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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Trigonométrie : Relations trigonométriques Trigonométrie/Relations trigonométriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les relations trigonométriques sont les égalités qui relient les fonctions trigonométriques cosinus sinus tangente
Soit la variable
x
{\displaystyle x}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
−
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}
La fonction tangente est définie comme le quotient de la fonction sinus par la fonction cosinus :
tan
(
x
)
=
sin
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}
Concernant la parité :
tan
(
−
x
)
=
−
tan
(
x
)
{\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)}
sin
(
−
x
)
=
−
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(-x)=-\sin(x)}
cos
(
−
x
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(-x)=\cos(x)}
impaire .
Début de l'exemple
Exemple
Sachant que
cos
(
x
)
=
0
,
5
{\displaystyle \cos(x)=0,5}
et
sin
(
x
)
≈
0,866
{\displaystyle \sin(x)\approx 0{,}866}
, calculer une valeur approchée de
tan
(
x
)
{\displaystyle \tan(x)}
.
Solution
tan
(
x
)
=
sin
(
x
)
cos
(
x
)
≈
0,866
0
,
5
≈
1,732
{\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\approx {\frac {0{,}866}{0{,}5}}\approx 1{,}732}
Fin de l'exemple
On a pour tout réel
x
{\displaystyle x}
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1}
'Démonstration'
Triangle rectangle dans le cercle trigonométrique, montrant le lien entre cosinus et sinus. On utilise le théorème de Pythagore, qui stipule que
« Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. » Sur le cercle trigonométrique ci-contre, cela se traduit par :
A
D
2
+
C
D
2
=
A
C
2
{\displaystyle AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}}
Or ici :
A
C
=
1
{\displaystyle AC=1}
A
D
=
cos
C
A
D
^
{\displaystyle AD=\cos {\widehat {CAD}}}
C
D
=
sin
C
A
D
^
{\displaystyle CD=\sin {\widehat {CAD}}}
Ainsi,
cos
2
C
A
D
^
+
sin
2
C
A
D
^
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}{\widehat {CAD}}+\sin ^{2}{\widehat {CAD}}=1}
Sachant que
cos
(
x
)
=
0
,
5
{\displaystyle \cos(x)=0{,}5}
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
Solution
sin
2
(
x
)
=
1
−
cos
2
(
x
)
=
1
−
(
1
2
)
2
=
1
−
1
4
=
3
4
{\displaystyle \sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)=1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=1-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}}
donc :
sin
(
x
)
=
3
4
=
3
2
{\displaystyle \sin(x)={\sqrt {\frac {3}{4}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}
sin
(
x
)
=
−
3
4
=
−
3
2
{\displaystyle \sin(x)=-{\sqrt {\frac {3}{4}}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
N.B. : attention, n'oubliez pas la racine négative ; c’est une erreur courante.
On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes.
cos
(
−
a
)
=
cos
(
a
)
sin
(
−
a
)
=
−
sin
(
a
)
tan
(
−
a
)
=
−
tan
(
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(-a)&=\cos(a)\\\sin(-a)&=-\sin(a)\\\tan(-a)&=-\tan(a)\end{aligned}}}
cos
(
π
−
a
)
=
−
cos
(
a
)
sin
(
π
−
a
)
=
sin
(
a
)
tan
(
π
−
a
)
=
−
tan
(
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\pi -a)&=-\cos(a)\\\sin(\pi -a)&=\sin(a)\\\tan(\pi -a)&=-\tan(a)\end{aligned}}}
cos
(
π
2
−
a
)
=
sin
(
a
)
sin
(
π
2
−
a
)
=
cos
(
a
)
tan
(
π
2
−
a
)
=
1
tan
a
=
cot
(
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&=\sin(a)\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&=\cos(a)\\\tan \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)&={\frac {1}{\tan a}}=\cot(a)\end{aligned}}}
cos
(
π
+
a
)
=
−
cos
(
a
)
sin
(
π
+
a
)
=
−
sin
(
a
)
tan
(
π
+
a
)
=
tan
(
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\pi +a)&=-\cos(a)\\\sin(\pi +a)&=-\sin(a)\\\tan(\pi +a)&=\tan(a)\end{aligned}}}
cos
(
π
2
+
a
)
=
−
sin
(
a
)
sin
(
π
2
+
a
)
=
cos
(
a
)
tan
(
π
2
+
a
)
=
−
1
tan
a
=
−
cot
(
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=-\sin(a)\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=\cos(a)\\\tan \left({\frac {\pi }{2}}+a\right)&=-{\frac {1}{\tan a}}=-\cot(a)\end{aligned}}}
Nous démontrerons au chapitre 11 les formulaires ci-dessous.
Soient
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
cos
(
a
+
b
)
=
cos
(
a
)
cos
(
b
)
−
sin
(
a
)
sin
(
b
)
sin
(
a
+
b
)
=
sin
(
a
)
cos
(
b
)
+
cos
(
a
)
sin
(
b
)
tan
(
a
+
b
)
=
tan
(
a
)
+
tan
(
b
)
1
−
tan
(
a
)
tan
(
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\\\sin(a+b)&=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\\\tan(a+b)&={\frac {\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}}\end{aligned}}}
(On en déduit des formules analogues en remplaçant
b
{\displaystyle b}
−
b
{\displaystyle -b}
formules de la première section ci-dessus .)
cos
(
2
a
)
=
cos
2
(
a
)
−
sin
2
(
a
)
=
2
cos
2
(
a
)
−
1
=
1
−
2
sin
2
(
a
)
=
1
−
tan
2
(
a
)
1
+
tan
2
(
a
)
sin
(
2
a
)
=
2
sin
(
a
)
cos
(
a
)
tan
(
2
a
)
=
2
tan
(
a
)
1
−
tan
2
(
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2a)&=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)\\&=2\cos ^{2}(a)-1\\&=1-2\sin ^{2}(a)\\&={\frac {1-\tan ^{2}(a)}{1+\tan ^{2}(a)}}\\\sin(2a)&=2\sin(a)\cos(a)\\\tan(2a)&={\frac {2\tan(a)}{1-\tan ^{2}(a)}}\end{aligned}}}
cos
2
(
a
)
=
1
+
cos
(
2
a
)
2
sin
2
(
a
)
=
1
−
cos
(
2
a
)
2
tan
2
(
a
)
=
1
−
cos
(
2
a
)
1
+
cos
(
2
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{2}(a)&={\frac {1+\cos(2a)}{2}}\\\sin ^{2}(a)&={\frac {1-\cos(2a)}{2}}\\\tan ^{2}(a)&={\frac {1-\cos(2a)}{1+\cos(2a)}}\\\end{aligned}}}
cos
(
a
)
cos
(
b
)
=
cos
(
a
+
b
)
+
cos
(
a
−
b
)
2
sin
(
a
)
sin
(
b
)
=
cos
(
a
−
b
)
−
cos
(
a
+
b
)
2
sin
(
a
)
cos
(
b
)
=
sin
(
a
+
b
)
+
sin
(
a
−
b
)
2
cos
(
a
)
sin
(
b
)
=
sin
(
a
+
b
)
−
sin
(
a
−
b
)
2
tan
(
a
)
tan
(
b
)
=
cos
(
a
−
b
)
−
cos
(
a
+
b
)
cos
(
a
−
b
)
+
cos
(
a
+
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(a)\cos(b)&={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}\\\sin(a)\sin(b)&={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}\\\sin(a)\cos(b)&={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}\\\cos(a)\sin(b)&={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}\\\tan(a)\tan(b)&={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{\cos(a-b)+\cos(a+b)}}\\\end{aligned}}}
cos
(
a
)
+
cos
(
b
)
=
2
cos
(
a
+
b
2
)
cos
(
a
−
b
2
)
cos
(
a
)
−
cos
(
b
)
=
−
2
sin
(
a
+
b
2
)
sin
(
a
−
b
2
)
sin
(
a
)
+
sin
(
b
)
=
2
sin
(
a
+
b
2
)
cos
(
a
−
b
2
)
sin
(
a
)
−
sin
(
b
)
=
2
sin
(
a
−
b
2
)
cos
(
a
+
b
2
)
tan
(
a
)
+
tan
(
b
)
=
sin
(
a
+
b
)
cos
(
a
)
cos
(
b
)
tan
(
a
)
−
tan
(
b
)
=
sin
(
a
−
b
)
cos
(
a
)
cos
(
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(a)+\cos(b)&=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\\cos(a)-\cos(b)&=-2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\\sin(a)+\sin(b)&=2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\\sin(a)-\sin(b)&=2\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\\\tan(a)+\tan(b)&={\frac {\sin(a+b)}{\cos(a)\cos(b)}}\\\tan(a)-\tan(b)&={\frac {\sin(a-b)}{\cos(a)\cos(b)}}\\\end{aligned}}}
(On en déduit des formules analogues en remplaçant
b
{\displaystyle b}
−
b
{\displaystyle -b}
formules de la première section ci-dessus .)
