Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2

Exercice 18-1

Pour $a,n\in \mathbb{N}$, on pose :

$I(a,n)={\int }_0^1{x}^n(1-x{)}^a\mathrm{d}x$.

1°  En intégrant par parties, montrer que :

$I(a+1,n)=\frac{a+1}{n+1}I(a,n+1)$.

2°  Établir que :

$I(a,n)-I(a,n+1)=I(a+1,n)$.

En déduire que :

$I(a,n+1)=\frac{n+1}{n+a+2}I(a,n)$.

3°  L'entier $a$ étant fixé, démontrer par récurrence sur $n$ :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}I(a,n)=\frac{1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)\times n}{(a+1)\times (a+2)\times \cdots \times (a+n+1)}$.

Solution

1. $(n+1)I(a+1,n)={\int }_0^1(n+1)x^n(1-x{)}^{a+1}\mathrm{d}x={[x^{n+1}(1-x{)}^{a+1}]}_0^1+(a+1){\int }_0^1{x}^{n+1}(1-x{)}^a\mathrm{d}x=0+(a+1)I(a,n+1)$.
2. • $I(a,n)-I(a,n+1)={\int }_0^1(x^n-x^{n+1})(1-x{)}^a\mathrm{d}x=I(a+1,n)$.
   • Grâce à la question 1, on en déduit : $I(a,n)=(1+\frac{a+1}{n+1})I(a,n+1)=\frac{a+n+2}{n+1}I(a,n+1)$.
3. $I(a,0)={\int }_0^1(1-x{)}^a\mathrm{d}x$ est bien égal à $\frac{1}{a+1}$, et l'hérédité est immédiate grâce à la formule de récurrence de la question précédente.

 

Exercice 18-2

1°  Soient $p\in {\mathbb{Q}}_{+}$ et $q\in \mathbb{Q}$. Pour $x\in [0,1[$, on pose :

$f_{p,q}(x)={\int }_0^x{t}^p(1-t{)}^q\mathrm{d}t$.

Justifier cette notation.

Déterminer la fonction dérivée de $f_{p,q}$.

En se limitant à $p⩾1$, montrer qu'il existe un triplet $(a,b,c)\in {ℝ}^3$, dépendant du couple $(p,q)$, tel que

$\mathrm{\forall }x\in [0,1[a{f}_{p,q}(x)+b{f}_{p-1,q-1}(x)=x^p(1-x{)}^q(cx-q)$.

On distinguera les cas $q=0$ et $q\ne 0$. Dans le second cas, on montrera qu'il existe une solution et une seule, à savoir :

$\{\begin{array}{c}a=(p+q)(1+p+q)\\ b=-pq\\ c=p+q.\end{array}$

2°  Pour $x\in [0,1[$ et $r\in {\mathbb{Q}}_{+}$, donner une expression de :

$F_r(x)={\int }_0^x\frac{t^r}{(1-t{)}^{r+3}}\mathrm{d}t$

dans laquelle n'intervient aucun signe d'intégration.

(On mettra la fonction $F_r$ sous la forme $f_{p-1,q-1}$.)

Solution

1. • La fonction $t\mapsto t^p(1-t{)}^q$ est définie et continue sur $[0,1[$ donc intégrable sur $[0,x]$ pour tout $x\in [0,1[$, et égale à la dérivée de $f_{p,q}$.
   • Les deux fonctions à égaler coïncident toujours en $0$ donc pour qu'elles soient égales aussi sur $]0,1[$, il faut et il suffit que leurs dérivées le soient, c'est-à-dire (après division par $x^{p-1}(1-x{)}^q(cx-q)+q{x}^p(1-x{)}^{q-1}$) :
     $ax(1-x)+b=p(1-x)(cx-q)-qx(cx-q)+cx(1-x)$. Ceci équivaut à
     $a=c(p+q+1),a=p(c+q)+q^2+c,b=-pq$, ou encore :
     $a=c(p+q+1),(p+q-c)q=0,b=-pq$. Par conséquent :
     • si $q\ne 0$, l'unique solution $(a,b,c)$ est celle indiquée dans l'énoncé ;
     • si $q=0$, les solutions sont $c(p+1,0,1)$ avec $c\in ℝ$ (celle indiquée correspond alors à $c=p$).
2. $F_r=f_{r,-r-3}=f_{p-1,q-1}$ pour $(p,q)=(r+1,-r-2)$ donc
   $0\times f_{r+1,-r-2}(x)+(r+1)(r+2)F_r(x)=x^{r+1}(1-x{)}^{-r-2}(-x+r+2)$.
   On a alors :
   $F_r(x)=\frac{(r+2-x)x^{r+1}}{(r+1)(r+2)(1-x{)}^{r+2}}$.

 

Exercice 18-3

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $F_n$ définie par :

$F_n(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}{\sin }^{2n}t\mathrm{d}t$.

1°  Prouver que $F_n$ est croissante et majorée par $1$.

2°  Soit :

$I_n=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{F}_n(x)(={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}{\sin }^{2n}t\mathrm{d}t)$.

Prouver que :

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }{I}_n=2n((2n-1)I_{n-1}-2n{I}_n)$.

3°  En déduire $I_n$ en fonction de $n$.

4°  Étudier la limite de la suite $\left(I_n\right)$.

Solution

1. $F{\text{'}}_n(x)={\mathrm{e}}^{-x}{\sin }^{2n}x\ge 0$ et $F_n(x)\le {\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1-{\mathrm{e}}^{-x}<1$.
2. $I_n=-\underset{0}{\underbrace{{\left[{\mathrm{e}}^{-t}{\sin }^{2n}t\right]}_0^{+\mathrm{\infty }}}}+2n{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}{\sin }^{2n-1}t\cos t\mathrm{d}t=$
   $-2n\underset{0}{\underbrace{{[{\mathrm{e}}^{-t}{\sin }^{2n-1}t\cos t]}_0^{+\mathrm{\infty }}}}+2n{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}((2n-1){\sin }^{2n-2}t{\cos }^{2}t-{\sin }^{2n}t)\mathrm{d}t\mathrm{d}t=$
   $2n((2n-1)(I_{n-1}-I_n)-I_n)=2n((2n-1)I_{n-1}-2n{I}_n)$.
3. $I_0=1$ et $I_n=\frac{2n(2n-1)}{1+4n^2}{I}_{n-1}$ donc
   $I_n=\frac{(2n)!}{(1+4n^2)(1+4(n-1{)}^2)\dots (1+4.1^2)}$.
4. $\frac{2n(2n-1)}{1+4n^2}=\frac{1-\frac{1}{2n}}{\frac{1}{4n^2}+1}<1-\frac{1}{2n}$ donc $\ln \left(I_n\right)<\sum _{k=1}^n\ln (1-\frac{1}{2k})<-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$, ce qui prouve que $I_n\to 0$.

 

Exercice 18-4

Pour tout entier $n>0$, on considère $I_n$, définie par :

$I_n={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^n)\sqrt[n]{1+x^n}}$.

1°  Calculer $I_1$ et $I_2$.

2°  Calculer $I_n$ en intégrant par parties :

${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[n]{1+x^n}}$.

3°  Étudier la limite en $+\mathrm{\infty }$ de la suite $\left(I_n\right)$.

Solution

1. • $I_1={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{(1+x{)}^2}={\left[\frac{-1}{1+x}\right]}_0^1=\frac{1}{2}$.
   • $I_2={\int }_0^{\pi /4}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+{\tan }^{2}t}}={\int }_0^{\pi /4}\cos t\mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
2. ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[n]{1+x^n}}={\left[\frac{x}{\sqrt[n]{1+x^n}}\right]}_0^1+{\int }_0^1\frac{x^n\mathrm{d}x}{(1+x^n)\sqrt[n]{1+x^n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{2}}+{\int }_0^1\frac{(1+x^n)\mathrm{d}x}{(1+x^n)\sqrt[n]{1+x^n}}-I_n$ donc $I_n=\frac{1}{\sqrt[n]{2}}$.
3. $\ln I_n=-\frac{\ln 2}{n}\to 0$ donc $I_n\to 1$.

 

Exercice 18-5

On pose, pour $h$ et $k$ entiers naturels :

$H_{h,k}={\int }_0^1{x}^h{\ln }^{k}x\mathrm{d}x$.

1°  Calculer $H_{h,0}$.

2°  Justifier l'existence de $H_{h,k}$ si $h>0$ (le cas $h=0$ et $k>0$ est plus délicat mais sera justifié dans la suite de l'exercice).

3°   Prouver que si $k>0$ :

$H_{h,k}=-\frac{k}{h+1}{H}_{h,k-1}$.

4°   En déduire $H_{h,k}$.

Solution

1. $H_{h,0}=\frac{1}{h+1}$.
2. La fonction $x\mapsto x^h{\ln }^{k}x$ est continue sur $]0,1]$, et prolongeable par continuité en $0$ si $h>0$ car $\underset{x\to 0}{lim}x{(\ln x)}^k=0$ (Fonction logarithme/Croissances comparées#Comparaison entre ln(x) et x en 0⁺).
3. $H_{h,k}=\frac{1}{h+1}{\left[x^{h+1}{\ln }^{k}x\right]}_0^1-\frac{k}{h+1}{\int }_0^1{x}^{h+1}\frac{{\ln }^{k-1}x}{x}\mathrm{d}x=-\frac{k}{h+1}{H}_{h,k-1}$ (y compris si $h=0$).
4. $H_{h,k}=\frac{(-1{)}^{k}k!}{(h+1{)}^{k+1}}$ (y compris si $h=0$).

 

Exercice 18-6

Soit $f:ℝ\to ℝ$ la fonction définie par :

$f(x)=x{\mathrm{e}}^x$.

1°  Calculer les dérivées première et seconde de $f$ et en déduire, par récurrence, la dérivée d'ordre $n$.

2°  Étudier les variations de la fonction $f_n$ définie par :

$f_n(x)=(x+n){\mathrm{e}}^x$

où $n$ est un entier relatif. Tracer les courbes représentatives $C_{-1}$, $C_0$ et $C_1$ des fonctions $f_{-1}$, $f_0$ et $f_1$.

3°  On pose :

$I_n(h)={\int }_{-n}^{-n+h}{f}_n(x)\mathrm{d}x$.

Calculer $I_n(h)$ en fonction de $h$ et $n$, et établir la relation :

$I_n(h)={\mathrm{e}}^{-n}{I}_0(h)$.

Solution

1. Par récurrence, $f^{(n)}=f_n$ (la fonction définie dans la question suivante). En effet, c'est immédiat pour $n=0$, et l'hérédité vient du fait que ${\left(f_n\right)}^{\prime }=f_{n+1}$.
2. $f_n$ a un minimum en $-(n+1)$. Elle est décroissante avant et croissante après. Ses limites en $-\mathrm{\infty }$ et $+\mathrm{\infty }$ sont respectivement $0$ et $+\mathrm{\infty }$.
   Les courbes représentatives $C_{-1}$, $C_0$ et $C_1$ sont alors :
   
3. $I_n(h)={\left[f_{n-1}\right]}_{-n}^{-n+h}=(h-1){\mathrm{e}}^{-n+h}+{\mathrm{e}}^{-n}={\mathrm{e}}^{-n}((h-1){\mathrm{e}}^h+1)={\mathrm{e}}^{-n}{I}_0(h)$.

 

Exercice 18-7

Soit $n$ un entier naturel. Pour tout entier naturel $k⩽n$, on pose :

$I_{k,n}={\int }_0^1(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k(1-x{)}^{n-k}\mathrm{d}x$.

Pour $0⩽k<n$, comparer $I_{k,n}$ et $I_{k+1,n}$.

En déduire $I_{k,n}$ en fonction de $n$.

Solution

En intégrant par parties, on obtient :

${\int }_0^1(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k(1-x{)}^{n-k}\mathrm{d}x={[(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{x^{k+1}}{k+1}(1-x{)}^{n-k}]}_0^1+{\int }_0^1(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})x^{k+1}(1-x{)}^{n-(k+1)}\mathrm{d}x$,

ce qui se traduit par :

$I_{k,n}=I_{k+1,n}$.

On a donc :

$I_{k,n}=I_{n,n}={\int }_0^1(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^n(1-x{)}^{n-n}\mathrm{d}x={\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x={\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]}_0^1=\frac{1}{n+1}$.