Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence

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Convergence
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Exercices no7
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Convergence et Suites extraites

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Suite récurrente homographique
Exo suiv. :Suites récurrentes linéaires
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (justifier).

  1. Si une suite positive est non majorée, elle tend vers l'infini.
  2. Si une suite d'entiers converge, elle est stationnaire.
  3. Si une suite positive tend vers , elle est décroissante.
  4. Si une suite positive tend vers , elle est décroissante à partir d'un certain rang.
  5. Si une suite n'est pas majorée, elle est minorée.
  6. Si une suite est croissante et non bornée, elle tend vers l'infini.
  7. Si alors .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit . On considère la suite définie par et .

  1. Montrer que la suite est bien définie.
  2. Montrer qu'elle est croissante à partir du rang 1.
  3. En déduire sa limite.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient une suite, et .

  1. Montrer que si et alors .
  2. Généralisation. — Soient une suite et une famille finie de sous-suites de même limite , et dont la réunion des indices, , est égale à . Montrer que .
  3. Pour tout , on pose si est une puissance de et sinon. Soit la partition de l'ensemble des indices définie par : est l'ensemble (infini) des entiers de la forme multiplié par un entier impair. Montrer que pour tout , la sous-suite converge vers 0, mais que la suite n'a pas de limite.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient et la suite définie par : (avec la convention du produit vide : ).

  1. Calculer en utilisant la formule du sinus de l'angle double : .
  2. En déduire .

Exercice 5 : convergence au sens de Cesàro[modifier | modifier le wikicode]

Soit une suite numérique. On considère la suite , appelée suite des moyennes de Cesàro, définie par :

.

On dit que converge au sens de Cesàro si la suite converge.

  1. Montrer que si converge (au sens usuel) vers une limite alors elle converge au sens de Cesàro vers .
  2. Montrer, à l'aide d'un contre-exemple, que la réciproque est fausse.
  3. Montrer que si est monotone alors aussi.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux suites de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe deux réels et tels que

et .

Démontrer que .

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

(Théorème de Herschfeld)

Pour tous réels tels que la série converge et pour tous réels positifs , montrer que

le radical imbriqué converge si et seulement si la suite est majorée.

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Étudier la convergence des suites

et .

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux suites. On s'intéresse au comportement de la suite définie par

.
  1. Donner un exemple de deux suites et n'ayant pas de limite et telles que converge.
  2. Montrer que si et tendent respectivement vers et (finies ou infinies) alors tend vers (on distinguera les deux cas et — le cas restant, , est analogue).

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Soit continue en et telle que . Démontrer que .