Fonctions d'une variable complexe/Fonctions holomorphes

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Fonction holomorphe et dérivée

Définition d'une fonction holomorphe

Soit $f$, une application définie sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb {C}$ et à valeurs dans $\mathbb {C}$ (on dit aussi fonction définie sur $\Omega$).

Soit $z_{0}\in \Omega$ tel que

$\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$

existe dans $\mathbb {C}$.

Alors $f$ est dite holomorphe en $z_{0}$ et cette limite est appelée la dérivée de $f$ en $z_{0}$. Nous noterons ce nombre $f'(z_{0})$, voire parfois, $\mathrm {D} f(z_{0})$.

On dira que $f$ est holomorphe sur $\Omega$, lorsqu'elle est holomorphe en tout point de $\Omega$.

Celà revient à demander à ce que l’application réelle sous-jacente $f_{r}:\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {C}$, définie par : $(\operatorname {Re} f(z),\operatorname {Im} f(z))=f_{r}(\operatorname {Re} z,\operatorname {Im} z)$, soit de classe $C^{1}$ et que sa dérivée soit $\mathbb {C}$-linéaire.

Équation de Cauchy-Riemann

Soient $z=x+\mathrm {i} y$ et $f\in C^{1}(\Omega )$.

Début d’un théorème

Théorème

ƒ est holomorphe dans Ω si et seulement si $\mathrm {D} _{x}f+\mathrm {i} \mathrm {D} _{y}f=0$.

Fin du théorème

Remarque : $D_{x}$ représente l'opérateur de dérivation partielle par rapport à la première variable, parfois noté ${\frac {\partial {}}{\partial {x}}}$.

L'équation de Cauchy-Riemann fournit ainsi une condition nécessaire (voir plus bas) et suffisante d'holomorphie sur un ouvert.

L'équation de Cauchy-Riemann peut aussi s'écrire sous la forme d'un système de deux équations aux dérivées partielles réelles :

$\mathrm {D} _{x}f+\mathrm {i} \mathrm {D} _{y}f=\mathrm {D} _{x}(\operatorname {Re} f+\mathrm {i} \operatorname {Im} f)+\mathrm {i} \mathrm {D} _{y}(\operatorname {Re} f+\mathrm {i} \operatorname {Im} f)$

On obtient alors :

$\left[\mathrm {D} _{x}\left(\operatorname {Re} f\right)-\mathrm {D} _{y}\left(\operatorname {Im} f\right)\right]+\mathrm {i} \left[\mathrm {D} _{y}\left(\operatorname {Re} f\right)+\mathrm {D} _{x}\left(\operatorname {Im} f\right)\right]=0$,

ce qui donne le système :

${\begin{cases}\mathrm {D} _{x}\left(\operatorname {Re} f\right)=\mathrm {D} _{y}\left(\operatorname {Im} f\right)\\\mathrm {D} _{y}\left(\operatorname {Re} f\right)=-\mathrm {D} _{x}\left(\operatorname {Im} f\right).\end{cases}}$

Dérivées des fonctions holomorphes

Les règles de dérivation des fonctions réelles s'appliquent aussi aux fonctions holomorphes.

Exemples

• La fonction constante $z\mapsto z_{0}$ est holomorphe de dérivée nulle.
• Les monômes sont des fonctions holomorphes sur $\mathbb {C}$, et on a $\mathrm {D} (z^{n})=nz^{n-1}$ pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$.
• $\sin$ et $\cos$ sont définies holomorphes sur $\mathbb {C}$ et les règles de dérivations usuelles dans $\mathbb {R}$ s'étendent. Ainsi, on a : $\mathrm {D} (\sin )=\cos$, $\mathrm {D} (\cos )=-\sin$.
• De même pour l'exponentielle : $\mathrm {D} \exp =\exp$.
• La fonction $z\mapsto {\frac {1}{z}}$ est holomorphe sur $\mathbb {C} ^{*}$ et l'on a $D(1/z)=-1/z^{2}$.

Propriétés des fonctions holomorphes

Propriété

Si une fonction ƒ est holomorphe dans Ω alors :

• ƒ est continue dans Ω ;
• ƒ vérifie l'équation de Cauchy-Riemann.

Propriétés

• Toute combinaison linéaire de fonctions holomorphes sur un ouvert ($\Omega$) est holomorphe sur cet ouvert. La fonction dérivée est la combinaison linéaire correspondante des dérivées de ces fonctions.
• Le produit de deux fonctions holomorphes $f$ et $g$ est une fonction holomorphe de dérivée $(fg)'=f\,'g+fg\,'$.
• Si $f$ est holomorphe sur $\Omega$ et ne s'annule pas sur $\Omega$, alors ${\frac {1}{f}}$ est holomorphe sur $\Omega$ et l'on a $\left({\frac {1}{f}}\right)'=-{\frac {f\,'}{f^{2}}}$.
• Tout polynôme est holomorphe dans $\mathbb {C}$.
• Si $f$ est holomorphe dans un ouvert connexe $\Omega$ et si $f\,'$ est nulle sur $\Omega$, alors $f$ est constante sur $\Omega$.
• Si $f$ est holomorphe sur $\Omega$, $g$ est holomorphe sur ω et $g(\omega )\subset \Omega$, alors $f\circ g$ est définie holomorphe sur ω et on a $(f\circ g)'=f'\circ g\cdot g\,'$ (règle de dérivation des fonctions composées).

Début de l'exemple

Dérivation par rapport à la partie réelle

Soit $z=x+\mathrm {i} y$, on a $\mathrm {D} _{x}(f(z(x,y)))=\mathrm {D} (f)_{z}\mathrm {D} _{x}(z)$.

Fin de l'exemple