Fonctions d'une variable réelle/Définitions
Dans ce chapitre, soit :
- une partie non vide de ;
- une fonction de dans (on dit que est à valeurs dans ).
Bornes d'une fonction
[modifier | modifier le wikicode]Majorants, minorants
[modifier | modifier le wikicode]La fonction est dite :
- minorée si ;
- majorée si .
On dit que :
- est un minorant de ;
- est un majorant de .
Soit .
- Elle admet par exemple , et comme minorants.
- Néanmoins elle n'admet pas de majorant ! On s'en rend intuitivement compte graphiquement mais une preuve rigoureuse en découlera simplement du cours sur les limites.
() : On a alors sur donc OK.
() : On a par hypothèse
sur pour certains réels et .
On a donc a fortiori sur .
Ceci étant, posons .
On a alors car que sur .
Il s'ensuit que l'on a sur .
CQFD.
Extremums
[modifier | modifier le wikicode]- On dit que admet un maximum en si .
- Notons que cette valeur ne dépend pas de , dans le sens où si la propriété ci-dessus est vérifiée pour un , alors on a (on démontre cela ci-dessous). Dès lors, on appelle la valeur le maximum de . Il est noté , ou aussi .
- On définit de la même manière un minimum en remplaçant par . Pour la notation, remplacer par .
- On appelle extremum un maximum ou un minimum.
On fait seulement la démonstration pour le , l’autre étant analogue.
Supposons que admette un maximum en et un autre en . On veut montrer que les valeurs de en ces points sont en fait égales. C'est trivial, on a en effet et . On a donc .
CQFD.
Ne pas confondre le maximum, , et un point en lequel le maximum est atteint, . |
Prouver que admet un réel comme maximum (resp. minimum) revient à montrer que est un majorant (resp. minorant) de et que sa valeur est atteinte par .
Ne pas confondre maximum (resp. minimum) et majorant (resp. minorant) ! En effet, soit la fonction inverse définie sur . n'admet pas pour minimum (la valeur n’est en effet jamais atteinte) ! Et ce bien que soit un minorant, et même le plus grand des minorants ! |
- Soit un réel . On a et donc , i.e. .
- Si admettait un maximum, elle serait majorée. Or c'est faux, on a vu dans un exemple au-dessus pourquoi.
(resp. ) et (resp. ) sont en fait le même objet. Je vous laisse le montrer en exercice, c'est simple.
Extremums locaux
[modifier | modifier le wikicode]Il arrive souvent qu'une fonction n’admette un extremum en un point que quand est assez près de . On parle alors d'extremum local.
Cela signifie que l’on doit se restreindre autour d'un intervalle suffisamment petit autour de . Et c'est là la différence avec les extremums vus dans la partie avant, aussi appelé parfois extremums globaux, puisque la relation était vérifiée pour tout .
Enfin, autrement dit, un maximum local (resp. minimum) est un point au voisinage duquel la fonction ne prend que des valeurs plus petites (resp. grandes), mais cette propriété peut être contredite en des points plus éloignés.
Voici la définition formelle, qui est une simple traduction de ce qui a été dit.
- On dit que admet un maximum local en si .
- On définit de manière analogue un minimul local.
- On appelle extremum local un maximum local ou un minimum local.
Notons qu'un extremum global est a fortiori un extremum local. Prendre n'importe quel (par exemple ) pour s'en convaincre...
Bornes supérieure, inférieure
[modifier | modifier le wikicode]On rappelle que l'existence des quantités qui suivent est garantie par le fait que vérifie la propriété de la borne supérieure et inférieure.
- On suppose que est majorée. On sait alors que existe et est finie. On appelle borne supérieure de cette quantitée, notée ou .
- On suppose que est minorée. On sait alors que existe et est finie. On appelle borne inférieure de cette quantitée, notée ou .