Leçons de niveau 14

Matrice/Inverse

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Inverse
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Chapitre no 8
Leçon : Matrice
Chap. préc. : Trace
Chap. suiv. : Matrices de changement de base
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Matrice/Inverse
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Wikipédia possède un article à propos de « Matrice inversible ».

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Après avoir vu qu’il était possible de multiplier des matrices entre elles, on peut naturellement se demander s'il est possible de « diviser » par des matrices. Une telle chose n'a pas de sens rigoureux mathématiquement, et amène à la notion d'inverse, développée dans ce chapitre.

Exemple motivant[modifier | modifier le wikicode]

Soit une équation simple impliquant des nombres réels : On suppose a et b non nuls. Alors la solution existe, est unique, et il s'agit de : On cherche à trouver quelque chose d'équivalent pour les matrices, qui permettrait de résoudre les équations matricielles de même type :

Définition[modifier | modifier le wikicode]


On peut remarquer, d’après les propriétés du déterminant vues dans un précédent chapitre, que : . Cette relation ne peut pas être vérifiée si le déterminant de M est nul. Le théorème suivant renforce cette constatation :


Début d’un théorème
Fin du théorème


Propriétés de l'inverse[modifier | modifier le wikicode]

Panneau d’avertissement Attention ! Cette dernière règle est souvent négligée et source d'erreurs !

Ensemble des matrices inversibles[modifier | modifier le wikicode]

Il est à noter que les matrices sont « presque toutes » inversibles (on peut donner un sens rigoureux à cela). Si on prend une matrice « au hasard », la probabilité qu'elle soit non inversible (c'est-à-dire de déterminant exactement 0) est nulle. En physique notamment, où l’on est parfois amené à inverser des matrices de mesures, on ne se pose même pas la question !

Cela n'est vrai que lorsque l’on travaille dans un corps (comme le corps des rationnels, celui des réels, ou celui des nombres complexes). Lorsque l’on travaille dans des ensembles moins familiers (comme l'anneau , dans lequel les éléments non nuls ne sont pas tous inversibles), il ne suffit pas que soit non nul pour que soit inversible.

Calcul de l'inverse[modifier | modifier le wikicode]

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Wikipédia possède un article à propos de « Comatrice ».

La formule de Laplace fournit, lorsque est inversible, une expression de la matrice inverse, à partir de la transposée de la comatrice de  :

.

La comatrice — ou matrice des cofacteurs — est la matrice dont le terme situé en ligne et colonne est le coefficient de dans le développement du déterminant de par rapport à la ligne ou à la colonne . Autrement dit : le cofacteur d'indice est égal à que multiplie le déterminant de la matrice déduite de en « oubliant » la ligne et la colonne .

Par exemple :

Calculer l'inverse d'une matrice est une tâche ardue à la main dès lors qu'on aborde les matrices 3 × 3, et la difficulté croît avec la taille.

Cas des matrices 2 × 2[modifier | modifier le wikicode]

On sait que le déterminant des matrices 2 × 2 de la forme est .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Le moyen le plus simple est d’utiliser la méthode dite du pivot de Gauss.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Inversion par blocs[modifier | modifier le wikicode]

Interprétations[modifier | modifier le wikicode]

Dire qu'une matrice A est inversible équivaut à chacune des propositions suivantes :

  • A est équivalente à la matrice unité ;
  • le déterminant de A est non nul : det (A) ≠ 0,
  • le rang de A est égal à n ;
  • les colonnes de A, considérées comme des vecteurs de forment une base de  ;


Inversion par la méthode du pivot[modifier | modifier le wikicode]