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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires

Leçons de niveau 14
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Suites récurrentes linéaires
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Exercices no8
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Suites récurrentes linéaires

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Convergence
Exo suiv. :Suites et modélisation (exemples en biologie)
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires
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(Récurrence linéaire d'ordre 3)

Soit , de racines complexes (non nécessairement distinctes). On pose . Montrer que :

  1.  ;
  2.  ;
  3. .

Soit une suite numérique vérifiant une relation de récurrence de la forme

.

On pose et .

  1. En supposant , trouver une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 vérifiée par et une relation de récurrence linéaire d'ordre 3 vérifiée par , et montrer que cette dernière est aussi vérifiée par .
  2. Redémontrer directement ces résultats sans supposer .
  3. Application : soient et deux suites vérifiant :
    ,
    avec et . On suppose qu'il existe des constantes telles que la relation
    soit vérifiée pour . Montrer qu'elle l'est alors pour tout .

Soit une suite numérique vérifiant une relation de récurrence de la forme

.

On suppose que et .

Montrer qu'il existe des constantes , et telles que (pour tout ).

Soit une suite numérique. On pose et .

  1. On suppose : .
    1. Montrer que la suite est géométrique et que .
    2. En déduire : .
  2. Réciproquement, on suppose, pour un certain , que est vérifiée pour . On suppose de plus et, si , .
    Montrer que si est vérifiée pour et , alors elle l'est pour tout .