Analyse vectorielle/Laplacien

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Introduction

Nous introduisons ici le premier opérateur vectoriel d'ordre 2 : l'opérateur laplacien. Il apparait naturellement dans de nombreux problèmes physiques, notamment la propagation des ondes.

Définition

Soit M un champ scalaire. Alors l’opérateur laplacien est l’application qui à M associe la divergence du gradient de M. Le laplacien est noté $\Delta$. Formellement :

$\Delta M=\mathrm {div} \left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,M\right)$.

Expression explicite

L'expression complète du laplacien dépend du système de coordonnées choisies. Prenons l'exemple utile des coordonnées cartésiennes dans l'espace de dimension 3 :

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$.

Il est, comme l'opérateur divergence et l'opérateur gradient, linéaire et vérifie donc les mêmes propriétés concernant la dérivabilité et les combinaisons linéaires.

Extension aux champs vectoriels

Le laplacien peut être appliqué à des champs vectoriels :

Définition

On définit l'opérateur laplacien vectoriel, noté Δ, par l’application qui à tout champ vectoriel ${\vec {M}}$ associe le champ vectoriel $\Delta {\vec {M}}$ dont chaque coordonnée est le laplacien de chaque coordonnée de ${\vec {M}}$.

En coordonnées cartésiennes, en dimension 3, cela donne :

$\Delta :M\mapsto {\begin{pmatrix}\Delta M_{x}\\\\\Delta M_{y}\\\\\Delta M_{z}\end{pmatrix}}$.

C'est le plus souvent cette forme qui est utilisée.

Exemples d’utilisation en physique

En électromagnétisme, en l'absence de charges électriques, le potentiel électrique vérifie :

$\Delta V=0$.

De même, en mécanique des fluides, pour un écoulement irrotationnel et incompressible, le potentiel des vitesses vérifie :

$\Delta \phi =0$.

Le champ électrique vérifie dans le vide son équation de propagation :

$\Delta {\overrightarrow {E}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\overrightarrow {E}}}{\partial t^{2}}}=0$

Remarque

Une quantité dont le laplacien est nul est dite harmonique. On connait des solutions exactes dans ce cas.