Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Intermède : groupes simples d'ordre 168

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Intermède : groupes simples d'ordre 168
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Chapitre no 34
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs
Chap. suiv. :Intermède : groupes simples d'ordre 360

Exercices :

Intermède : groupes simples d'ordre 168
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Théorie des groupes/Intermède : groupes simples d'ordre 168
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On va prouver dans ce chapitre que tous les groupes simples d'ordre 168 sont isomorphes. Cela n'est pas une matière classique et ne servira pas dans la suite du cours, donc le lecteur non intéressé peut omettre ce chapitre.

Section 1. Préliminaires de théorie des groupes[modifier | modifier le wikicode]

Notation. Pour tout groupe fini G et tout nombre premier p, on notera l'ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G et on notera le cardinal de , autrement dit le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème

La dénomination « lemme de l'intersection maximale » qu'on donne ici à l'énoncé qui suit n'est pas standard.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème

Section 2. Préliminaires de géométrie projective. Le plan de Fano.[modifier | modifier le wikicode]

Une structure d'incidence est un triple et sont des ensembles et où est une partie de

On dit alors que les éléments de sont les points de cette structure, que les éléments de sont les lignes et que est la relation d'incidence. P étant un point et L une ligne, on dit que P est sur L si (P, L) appartient à Dans le même cas, on dit aussi que L passe par P. On dit que des points sont alignés s'il existe une ligne qui passe par tous ces points.

Si le triple est une structure d'incidence, alors le triple désigne le graphe réciproque du graphe est lui aussi une structure d'incidence, qu'on appelle la structure d'incidence duale de

Si les triples et sont des structures d'incidence, un isomorphisme de sur est par définition un couple (f, g), où f est une bijection de sur g est une bijection de sur et où, pour tout point P et toute ligne L de , (f(P), g(L)) appartient à si et seulement si (P, L) appartient à

On vérifie facilement que si , et sont des structures d'incidence, si est un isomorphisme de sur si est un isomorphisme de sur alors est un isomorphisme de sur On appelle cet isomorphisme le composé de et

Un isomorphisme d'une structure d'incidence sur elle-même est appelé un automorphisme de cette structure d'incidence. Le composé de deux automorphismes d'une structure d'incidence est par définition leur composé comme isomorphismes. C'est lui-même un automorphisme de L'ensemble des automorphismes de muni de la composition des automorphismes, est un groupe qu'on appelle le groupe des automorphismes de Si deux structures d'incidence sont isomorphes, le groupe des automorphismes de l'une est isomorphe au groupe des automorphismes de l'autre.

Supposons que soit une structure d'incidence où une ligne est caractérisée par les points qui sont sur cette ligne; on entend par là que si et sont des lignes telles que les points sur sont exactement les points sur alors et sont égales. Dans ce cas, un isomorphisme (f, g) d'une structure d'incidence sur est caractérisé par sa première composante f; on entend par là que si et sont des isomorphismes de sur alors ce qu'on peut encore exprimer en disant que dans l'automorphisme (f, g), g est déterminée par f. En effet, on montre facilement qu'alors, pour toute ligne L' de g(L') doit être l'unique ligne L de telle que les points sur L soient exactement les f(P'), où P' parcourt les points sur L'.

Dans la définition qui suit, on adopte l'expression « plan de type projectif », utilisée par Jacqueline Lelong-Ferrand pour distinguer cette notion de la notion plus étroite de plan projectif associé à un espace vectoriel[1].

Un ensemble tel qu'en c), c'est-à-dire un ensemble de 4 points dont 3 ne sont jamais alignés, est appelé un quadrangle.
Si P et Q sont deux points distincts, l'unique ligne passant par P et par Q est aussi appelée la ligne joignant P et Q; on la notera PQ.
Si L et M sont deux lignes distinctes, l'unique point se trouvant sur L et sur M est appelé le point d'intersection de L et de M.

On vérifie facilement qu'une structure d'incidence isomorphe à un plan de type projectif est elle-même un plan de type projectif.


Remarque. On peut prouver que pour tout plan de type projectif fini (c'est-à-dire pour tout plan projectif n'ayant qu'un nombre fini de points et de lignes), il y a un nombre naturel tel que

le nombre de points et le nombre de lignes sont égaux à
chaque ligne passe exactement par q + 1 points,
chaque point se trouve sur exactement q+1 lignes.

Ce nombre q est appelé l'ordre du plan de type projectif en question. Un plan de Fano peut donc être défini comme un plan de type projectif d'ordre 2. Nous ne nous servirons cependant pas de cette notion d'ordre.

Il est clair qu'une structure d'incidence isomorphe à un plan de Fano est elle-même un plan de Fano.

Puisque dans un plan de Fano, toute ligne passe par trois points et que, de même que dans tout plan de type projectif, toute ligne est déterminée par deux de ses points, toute ligne d'un plan de Fano est déterminée par les points qui sont sur cette ligne. D'après une remarque faite plus haut, il en résulte que dans un isomorphisme (f, g) de plans de Fano, la bijection g est déterminée par f. (Le théorème cité ci-dessus sur l'ordre d'un plan de type projectif permet de prouver la même chose pour tout plan de type projectif.)

Début de l'exemple
Fin de l'exemple

Le graphique qui suit donne un exemple de plan de Fano :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Puisque les plans de Fano sont tous isomorphes, on dit volontiers « le plan de Fano » plutôt que « un plan de Fano ».

Début d’un théorème
Fin du théorème

Section 3. Groupes simples d'ordre 168[modifier | modifier le wikicode]

On va démontrer que les groupes simples d'ordre 168 sont tous isomorphes au groupe des automorphismes du plan de Fano. Puisque, d'après le chapitre sur la simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs, PSL(2, 7) est un groupe simple d'ordre 168, et qu'il existe donc au moins un groupe simple d'ordre 168, il en résultera que le groupe des automorphismes du plan de Fano est un groupe simple d'ordre 168.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème

Notation. G étant un groupe simple d'ordre 168, on notera et les deux classes de conjugaison de sous-groupes de Klein de G (voir étape 18). On appellera « points » les éléments de et « lignes » les éléments de . On définit une relation d'incidence en disant qu'un point P est sur une ligne L (c'est-à-dire (P, L) appartient à ) s'il existe un 2-sous-groupe de Sylow de G qui contient à la fois P et L. Un tel 2-sous-groupe de Sylow de G est alors engendré par P et L (préliminaire 11, étape 10 et le fait que P et L, n'étant pas conjugués, sont distincts), et est donc l'unique 2-sous-groupe de Sylow de G qui contient à la fois P et L.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Jacqueline Lelong-Ferrand], Fondements de la géométrie, PUF, 1985, p. 162.