Introduction aux suites numériques/Suites géométriques

**Suites géométriques**
Leçon : Introduction aux suites numériques

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Suites arithmétiques
Chap. suiv. :	Sommaire
Exercices :	Suites géométriques
Exercices :	La spirale infernale
Exercices :	Rebonds d'une balle
Exercices :	Démographie et suites géométriques

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Introduction aux suites numériques/Suites géométriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition par récurrence[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Wikipédia possède un article à propos de « Suite géométrique ».

Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite géométrique est donc définie par :

la donnée de son premier terme $u_{0}$
une relation de récurrence de la forme :
$u_{n+1}=q\times u_{n}$ .

Le facteur q qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite $(u_{n})$ .

Être ou ne pas être une suite géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont géométriques ? Dans ce cas, donner leur raison.

$u_{0}=1,u_{1}=2,u_{2}=4,u_{3}=8,u_{4}=16,u_{5}=32,u_{6}=64,...$
3, 9, 27, 81, ...
1, -5, 25, -125, 625, ...
10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; ...
2, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

Solution

La première suite est de raison 2
La deuxième suite est de raison 3
La troisième suite est de raison -5
La quatrième suite est de raison 0.5
La dernière n’est pas une suite géométrique

Terme général d'une suite géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Pour arriver à $u_{n}$ , il faut multiplier n fois par la raison q le premier terme $u_{0}$

Théorème

Le terme général d'une suite géométrique $(u_{n})$ est donné par la formule :

u_{n}=q^{n}\times u_{0}

Utilisation du terme général[modifier | modifier le wikicode]

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=3$ et q = 1,5. Calculer $u_{11}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=0,5$ et q = -2. Calculer $u_{25}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{1}=8$ et q = 0,25. Calculer $u_{10}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{15}=3^{20}$ et q = 3. Calculer $u_{0}$
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{11}=25$ et $u_{14}=200$ . Calculer $u_{0}$ et q.

Solution

$u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ donc $u_{11}=3\times (1,5)^{1}1\approx 259,5$
$u_{25}=-16777216$
$u_{n}=u_{0}\times q^{n}=u_{1}\times q^{n-1}$ donc $u_{10}=8\times (0,25)^{9}=3,0518\times 10^{-5}$
$u_{0}={\frac {u_{n}}{q^{n}}}$ donc $u_{0}={\frac {3^{20}}{3^{15}}}=3^{5}=243$
On a $u_{11}=u_{0}\times q^{11}$ et $u_{14}=u_{0}\times q^{14}$ , donc ${\frac {u_{14}}{u_{11}}}=q^{3}=8$ , soit $q=2$ . On en déduit : $u_{0}={\frac {u_{11}}{2^{11}}}={\frac {25}{2048}}$

la monotonie[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Une suite géométrique de premier terme positif et de raison q est :

croissante si $q>1$
décroissante si $0<q<1$
constante si $q=1$
non monotone (ni croissante ni décroissante ) si $q<0$ .

Somme des termes d'une suite géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :

u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}={\begin{cases}u_{0}\times {\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}&{\text{lorsque }}q\neq 1\\u_{0}\times (n+1)&{\text{lorsque }}q=1\end{cases}}

Plus généralement :

Formule générale

La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique $(v_{n})$ de raison $q$ du rang $i$ au rang $j$ s'exprime par :

v_{i}+v_{i+1}+\cdots +v_{j}={\begin{cases}v_{i}\times {\frac {1-q^{j-i+1}}{1-q}}&{\text{lorsque }}q\neq 1\\v_{i}\times (j-i+1)&{\text{lorsque }}q=1\end{cases}}

Démonstration

Soit $S_{n}:=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}$ la première somme à calculer. On écrit

$S_{n}=u_{0}+u_{0}q+\dots +u_{0}q^{n}$
Si $q\neq 1$ , alors on multiplie les deux membres de l'égalité par $1-q$: ${\begin{aligned}(1-q)S_{n}&=(1-q)(u_{0}+u_{0}q+u_{0}q^{2}+\cdots +u_{0}q^{n})\\&=u_{0}+u_{0}q+u_{0}q^{2}+\cdots +u_{0}q^{n}\\&{\color {White}{}=u_{0}}-u_{0}q-u_{0}q^{2}-\cdots -u_{0}q^{n}-u_{0}q^{n+1}\\&=u_{0}-u_{0}q^{n+1}\\&=u_{0}(1-q^{n+1})\end{aligned}}$

(c'est une somme télescopique).

Finalement, on trouve :

S=u_{0}{\cfrac {1-q^{n+1}}{1-q}}.

Si $q=1$ , alors on a: ${\begin{aligned}S_{n}&=u_{0}+u_{0}q+\dots +u_{0}q^{n}\\&=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u_{0}\\&=u_{0}\times \sum _{k=0}^{n}1\\&=u_{0}\times (n+1)\end{aligned}}$