Leçons de niveau 15

Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence

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Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence
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Nous étudions, dans ce chapitre, les suites définies par récurrence.


Un premier exemple[modifier | modifier le wikicode]

Soit la suite (un)n∈ℕ* définie par :

Nous allons chercher un développement limité de un à un ordre quelconque.

Montrons d'abord par récurrence que .

Cette propriété est vraie pour et l'on a, pour tout  :

Donc on a bien :

.

Cette première inégalité nous montre déjà que la suite est bornée, autrement dit :

.

On en déduit qu'elle tend vers 1, car

.

Pour trouver le terme qui suit dans le développement, cherchons un équivalent de un – 1. On a :

autrement dit :

.

Pour trouver le terme qui suit dans le développement, cherchons un équivalent de un – 1 – 1/n. On a :

autrement dit :

.

Pour trouver le terme qui suit dans le développement, cherchons un équivalent de . On a :

autrement dit :

.

En continuant, on peut trouver ainsi le développement de un à n’importe quel ordre.

Le théorème de Cesàro[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons maintenant étudier quelques théorèmes utiles dans la recherche d’équivalents d’une suite définie par récurrence. Nous commencerons par le théorème de Cesàro qui nous sera utile pour démontrer les autres théorèmes qui viendront par la suite.


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : exercice 4-1.



Début d’un théorème


Fin du théorème


L'exemple qui suit est une application directe du théorème de Cesàro.

Exclamation mark white icon.svg

Exemple

Soient et (un)n∈ℕ la suite définie par :

Trouver un équivalent de cette suite.

On a :

,

ce qui montre que la suite est croissante.

Si elle convergeait vers une limite , on aurait par passage à la limite :

,

ce qui n’est pas possible. Donc la suite diverge vers +∞.

On remarque que :

.

Par conséquent :

.

En appliquant le théorème de Cesàro, on en déduit :

.

Par télescopage, cette expression se simplifie en :

,

ce qui est équivalent à :

,

que l’on peut encore écrire :

.

Cela montre que :

.


Deux théorèmes découlant du théorème de Cesàro[modifier | modifier le wikicode]

Les deux théorèmes ci-dessous généralisent respectivement l'exemple qui précède et l'exercice 4-1. Tous deux sont des applications directes du lemme suivant.

Début d'un lemme


Fin du lemme



Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : exercice 4-2.



Début d’un théorème


Fin du théorème



Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : exercice 4-3.



Début d’un théorème


Fin du théorème


Un autre théorème[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons maintenant étudier un autre théorème.

Début d’un théorème


Fin du théorème



Nous allons voir maintenant une application de ce théorème.


Exclamation mark white icon.svg

Exemple

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Série harmonique.


Soit la suite (un)n∈ℕ définie par :

.

On se propose de trouver un développement limité à un ordre quelconque de un.

On a :

.

Comme, en 0, on a le développement limité :

,

on obtient :

et donc par application du théorème, on obtient :

la suite converge vers une limite (appelée la constante d’Euler ; ) et

,

c’est-à-dire :

.

Essayons d’aller plus loin.

Posons :

.

On a :

Comme, en 0, on a le développement limité :

,

on obtient :

et donc par application du théorème, on obtient :

,

c’est-à-dire :

,

et ainsi de suite. En réitérant le procédé, on peut trouver un développement de un à n’importe quel ordre. Le lecteur, pour s’entraîner, pourra continuer et vérifier que l’on trouve :

.

Compte tenu de la définition de un, on en déduit :

.


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Remarque

On montre qu’une formule générale est donnée par :

les b2k étant des nombres de Bernoulli.