Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence

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Convergence
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Exercices no7
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Convergence et Suites extraites

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Suite récurrente homographique
Exo suiv. :Suites récurrentes linéaires 4
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (justifier).

  1. Si une suite positive est non majorée, elle tend vers l'infini.
  2. Si une suite d'entiers converge, elle est stationnaire.
  3. Si une suite positive tend vers , elle est décroissante.
  4. Si une suite positive tend vers , elle est décroissante à partir d'un certain rang.
  5. Si une suite n'est pas majorée, elle est minorée.
  6. Si une suite est croissante et non bornée, elle tend vers l'infini.
  7. Si alors .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit . On considère la suite définie par et .

  1. Montrer que la suite est bien définie.
  2. Montrer qu'elle est croissante à partir du rang 1.
  3. En déduire sa limite.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit une suite telle que les deux sous-suites et convergent vers une même limite . Montrer que .
  2. Généralisation. — Soient une suite et une famille finie de sous-suites convergeant toutes vers une même limite , et dont la réunion des indices, , est égale à . Montrer que .
  3. Pour tout , on pose si est une puissance de et sinon. Soit la partition de l'ensemble des indices définie par : est l'ensemble (infini) des entiers de la forme multiplié par un entier impair. Montrer que pour tout , la sous-suite converge vers 0, mais que la suite diverge.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient et la suite définie par : (avec la convention du produit vide : ).

  1. Calculer en utilisant la formule du sinus de l'angle double : .
  2. En déduire .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Calculer la limite de la suite définie par : et .