Leçons de niveau 14

Matrice/Inverse

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Inverse
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Chapitre no 7
Leçon : Matrice
Chap. préc. :Déterminant
Chap. suiv. :Matrice d'une application linéaire

Exercices :

Déterminant
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Matrice/Inverse
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Wikipédia possède un article à propos de « Matrice inversible ».

Nous avons défini le produit matriciel et constaté qu'il n'était ni commutatif, ni simplifiable à gauche ou à droite. Comme annoncé alors, nous allons voir dans ce chapitre que cependant, certaines matrices carrées sont simplifiables (des deux côtés) et même inversibles, sous réserve que l'anneau K soit un corps commutatif (comme , ou ), ce que nous supposerons désormais.

Exemple motivant[modifier | modifier le wikicode]

Soit une équation simple impliquant des nombres réels :

.

On suppose non nul. Alors la solution existe, est unique, et il s'agit de :

.

On cherche à trouver quelque chose d'analogue pour les matrices, qui permettrait de résoudre les équations matricielles de même type :

.

Définition[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Groupe des matrices inversibles[modifier | modifier le wikicode]

Puisque est un anneau, on a immédiatement :


Par conséquent :

  • si est inversible alors l'est aussi, et
     ;
  • si alors le produit est inversible, et l'inverse du produit est le produit des inverses, dans l'ordre contraire :
    .

Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité[modifier | modifier le wikicode]

Non-nullité du déterminant[modifier | modifier le wikicode]

Si est inversible alors son déterminant est évidemment non nul, puisque

.

Réciproquement, si alors la formule de Laplace (cf. chapitre précédent) prouve que est inversible, et fournit une expression de son inverse :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Cette condition nécessaire d'inversibilité n'est suffisante que lorsque K est un corps commutatif. Si K est seulement un anneau commutatif, la condition est à remplacer par : est inversible dans K. Par exemple dans , les matrices inversibles ne sont pas toutes les matrices de déterminant non nul, mais seulement celles dont le déterminant est égal à .

Cette caractérisation des matrices inversibles permet de démontrer que dans et dans :

Conditions équivalentes[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème




Calcul de l'inverse[modifier | modifier le wikicode]

Calculer l'inverse d'une matrice est une tâche ardue à la main dès lors qu'on aborde les matrices 3 × 3, et la difficulté croît avec la taille.

Cas des matrices 2 × 2[modifier | modifier le wikicode]

Un cas très simple (et à mémoriser) est celui des matrices de taille 2 × 2, dont l'inverse est facile à calculer :




Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Le moyen le plus simple est d’utiliser la méthode dite du pivot de Gauss.

Wikipédia possède un article à propos de « Élimination de Gauss-Jordan ».
Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Référence[modifier | modifier le wikicode]

  1. Alexandre Bailleul, « Mesure de Mn(R)\GLn(R) » sur perso.eleves.ens-rennes.fr/~abailleu/.
  2. Boris Mityagin, « The zero set of a real analytic function », arXiv, 2015 [texte intégral].