Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Convergence

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Convergence
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Chapitre no 2
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Définitions avancées
Chap. suiv. :Suites adjacentes

Exercices :

Convergence
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Approfondissement sur les suites numériques/Convergence
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On ne traitera ici que de définitions et de conséquences immédiates de la convergence. Pour les théorèmes ou pour les opérations sur les limites, se référer plutôt à la leçon « Suites et récurrence ».

Définitions[modifier | modifier le wikicode]


Limites et relation d'ordre[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


C'est un cas particulier d'un théorème analogue sur les fonctions.

On en déduit la propriété de passage à la limite dans les inégalités :


On utilise souvent ce théorème et son corollaire dans le cas où l'une des deux suites est constante. Par exemple, si une suite a pour limite alors, pour tout réel  :

  • si , on a à partir d'un certain rang, ou encore (par contraposition) :
  • si pour une infinité d'indices (en particulier : si à partir d'un certain rang), on a .

Unicité de la limite[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème suivant légitime la notation introduite dans les définitions ci-dessus.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Théorème des suites convergentes[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


Théorème de la limite monotone[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Autrement dit (compte tenu du théorème précédent) :

  • toute suite croissante et majorée converge ;
  • toute suite croissante et non majorée tend vers  ;
  • toute suite décroissante et minorée converge ;
  • toute suite décroissante et non minorée tend vers .


Suite de Cauchy[modifier | modifier le wikicode]

On dit qu'une suite numérique est de Cauchy si

,

c'est-à-dire si les termes de la suite tendent globalement à se rapprocher les uns des autres quand devient grand.

Une suite numérique converge si (et seulement si) elle est de Cauchy.

Théorème de comparaison avec une suite géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème