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Exercice : Calculs élémentaires
Sommation/Exercices/Calculs élémentaires », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
- Montrer que la somme des n premiers nombres impairs est n2.
- Soit un nombre semi-premier impair (c'est-à-dire produit de deux nombres premiers impairs). De combien de façons peut-on écrire comme somme d'entiers positifs impairs consécutifs ?
Montrer que .
Solution
Il est facile de démontrer cette relation par récurrence, mais une méthode plus naturelle et plus rapide est de la vérifier par télescopage :
donc
- .
Calculer :
- .
Solution
donc par télescopage, .
Calculer par télescopage :
- .
Solution
a) .
b)
- donc
- .
c)
- donc
- .
d)
- donc
- .
- Montrer pour tout entier ,
- .
- En déduire la partie entière de
Démontrer que :
- .
Solution
Il est facile de démontrer cette relation par récurrence, mais une méthode plus naturelle et plus rapide est de la vérifier par télescopage :
donc
À l'aide de la formule connue , on va retrouver celles qui donnent puis (cf. chapitre 1, sommation par télescopage).
L'exercice 3-6 présente la même méthode de façon plus efficace.
Question 1.
(a) Recopiez en complétant chaque ligne sur le modèle des deux premières :
(b) Sommez ces égalités par colonnes.
(c) Isolez pour conclure.
Question 2. Calculer avec la même méthode.
Question 3. Montrer que .
Solution de la question 1
(a) Chaque ligne du tableau s'obtient par la formule du binôme :
- ,
ce qui donne :
(b) .
(c) est égal d'une part, par simplification, à , et d'autre part, d'après la question (b), à . Par conséquent,
- .
Solution de la question 2
(a) On trouve le tableau suivant :
(b) .
(c) D'après la sous-question précédente et la question 1,
- . Donc
- .
Solution de la question 3
.
Autre méthode.
- étant donné, montrer qu'il existe un unique vérifiant et .
- On prend . Soit alors le polynôme de la question précédente. Montrer que pour tout on a : .
- Montrer que (pour ) .
- Calculer .
Solution
- Soit , a priori doit être de la forme , et les sont déterminés en fonction des par :
, soit .
Ce système de équations à inconnues est en escalier donc a une unique solution.
- De façon générale on a (par récurrence sur ) .
- donc le polynôme vérifie : . D'après la question 1, il est donc constant, si bien que , cqfd.
- donc .
, puis .
, puis .
, puis .
Remarque : en permutant les questions, une autre façon de répondre à la première est : par linéarité, il suffit de prouver l'existence et l'unicité de . L'unicité résulte de la question 2. L'existence se prouve par récurrence : soit tel que et , alors donc , et il reste à ajuster pour avoir .
.
.
Il suffit donc de choisir . (C'est une autre méthode pour calculer les par récurrence dans la question 4.)
Calculer de deux façons différentes :
- .
Solution
Cette somme peut s'écrire :
Première méthode par télescopage
Puisque le polynôme est de degré 2, il est égal à pour un unique polynôme nul en 0, de degré 3, , avec déterminés par
- ,
c'est-à-dire
La solution est donc .
Par télescopage, on obtient donc :
- .
Deuxième méthode
- .
Soient n et p deux entiers tels que 0 ≤ p ≤ n et E, un ensemble à n éléments. Soit F l’ensemble des couples (A, B) de sous-ensembles de E disjoints et dont l'union a pour cardinal p.
En dénombrant de deux façons différentes le nombre d'éléments de F, établir la formule :
Solution
Première façon
On commence par choisir A de cardinal k compris entre 0 et p et pour chaque A, on choisit B de cardinal p - k parmi les n - k éléments restants de E. En sommant ces choix pour les différentes valeurs de k possibles, on obtient :
- .
Deuxième façon
On choisit C = A ᑌ B dans E, soit p éléments parmi n. Ensuite dans C, on choisit une partie de C qui représentera A, soit 2p possibilités. Les éléments de C restants formeront B. On obtient :
Chacune des deux façons permettant de dénombrer F, on a donc :
- .
Voir aussi l'exercice 5-1.
Montrer par récurrence que :
En utilisant un encadrement, calculer :
( étant la fonction partie entière).
- En admettant (cf. Exercice 6-3) que
- ,
- démontrer les formules :
- ,
- où par définition (cf. Combinatoire/Arrangements sans répétition), (pour ).
- On pose . Utiliser les formules , et pour retrouver , et (voir supra).
- Calculer de même
Calculer .
Solution
.
Soit .
- Calculer .
- Déterminer tels que .
- En déduire la valeur de .
- Retrouver cette valeur par télescopage.