Analyse vectorielle/Laplacien

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Introduction

Nous introduisons ici le premier opérateur vectoriel d'ordre 2 : l'opérateur laplacien. Il apparait naturellement dans de nombreux problèmes physiques, notamment la propagation des ondes.

Définition

Soit M un champ scalaire. Alors l’opérateur laplacien est l’application qui à M associe la divergence du gradient de M. Le laplacien est noté $\Delta$. Formellement :

$\Delta M=\mathrm {div} \left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,M\right)$.

Il est linéaire puisque l'opérateur divergence et l'opérateur gradient le sont.

Expression explicite

L'expression complète du laplacien dépend du système de coordonnées choisies. Prenons l'exemple utile des coordonnées cartésiennes dans l'espace de dimension 3 :

Définition équivalente

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$.

Démonstration

Voir les exercices sur : Composition d'opérateurs.

 

Voir les exercices sur : Laplacien en coordonnées polaires.

Extension aux champs vectoriels

Le laplacien peut être appliqué à des champs vectoriels :

Définition

On définit l'opérateur laplacien vectoriel, noté Δ, par l’application qui à tout champ vectoriel ${\vec {M}}$ associe le champ vectoriel $\Delta {\vec {M}}$ dont chaque coordonnée est le laplacien de chaque coordonnée de ${\vec {M}}$.

En coordonnées cartésiennes, en dimension 3, cela donne :

$\Delta :M\mapsto {\begin{pmatrix}\Delta M_{x}\\\\\Delta M_{y}\\\\\Delta M_{z}\end{pmatrix}}$.

C'est le plus souvent cette forme qui est utilisée.

Exemples d’utilisation en physique

En électromagnétisme, en l'absence de charges électriques, le potentiel électrique vérifie :

$\Delta V=0$.

De même, en mécanique des fluides, pour un écoulement irrotationnel et incompressible, le potentiel des vitesses vérifie :

$\Delta \phi =0$.

Le champ électrique vérifie dans le vide son équation de propagation :

$\Delta {\overrightarrow {E}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\overrightarrow {E}}}{\partial t^{2}}}=0$

Remarque

Une quantité dont le laplacien est nul est dite harmonique. On connait des solutions exactes dans ce cas.