Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suite récurrente homographique

Exercice 1

On considère la fonction homographique $f$ définie par

$f(x)=\frac{3x+2}{x+4}$ (pour $x\ne -4$).

1. Déterminer ses points fixes.
2. On pose $h(x)=\frac{x-1}{x+2}$ (pour $x\ne -2$). Démontrer qu'il existe une constante $k$ telle que $h(f(x))=kh(x)$ (pour tout $x\notin \{-4,-2\}$).
3. Pour $y\ne 1$, déterminer $x$ tel que $h(x)=y$.
4. Déterminer l'ensemble $D$ des réels $a\ne -2$ tels que $a$ et toutes ses images successives par $f$ soient différents de $-4$.
5. Soit $a\in D$. On définit une suite $(u_n)$ par : $u_0=a$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+1}=f(u_n)$. Démontrer que la suite $v_n:=h(u_n)$ est géométrique et tend vers 0.
6. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, ainsi que ses variations et sa limite.

Solution

1. Soit $x\ne -4$. $f(x)=x\iff 3x+2=x(x+4)\iff x^2+x-2=0\iff x\in \{1,-2\}$.
2. $h(f(x))=\frac{\frac{3x+2}{x+4}-1}{\frac{3x+2}{x+4}+2}=\frac{3x+2-(x+4)}{3x+2+2(x+4)}=\frac{2x-2}{5x+10}=kh(x)$ pour $k=\frac{2}{5}$.
3. $y=\frac{x-1}{x+2}\iff x=\frac{1+2y}{1-y}$
4. $f^n(a)\ne -4\iff k^{n}h(a)\ne h(-4)\iff h(a)\ne k^{-n}\frac{5}{2}=k^{-n-1}$. Donc $D$ est l'ensemble des réels différents de $-2$ et de $\frac{1+2k^{-m}}{1-k^{-m}}=\frac{2+k^m}{-1+k^m}$ pour tout $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Remarquons que cette suite à éviter tend vers $-2$ et que son premier terme est bien $\frac{2+k}{-1+k}=-4$.
5. $v_n=k^n{v}_0\to 0$ car $k=\frac{2}{5}\in ]-1,1[$.
6. $u_n=\frac{1+2v_n}{1-v_n}=\frac{1+2k^n{v}_0}{1-k^n{v}_0}\to 1$. La monotonie de $v_n$ et $u_n$ dépend du signe de $v_0=\frac{a-1}{a+2}$. Si $v_0<0$, c'est-à-dire si $-2<a<1$, alors $(v_n)$ est négative et croissante donc (comme $y\mapsto \frac{1+2y}{1-y}$ est croissante sur $]-\mathrm{\infty },1[$) $(u_n)$ est croissante. Si $v_0>0$, $(v_n)$ est positive et décroissante donc dès qu'elle devient < 1, $(u_n)$ devient décroissante (ceci a lieu dès le début si $a>1$, et à partir d'un certain rang si $a<-2$). Enfin, si $a=1$, $u_n=1$.