En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Convergence
Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Déterminer si les suites
suivantes ont une limite (finie ou infinie). Si oui, la caluler.





Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (justifier).
- Si une suite positive est non majorée, elle tend vers l'infini.
- Si une suite d'entiers converge, elle est stationnaire.
- Si une suite positive tend vers
, elle est décroissante.
- Si une suite positive tend vers
, elle est décroissante à partir d'un certain rang.
- Si une suite n'est pas majorée, elle est minorée.
- Si une suite est croissante et non bornée, elle tend vers l'infini.
- Si
alors
.
Soit
. On considère la suite
définie par
et
.
- Montrer que la suite est bien définie.
- Montrer qu'elle est croissante à partir du rang 1.
- En déduire sa limite.
Solution
- Montrons par récurrence que pour tout
,
sont bien définis et positifs. L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, si
sont bien définis et positifs alors leur somme aussi, donc le terme suivant
(la racine carrée de cette somme) aussi, par définition de la racine carrée.
- Pour tout
,
donc
.
- Par croissance,
donc
(limite d'une sous-suite). Si
était finie, on aurait à la fois
et
(par continuité de
et de
). Par unicité de la limite, comme
, on en déduirait que
c'est-à-dire
, ce qui est impossible car
. Donc
.
Soient
une suite, et
.
- Montrer que si
et
alors
.
- Généralisation. — Soient
une suite et
une famille finie de
sous-suites de même limite
, et dont la réunion des indices,
, est égale à
. Montrer que
.
- Pour tout
, on pose
si
est une puissance de
et
sinon. Soit
la partition de l'ensemble
des indices définie par :
est l'ensemble (infini) des entiers
de la forme
multiplié par un entier impair. Montrer que pour tout
, la sous-suite
converge vers 0, mais que la suite
n'a pas de limite.
Solution
1°) Soit
.
- Puisque
, il existe
tel que
.
- Puisque
, il existe
tel que
.
Posons
. Pour tout
, on a :
- si
est pair alors
avec
donc
donc
;
- si
est impair alors
avec
donc
donc
.
Dans les deux cas, on a donc
.
On a construit ainsi, pour tout
, un entier
tel que
. On construirait de même, pour tout
, un entier
tel que
, ce qui prouve bien que
.
2°) Soit
.
- Puisque
, il existe
tel que
.
- Il existe de même
associés aux
autres sous-suites.
Posons
(c'est ici qu'il est indispensable que la famille de sous-suites soit finie). Pour tout
, on a :
- si
alors
avec
donc (comme
est strictement croissante, par définition d'une sous-suite)
, donc
;
- on montre de même que si
ou
ou
alors
.
D'après l'hypothèse
, on a donc montré que dans tous les cas (non nécessairement exclusifs),
.
On conclut comme dans la question 1.
3°) Chacune des sous-suites stationne à
dès le deuxième terme. Mais la suite
a aussi une sous-suite qui vaut constamment
.
Soient
et
la suite définie par :
(avec la convention du produit vide :
).
- Calculer
en utilisant la formule du sinus de l'angle double :
.
- En déduire
.
Soit
une suite numérique. On considère la suite
, appelée suite des moyennes de Cesàro, définie par :
.
On dit que
converge au sens de Cesàro si la suite
converge.
- Montrer que si
converge (au sens usuel) vers une limite
alors elle converge au sens de Cesàro vers
.
- Montrer, à l'aide d'un contre-exemple, que la réciproque est fausse.
- Montrer que si
est monotone alors
aussi.
Solution
- Soit
. Si
converge vers
alors, par définition :
.
- Pour
, on a :
.
- Or, on a :

- et d'autre part :
(car
est fixe) donc
.
- Ainsi, pour
,
- ce qui prouve que
.
- Voir aussi : Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence#Le théorème de Cesàro.
- Un contre-exemple est donné par
qui ne converge pas, mais dans ce cas
.
- On voit alors que
.
- Supposons par exemple
croissante. Alors,

donc
est croissante. En passant aux opposés on en déduit que de même, si
est décroissante alors
aussi.
Soient
et
deux suites de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe deux réels
et
tels que
et
.
Démontrer que
.
Solution
Pour tout entier
,
est :
- majoré par
;
- minoré par
.
Or
(par continuité de la fonction
, cf. Exercice 9).
La suite
est donc encadrée par deux suites qui tendent vers
.
On conclut grâce au théorème des gendarmes.
(Théorème de Herschfeld)
Pour tous réels
tels que la série
converge et pour tous réels positifs
, montrer que
le radical imbriqué
converge si et seulement si la suite
est majorée.
Solution
On remarque immédiatement que la suite
est croissante, et minorée par la suite
.
Par conséquent, il suffit de montrer que si la seconde est majorée alors la première aussi.
Supposons donc que
(pour tout
) et
. Alors,
.
Étudier la convergence des suites
et
.
Solution
donc la suite converge vers 2.
donc la suite converge vers 1.
Soient
et
deux suites. On s'intéresse au comportement de la suite
définie par
.
- Donner un exemple de deux suites
et
n'ayant pas de limite et telles que
converge.
- Montrer que si
et
tendent respectivement vers
et
(finies ou infinies) alors
tend vers
(on distinguera les deux cas
et
— le cas restant,
, est analogue).
Solution
,
.
-
- Premier cas :
. Tout intervalle ouvert contenant
contient alors, à partir d'un certain rang,
et
, donc
(qui est l'un des deux), ce qui prouve que
.
- Second cas :
. Soit un réel
tel que
. Puisque
, on a, à partir d'un certain rang
:
. De même, à partir d'un certain rang
:
. Ainsi, à partir du rang
, on a
, donc
, si bien que
.
Soit
continue en
et telle que
. Démontrer que
.
Solution
Pour tout
on a (par récurrence)
donc (par passage à la limite)
.
Étudier la suite récurrente suivante :
et
.
On rappelle (cf. Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités#Exercice 2-1) que pour tout
,
.
En déduire la limite de la suite
.
Solution
Posons
et
.
D'après le rappel,
.
Or (cf. Sommation/Exercices/Calculs élémentaires#Exercice 2-6)
et
.
Donc
.
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