Leçons de niveau 15

Série numérique/Introduction

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Introduction
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Chapitre no 1
Leçon : Série numérique
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Chap. suiv. :Rappels

Exercices :

Série harmonique
Exercices :Fraction rationnelle
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Série numérique/Introduction
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]


Remarque
Attention aux notations : , et désignent des choses différentes.

Exemple : série géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Série géométrique ».

La somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme et de raison est :

  • Si alors tend vers quand tend vers l'infini. La suite admet une limite finie :
    .
    La série de terme général converge et l'on écrit :
  • Si alors tend vers quand tend vers l'infini donc aussi. Donc la suite n'admet pas de limite finie (si ,  ; si , n'a aucune limite, finie ou infinie).
    La série de terme général diverge.
  • Si , vaut alternativement 1 et 0 donc n'a pas de limite.
    La série est donc divergente.

Condition nécessaire de convergence[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

En effet, si la série est convergente, alors la suite converge vers puisque .

Panneau d’avertissement La réciproque est fausse (contrairement à ce que pourrait laisser croire l'exemple ci-dessus). Un exemple classique de série dont le terme général tend vers 0 et qui, pourtant, diverge, est la série harmonique (cf. page d'exercice liée).

C'est donc une condition nécessaire mais non suffisante.

Lorsque le terme général d’une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite « trivialement » ou « grossièrement » divergente.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple