Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence

Exercice 1

Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (justifier).

1. Si une suite positive est non majorée, elle tend vers l'infini.
2. Si une suite d'entiers converge, elle est stationnaire.
3. Si une suite positive tend vers $0$, elle est décroissante.
4. Si une suite positive tend vers $0$, elle est décroissante à partir d'un certain rang.
5. Si une suite n'est pas majorée, elle est minorée.
6. Si une suite est croissante et non bornée, elle tend vers l'infini.
7. Si $u_{n}\to 1$ alors ${u_{n}}^{n}\to 1$.

Solution

1. Faux : $u_{n}=n\left(1+(-1)^{n}\right)$.
2. Vrai : à partir d'un certain rang, l'entier positif $\left|u_{n+1}-u_{n}\right|$ est $<1$ donc nul.
3. Faux : $u_{n}={\frac {1}{n}}\left(1+(-1)^{n}\right)$.
4. Faux : $u_{n}={\frac {1}{n}}\left(1+(-1)^{n}\right)$.
5. Faux : $u_{n}=n\;(-1)^{n}$.
6. Vrai : d'après le théorème de la limite monotone, une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ (et pour une suite croissante, « non majorée » équivaut à « non bornée », puisqu'elle est minorée : par son premier terme).
7. Faux : $\mathrm {e} ^{1/n}\to 1$ et $\left(\mathrm {e} ^{1/n}\right)^{n}=\mathrm {e}$.

 

Exercice 2

Soit $a>0$. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=a$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}={\sqrt {\sum _{k=0}^{n}u_{k}}}$.

1. Montrer que la suite est bien définie.
2. Montrer qu'elle est croissante à partir du rang 1.
3. En déduire sa limite.

Solution

1. Montrons par récurrence que pour tout $\forall n\in \mathbb {N}$, $u_{0},u_{1},\dots ,u_{n}$ sont bien définis et positifs. L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, si $u_{0},u_{1},\dots ,u_{n}$ sont bien définis et positifs alors leur somme aussi, donc le terme suivant $u_{n+1}$ (la racine carrée de cette somme) aussi, par définition de la racine carrée.
2. Pour tout $n\geq 1$, $u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2}=u_{n}\geq 0$ donc $u_{n+1}\geq u_{n}$.
3. Par croissance, $u_{n}\to \ell \in \left[u_{1},+\infty \right]$ donc $u_{n+1}\to \ell$ (limite d'une sous-suite). Si $\ell$ était finie, on aurait à la fois $u_{n+1}^{2}\to \ell ^{2}$ et $u_{n}^{2}+u_{n}\to \ell ^{2}+\ell$ (par continuité de $x\mapsto x^{2}$ et de $x\mapsto x^{2}+x$). Par unicité de la limite, comme $u_{n+1}^{2}=u_{n}^{2}+u_{n}$, on en déduirait que $\ell ^{2}=\ell ^{2}+\ell$ c'est-à-dire $\ell =0$, ce qui est impossible car $\ell \geq u_{1}={\sqrt {a}}>0$. Donc $\ell =+\infty$.

 

Exercice 3

Soient $(u_{n})$ une suite, et $\ell \in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$.

1. Montrer que si $u_{2k}\to \ell$ et $u_{2k+1}\to \ell$ alors $u_{n}\to \ell$.
2. Généralisation. — Soient $\left(u_{n}\right)$ une suite et $\left(u_{f\left(k\right)}\right),\left(u_{g\left(k\right)}\right),\dots ,\left(u_{h\left(k\right)}\right)$ une famille finie de $q$ sous-suites de même limite $\ell$, et dont la réunion des indices, $f\left(\mathbb {N} \right)\cup g\left(\mathbb {N} \right)\cup \dots \cup h\left(\mathbb {N} \right)$, est égale à $\mathbb {N}$. Montrer que $u_{n}\to \ell$.
3. Pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, on pose $u_{n}=1$ si $n$ est une puissance de $2$ et $u_{n}=0$ sinon. Soit $\left(E_{m}\right)_{m\in \mathbb {N} }$ la partition de l'ensemble $\mathbb {N} ^{*}$ des indices définie par : $E_{m}$ est l'ensemble (infini) des entiers $n$ de la forme $2^{m}$ multiplié par un entier impair. Montrer que pour tout $m\in \mathbb {N}$, la sous-suite $\left(u_{n}\right)_{n\in E_{m}}$ converge vers 0, mais que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ n'a pas de limite.

Solution

1°) Soit $A<\ell$.

• Puisque $u_{2k}\to \ell$, il existe $p\in \mathbb {N}$ tel que $\forall k\geq p\quad A<u_{2k}$.
• Puisque $u_{2k+1}\to \ell$, il existe $q\in \mathbb {N}$ tel que $\forall k\geq q\quad A<u_{2k+1}$.

Posons $N_{0}=\max \left(2p,2q+1\right)$. Pour tout $n\geq N_{0}$, on a :

• si $n$ est pair alors $n=2k$ avec $2k=n\geq N_{0}\geq 2p$ donc $k\geq p$ donc $A<u_{2k}$ ;
• si $n$ est impair alors $n=2k+1$ avec $2k+1=n\geq N_{0}\geq 2q+1$ donc $k\geq q$ donc $A<u_{2k+1}$.

Dans les deux cas, on a donc $A<u_{n}$.

On a construit ainsi, pour tout $A<\ell$, un entier $N_{0}$ tel que $\forall n\geq N_{0}\quad A<u_{n}$. On construirait de même, pour tout $B>\ell$, un entier $N_{1}$ tel que $\forall n\geq N_{1}\quad B>u_{n}$, ce qui prouve bien que $u_{n}\to \ell$.

2°) Soit $A<\ell$.

• Puisque $u_{f\left(k\right)}\to \ell$, il existe $N_{1}\in \mathbb {N}$ tel que $\forall k\geq p\quad A<u_{f\left(k\right)}$.
• Il existe de même $N_{2},\dots ,N_{q}\in \mathbb {N}$ associés aux $q-1$ autres sous-suites.

Posons $N=\max \left(f\left(N_{1}\right),g\left(N_{2}\right),\dots ,h\left(N_{q}\right)\right)$ (c'est ici qu'il est indispensable que la famille de sous-suites soit finie). Pour tout $n\geq N$, on a :

• si $n\in f\left(\mathbb {N} \right)$ alors $n=f\left(k\right)$ avec $f\left(k\right)=n\geq N\geq f\left(N_{1}\right)$ donc (comme $f$ est strictement croissante, par définition d'une sous-suite) $k\geq N_{1}$, donc $A<u_{f\left(k\right)}=u_{n}$ ;
• on montre de même que si $n\in g\left(\mathbb {N} \right)$ ou $\dots$ ou $n\in h\left(\mathbb {N} \right)$ alors $A<u_{n}$.

D'après l'hypothèse $\mathbb {N} =f\left(\mathbb {N} \right)\cup g\left(\mathbb {N} \right)\cup \dots \cup h\left(\mathbb {N} \right)$, on a donc montré que dans tous les cas (non nécessairement exclusifs), $A<u_{n}$.

On conclut comme dans la question 1.

3°) Chacune des sous-suites stationne à $0$ dès le deuxième terme. Mais la suite $\left(u_{n}\right)$ a aussi une sous-suite qui vaut constamment $1$.

 

Exercice 4

Soient $a\in \mathbb {R} ^{*}$ et $\left(P_{n}\right)$ la suite définie par : $P_{n}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {a}{2^{k}}}$ (avec la convention du produit vide : $P_{0}=1$).

1. Calculer $P_{n}\sin {\frac {a}{2^{n}}}$ en utilisant la formule du sinus de l'angle double : $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
2. En déduire $\lim _{n\to +\infty }P_{n}$.

Solution

1. Pour tout $n\geq 1$,

   $P_{n}\sin {\frac {a}{2^{n}}}=P_{n-1}\cos {\frac {a}{2^{n}}}\sin {\frac {a}{2^{n}}}=P_{n-1}{\frac {\sin {\frac {a}{2^{n-1}}}}{2}}$

   donc la suite $\left(P_{n}\sin {\frac {a}{2^{n}}}\right)$ est géométrique de raison ${\frac {1}{2}}$. Par conséquent,

   $P_{n}\sin {\frac {a}{2^{n}}}={\frac {1}{2^{n}}}P_{0}\sin {\frac {a}{2^{0}}}={\frac {\sin a}{2^{n}}}$.

2. D'après la question précédente,

   $P_{n}={\frac {\sin a}{2^{n}\sin {\frac {a}{2^{n}}}}}\sim {\frac {\sin a}{2^{n}{\frac {a}{2^{n}}}}}={\frac {\sin a}{a}}$,

   c'est-à-dire

   $\lim _{n\to +\infty }P_{n}={\frac {\sin a}{a}}$.

 

Exercice 5 : convergence au sens de Cesàro

Soit $(u_{n})$ une suite numérique. On considère la suite $(v_{n})$, appelée suite des moyennes de Cesàro, définie par :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}u_{k}$.

On dit que $(u_{n})$ converge au sens de Cesàro si la suite $(v_{n})$ converge.

1. Montrer que si $(u_{n})$ converge (au sens usuel) vers une limite $\ell$ alors elle converge au sens de Cesàro vers $\ell$.
2. Montrer, à l'aide d'un contre-exemple, que la réciproque est fausse.
3. Montrer que si $(u_{n})$ est monotone alors $(v_{n})$ aussi.

Solution

1. Soit $\epsilon >0$. Si $(u_{n})$ converge vers $\ell$ alors, par définition : $\exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n>N\quad |u_{n}-\ell |<{\frac {\epsilon }{2}}$.

   Pour $n>N$, on a : $|v_{n}-\ell |=\left|{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}u_{k}-{\frac {(n+1)\ell }{n+1}}\right|\leq {\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{N}|u_{k}-\ell |+{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=N+1}^{n}|u_{k}-\ell |$.

   Or, on a : ${\frac {1}{n+1}}\sum _{k=N+1}^{n}|u_{k}-\ell |\leq {\frac {n-N}{n+1}}{\frac {\epsilon }{2}}\leq {\frac {\epsilon }{2}}$

   et d'autre part : ${\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{N}|u_{k}-\ell |\to 0$ (car $\sum _{k=0}^{N}|u_{k}-l|$ est fixe) donc $\exists N_{1}\in \mathbb {N} \quad \forall n>N_{1}\quad {\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{N}|u_{k}-\ell |<{\frac {\epsilon }{2}}$.

   Ainsi, pour $n>\max(N,N_{1}),\ |v_{n}-\ell |<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$,

   ce qui prouve que $v_{n}\to \ell$.

   Voir aussi : Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence#Le théorème de Cesàro.

2. Un contre-exemple est donné par $u_{n}=(-1)^{n}$ qui ne converge pas, mais dans ce cas $v_{n}={\frac {1+(-1)^{n}}{2(n+1)}}$.

   On voit alors que $v_{n}\to 0$.

3. Supposons par exemple $(u_{n})$ croissante. Alors,
   $(n+1)(n+2)(v_{n+1}-v_{n})=(n+1)\sum _{k=0}^{n+1}u_{k}-(n+2)\sum _{k=0}^{n}u_{k}=(n+1)u_{n+1}-\sum _{k=0}^{n}u_{k}=\sum _{k=0}^{n}(u_{n+1}-u_{k})\geq 0$
   donc $(v_{n})$ est croissante. En passant aux opposés on en déduit que de même, si $(u_{n})$ est décroissante alors $(v_{n})$ aussi.

 

Exercice 6

Soient $(a_{n})$ et $(b_{n})$ deux suites de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que

${\frac {\ln a_{n}}{n}}\to a$ et ${\frac {\ln b_{n}}{n}}\to b$.

Démontrer que ${\frac {\ln \left(a_{n}+b_{n}\right)}{n}}\to \max \left(a,b\right)$.

Solution

Pour tout entier $n>0$, ${\frac {\ln \left(a_{n}+b_{n}\right)}{n}}$ est :

• majoré par ${\frac {\ln \left(2\max \left(a_{n},b_{n}\right)\right)}{n}}={\frac {\ln 2}{n}}+{\frac {\ln \left(\max \left(a_{n},b_{n}\right)\right)}{n}}$ ;
• minoré par ${\frac {\ln \left(\max \left(a_{n},b_{n}\right)\right)}{n}}$.

Or ${\frac {\ln \left(\max \left(a_{n},b_{n}\right)\right)}{n}}=\max \left({\frac {\ln a_{n}}{n}},{\frac {\ln b_{n}}{n}}\right)\to \max \left(a,b\right)$ (par continuité de la fonction $\max$, cf. Exercice 9).

La suite $\left({\frac {\ln \left(a_{n}+b_{n}\right)}{n}}\right)$ est donc encadrée par deux suites qui tendent vers $\max \left(a,b\right)$. On conclut grâce au théorème des gendarmes.

 

Exercice 7

(Théorème de Herschfeld)

Pour tous réels $s_{i}\geq 1$ tels que la série $\sum _{n\geq 1}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {1}{s_{i}}}$ converge et pour tous réels positifs $a_{i}$, montrer que

le radical imbriqué ${\sqrt[{s_{1}}]{a_{1}+{\sqrt[{s_{2}}]{a_{2}+{\sqrt[{s_{3}}]{a_{3}+\cdots }}}}}}$ converge si et seulement si la suite $\left({\sqrt[{s_{1}\dots s_{n}}]{a_{n}}}\right)$ est majorée.

Solution

On remarque immédiatement que la suite $\left({\sqrt[{s_{1}}]{a_{1}+{\sqrt[{s_{2}}]{a_{2}+\dotsc {\sqrt[{s_{n}}]{a_{n}}}}}}}\right)$ est croissante, et minorée par la suite $\left({\sqrt[{s_{1}\dots s_{n}}]{a_{n}}}\right)$.

Par conséquent, il suffit de montrer que si la seconde est majorée alors la première aussi.

Supposons donc que $a_{n}\leq M^{s_{1}\dots s_{n}}$ (pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$) et $\sum _{n\geq 1}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {1}{s_{i}}}=S<+\infty$. Alors,

${\sqrt[{s_{1}}]{a_{1}+{\sqrt[{s_{2}}]{a_{2}+\dotsc {\sqrt[{s_{n}}]{a_{n}}}}}}}\leq M{\sqrt[{s_{1}}]{1+{\sqrt[{s_{2}}]{1+\dotsc {\sqrt[{s_{n}}]{1}}}}}}\leq M2^{\sum _{1\leq k<n}\prod _{1\leq i\leq k}{\frac {1}{s_{i}}}}\leq M2^{S}$.

 

Exercice 8

Étudier la convergence des suites

$n\sum _{k=1}^{2n+1}{\frac {1}{n^{2}+k}}$ et ${\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\cos {\frac {1}{\sqrt {n+k}}}$.

Solution

• ${\frac {n(2n+1)}{n^{2}+2n+1}}\leq n\sum _{k=1}^{2n+1}{\frac {1}{n^{2}+k}}\leq {\frac {n(2n+1)}{n^{2}}}$ donc la suite converge vers 2.
• $\cos {\frac {1}{\sqrt {n}}}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\cos {\frac {1}{\sqrt {n+k}}}\leq \cos {\frac {1}{\sqrt {2n}}}$ donc la suite converge vers 1.

 

Exercice 9

Soient $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ deux suites. On s'intéresse au comportement de la suite $(w_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ définie par

$\forall n\in \mathbb {N} \quad w_{n}=\max(u_{n},v_{n})$.

1. Donner un exemple de deux suites $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ n'ayant pas de limite et telles que $(w_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge.
2. Montrer que si $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ tendent respectivement vers $\ell$ et $\ell '$ (finies ou infinies) alors $(w_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ tend vers $\max(\ell ,\ell ')$ (on distinguera les deux cas $\ell =\ell '$ et $\ell >\ell '$ — le cas restant, $\ell '>\ell$, est analogue).

Solution

1. $u_{n}=(-1)^{n}$, $v_{n}=(-1)^{n+1}$.
2. 1. Premier cas : $\ell =\ell '$. Tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient alors, à partir d'un certain rang, $u_{n}$ et $v_{n}$, donc $w_{n}$ (qui est l'un des deux), ce qui prouve que $w_{n}\to \ell$.
   2. Second cas : $\ell >\ell '$. Soit un réel $L$ tel que $\ell >L>\ell '$. Puisque $u_{n}\to \ell >L$, on a, à partir d'un certain rang $N$ : $u_{n}>L$. De même, à partir d'un certain rang $N'$ : $v_{n}<L$. Ainsi, à partir du rang $\max(N,N')$, on a $v_{n}<u_{n}$, donc $w_{n}=u_{n}$, si bien que $w_{n}\to \ell$.

 

Exercice 10

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ continue en $0$ et telle que $\forall x\in \mathbb {R} ^{*}\quad f(x)+f(2x)=0$. Démontrer que $f=0$.

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}$ on a (par récurrence) $\forall n\in \mathbb {N} \quad f(\left(2^{-n}x\right)=(-1)^{n}f(x)$ donc (par passage à la limite) $f(0)=f(x)=-f(x)$.

 

Exercice 11

Étudier la suite récurrente suivante : $u_{0}\geq 0$ et $u_{n+1}=1+{\frac {u_{n}^{2}}{4}}$.

Solution

$u_{n+1}=f(u_{n})$ pour $f$ définie par $f(x)=1+{\frac {x^{2}}{4}}$.

$f(x)-x={\frac {(x-2)^{2}}{4}}\geq 0$ donc :

• si $u_{0}\leq 2$, la suite est majorée par 2 et croissante donc converge, et sa limite vaut 2 (le point fixe de $f$).
• si $u_{0}>2$, la suite est strictement croissante et supérieure au point fixe de $f$, donc $u_{n}\to +\infty$.

 

Exercice 12

On rappelle (cf. Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités#Exercice 2-1) que pour tout $x>0$,

$x-{\frac {x^{2}}{2}}<\ln(1+x)<x$.

En déduire la limite de la suite

$p_{n}:=\prod _{k=0}^{n}\left(1+{k \over n^{2}}\right)$.

Solution

Posons $s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}k$ et $t_{n}:=\sum _{k=0}^{n}k^{2}$.

D'après le rappel, ${s_{n} \over n^{2}}-{t_{n} \over 2n^{4}}\leq \ln p_{n}\leq {s_{n} \over n^{2}}$.

Or (cf. Sommation/Exercices/Calculs élémentaires#Exercice 2-6) ${s_{n} \over n^{2}}={\frac {n+1}{2n}}\to {\frac {1}{2}}$ et ${t_{n} \over 2n^{4}}={\frac {(n+1)(2n+1)}{12n^{3}}}\to 0$.

Donc $p_{n}\to {\sqrt {\mathrm {e} }}$.

 

Lien externe

« L1 Analyse → 121 Suites → 121.01 Convergence », sur exo7