Fonction logarithme/Croissances comparées

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Comparaison entre ln(x) et x en +∞

On a vu que la fonction ln est strictement croissante sur $\left]0,+\infty \right[$ et tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$, mais on va montrer qu’elle croît « lentement ».

Pour formaliser ceci, on étudie la limite :

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}$

qui est une forme indéterminée ${\frac {+\infty }{+\infty }}$.

Début d’un théorème

Théorème

En $+\infty$, ln(x) devient négligeable devant x :

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}=0$.

Fin du théorème

Démonstration

On sait que $\forall t>0\quad \ln t\leq t-1$. On en déduit que

$\forall x>0\quad {\frac {1}{2}}\ln x=\ln {\sqrt {x}}\leq {\sqrt {x}}-1$.

Par conséquent :

$\forall x\geq 1\quad 0\leq {\frac {\ln x}{x}}\leq 2{\frac {{\sqrt {x}}-1}{x}}$.

On conclut grâce au théorème des gendarmes.

Une autre méthode est d'utiliser la comparaison entre e^y et y quand y = ln(x) → +∞.

 

Remarque

Plus généralement, le quotient de $\ln x$ par n’importe quel polynôme non constant, ou n’importe quelle puissance positive de $x$, tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Voir les exercices sur : Croissances comparées, exercice 3.

Comparaison entre ln(x) et x en 0⁺

On en déduit, quand x tend vers 0 par valeurs supérieures (en $0^{+}$), une autre limite :

$\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)$

qui est aussi une forme indéterminée $0\times (-\infty )$.

Début d’un théorème

Théorème

ln(x) tend vers $-\infty$ en $0^{+}$, mais pas très vite :

$\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)=0^{-}$.

Fin du théorème

En effet, quand $x\to 0^{+}$, $y:={\frac {1}{x}}\to +\infty$ donc $x\ln x=-{\frac {\ln y}{y}}\to 0^{-}$.

Remarque

Plus généralement (et par le même changement de variable), le produit de $\ln x$ par n'importe quelle puissance positive de $x$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$.

Voir aussi

Fonction exponentielle/Croissances comparées