Fonctions d'une variable réelle/Définitions
Dans ce chapitre, soient :
- I une partie non vide de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \mathbb {R}
- ƒ une fonction de I dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \mathbb {R} : on dit que ƒ est à valeurs dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \mathbb {R} .
Bornes d'une fonction[modifier | modifier le wikicode]
Majorants, minorants[modifier | modifier le wikicode]
La fonction ƒ est dite :
- minorée si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \exists m\in\R\quad\forall x\in I\quad m\leq f(x)} ;
- majorée si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \exists M\in\R\quad\forall x\in I\quad f(x)\leq M} .
On dit que :
- m est un minorant de ƒ.
- M est un majorant de ƒ.
La fonction ƒ est dite bornée si elle est majorée et minorée.
On peut également écrire cette propriété sous la forme Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \exists M\in\R\quad\forall x\in I\quad |f(x)|\leq M} .
La fonction cosinus définie sur Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \mathbb {R} vérifie :
- Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \forall x\in\R\quad\cos(x)\leq 2} (par exemple), donc cos est majorée et 2 est un majorant de cos.
- Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \forall x\in\R\quad\cos(x)\geq -3} (par exemple), donc cos est minorée et –3 est un minorant de cos.
- On en déduit que la fonction cosinus est bornée.
Extremums globaux[modifier | modifier le wikicode]
- On dit que ƒ admet un maximum global en Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_0\in I}
si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \forall x\in I\quad f(x)\leq f(x_0)}
.
- Ce maximum Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle f(x_0)=\max f(I)} est aussi noté Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \max_{x\in I}f(x)} .
- On dit que ƒ admet un minimum global en Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_1\in I}
si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \forall x\in I\quad f(x_1)\leq f(x)}
.
- Ce minimum Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle f(x_1)=\min f(I)} est aussi noté Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \min_{x\in I}f(x)} .
Extremums locaux[modifier | modifier le wikicode]
- On dit que ƒ admet un maximum local en Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_0\in I} si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \exists\eta>0\quad\forall x\in ]x_0-\eta,x_0+\eta[\quad f(x_0)\ge f(x)} .
- On dit que ƒ admet un minimum local en Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_1\in I} si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \exists\eta>0\quad\forall x\in ]x_1-\eta,x_1+\eta[\quad f(x_1)\le f(x)} .
Autrement dit, un extremum local est un point au voisinage duquel la fonction ne prend que des valeurs plus grandes (minimum local) ou plus petites (maximum local), mais cette propriété peut être contredite en des points plus éloignés.
Borne supérieure, borne inférieure[modifier | modifier le wikicode]
- On suppose que f est majorée. La borne supérieure de f(I), Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \sup f(I)} , est alors appelée borne supérieure de f. Elle est aussi notée Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \sup_{x\in I}f(x)} .
- On suppose que f est minorée. La borne inférieure de f(I), Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \inf f(I)} , est alors appelée borne inférieure de f. Elle est aussi notée Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \inf_{x\in I}f(x)} .