Introduction aux suites numériques/Suites géométriques

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Définition par récurrence

Définition

Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite géométrique est donc définie par :

• la donnée de son premier terme $u_{0}$
• une relation de récurrence de la forme :
  $u_{n+1}=q\times u_{n}$.

Le facteur q qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite $(u_{n})$.

Être ou ne pas être une suite géométrique

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont géométriques ? Dans ce cas, donner leur raison.

• $u_{0}=1,u_{1}=2,u_{2}=4,u_{3}=8,u_{4}=16,u_{5}=32,u_{6}=64,...$
• 3, 9, 27, 81, ...
• 1, -5, 25, -125, 625, ...
• 10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; ...
• 2, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

Solution

• La première suite est de raison 2
• La deuxième suite est de raison 3
• La troisième suite est de raison -5
• La quatrième suite est de raison 0.5
• La dernière n’est pas une suite géométrique

 

Terme général d'une suite géométrique

Pour arriver à $u_{n}$, il faut multiplier n fois par la raison q le premier terme $u_{0}$

Début d’un théorème

Théorème

Le terme général d'une suite géométrique $(u_{n})$ est donné par la formule :

$u_{n}=q^{n}\times u_{0}$

Fin du théorème

Utilisation du terme général

• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=3$ et q = 1,5. Calculer $u_{11}$
• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=0,5$ et q = -2. Calculer $u_{25}$
• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{1}=8$ et q = 0,25. Calculer $u_{10}$
• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{15}=3^{20}$ et q = 3. Calculer $u_{0}$
• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{11}=25$ et $u_{14}=200$. Calculer $u_{0}$ et q.

Solution

• $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ donc $u_{11}=3\times (1,5)^{1}1\approx 259,5$
• $u_{25}=-16777216$
• $u_{n}=u_{0}\times q^{n}=u_{1}\times q^{n-1}$ donc $u_{10}=8\times (0,25)^{9}=3,0518\times 10^{-5}$
• $u_{0}={\frac {u_{n}}{q^{n}}}$ donc $u_{0}={\frac {3^{20}}{3^{15}}}=3^{5}=243$
• On a $u_{11}=u_{0}\times q^{11}$ et $u_{14}=u_{0}\times q^{14}$, donc ${\frac {u_{14}}{u_{11}}}=q^{3}=8$, soit $q=2$. On en déduit : $u_{0}={\frac {u_{11}}{2^{11}}}={\frac {25}{2048}}$

 

la monotonie

Début d’un théorème

Théorème

Une suite géométrique de premier terme positif et de raison q est :

• croissante si $q>1$
• décroissante si $0<q<1$
• constante si $q=1$
• non monotone (ni croissante ni décroissante ) si $q<0$.

Fin du théorème

Somme des termes d'une suite géométrique

Début d’un théorème

Théorème

La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :

$u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}={\begin{cases}u_{0}\times {\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}&{\text{lorsque }}q\neq 1\\u_{0}\times (n+1)&{\text{lorsque }}q=1\end{cases}}$

Fin du théorème

Plus généralement :

Début d’un théorème

Formule générale

La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique $(v_{n})$ de raison $q$ du rang $i$ au rang $j$ s'exprime par :

$v_{i}+v_{i+1}+\cdots +v_{j}={\begin{cases}v_{i}\times {\frac {1-q^{j-i+1}}{1-q}}&{\text{lorsque }}q\neq 1\\v_{i}\times (j-i+1)&{\text{lorsque }}q=1\end{cases}}$

Fin du théorème

Démonstration

Soit $S_{n}:=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}$ la première somme à calculer. On écrit

$S_{n}=u_{0}+u_{0}q+\dots +u_{0}q^{n}$

Si $q\neq 1$, alors on multiplie les deux membres de l'égalité par $1-q$ 

${\begin{aligned}(1-q)S_{n}&=(1-q)(u_{0}+u_{0}q+u_{0}q^{2}+\cdots +u_{0}q^{n})\\&=u_{0}+u_{0}q+u_{0}q^{2}+\cdots +u_{0}q^{n}\\&{\color {White}{}=u_{0}}-u_{0}q-u_{0}q^{2}-\cdots -u_{0}q^{n}-u_{0}q^{n+1}\\&=u_{0}-u_{0}q^{n+1}\\&=u_{0}(1-q^{n+1})\end{aligned}}$

(c'est une somme télescopique).

Finalement, on trouve :

$S=u_{0}{\cfrac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

Si $q=1$, alors on a 

${\begin{aligned}S_{n}&=u_{0}+u_{0}q+\dots +u_{0}q^{n}\\&=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u_{0}\\&=u_{0}\times \sum _{k=0}^{n}1\\&=u_{0}\times (n+1)\end{aligned}}$

On trouve donc :

$S=u_{0}\times (n+1).$

La seconde somme se calcule de même, ou se déduit de la première en posant (pour $k$ de $0$ à $n:=j-i$) $u_{k}:=v_{i+k}$.

 

Calculs de sommes

En utilisant la formule,

1. Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=3$ et q = 2. Calculer $S=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{20}$

2. Calculer $S=1+3+9+27+81+\cdots +59049$

Solution

1. $S=3\times {\frac {1-2^{20+1}}{1-2}}=6291453$

2. On remarque que le quotient est 3, que $u_{0}=1$ et que $u_{10}=59049$. Ainsi, $S=1\times {\frac {1-3^{10+1}}{1-3}}=88573$

 

Remarque

Les suites géométriques sont utilisées dans de nombreux domaines. Voir en particulier la leçon « Mathématiques financières ».