Leçons de niveau 14

Analyse vectorielle/Laplacien

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Laplacien
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Chapitre no 5
Leçon : Analyse vectorielle
Chap. préc. :Rotationnel
Chap. suiv. :Vecteur formel « nabla »
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Analyse vectorielle/Laplacien
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Nous introduisons ici le premier opérateur vectoriel d'ordre 2 : l'opérateur laplacien. Il apparait naturellement dans de nombreux problèmes physiques, notamment la propagation des ondes.


Expression explicite[modifier | modifier le wikicode]

L'expression complète du laplacien dépend du système de coordonnées choisies. Prenons l'exemple utile des coordonnées cartésiennes dans l'espace de dimension 3 :

.

Il est, comme l'opérateur divergence et l'opérateur gradient, linéaire et vérifie donc les mêmes propriétés concernant la dérivabilité et les combinaisons linéaires.

Extension aux champs vectoriels[modifier | modifier le wikicode]

Le laplacien peut être appliqué à des champs vectoriels :

C'est le plus souvent cette forme qui est utilisée.

Exemples d’utilisation en physique[modifier | modifier le wikicode]

En électromagnétisme, en l'absence de charges électriques, le potentiel électrique vérifie :

.

De même, en mécanique des fluides, pour un écoulement irrotationnel et incompressible, le potentiel des vitesses vérifie :

.

Le champ électrique vérifie dans le vide son équation de propagation :