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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Introduction aux suites numériques : Suites géométriques Introduction aux suites numériques/Suites géométriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition d'une suite géométrique
Wikipedia-logo-v2.svg Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.
Une suite géométrique est donc définie par :
la valeur de son premier terme
u
0
{\displaystyle u_{0}}
une relation de récurrence de la forme :
u
n
+
1
=
u
n
×
q
{\displaystyle u_{n+1}=u_{n}\times q}
Le facteur q qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
.
Le facteur
q
{\displaystyle q}
est défini par :
q
=
u
n
+
1
u
n
{\displaystyle q={u_{n+1} \over u_{n}}}
Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont géométriques ? Dans ce cas, donner leur raison.
u
0
=
1
,
u
1
=
2
,
u
2
=
4
,
u
3
=
8
,
u
4
=
16
,
u
5
=
32
,
u
6
=
64
,
.
.
.
{\displaystyle u_{0}=1,u_{1}=2,u_{2}=4,u_{3}=8,u_{4}=16,u_{5}=32,u_{6}=64,...}
u
0
=
3
,
u
1
=
9
,
u
2
=
27
,
u
3
=
81
,
.
.
.
{\displaystyle u_{0}=3,u_{1}=9,u_{2}=27,u_{3}=81,...}
u
0
=
1
,
u
1
=
−
5
,
u
2
=
25
,
u
3
=
−
125
,
u
4
=
625
,
.
.
.
{\displaystyle u_{0}=1,u_{1}=-5,u_{2}=25,u_{3}=-125,u_{4}=625,...}
u
0
=
10
,
u
1
=
5
,
u
2
=
2.5
,
u
3
=
1.25
,
u
4
=
0.625
,
.
.
.
{\displaystyle u_{0}=10,u_{1}=5,u_{2}=2.5,u_{3}=1.25,u_{4}=0.625,...}
u
0
=
2
,
u
1
=
4
,
u
2
=
9
,
u
3
=
16
,
u
4
=
25
,
u
5
=
36
,
u
6
=
49
,
u
7
=
64
,
u
8
=
81
,
u
9
=
100
,
.
.
.
{\displaystyle u_{0}=2,u_{1}=4,u_{2}=9,u_{3}=16,u_{4}=25,u_{5}=36,u_{6}=49,u_{7}=64,u_{8}=81,u_{9}=100,...}
Solution
La première suite est géométrique de raison 2
La deuxième suite est géométrique de raison 3
La troisième suite est géométrique de raison -5
La quatrième suite est géométrique de raison 0.5
La dernière suite n’est pas géométrique
Pour calculer
u
n
{\displaystyle u_{n}}
n fois
q
{\displaystyle q}
par elle-même et ensuite, multiplier l'ensemble par le premier terme
u
0
{\displaystyle u_{0}}
Début d’un théorème
Théorème
Le terme général d'une suite géométrique
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
est donné par la formule suivante :
u
n
=
u
0
×
q
n
{\displaystyle u_{n}=u_{0}\times q^{n}}
Fin du théorème
Soit
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
u
0
=
3
{\displaystyle u_{0}=3}
q
=
1
,
5
{\displaystyle q=1,5}
u
11
{\displaystyle u_{11}}
Soit
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
u
0
=
0
,
5
{\displaystyle u_{0}=0,5}
q
=
−
2
{\displaystyle q=-2}
u
25
{\displaystyle u_{25}}
Soit
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
u
1
=
8
{\displaystyle u_{1}=8}
q
=
0
,
25
{\displaystyle q=0,25}
u
10
{\displaystyle u_{10}}
Soit
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
u
15
=
3
20
{\displaystyle u_{15}=3^{20}}
q
=
3
{\displaystyle q=3}
u
0
{\displaystyle u_{0}}
Soit
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
u
11
=
25
{\displaystyle u_{11}=25}
u
14
=
200
{\displaystyle u_{14}=200}
u
0
{\displaystyle u_{0}}
q
{\displaystyle q}
Solution
u
n
=
u
0
×
q
n
{\displaystyle u_{n}=u_{0}\times q^{n}}
u
11
=
3
×
(
1
,
5
)
11
≈
259
,
5
{\displaystyle u_{11}=3\times (1,5)^{11}\approx 259,5}
u
n
=
u
0
×
q
n
{\displaystyle u_{n}=u_{0}\times q^{n}}
u
25
=
0
,
5
×
(
−
2
)
25
=
−
16777216
{\displaystyle u_{25}=0,5\times (-2)^{25}=-16777216}
u
n
=
u
0
×
q
n
=
u
1
×
q
n
−
1
{\displaystyle u_{n}=u_{0}\times q^{n}=u_{1}\times q^{n-1}}
u
10
=
8
×
(
0
,
25
)
9
=
3
,
0518
×
10
−
5
{\displaystyle u_{10}=8\times (0,25)^{9}=3,0518\times 10^{-5}}
u
0
=
u
n
q
n
{\displaystyle u_{0}={\frac {u_{n}}{q^{n}}}}
u
0
=
3
20
3
15
=
3
5
=
243
{\displaystyle u_{0}={\frac {3^{20}}{3^{15}}}=3^{5}=243}
On a
u
11
=
u
0
×
q
11
{\displaystyle u_{11}=u_{0}\times q^{11}}
u
14
=
u
0
×
q
14
{\displaystyle u_{14}=u_{0}\times q^{14}}
u
14
u
11
=
q
3
=
8
{\displaystyle {\frac {u_{14}}{u_{11}}}=q^{3}=8}
q
=
2
{\displaystyle q=2}
On en déduit :
u
0
=
u
11
2
11
=
25
2048
≈
1
,
22
×
10
−
2
{\displaystyle u_{0}={\frac {u_{11}}{2^{11}}}={\frac {25}{2048}}\approx 1,22\times 10^{-2}}
Début d’un théorème
Théorème 1
Une suite géométrique de
premier terme positif et de raison
q réelle est :
croissante si
q
>
1
{\displaystyle q>1}
décroissante si
0
<
q
<
1
{\displaystyle 0<q<1}
constante si
q
=
1
{\displaystyle q=1}
non monotone (ni croissante ni décroissante) si
q
<
0
{\displaystyle q<0}
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème 2
Une suite géométrique de
premier terme négatif et de raison
q réelle est :
croissante si
0
<
q
<
1
{\displaystyle 0<q<1}
décroissante si
q
>
1
{\displaystyle q>1}
constante si
q
=
1
{\displaystyle q=1}
non monotone (ni croissante ni décroissante) si
q
<
0
{\displaystyle q<0}
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème
La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
de raison
q
{\displaystyle q}
, du rang
i
{\displaystyle i}
au rang
j
{\displaystyle j}
, s'exprime par :
u
i
+
u
i
+
1
+
⋯
+
u
j
=
{
u
i
×
1
−
q
k
1
−
q
lorsque
q
≠
1
u
i
×
k
lorsque
q
=
1
{\displaystyle u_{i}+u_{i+1}+\cdots +u_{j}={\begin{cases}u_{i}\times {\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{lorsque }}q\neq 1\\u_{i}\times k&{\text{lorsque }}q=1\end{cases}}}
où
k
=
j
−
i
+
1
{\displaystyle k=j-i+1}
est le
nombre de termes de la somme.
Fin du théorème
'Démonstration'
Soit
S
:=
u
i
+
u
i
+
1
+
⋯
+
u
j
{\displaystyle S:=u_{i}+u_{i+1}+\cdots +u_{j}}
On écrit :
S
=
u
i
+
u
i
q
+
⋯
+
u
i
q
j
−
i
{\displaystyle S=u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i}}
Si
q
≠
1
{\displaystyle q\neq 1}
1
−
q
{\displaystyle 1-q}
(
1
−
q
)
S
=
(
1
−
q
)
(
u
i
+
u
i
q
+
⋯
+
u
i
q
j
−
i
)
=
u
i
+
u
i
q
+
⋯
+
u
i
q
j
−
i
=
u
i
−
u
i
q
−
⋯
−
u
i
q
j
−
i
−
u
i
q
j
−
i
+
1
=
u
i
−
u
i
q
j
−
i
+
1
=
u
i
(
1
−
q
k
)
{\displaystyle {\begin{aligned}(1-q)S&=(1-q)(u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i})\\&=u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i}\\&{\color {White}{}=u_{i}}-u_{i}q-\dots -u_{i}q^{j-i}-u_{i}q^{j-i+1}\\&=u_{i}-u_{i}q^{j-i+1}\\&=u_{i}(1-q^{k})\end{aligned}}}
(c'est une somme télescopique ).
Finalement, on trouve :
S
=
u
i
1
−
q
k
1
−
q
{\displaystyle S=u_{i}{\cfrac {1-q^{k}}{1-q}}}
Si
q
=
1
{\displaystyle q=1}
S
=
u
i
+
u
i
+
⋯
+
u
i
{\displaystyle S=u_{i}+u_{i}+\dots +u_{i}}
k
{\displaystyle k}
On trouve donc :
S
=
u
i
k
{\displaystyle S=u_{i}k}
En utilisant la formule de la somme d'une suite géométrique,
1. Soit
(
u
n
)
{\displaystyle (u_{n})}
u
0
=
3
{\displaystyle u_{0}=3}
q
=
2
{\displaystyle q=2}
S
=
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
20
{\displaystyle S=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{20}}
2. Calculer
S
=
1
+
3
+
9
+
27
+
81
+
⋯
+
59049
{\displaystyle S=1+3+9+27+81+\cdots +59049}
Remarque
Les suites géométriques sont utilisées dans de nombreux domaines. Voir en particulier la leçon «
Mathématiques financières ».
