Leçons de niveau 13

Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2

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Suites d'intégrales 2
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Exercices no18
Leçon : Intégration en mathématiques
Chapitre du cours : Intégrale et primitives

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. : Suites d'intégrales 1
Exo suiv. : Divers
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Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2
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Exercice 18-1[modifier | modifier le wikicode]

Pour , on pose :

.

 En intégrant par parties, montrer que :

.

 Établir que :

.
En déduire que :
.

 L'entier étant fixé, démontrer par récurrence sur  :

.

Exercice 18-2[modifier | modifier le wikicode]

 Soient et . Pour , on pose :

.
Justifier cette notation.
Déterminer la fonction dérivée de .
En se limitant à , montrer qu'il existe un triplet , dépendant du couple , tel que
.
On distinguera les cas et . Dans la second cas, on montrera qu'il existe une solution et une seule, à savoir :

 Pour et , donner une expression de :

dans laquelle n'intervient aucun signe d'intégration.
(On mettra la fonction sous la forme .)

Exercice 18-3[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout entier naturel , on considère la fonction définie par :

.

 Prouver que est croissante et majorée par .

 Soit :

.
Prouver que :
.

 En déduire en fonction de .

 Étudier la limite de la suite .

Exercice 18-4[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout entier , on considère , définie par :

.

 Calculer et .

 Calculer en intégrant par parties :

.

 Étudier la limite en de la suite .

Exercice 18-5[modifier | modifier le wikicode]

On pose, pour et entiers naturels :

.

 Calculer .

 Justifier l'existence de si (le cas et est plus délicat mais sera justifié dans la suite de l'exercice).

  Prouver que si  :

.

  En déduire .

Exercice 18-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit la fonction définie par :

.

 Calculer les dérivées première et seconde de et en déduire, par récurrence, la dérivée d'ordre .

 Étudier les variations de la fonction définie par :

est un entier relatif. Tracer les courbes représentatives , et des fonctions , et .

 On pose :

.
Calculer en fonction de et , et établir la relation :
.


Exercice 18-7[modifier | modifier le wikicode]

Soit un entier naturel. Pour tout entier naturel , on pose :

.

Pour , comparer et .

En déduire en fonction de .