En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Calculs élémentaires
Sommation/Exercices/Calculs élémentaires », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
- Montrer que la somme des n premiers nombres impairs est n2.
- Soit
un nombre semi-premier impair (c'est-à-dire produit de deux nombres premiers impairs). De combien de façons peut-on écrire
comme somme d'entiers positifs impairs consécutifs ?
Montrer que
.
Solution
Il est facile de démontrer cette relation par récurrence, mais une méthode plus naturelle et plus rapide est de la vérifier par télescopage :

donc
.
Calculer :
.
Solution
donc par télescopage,
.
Calculer par télescopage :
.
Solution
a)
.
b)
- donc
.
c)
- donc
.
d)
- donc
.
- Montrer pour tout entier
,
.
- En déduire la partie entière de

Démontrer que :
.
Solution
Il est facile de démontrer cette relation par récurrence, mais une méthode plus naturelle et plus rapide est de la vérifier par télescopage :

donc

À l'aide de la formule connue
, on va retrouver celles qui donnent
puis
(cf. chapitre 1, sommation par télescopage).
L'exercice 3-6 présente la même méthode de façon plus efficace.
Question 1.
(a) Recopiez en complétant chaque ligne sur le modèle des deux premières :

(b) Sommez ces égalités par colonnes.
(c) Isolez
pour conclure.
Question 2. Calculer
avec la même méthode.
Question 3. Montrer que
.
Solution de la question 1
(a) Chaque ligne du tableau s'obtient par la formule du binôme :
,
ce qui donne :

(b)
.
(c)
est égal d'une part, par simplification, à
, et d'autre part, d'après la question (b), à
. Par conséquent,
.
Solution de la question 2
(a) On trouve le tableau suivant :

(b)
.
(c) D'après la sous-question précédente et la question 1,
. Donc
.
Solution de la question 3
.
Autre méthode.
étant donné, montrer qu'il existe un unique
vérifiant
et
.
- On prend
. Soit alors
le polynôme
de la question précédente. Montrer que pour tout
on a :
.
- Montrer que (pour
)
.
- Calculer
.
Solution
- Soit
, a priori
doit être de la forme
, et les
sont déterminés en fonction des
par :
, soit
.
Ce système de
équations à
inconnues
est en escalier donc a une unique solution.
- De façon générale on a (par récurrence sur
)
.
donc le polynôme
vérifie :
. D'après la question 1, il est donc constant, si bien que
, cqfd.
donc
.
, puis
.
, puis
.
, puis
.
Remarque : en permutant les questions, une autre façon de répondre à la première est : par linéarité, il suffit de prouver l'existence et l'unicité de
. L'unicité résulte de la question 2. L'existence se prouve par récurrence : soit
tel que
et
, alors
donc
, et il reste à ajuster
pour avoir
.
.
.
Il suffit donc de choisir
. (C'est une autre méthode pour calculer les
par récurrence dans la question 4.)
Calculer de deux façons différentes :
.
Solution
Cette somme peut s'écrire :

Première méthode par télescopage
Puisque le polynôme
est de degré 2, il est égal à
pour un unique polynôme nul en 0, de degré 3,
, avec
déterminés par
,
c'est-à-dire

La solution est
donc
.
Par télescopage, on obtient donc :
.
Deuxième méthode
.
Soient n et p deux entiers tels que 0 ≤ p ≤ n et E, un ensemble à n éléments. Soit F l’ensemble des couples (A, B) de sous-ensembles de E disjoints et dont l'union a pour cardinal p.
En dénombrant de deux façons différentes le nombre d'éléments de F, établir la formule :
Solution
Première façon
On commence par choisir A de cardinal k compris entre 0 et p et pour chaque A, on choisit B de cardinal p - k parmi les n - k éléments restants de E. En sommant ces choix pour les différentes valeurs de k possibles, on obtient :
.
Deuxième façon
On choisit C = A ᑌ B dans E, soit p éléments parmi n. Ensuite dans C, on choisit une partie de C qui représentera A, soit 2p possibilités. Les éléments de C restants formeront B. On obtient :
Chacune des deux façons permettant de dénombrer F, on a donc :
.
Voir aussi l'exercice 5-1.
Montrer par récurrence que :

En utilisant un encadrement, calculer :

(
étant la fonction partie entière).
- En admettant (cf. Exercice 6-3) que
,
- démontrer les formules :
,
- où par définition (cf. Combinatoire/Arrangements sans répétition),
(pour
).
- On pose
. Utiliser les formules
,
et
pour retrouver
,
et
(voir supra).
- Calculer de même

Calculer
.
Solution
.
Soit
.
- Calculer
.
- Déterminer
tels que
.
- En déduire la valeur de
.
- Retrouver cette valeur par télescopage.