Leçons de niveau 14

Intégration de Riemann/Calcul numérique d'une intégrale

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Calcul numérique d'une intégrale
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Chapitre no 5
Leçon : Intégration de Riemann
Chap. préc. :Intégrales généralisées
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Calcul numérique d'une intégrale
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Intégration de Riemann/Calcul numérique d'une intégrale
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Wikipédia possède un article à propos de « Calcul numérique d'une intégrale ».

Nous ne traiterons ici que des trois méthodes d'approximation les plus simples : rectangles, points médians et trapèzes. Dans ces trois méthodes, on subdivise l'intervalle d'intégration en sous-intervalles (), avec . On approxime l'intégrale de la fonction sur chacun de ces sous-intervalles, puis on fait la somme.

Méthode des rectangles[modifier | modifier le wikicode]

FermatQuadrature.svg

On remplace l'arc de courbe par un segment horizontal situé à la hauteur de l'extrémité gauche de cet arc (on a bien sûr une méthode analogue en prenant l'extrémité droite).

Valeur approchée[modifier | modifier le wikicode]

On choisit ainsi d'approximer par donc

.

Estimation de l'erreur[modifier | modifier le wikicode]

Si est C1 alors pour un certain donc

pour un certain .

Méthode des points médians[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Méthode du point médian ».
Intégration num rectangles.svg

Le point du graphe par lequel on fait passer un segment horizontal (qui approxime l'arc de courbe) n'a plus cette fois pour abscisse ou comme dans la méthode des rectangles (à gauche ou à droite) mais la moyenne (arithmétique) des deux.

Valeur approchée[modifier | modifier le wikicode]

donc

.

Estimation de l'erreur[modifier | modifier le wikicode]

Si est C2 alors pour un certain donc

pour un certain .

Méthode des trapèzes[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Méthode des trapèzes ».
Intégration num trapèzes.svg

On n'approxime plus l'arc de courbe par un segment horizontal comme dans la méthode des rectangles ou celle des points médians, mais par la corde de cet arc.

Valeur approchée[modifier | modifier le wikicode]

donc

.

Estimation de l'erreur[modifier | modifier le wikicode]

Si est C2 alors pour un certain donc

pour un certain .

Lien externe[modifier | modifier le wikicode]

Approximation des intégrales (PCSI2, Lycée Corneille, 2010-2011)