Introduction aux suites numériques/Suites géométriques

**Suites géométriques**
Leçon : Introduction aux suites numériques

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Suites arithmétiques
Chap. suiv. :	Sommaire
Exercices :	Suites géométriques
Exercices :	La spirale infernale
Exercices :	Rebonds d'une balle
Exercices :	Démographie et suites géométriques

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Introduction aux suites numériques/Suites géométriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition par récurrence

Définition d'une suite géométrique

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Wikipédia possède un article à propos de « Suite géométrique ».

Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite géométrique est donc définie par :

la valeur de son premier terme $u_{0}$
une relation de récurrence de la forme : $u_{n + 1} = u_{n} \times q$

Le facteur q qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite $(u_{n})$ . Le facteur $q$ est défini par : $q = \frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$

Être ou ne pas être une suite géométrique

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont géométriques ? Dans ce cas, donner leur raison.

$u_{0} = 1, u_{1} = 2, u_{2} = 4, u_{3} = 8, u_{4} = 16, u_{5} = 32, u_{6} = 64, ...$
$u_{0} = 3, u_{1} = 9, u_{2} = 27, u_{3} = 81, ...$
$u_{0} = 1, u_{1} = - 5, u_{2} = 25, u_{3} = - 125, u_{4} = 625, ...$
$u_{0} = 10, u_{1} = 5, u_{2} = 2.5, u_{3} = 1.25, u_{4} = 0.625, ...$
$u_{0} = 2, u_{1} = 4, u_{2} = 9, u_{3} = 16, u_{4} = 25, u_{5} = 36, u_{6} = 49, u_{7} = 64, u_{8} = 81, u_{9} = 100, ...$

Solution

La première suite est géométrique de raison 2
La deuxième suite est géométrique de raison 3
La troisième suite est géométrique de raison -5
La quatrième suite est géométrique de raison 0.5
La dernière suite n’est pas géométrique

Terme général d'une suite géométrique

Pour calculer $u_{n}$ , il faut d'abord multiplier n fois la raison $q$ par elle-même et ensuite, multiplier l'ensemble par le premier terme $u_{0}$ .

Théorème

Le terme général d'une suite géométrique $(u_{n})$ est donné par la formule suivante : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$

Utilisation du terme général

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0} = 3$ et $q = 1, 5$ . Calculer $u_{11}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0} = 0, 5$ et $q = - 2$ . Calculer $u_{25}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{1} = 8$ et $q = 0, 25$ . Calculer $u_{10}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{15} = 3^{20}$ et $q = 3$ . Calculer $u_{0}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{11} = 25$ et $u_{14} = 200$ . Calculer $u_{0}$ et $q$

Solution

$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ donc $u_{11} = 3 \times (1, 5)^{11} \approx 259, 5$
$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ donc $u_{25} = 0, 5 \times (- 2)^{25} = - 16777216$
$u_{n} = u_{0} \times q^{n} = u_{1} \times q^{n - 1}$ donc $u_{10} = 8 \times (0, 25)^{9} = 3, 0518 \times 1 0^{- 5}$
$u_{0} = \frac{u_{n}}{q^{n}}$ donc $u_{0} = \frac{3^{20}}{3^{15}} = 3^{5} = 243$
On a $u_{11} = u_{0} \times q^{11}$ et $u_{14} = u_{0} \times q^{14}$ , donc $\frac{u_{14}}{u_{11}} = q^{3} = 8$ , soit $q = 2$ .

On en déduit : $u_{0} = \frac{u_{11}}{2^{11}} = \frac{25}{2048} \approx 1, 22 \times 1 0^{- 2}$

Sens de variation d'une suite géométrique

Théorème 1

Une suite géométrique de premier terme positif et de raison q réelle est :

croissante si $q > 1$
décroissante si $0 < q < 1$
constante si $q = 1$
non monotone (ni croissante ni décroissante) si $q < 0$

Théorème 2

Une suite géométrique de premier terme négatif et de raison q réelle est :

croissante si $0 < q < 1$
décroissante si $q > 1$
constante si $q = 1$
non monotone (ni croissante ni décroissante) si $q < 0$

Somme des termes d'une suite géométrique

Théorème

La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique $(u_{n})$ de raison $q$ , du rang $i$ au rang $j$ , s'exprime par :

$u_{i} + u_{i + 1} + \dots + u_{j} = {\begin{matrix} u_{i} \times \frac{1 - q^{k}}{1 - q} & lorsque q \neq 1 \\ u_{i} \times k & lorsque q = 1 \end{matrix}$

où $k = j - i + 1$ est le nombre de termes de la somme.

'Démonstration'

Soit $S := u_{i} + u_{i + 1} + \dots + u_{j}$ la somme à calculer.

On écrit : $S = u_{i} + u_{i} q + \dots + u_{i} q^{j - i}$

Si $q \neq 1$ , on multiplie les deux membres de l'égalité par $1 - q$: $\begin{matrix} (1 - q) S & = (1 - q) (u_{i} + u_{i} q + \dots + u_{i} q^{j - i}) \\ = u_{i} + u_{i} q + \dots + u_{i} q^{j - i} \\ = u_{i} - u_{i} q - \dots - u_{i} q^{j - i} - u_{i} q^{j - i + 1} \\ = u_{i} - u_{i} q^{j - i + 1} \\ = u_{i} (1 - q^{k}) \end{matrix}$

(c'est une somme télescopique).

Finalement, on trouve : $S = u_{i} \frac{1 - q^{k}}{1 - q}$ .

Si $q = 1$ , on a simplement : $S = u_{i} + u_{i} + \dots + u_{i}$ ( $k$ fois)

On trouve donc : $S = u_{i} k$ .

Calculs de sommes

En utilisant la formule de la somme d'une suite géométrique,

1. Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0} = 3$ et $q = 2$ . Calculer $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{20}$

2. Calculer $S = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + \dots + 59049$

Solution

1. $S = 3 \times \frac{1 - 2^{20 + 1}}{1 - 2} = 6291453$

2. On remarque que le quotient est $q = 3$ , que $u_{0} = 1$ et que $u_{10} = 59049$ . Ainsi, $S = 1 \times \frac{1 - 3^{10 + 1}}{1 - 3} = 88573$