Topologie générale/Espace métrique

Leçons de niveau 16
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Espace métrique
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Chapitre no 9
Leçon : Topologie générale
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Exercices :

Espaces métriques
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La notion d'espace métrique est historiquement la première structure topologique, bien que formellement, la notion d'espace topologique, plus vaste mais plus abstraite, soit traitée prioritairement dans cet exposé de topologie. La définition d’un espace métrique est proche de l'intuition, puisque les propriétés topologiques de ces espaces ne sont pas directement définis à partir d’un ensemble d'ouverts, appelé topologique, mais à partir d’une application nommée distance, ou métrique, qui permet de donner un rôle plus important à l'intuition géométrique.

Définition et exemples[modifier | modifier le wikicode]


Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Boules[modifier | modifier le wikicode]

On trouve parfois la notation pour la boule fermée, cette notation est ambigüe car elle peut aussi s'interpréter comme la fermeture de la boule ouverte. Ces deux interprétations ne concordent pas en générale, par exemple pour la distance discrète on a et . Cette notation abusive est utilisée car elle n'est pas gênante dans les espaces vectoriels pour lesquelles les deux notations concordent.

Début d'un lemme
Fin du lemme


Topologie[modifier | modifier le wikicode]

D'après le corollaire 2, les boules ouvertes de constituent une base d'une (unique) topologie sur .

On assimile souvent un espace métrique à son espace topologique. Tout espace métrique est séparé et même parfaitement normal.

Les ouverts de cette topologie sont, par définition, les réunions de boules ouvertes. Le corollaire 1 ci-dessus en donne une caractérisation.

Les boules ouvertes sont évidemment des ouverts, et l'on démontre facilement (exercice) que les boules fermées sont des fermés. Par conséquent, l'adhérence de est incluse dans et l'intérieur de contient (exercice).

Dans un espace vectoriel normé, pour tout , ces inclusions sont des égalités (exercice).

Panneau d’avertissement Dans un espace métrique quelconque, ces inclusions peuvent être strictes.

Considérer par exemple (exercice) les boules et la topologie associées à une distance discrète.

Dans un espace métrique, tout point a une base dénombrable de voisinages. Plus précisément :

C'est une conséquence directe du lemme ci-dessus. En l'affinant un peu, on démontre même (exercice) que toute suite de voisinages de dont le diamètre tend vers constitue une base de voisinages de .

Continuité uniforme[modifier | modifier le wikicode]


Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Produit d'espaces métriques[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème