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Fonctions d'une variable réelle/Définitions

Leçons de niveau 14
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Chapitre no 1
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
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Dans ce chapitre, soit :

  • une partie non vide de  ;
  • une fonction de dans (on dit que est à valeurs dans ).

Bornes d'une fonction

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Majorants, minorants

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Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Panneau d’avertissement

Ne pas confondre le maximum, , et un point en lequel le maximum est atteint, .

Panneau d’avertissement

Ne pas confondre maximum (resp. minimum) et majorant (resp. minorant) ! En effet, soit la fonction inverse définie sur . n'admet pas pour minimum (la valeur n’est en effet jamais atteinte) ! Et ce bien que soit un minorant, et même le plus grand des minorants !

Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Extremums locaux

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Il arrive souvent qu'une fonction n’admette un extremum en un point que quand est assez près de . On parle alors d'extremum local.

Cela signifie que l’on doit se restreindre autour d'un intervalle suffisamment petit autour de . Et c'est là la différence avec les extremums vus dans la partie avant, aussi appelé parfois extremums globaux, puisque la relation était vérifiée pour tout .

Enfin, autrement dit, un maximum local (resp. minimum) est un point au voisinage duquel la fonction ne prend que des valeurs plus petites (resp. grandes), mais cette propriété peut être contredite en des points plus éloignés.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Voici la définition formelle, qui est une simple traduction de ce qui a été dit.



Bornes supérieure, inférieure

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On rappelle que l'existence des quantités qui suivent est garantie par le fait que vérifie la propriété de la borne supérieure et inférieure.