Introduction aux suites numériques/Suites géométriques

**Suites géométriques**
Leçon : Introduction aux suites numériques

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Suites arithmétiques
Chap. suiv. :	Sommaire
Exercices :	Suites géométriques
Exercices :	La spirale infernale
Exercices :	Rebonds d'une balle
Exercices :	Démographie et suites géométriques

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Introduction aux suites numériques : Suites géométriques
Introduction aux suites numériques/Suites géométriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition par récurrence[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une suite géométrique

Wikipedia-logo-v2.svg

Wikipédia possède un article à propos de « Suite géométrique ».

Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite géométrique est donc définie par :

la valeur de son premier terme $u_{0}$
une relation de récurrence de la forme : $u_{n+1}=u_{n}\times q$

Le facteur q qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite $(u_{n})$ . Le facteur $q$ est défini par : $q={u_{n+1} \over u_{n}}$

Être ou ne pas être une suite géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont géométriques ? Dans ce cas, donner leur raison.

$u_{0}=1,u_{1}=2,u_{2}=4,u_{3}=8,u_{4}=16,u_{5}=32,u_{6}=64,...$
$u_{0}=3,u_{1}=9,u_{2}=27,u_{3}=81,...$
$u_{0}=1,u_{1}=-5,u_{2}=25,u_{3}=-125,u_{4}=625,...$
$u_{0}=10,u_{1}=5,u_{2}=2.5,u_{3}=1.25,u_{4}=0.625,...$
$u_{0}=2,u_{1}=4,u_{2}=9,u_{3}=16,u_{4}=25,u_{5}=36,u_{6}=49,u_{7}=64,u_{8}=81,u_{9}=100,...$

Solution

La première suite est géométrique de raison 2
La deuxième suite est géométrique de raison 3
La troisième suite est géométrique de raison -5
La quatrième suite est géométrique de raison 0.5
La dernière suite n’est pas géométrique

Terme général d'une suite géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Pour calculer $u_{n}$ , il faut d'abord multiplier n fois la raison $q$ par elle-même et ensuite, multiplier l'ensemble par le premier terme $u_{0}$ .

Théorème

Le terme général d'une suite géométrique $(u_{n})$ est donné par la formule suivante : $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$

Utilisation du terme général[modifier | modifier le wikicode]

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=3$ et $q=1,5$ . Calculer $u_{11}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=0,5$ et $q=-2$ . Calculer $u_{25}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{1}=8$ et $q=0,25$ . Calculer $u_{10}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{15}=3^{20}$ et $q=3$ . Calculer $u_{0}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{11}=25$ et $u_{14}=200$ . Calculer $u_{0}$ et $q$

Solution

$u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ donc $u_{11}=3\times (1,5)^{11}\approx 259,5$
$u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ donc $u_{25}=0,5\times (-2)^{25}=-16777216$
$u_{n}=u_{0}\times q^{n}=u_{1}\times q^{n-1}$ donc $u_{10}=8\times (0,25)^{9}=3,0518\times 10^{-5}$
$u_{0}={\frac {u_{n}}{q^{n}}}$ donc $u_{0}={\frac {3^{20}}{3^{15}}}=3^{5}=243$
On a $u_{11}=u_{0}\times q^{11}$ et $u_{14}=u_{0}\times q^{14}$ , donc ${\frac {u_{14}}{u_{11}}}=q^{3}=8$ , soit $q=2$ .

On en déduit : $u_{0}={\frac {u_{11}}{2^{11}}}={\frac {25}{2048}}\approx 1,22\times 10^{-2}$

Sens de variation d'une suite géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Théorème 1

Une suite géométrique de premier terme positif et de raison q réelle est :

croissante si $q>1$
décroissante si $0<q<1$
constante si $q=1$
non monotone (ni croissante ni décroissante) si $q<0$

Théorème 2

Une suite géométrique de premier terme négatif et de raison q réelle est :

croissante si $0<q<1$
décroissante si $q>1$
constante si $q=1$
non monotone (ni croissante ni décroissante) si $q<0$

Somme des termes d'une suite géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique $(u_{n})$ de raison $q$ , du rang $i$ au rang $j$ , s'exprime par :

$u_{i}+u_{i+1}+\cdots +u_{j}={\begin{cases}u_{i}\times {\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{lorsque }}q\neq 1\\u_{i}\times k&{\text{lorsque }}q=1\end{cases}}$

où $k=j-i+1$ est le nombre de termes de la somme.

Démonstration

Soit $S:=u_{i}+u_{i+1}+\cdots +u_{j}$ la somme à calculer.

On écrit : $S=u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i}$

Si $q\neq 1$ , on multiplie les deux membres de l'égalité par $1-q$: ${\begin{aligned}(1-q)S&=(1-q)(u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i})\\&=u_{i}+u_{i}q+\dots +u_{i}q^{j-i}\\&{\color {White}{}=u_{i}}-u_{i}q-\dots -u_{i}q^{j-i}-u_{i}q^{j-i+1}\\&=u_{i}-u_{i}q^{j-i+1}\\&=u_{i}(1-q^{k})\end{aligned}}$