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Exercice : Suites d'intégrales 2
Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Pour
, on pose :
.
1° En intégrant par parties, montrer que :
.
2° Établir que :
.
- En déduire que :
.
3° L'entier
étant fixé, démontrer par récurrence sur
:
.
Solution
.
-
.
- Grâce à la question 1, on en déduit :
.
est bien égal à
, et l'hérédité est immédiate grâce à la formule de récurrence de la question précédente.
1° Soient
et
. Pour
, on pose :
.
- Justifier cette notation.
- Déterminer la fonction dérivée de
.
- En se limitant à
, montrer qu'il existe un triplet
, dépendant du couple
, tel que
.
- On distinguera les cas
et
. Dans la second cas, on montrera qu'il existe une solution et une seule, à savoir :

2° Pour
et
, donner une expression de :

- dans laquelle n'intervient aucun signe d'intégration.
- (On mettra la fonction
sous la forme
.)
Solution
-
- La fonction
est définie et continue sur
donc intégrable sur
pour tout
, et égale à la dérivée de
.
- Les deux fonctions à égaler coïncident toujours en
donc pour qu'elles soient égales aussi sur
, il faut et il suffit que leurs dérivées le soient, c'est-à-dire (après division par
) :
. Ceci équivaut à
, ou encore :
. Par conséquent :
- si
, l'unique solution
est celle indiquée dans l'énoncé ;
- si
, les solutions sont
avec
(celle indiquée correspond alors à
).
pour
donc
.
On a alors :
.
Pour tout entier naturel
, on considère la fonction
définie par :
.
1° Prouver que
est croissante et majorée par
.
2° Soit :
.
- Prouver que :
.
3° En déduire
en fonction de
.
4° Étudier la limite de la suite
.
Pour tout entier
, on considère
, définie par :
.
1° Calculer
et
.
2° Calculer
en intégrant par parties :
.
3° Étudier la limite en
de la suite
.
On pose, pour
et
entiers naturels :
.
1° Calculer
.
2° Justifier l'existence de
si
(le cas
et
est plus délicat mais sera justifié dans la suite de l'exercice).
3° Prouver que si
:
.
4° En déduire
.
Solution
.
- La fonction
est continue sur
, et prolongeable par continuité en
si
car
(Fonction logarithme/Croissances comparées#Comparaison entre ln(x) et x en 0⁺).
(y compris si
).
(y compris si
).
Soit
la fonction définie par :
.
1° Calculer les dérivées première et seconde de
et en déduire, par récurrence, la dérivée d'ordre
.
2° Étudier les variations de la fonction
définie par :

- où
est un entier relatif. Tracer les courbes représentatives
,
et
des fonctions
,
et
.
3° On pose :
.
- Calculer
en fonction de
et
, et établir la relation :
.
Soit
un entier naturel. Pour tout entier naturel
, on pose :
.
Pour
, comparer
et
.
En déduire
en fonction de
.
Solution
En intégrant par parties, on obtient :
,
ce qui se traduit par :
.
On a donc :
.