Leçons de niveau 14

Sommation/Exercices/Calculs élémentaires

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Calculs élémentaires
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Exercices no2
Leçon : Sommation
Chapitre du cours : Définition et premiers calculs

Ces exercices sont de niveau 14.

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Sommation/Exercices/Calculs élémentaires
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que la somme des n premiers nombres impairs est n2

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que .

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Calculer :

.

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Calculer par télescopage :

.

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que :

.

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

À l'aide de la formule connue , on va retrouver celles qui donnent puis (cf. chapitre 1, sommation par télescopage).

L'exercice 3-6 présente la même méthode de façon plus efficace.

Question 1.

(a) Recopiez en complétant chaque ligne sur le modèle des deux premières :

(b) Sommez ces égalités par colonnes.

(c) Isolez pour conclure.

Question 2. Calculer avec la même méthode.

Question 3. Montrer que .

Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

Calculer de deux façons différentes :

.

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

Soit n et p deux entiers tels que 0 ≤ p ≤ n et E, un ensemble à n éléments. Soit F l’ensemble des couples (A, B) de sous-ensembles de E disjoints et dont l'union a pour cardinal p.

En dénombrant de deux façons différentes le nombre d'éléments de F, établir la formule :

Voir aussi l'exercice 5-1.

Exercice 2-9[modifier | modifier le wikicode]

Montrer par récurrence que :

Exercice 2-10[modifier | modifier le wikicode]

En utilisant un encadrement, calculer :

( étant la fonction partie entière).

Exercice 2-11[modifier | modifier le wikicode]

  1. En admettant (cf. Exercice 6-3) que
    ,
    démontrer les formules :
    ,
    où par définition (cf. Combinatoire/Arrangements sans répétition), (pour ).
  2. On pose . Utiliser les formules , et pour retrouver , et (voir supra).
  3. Calculer de même

Exercice 2-12[modifier | modifier le wikicode]

Calculer .