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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence

Leçons de niveau 14
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Convergence
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Exercices no7
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Convergence et Suites extraites

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Suite récurrente homographique
Exo suiv. :Suites récurrentes linéaires
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Convergence
Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Déterminer si les suites suivantes ont une limite (finie ou infinie). Si oui, la caluler.

Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (justifier).

  1. Si une suite positive est non majorée, elle tend vers l'infini.
  2. Si une suite d'entiers converge, elle est stationnaire.
  3. Si une suite positive tend vers , elle est décroissante.
  4. Si une suite positive tend vers , elle est décroissante à partir d'un certain rang.
  5. Si une suite n'est pas majorée, elle est minorée.
  6. Si une suite est croissante et non bornée, elle tend vers l'infini.
  7. Si alors .

Soit . On considère la suite définie par et .

  1. Montrer que la suite est bien définie.
  2. Montrer qu'elle est croissante à partir du rang 1.
  3. En déduire sa limite.

Soient une suite, et .

  1. Montrer que si et alors .
  2. Généralisation. — Soient une suite et une famille finie de sous-suites de même limite , et dont la réunion des indices, , est égale à . Montrer que .
  3. Pour tout , on pose si est une puissance de et sinon. Soit la partition de l'ensemble des indices définie par : est l'ensemble (infini) des entiers de la forme multiplié par un entier impair. Montrer que pour tout , la sous-suite converge vers 0, mais que la suite n'a pas de limite.

Soient et la suite définie par : (avec la convention du produit vide : ).

  1. Calculer en utilisant la formule du sinus de l'angle double : .
  2. En déduire .

Exercice 6 : convergence au sens de Cesàro

[modifier | modifier le wikicode]

Soit une suite numérique. On considère la suite , appelée suite des moyennes de Cesàro, définie par :

.

On dit que converge au sens de Cesàro si la suite converge.

  1. Montrer que si converge (au sens usuel) vers une limite alors elle converge au sens de Cesàro vers .
  2. Montrer, à l'aide d'un contre-exemple, que la réciproque est fausse.
  3. Montrer que si est monotone alors aussi.

Soient et deux suites de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe deux réels et tels que

et .

Démontrer que .

(Théorème de Herschfeld)

Pour tous réels tels que la série converge et pour tous réels positifs , montrer que

le radical imbriqué converge si et seulement si la suite est majorée.

Étudier la convergence des suites

et .

Soient et deux suites. On s'intéresse au comportement de la suite définie par

.
  1. Donner un exemple de deux suites et n'ayant pas de limite et telles que converge.
  2. Montrer que si et tendent respectivement vers et (finies ou infinies) alors tend vers (on distinguera les deux cas et — le cas restant, , est analogue).

Soit continue en et telle que . Démontrer que .

Étudier la suite récurrente suivante : et .

On rappelle (cf. Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités#Exercice 2-1) que pour tout ,

.

En déduire la limite de la suite

.

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