonctions réelles s'appliquent aussi aux fonctions holomorphes.
La fonction constante
z
↦
z
0
{\displaystyle z\mapsto z_{0}}
est holomorphe de dérivée nulle.
Les monômes sont des fonctions holomorphes sur
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, et on a
D
(
z
n
)
=
n
z
n
−
1
{\displaystyle \mathrm {D} (z^{n})=nz^{n-1}}
pour tout
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
.
sin
{\displaystyle \sin }
et
cos
{\displaystyle \cos }
sont définies holomorphes sur
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
et les règles de dérivations usuelles dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
s'étendent. Ainsi, on a :
D
(
sin
)
=
cos
{\displaystyle \mathrm {D} (\sin )=\cos }
,
D
(
cos
)
=
−
sin
{\displaystyle \mathrm {D} (\cos )=-\sin }
.
De même pour l'exponentielle :
D
exp
=
exp
{\displaystyle \mathrm {D} \exp =\exp }
.
La fonction
z
↦
1
z
{\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z}}}
est holomorphe sur
C
∗
{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}
et l'on a
D
(
1
/
z
)
=
−
1
/
z
2
{\displaystyle D(1/z)=-1/z^{2}}
.
Propriété
Si une fonction
ƒ est holomorphe dans Ω alors :
ƒ est continue dans Ω ;
ƒ vérifie l'équation de Cauchy-Riemann.
Début de l'exemple
Dérivation par rapport à la partie réelle
Soit
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}
, on a
D
x
(
f
(
z
(
x
,
y
)
)
)
=
D
(
f
)
z
D
x
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {D} _{x}(f(z(x,y)))=\mathrm {D} (f)_{z}\mathrm {D} _{x}(z)}
.
Fin de l'exemple