Théorie des groupes/Exercices/Théorème de Jordan-Hölder

Problème 1

Soit n un nombre naturel non nul. En appliquant le théorème de Jordan-Hölder au groupe Z/nZ, prouver que n est le produit d'une famille finie de nombres premiers et que cette famille est unique à l’ordre près.

Solution

Puisque n n’est pas nul, le groupe Z/nZ est fini. Comme nous l'avons vu, il en résulte que ce groupe admet une suite de Jordan-Hölder. Puisque le groupe Z/nZ est commutatif, les quotients de cette suite sont des groupes simples commutatifs, donc leurs ordres sont des nombres premiers. Nous avons vu que le produit des ordres des quotients d'une suite de composition d'un groupe est égal à l’ordre de ce groupe, donc l’ordre n de Z/nZ est un produit de nombres premiers, ce qui démontre la première assertion de l'énoncé.
Soient maintenant $n=p_{1}\ldots p_{r}$ et $n=q_{1}\ldots q_{s}$ deux décompositions de n en produit de facteurs premiers. Nous savons que si G est un groupe cyclique et d un diviseur de l’ordre de G, G admet un (et un seul) sous-groupe d'indice d et que ce sous-groupe est lui-même cyclique. Posons G₀ = Z/nZ et pour tout i ($1\leq i\leq r$), prenons pour G_i le sous-groupe d'indice p_i de G_i-1. On montre de proche en proche que l'indice de G_i dans G est $n=p_{1}\ldots p_{i}$. En particulier, l'indice de G_r dans G est $p_{1}\ldots p_{r}=n$, donc G_r = 1. Nous avons donc construit une suite de Jordan-Hölder de G dont les quotients sont d'ordres $p_{1},\ldots ,p_{r}$. Il existe de même une suite de Jordan-Hölder $(H_{j})_{0\leq j\leq s}$ de G dont les quotients sont d'ordres $q_{1},\ldots ,q_{s}$. D'après le théorème de Jordan-Hölder, ces deux suites sont équivalentes, donc r = s et il existe une permutation $\ \sigma$ de l’ensemble $\ \{0,\ldots r-1\}$ telle que, pour tout i ($0\leq i\leq r-1$), $\ G_{i}/G_{i+1}$ soit isomorphe à $\ H_{\sigma (i)}/H_{\sigma (i)+1}$. Deux groupes isomorphes ayant le même ordre, on a alors $p_{i+1}=q_{\sigma (i)+1}$ pour tout i ($0\leq i\leq r-1$), ce qui montre que nos deux décompositions de n en facteurs premiers sont les mêmes à l’ordre près.