Fonction logarithme/Croissances comparées

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Comparaison de ln(x) et x au voisinage de +∞

La fonction ln est strictement croissante sur $\left]0,+\infty \right[$ et tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$, mais elle croît «plus lentement » qu'une fonction linéaire.

Pour formaliser ceci, on étudie la limite $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}$ qui est la forme indéterminée : ${\frac {+\infty }{+\infty }}$.

Début d’un théorème

Théorème

En $+\infty$, ln(x) devient négligeable devant x : $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}=0$

Fin du théorème

Démonstration

On sait que : $\forall t>0\quad \ln(t)\leq t-1$.

On en déduit que : $\forall x>0\quad {\frac {1}{2}}\ln(x)=\ln({\sqrt {x}})\leq {\sqrt {x}}-1$.

Par conséquent : $\forall x\geq 1\quad 0\leq {\frac {\ln(x)}{x}}\leq 2{\frac {{\sqrt {x}}-1}{x}}$.

On conclut grâce au théorème des gendarmes.

Une autre méthode est d'utiliser la comparaison de e^y et y quand y = ln(x) → +∞.

 

Remarque

Plus généralement, le quotient de $\ln(x)$ par n’importe quel polynôme non constant, ou n’importe quelle puissance positive de $x$, tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Faites ces exercices : Croissances comparées, exercice 3.

Comparaison de ln(x) et x au voisinage de 0⁺

Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures (en $0^{+}$), une autre limite $\lim _{x\to 0^{+}}x\ln(x)$ apparait et est aussi une forme indéterminée : $0\times (-\infty )$.

Début d’un théorème

Théorème

ln(x) tend vers $-\infty$ en $0^{+}$, mais pas très vite : $\lim _{x\to 0^{+}}x\ln(x)=0^{-}$

Fin du théorème

En effet, quand $x\to 0^{+}$, $y:={\frac {1}{x}}\to +\infty$ donc $x\ln(x)=-{\frac {\ln(y)}{y}}\to 0^{-}$.

Remarque

Plus généralement (et par le même changement de variable), le produit de $\ln(x)$ par n'importe quelle puissance positive de $x$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$.

Voir aussi

Fonction exponentielle/Croissances comparées