Intégration de Riemann/Intégrales généralisées
L'objectif de ce cours est d'apprendre à étudier la convergence (et éventuellement à faire le calcul) d'intégrales dont une borne est infinie comme :
ou encore avec au moins une borne où la fonction n’est pas définie et a une limite infinie comme :
- .
Définitions et premières propriétés
[modifier | modifier le wikicode]Définition
[modifier | modifier le wikicode]On suppose dans la définition suivante (et même dans toute la suite) que le seul « problème » est sur la borne (on procéderait de même en cas de problème sur la borne d’en bas) :
Soit une fonction définie et continue par morceaux sur un intervalle avec .
On appelle intégrale généralisée de entre et la limite suivante :
.
L'intégrale est dite convergente si cette limite existe et est finie et divergente dans le cas contraire.
Le symbole n'a de sens que si cette limite (éventuellement infinie) existe.
Soit . Montrer que converge si et seulement si , et calculer dans ce cas la valeur de cette intégrale.
Si , .
Si , admet une limite finie (quand ) si et seulement si , et cette limite vaut alors .
- Soit . On a si et seulement si les deux limites et existent et si leur somme est égale à .
- si et seulement si pour toutes fonctions telles que et (où est par exemple ou ), on a .
- Il ne suffit donc pas, pour que , qu'il existe deux fonctions telles que et et telles que . Par exemple, pour toute fonction impaire, mais cela n'implique aucunement que converge (penser à la fonction , dont la primitive n'a pas de limite en l'infini, et pour laquelle même n'a pas de limite quand puisqu'elle vaut par exemple pour et pour ).
Premières propriétés
[modifier | modifier le wikicode]Il y a linéarité des intégrales généralisées convergentes.
Cela se démontre en utilisant les propriétés des intégrales et en passant à la limite.
Enfin, il y a les « fausses intégrales généralisées », celles où l’on règle le problème par prolongement par continuité de la fonction à intégrer :
Calcul explicite
[modifier | modifier le wikicode]Comme dans le premier exemple ci-dessus, il est parfois possible, pour déterminer la nature d'une intégrale impropre en , d'expliciter la fonction par les techniques habituelles de calcul d'intégrales et de primitives (intégration par parties, changement de variable, etc. : voir la leçon Intégration en mathématiques et ses exercices), afin de calculer ensuite sa limite quand tend vers .
Exemple de Riemann
[modifier | modifier le wikicode]Le premier exemple de référence à connaître est :
Soit .
- L'intégrale impropreconverge si et seulement si .
- L'intégrale (impropre en si )converge si et seulement si .
Il suffit d'étudier la première intégrale, car la seconde s'en déduit par le changement de variable et le remplacement de par .
Si , une primitive de est , qui a une limite finie en si et seulement si .
Quant à la primitive de , sa limite en est infinie.
Autres exemples
[modifier | modifier le wikicode]Montrer que converge si et seulement si .
On effectue le changement de variable donc :
et nous sommes ramenés à l'exemple de Riemann (voir supra) donc
Montrer que .
Faites ces exercices : Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2#Exercice 18-5. |
Convergence absolue et théorème de comparaison
[modifier | modifier le wikicode]Théorème de comparaison pour les intégrales généralisées
[modifier | modifier le wikicode]On considère dans tout ce paragraphe des fonctions à valeurs positives.
est croissante et, si converge, est majorée. Le théorème de la limite monotone permet alors de conclure.
Voici maintenant le théorème central de ce paragraphe :
Soient et deux fonctions continues par morceaux sur telles que .
- Si converge, alors converge aussi.
- Si diverge, alors diverge aussi.
Le deuxième résultat est la contraposée du premier.
Soient et .
Par comparaison d'intégrales, . Or si converge, alors est majorée, ce qui implique d’après que aussi et donc (grâce au lemme) que converge.
On rappelle que le « problème » est sur la borne d’en haut (c'est donc en que l’on effectue la comparaison de et ) :
Soient et deux fonctions continues par morceaux et positives sur .
- On suppose que (ce qui est vrai en particulier si ).
- Si converge, alors converge aussi.
- Si diverge, alors diverge aussi.
- Si , alors les intégrales et sont de même nature (soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes).
Pour un rappel sur les relations de comparaison, voyez Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison.
1/ Il suffit d’utiliser la positivité de et et la définition de : . Cette inégalité et le théorème de comparaison permettent de conclure.
2/ Si alors , ce qui permet d'appliquer le point précédent.
- Montrer que converge.
- Intégrales de Bertrand. Démontrer que :
- converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1) ;
- converge si et seulement si γ < 1 ou (γ = 1 et β > 1).
Comme dans l'exemple de Riemann (voir supra), il suffit d'étudier la première intégrale.
- Pour α = 1, on a vu ci-dessus que
- converge si et seulement si β > 1.
- Pour α ≠ 1, les conclusions s'obtiennent par comparaison avec des intégrales convergentes ou divergentes du cas α = 1[1] (les fonctions considérées sont bien positives) :
- si α > 1, alors donc l'intégrale converge ;
- si α < 1, alors donc l'intégrale diverge.
Mais que faire pour des fonctions qui ne sont pas nécessairement positives ? Il faudra souvent tenter d’utiliser la convergence absolue :
Convergence absolue
[modifier | modifier le wikicode]Soit une fonction continue par morceaux sur .
L'intégrale est dite absolument convergente si l'intégrale converge.
Soit continue par morceaux sur et soit .
On sait que
- .
Le critère de Cauchy pour une fonction permet de conclure.
Montrer que l'intégrale est absolument convergente.
et converge. Le théorème de comparaison permet de conclure.
Un exemple classique d'intégrale semi-convergente, c'est-à-dire convergente mais non absolument, est l'intégrale de Dirichlet .
Règle d'Abel
[modifier | modifier le wikicode]Soient localement Riemann-intégrable sur et décroissante et de limite nulle en . Si la fonction est bornée, alors l'intégrale converge.
Notons la fonction , un majorant de et, pour tout , un sous-intervalle de , sur lequel .
D'après la seconde formule de la moyenne,
.
donc
et le critère de Cauchy est satisfait.
- Remarque
- Si est absolument continue (en particulier si elle est de classe C1), on peut aussi raisonner par intégration par parties puis convergence absolue :
, et
- Pour tout réel , l'intégrale converge : soit par application du théorème ci-dessus, soit en intégrant par parties :
, cette dernière intégrale étant absolument convergente. - Pour toute fonction continue d'intégrale convergente, l'intégrale converge : soit par application du théorème ci-dessus, soit en intégrant par parties, après avoir remarqué que toute primitive de est bornée (car continue et admettant une limite finie en ) :
, cette dernière intégrale étant absolument convergente.
Note
[modifier | modifier le wikicode]- ↑ Avec un peu plus d'efforts, on peut aussi, comme dans le cas α = 1, faire une comparaison avec des intégrales de type Riemann : voir par exemple B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Maths MP Tout en un, Hachette Éducation, 2006 [lire en ligne], p. 305.