Intégration de Riemann/Centre d'inertie

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Formule

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f$ une fonction dérivable et positive sur $[a,b]$ ($a\leq b$).

Soit la plaque homogène correspondant à l’ensemble des points vérifiant :

$a\leq x\leq b$ ; $0\leq y\leq f(x)$.

Alors les coordonnées $X_{G}$ et $Y_{G}$ du centre d'inertie G sont :

$X_{G}={\frac {\int _{a}^{b}xf(x)\mathrm {d} x}{\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}}$

et

$Y_{G}={\frac {1}{2}}{\frac {\int _{a}^{b}[f(x)]^{2}\mathrm {d} x}{\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}}$

Fin du théorème

Exemples

Exemples faciles

• Déterminer les coordonnées du centre d'inertie de la plaque limitée par la courbe d'équation $y=x^{2}$ pour $x\in [0;1]$ et l'axe des abscisses.
• Déterminer les coordonnées du centre d'inertie de la plaque limitée par la courbe d'équation $y={\sqrt {x}}$ pour $x\in [0;1]$ et l'axe des abscisses.

Exemple plus difficile

Problème : Déterminer les coordonnées du centre d'inertie de la plaque homogène représentée par la figure ci-dessous.

1) Exprimer l'arc de cercle comme le graphe d'une fonction de x.

Solution

L'arc de cercle correspond au cercle d'équation $x^{2}+y^{2}=2^{2}$. Comme on est dans le demi-plan $y>0$, ce quart de cercle est donc d'équation : $y={\sqrt {4-x^{2}}}$.

 

2) Calculer les coordonnées du centre d'inertie du quart de disque grâce aux formules.

Solution

Il s'agit de calculer les intégrales $\int _{0}^{2}{\sqrt {4-x^{2}}}\mathrm {d} x$, $\int _{0}^{2}x{\sqrt {4-x^{2}}}\mathrm {d} x$, $\int _{0}^{2}(4-x^{2})\mathrm {d} x$

En voyant l'intégrale $\int _{0}^{2}{\sqrt {4-x^{2}}}\mathrm {d} x$ comme l'aire d'un quart de disque, il vient : $\int _{0}^{2}{\sqrt {4-x^{2}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{4}}\pi 2^{2}=\pi$.

Par les règles usuelles, on a de plus $\int _{0}^{2}(4-x^{2})\mathrm {d} x=\left[4x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{2}=8-{\frac {8}{3}}={\frac {16}{3}}$.

Pour la deuxième intégrale, en posant $t={\sqrt {4-x^{2}}}$, il vient $\int _{0}^{2}x{\sqrt {4-x^{2}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{2}t^{2}\mathrm {d} t={\frac {8}{3}}$

Ainsi, on a $X_{D}={\frac {\frac {8}{3}}{\pi }}={\frac {8}{3\pi }}$ , $Y_{D}={\frac {1}{2}}{\frac {\frac {16}{3}}{\pi }}={\frac {8}{3\pi }}$.

 

3) En utilisant l'associativité du barycentre, en déduire le centre de gravité de la plaque.

Solution

Le barycentre du carré se détermine géométriquement : $X_{C}=-1,Y_{C}=1$

On a donc G barycentre de $(D,\pi ),(C,4)$, dont on tire :

$X_{G}={\frac {\pi X_{D}+4X_{C}}{\pi +4}}=-{\frac {4}{12+3\pi }},\quad Y_{G}={\frac {\pi Y_{D}+4Y_{C}}{\pi +4}}={\frac {20}{12+3\pi }}$.