Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires
Exercice 1
[modifier | modifier le wikicode](Récurrence linéaire d'ordre 3)
Soit , de racines complexes (non nécessairement distinctes). On pose . Montrer que :
- ;
- ;
- .
- et (puisque ) et donc .
- .
- Montrons par récurrence que . L'initialisation est la question 1, et l'hérédité (, ou encore : ) vient de la relation , qui se déduit de la question 2 (et de son analogue pour et ).
Exercice 2
[modifier | modifier le wikicode]Soit une suite numérique vérifiant une relation de récurrence de la forme
- .
On pose et .
- En supposant , trouver une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 vérifiée par et une relation de récurrence linéaire d'ordre 3 vérifiée par , et montrer que cette dernière est aussi vérifiée par .
- Redémontrer directement ces résultats sans supposer .
- Application : soient et deux suites vérifiant :
- ,
- avec et . On suppose qu'il existe des constantes telles que la relation
- soit vérifiée pour . Montrer qu'elle l'est alors pour tout .
1. Si , le polynôme a deux racines distinctes , et il existe des constantes telles que
- .
On a alors pour , racines du polynôme . Par conséquent,
.
|
On a de plus pour . Les trois nombres sont racines du polynôme
- .
Par conséquent,
.
|
La suite vérifie aussi cette relation, puisque .
2. On pourrait effectuer les calculs ci-dessus de façon générique en considérant comme quatre indéterminées polynomiales, mais on peut aussi, plus élémentairement, vérifier « à la main » les relations trouvées :
3. D'après ce qui précède, la suite définie par vérifie la même récurrence d'ordre 2 que la suite , et les quatre suites vérifient une même récurrence linéaire d'ordre 3.
Exercice 3
[modifier | modifier le wikicode]Soit une suite numérique vérifiant une relation de récurrence de la forme
- .
On suppose que et .
Montrer qu'il existe des constantes , et telles que (pour tout ).
D'après les hypothèses, avec et . On peut de plus supposer car le cas d'une suite géométrique est immédiat.
donc
- .
En choisissant et , il reste :
- .
Mais et sont solutions de . Par conséquent, et il reste en fait seulement :
- .
Exercice 4
[modifier | modifier le wikicode]Soit une suite numérique. On pose et .
- On suppose : .
- Montrer que la suite est géométrique et que .
- En déduire : .
- Réciproquement, on suppose, pour un certain , que est vérifiée pour . On suppose de plus et, si , .
Montrer que si est vérifiée pour et , alors elle l'est pour tout .
-
- et
. - .
- et
- Soit tel que soit vérifiée pour tout , montrons qu'elle l'est encore pour .
On déduit de l'hypothèse de récurrence ci-dessus, comme dans la question 1.1 : et .
L'hypothèse se réécrit alors : , et l'on conclut en simplifiant par .