Leçons de niveau 15

Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence

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Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence
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Nous étudions, dans ce chapitre, les suites définies par récurrence.

Un premier exemple[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Nous allons chercher un développement limité à un ordre quelconque de la suite (un)n∈ℕ définie par :

Autrement dit :

.

On peut alors en déduire le développement de un à n’importe quel ordre. Par exemple, à l'ordre 3 :

Le théorème de Cesàro[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons maintenant étudier quelques théorèmes utiles dans la recherche d’équivalents d’une suite définie par récurrence. Nous commencerons par le théorème de Cesàro qui nous sera utile pour démontrer les autres théorèmes qui viendront par la suite.


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : exercice 4-1.



Début d’un théorème
Fin du théorème


L'exemple qui suit est une application du théorème de Cesàro.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Deux théorèmes découlant du théorème de Cesàro[modifier | modifier le wikicode]

Les deux théorèmes ci-dessous généralisent respectivement l'exemple qui précède et l'exercice 4-1. Le second se déduit du premier.


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : exercice 4-2.



Début d’un théorème
Fin du théorème


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : exercice 4-3.



Début d’un théorème
Fin du théorème

Un autre théorème[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

(Pour une généralisation, voir Série numérique/Théorème de Stolz-Cesàro.)

Voici une application de ce théorème :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple