Fonctions d'une variable réelle/Définitions

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Dans ce chapitre, soient :

• I une partie non vide de $\mathbb {R}$
• ƒ une fonction de I dans $\mathbb {R}$ : on dit que ƒ est à valeurs dans $\mathbb {R}$.

Bornes d'une fonction

Majorants, minorants

Définition

La fonction ƒ est dite :

• minorée si $\exists m\in \mathbb {R} \quad \forall x\in I\quad m\leq f(x)$ ;
• majorée si $\exists M\in \mathbb {R} \quad \forall x\in I\quad f(x)\leq M$.

On dit que :

• m est un minorant de ƒ.
• M est un majorant de ƒ.

Définition

La fonction ƒ est dite bornée si elle est majorée et minorée.

On peut également écrire cette propriété sous la forme $\exists M\in \mathbb {R} \quad \forall x\in I\quad |f(x)|\leq M$.

Début de l'exemple

Exemple

La fonction cosinus définie sur $\mathbb {R}$ vérifie :

• $\forall x\in \mathbb {R} \quad \cos(x)\leq 2$ (par exemple), donc cos est majorée et 2 est un majorant de cos.
• $\forall x\in \mathbb {R} \quad \cos(x)\geq -3$ (par exemple), donc cos est minorée et –3 est un minorant de cos.
• On en déduit que la fonction cosinus est bornée.

Fin de l'exemple

Extremums globaux

Maximum global, minimum global

• On dit que ƒ admet un maximum global en $x_{0}\in I$ si $\forall x\in I\quad f(x)\leq f(x_{0})$.

  Ce maximum $f(x_{0})=\max f(I)$ est aussi noté $\max _{x\in I}f(x)$.

• On dit que ƒ admet un minimum global en $x_{1}\in I$ si $\forall x\in I\quad f(x_{1})\leq f(x)$.

  Ce minimum $f(x_{1})=\min f(I)$ est aussi noté $\min _{x\in I}f(x)$.

Extremums locaux

Maximum local, minimum local

• On dit que ƒ admet un maximum local en $x_{0}\in I$ si $\exists \eta >0\quad \forall x\in ]x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta [\quad f(x_{0})\geq f(x)$.
• On dit que ƒ admet un minimum local en $x_{1}\in I$ si $\exists \eta >0\quad \forall x\in ]x_{1}-\eta ,x_{1}+\eta [\quad f(x_{1})\leq f(x)$.

Autrement dit, un extremum local est un point au voisinage duquel la fonction ne prend que des valeurs plus grandes (minimum local) ou plus petites (maximum local), mais cette propriété peut être contredite en des points plus éloignés.

Début de l'exemple

Exemple

Fin de l'exemple

Borne supérieure, borne inférieure

Définition

• On suppose que f est majorée. La borne supérieure de f(I), $\sup f(I)$, est alors appelée borne supérieure de f. Elle est aussi notée $\sup _{x\in I}f(x)$.
• On suppose que f est minorée. La borne inférieure de f(I), $\inf f(I)$, est alors appelée borne inférieure de f. Elle est aussi notée $\inf _{x\in I}f(x)$.