Introduction aux suites numériques/Suites géométriques

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Définition par récurrence

Définition

Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite géométrique est donc définie par :

• la donnée de son premier terme $u_{0}$
• une relation de récurrence de la forme :
  $u_{n+1}=q\times u_{n}$.

Le facteur q qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite $(u_{n})$.

Être ou ne pas être une suite géométrique

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont géométriques ? Dans ce cas, donner leur raison.

• $u_{0}=1,u_{1}=2,u_{2}=4,u_{3}=8,u_{4}=16,u_{5}=32,u_{6}=64,...$
• 3, 9, 27, 81, ...
• 1, -5, 25, -125, 625, ...
• 10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; ...
• 2, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

Solution

• La première suite est de raison 2
• La deuxième suite est de raison 3
• La troisième suite est de raison -5
• La quatrième suite est de raison 0.5
• La dernière n’est pas une suite géométrique

 

Terme général d'une suite géométrique

Pour arriver à $u_{n}$, il faut multiplier n fois par la raison q le premier terme $u_{0}$

Début d’un théorème

Théorème

Le terme général d'une suite géométrique $(u_{n})$ est donné par la formule :

$u_{n}=q^{n}\times u_{0}$

Fin du théorème

Utilisation du terme général

• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=3$ et q = 1,5. Calculer $u_{11}$
• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=0,5$ et q = -2. Calculer $u_{25}$
• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{1}=8$ et q = 0,25. Calculer $u_{10}$
• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{15}=3^{20}$ et q = 3. Calculer $u_{0}$
• Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{11}=25$ et $u_{14}=200$. Calculer $u_{0}$ et q.

Solution

• $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$ donc $u_{11}=3\times (1,5)^{1}1\approx 259,5$
• $u_{25}=-16777216$
• $u_{n}=u_{0}\times q^{n}=u_{1}\times q^{n-1}$ donc $u_{10}=8\times (0,25)^{9}=3,0518\times 10^{-5}$
• $u_{0}={\frac {u_{n}}{q^{n}}}$ donc $u_{0}={\frac {3^{20}}{3^{15}}}=3^{5}=243$
• On a $u_{11}=u_{0}\times q^{11}$ et $u_{14}=u_{0}\times q^{14}$, donc ${\frac {u_{14}}{u_{11}}}=q^{3}=8$, soit $q=2$. On en déduit : $u_{0}={\frac {u_{11}}{2^{11}}}={\frac {25}{2048}}$

 

Sens de variation

Début d’un théorème

Théorème

Une suite géométrique de premier terme positif et de raison q est :

• croissante si $q>1$
• décroissante si $0<q<1$
• constante si $q=1$
• ni croissante ni décroissante si $q<0$.

Fin du théorème

Somme des termes d'une suite géométrique

Début d’un théorème

Théorème

La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :

$u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}={\begin{cases}u_{0}\times {\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}&{\text{lorsque }}q\neq 1\\u_{0}\times (n+1)&{\text{lorsque }}q=1\end{cases}}$

Fin du théorème

Plus généralement :

Début d’un théorème

Formule générale

La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique $(v_{n})$ de raison $q$ du rang $i$ au rang $j$ s'exprime par :

$v_{i}+v_{i+1}+\cdots +v_{j}={\begin{cases}v_{i}\times {\frac {1-q^{j-i+1}}{1-q}}&{\text{lorsque }}q\neq 1\\v_{i}\times (j-i+1)&{\text{lorsque }}q=1\end{cases}}$

Fin du théorème

Démonstration

Soit $S_{n}:=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}$ la première somme à calculer. On écrit

$S_{n}=u_{0}+u_{0}q+\dots +u_{0}q^{n}$

Si $q\neq 1$, alors on multiplie les deux membres de l'égalité par $1-q$ 

${\begin{aligned}(1-q)S_{n}&=(1-q)(u_{0}+u_{0}q+u_{0}q^{2}+\cdots +u_{0}q^{n})\\&=u_{0}+u_{0}q+u_{0}q^{2}+\cdots +u_{0}q^{n}\\&{\color {White}{}=u_{0}}-u_{0}q-u_{0}q^{2}-\cdots -u_{0}q^{n}-u_{0}q^{n+1}\\&=u_{0}-u_{0}q^{n+1}\\&=u_{0}(1-q^{n+1})\end{aligned}}$

(c'est une somme télescopique).

Finalement, on trouve :

$S=u_{0}{\cfrac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

Si $q=1$, alors on a 

${\begin{aligned}S_{n}&=u_{0}+u_{0}q+\dots +u_{0}q^{n}\\&=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u_{0}\\&=u_{0}\times \sum _{k=0}^{n}1\\&=u_{0}\times (n+1)\end{aligned}}$

On trouve donc :

$S=u_{0}\times (n+1).$

La seconde somme se calcule de même, ou se déduit de la première en posant (pour $k$ de $0$ à $n:=j-i$) $u_{k}:=v_{i+k}$.

 

Calculs de sommes

En utilisant la formule,

1. Soit $(u_{n})$ une suite géométrique telle que $u_{0}=3$ et q = 2. Calculer $S=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{20}$

2. Calculer $S=1+3+9+27+81+\cdots +59049$

Solution

1. $S=3\times {\frac {1-2^{20+1}}{1-2}}=6291453$

2. On remarque que le quotient est 3, que $u_{0}=1$ et que $u_{10}=59049$. Ainsi, $S=1\times {\frac {1-3^{10+1}}{1-3}}=88573$

 

Remarque

Les suites géométriques sont utilisées dans de nombreux domaines. Voir en particulier la leçon « Mathématiques financières ».