Analyse vectorielle/Laplacien
Introduction
[modifier | modifier le wikicode]Nous introduisons ici le premier opérateur vectoriel d'ordre 2 : l'opérateur laplacien. Il apparait naturellement dans de nombreux problèmes physiques, notamment la propagation des ondes.
Soit M un champ scalaire. Alors l’opérateur laplacien est l’application qui à M associe la divergence du gradient de M. Le laplacien est noté . Formellement :
- .
Il est linéaire puisque l'opérateur divergence et l'opérateur gradient le sont.
Expression explicite
[modifier | modifier le wikicode]L'expression complète du laplacien dépend du système de coordonnées choisies. Prenons l'exemple utile des coordonnées cartésiennes dans l'espace de dimension 3 :
![]() |
Extension aux champs vectoriels
[modifier | modifier le wikicode]Le laplacien peut être appliqué à des champs vectoriels :
En coordonnées cartésiennes, en dimension 3, cela donne :
- .
C'est le plus souvent cette forme qui est utilisée.
Exemples d’utilisation en physique
[modifier | modifier le wikicode]En électromagnétisme, en l'absence de charges électriques, le potentiel électrique vérifie :
- .
De même, en mécanique des fluides, pour un écoulement irrotationnel et incompressible, le potentiel des vitesses vérifie :
- .
Le champ électrique vérifie dans le vide son équation de propagation :