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Exercice : Convergence
Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Déterminer si les suites suivantes ont une limite (finie ou infinie). Si oui, la caluler.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (justifier).
- Si une suite positive est non majorée, elle tend vers l'infini.
- Si une suite d'entiers converge, elle est stationnaire.
- Si une suite positive tend vers , elle est décroissante.
- Si une suite positive tend vers , elle est décroissante à partir d'un certain rang.
- Si une suite n'est pas majorée, elle est minorée.
- Si une suite est croissante et non bornée, elle tend vers l'infini.
- Si alors .
Soit . On considère la suite définie par et .
- Montrer que la suite est bien définie.
- Montrer qu'elle est croissante à partir du rang 1.
- En déduire sa limite.
Solution
- Montrons par récurrence que pour tout , sont bien définis et positifs. L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, si sont bien définis et positifs alors leur somme aussi, donc le terme suivant (la racine carrée de cette somme) aussi, par définition de la racine carrée.
- Pour tout , donc .
- Par croissance, donc (limite d'une sous-suite). Si était finie, on aurait à la fois et (par continuité de et de ). Par unicité de la limite, comme , on en déduirait que c'est-à-dire , ce qui est impossible car . Donc .
Soient une suite, et .
- Montrer que si et alors .
- Généralisation. — Soient une suite et une famille finie de sous-suites de même limite , et dont la réunion des indices, , est égale à . Montrer que .
- Pour tout , on pose si est une puissance de et sinon. Soit la partition de l'ensemble des indices définie par : est l'ensemble (infini) des entiers de la forme multiplié par un entier impair. Montrer que pour tout , la sous-suite converge vers 0, mais que la suite n'a pas de limite.
Solution
1°) Soit .
- Puisque , il existe tel que .
- Puisque , il existe tel que .
Posons . Pour tout , on a :
- si est pair alors avec donc donc ;
- si est impair alors avec donc donc .
Dans les deux cas, on a donc .
On a construit ainsi, pour tout , un entier tel que . On construirait de même, pour tout , un entier tel que , ce qui prouve bien que .
2°) Soit .
- Puisque , il existe tel que .
- Il existe de même associés aux autres sous-suites.
Posons (c'est ici qu'il est indispensable que la famille de sous-suites soit finie). Pour tout , on a :
- si alors avec donc (comme est strictement croissante, par définition d'une sous-suite) , donc ;
- on montre de même que si ou ou alors .
D'après l'hypothèse , on a donc montré que dans tous les cas (non nécessairement exclusifs), .
On conclut comme dans la question 1.
3°) Chacune des sous-suites stationne à dès le deuxième terme. Mais la suite a aussi une sous-suite qui vaut constamment .
Soient et la suite définie par : (avec la convention du produit vide : ).
- Calculer en utilisant la formule du sinus de l'angle double : .
- En déduire .
Soit une suite numérique. On considère la suite , appelée suite des moyennes de Cesàro, définie par :
- .
On dit que converge au sens de Cesàro si la suite converge.
- Montrer que si converge (au sens usuel) vers une limite alors elle converge au sens de Cesàro vers .
- Montrer, à l'aide d'un contre-exemple, que la réciproque est fausse.
- Montrer que si est monotone alors aussi.
Solution
- Soit . Si converge vers alors, par définition : .
- Pour , on a : .
- Or, on a :
- et d'autre part : (car est fixe) donc .
- Ainsi, pour ,
- ce qui prouve que .
- Voir aussi : Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence#Le théorème de Cesàro.
- Un contre-exemple est donné par qui ne converge pas, mais dans ce cas .
- On voit alors que .
- Supposons par exemple croissante. Alors,
donc est croissante. En passant aux opposés on en déduit que de même, si est décroissante alors aussi.
Soient et deux suites de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe deux réels et tels que
- et .
Démontrer que .
Solution
Pour tout entier , est :
- majoré par ;
- minoré par .
Or (par continuité de la fonction , cf. Exercice 9).
La suite est donc encadrée par deux suites qui tendent vers .
On conclut grâce au théorème des gendarmes.
(Théorème de Herschfeld)
Pour tous réels tels que la série converge et pour tous réels positifs , montrer que
le radical imbriqué converge si et seulement si la suite est majorée.
Solution
On remarque immédiatement que la suite est croissante, et minorée par la suite .
Par conséquent, il suffit de montrer que si la seconde est majorée alors la première aussi.
Supposons donc que (pour tout ) et . Alors,
- .
Étudier la convergence des suites
- et .
Solution
- donc la suite converge vers 2.
- donc la suite converge vers 1.
Soient et deux suites. On s'intéresse au comportement de la suite définie par
- .
- Donner un exemple de deux suites et n'ayant pas de limite et telles que converge.
- Montrer que si et tendent respectivement vers et (finies ou infinies) alors tend vers (on distinguera les deux cas et — le cas restant, , est analogue).
Solution
- , .
-
- Premier cas : . Tout intervalle ouvert contenant contient alors, à partir d'un certain rang, et , donc (qui est l'un des deux), ce qui prouve que .
- Second cas : . Soit un réel tel que . Puisque , on a, à partir d'un certain rang : . De même, à partir d'un certain rang : . Ainsi, à partir du rang , on a , donc , si bien que .
Soit continue en et telle que . Démontrer que .
Solution
Pour tout on a (par récurrence) donc (par passage à la limite) .
Étudier la suite récurrente suivante : et .
On rappelle (cf. Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités#Exercice 2-1) que pour tout ,
- .
En déduire la limite de la suite
- .
Solution
Posons et .
D'après le rappel, .
Or (cf. Sommation/Exercices/Calculs élémentaires#Exercice 2-6) et .
Donc .
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