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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonction logarithme : Croissances comparées Fonction logarithme/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On a vu que la fonction ln est strictement croissante sur
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}
et tend vers
+
∞
{\displaystyle +\infty }
quand
x
{\displaystyle x}
tend vers
+
∞
{\displaystyle +\infty }
, mais on va montrer qu’elle croît « lentement ».
Pour formaliser ceci, on étudie la limite :
lim
x
→
+
∞
ln
(
x
)
x
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}}
qui est une forme indéterminée
+
∞
+
∞
{\displaystyle {\frac {+\infty }{+\infty }}}
.
Début d’un théorème
Théorème
En
+
∞
{\displaystyle +\infty }
, ln(x ) devient négligeable devant x :
lim
x
→
+
∞
ln
(
x
)
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}=0}
.
Fin du théorème
Démonstration
On sait que
∀
t
>
0
ln
t
≤
t
−
1
{\displaystyle \forall t>0\quad \ln t\leq t-1}
.
On en déduit que
∀
x
>
0
1
2
ln
x
=
ln
x
≤
x
−
1
{\displaystyle \forall x>0\quad {\frac {1}{2}}\ln x=\ln {\sqrt {x}}\leq {\sqrt {x}}-1}
.
Par conséquent :
∀
x
≥
1
0
≤
ln
x
x
≤
2
x
−
1
x
{\displaystyle \forall x\geq 1\quad 0\leq {\frac {\ln x}{x}}\leq 2{\frac {{\sqrt {x}}-1}{x}}}
.
On conclut grâce au théorème des gendarmes .
Une autre méthode est d'utiliser la comparaison entre ey et y quand y = ln(x ) → +∞.
On en déduit, quand x tend vers 0 par valeurs supérieures (en
0
+
{\displaystyle 0^{+}}
), une autre limite :
lim
x
→
0
+
(
x
ln
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}
qui est aussi une forme indéterminée
0
×
(
−
∞
)
{\displaystyle 0\times (-\infty )}
.
Début d’un théorème
Théorème
ln(x ) tend vers
−
∞
{\displaystyle -\infty }
en
0
+
{\displaystyle 0^{+}}
, mais pas très vite :
lim
x
→
0
+
(
x
ln
x
)
=
0
−
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)=0^{-}}
.
Fin du théorème
En effet, quand
x
→
0
+
{\displaystyle x\to 0^{+}}
,
y
:=
1
x
→
+
∞
{\displaystyle y:={\frac {1}{x}}\to +\infty }
donc
x
ln
x
=
−
ln
y
y
→
0
−
{\displaystyle x\ln x=-{\frac {\ln y}{y}}\to 0^{-}}
.
Fonction exponentielle/Croissances comparées