Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Exercices/Caractères irréductibles de quelques groupes

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Caractères irréductibles de quelques groupes
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Exercices no43
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Caractères irréductibles de quelques groupes

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Le théorème p-q de Burnside
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Théorie des groupes/Exercices/Caractères irréductibles de quelques groupes
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Problème 1 (très facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe fini. Prouver qu'une ligne (resp. une colonne) de la table des -caractères de G n'est jamais nulle (c'est-à-dire formée exclusivement de zéros).

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe fini. Prouver que dans la table des -caractères de G, la colonne correspondant à la classe de conjugaison {1} est la seule colonne formée uniquement de nombres naturels.

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soit la table des -caractères proprement dite d'un groupe fini G. On sait donc que G a exactement h classes de conjugaison. On sait aussi qu'il existe une énumération des -caractères irréductibles de G et une énumération des classes de conjugaison de G telles que, pour tous i, j dans {1, ... , h},

.

On ne fait aucune autre hypothèse : on ne suppose pas que la première colonne de la table correspond à la classe de conjugaison {1} et on ne suppose pas que les caractères de degré 1 sont numérotés avant les autres.
a) Prouver que la table des -caractères proprement dite de G permet de connaître l'ordre de G, ainsi que la deuxième et la troisième ligne de titre de la table.

b) Prouver que G est abélien si et seulement si sa table de -caractères comporte une colonne ne comprenant que des 1.

c) Prouver que la table de -caractères proprement dite de G permet de connaître l'ordre du dérivé G' de G.

Remarque. Ce problème montre qu'à partir de la table des -caractères proprement dite d'un groupe fini G, on peut connaître certaines propriétés de la structure de G (mais non forcément la structure elle-même, car on verra dans un des problèmes suivants que deux groupes non isomorphes peuvent avoir la même table de -caractères). On s'est limité à des résultats très simples. Une analyse un peu plus fine montre que, par exemple, la table des -caractères proprement dite de G permet de savoir si G est nilpotent.

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe fini. Il est clair que la table des -caractères de G n'a pas deux lignes identiques (puisque deux différents caractères de G ne peuvent pas coïncider en tout point). Prouver que cette table n'a pas deux colonnes identiques. (Indication. On peut utiliser le fait que les -caractères irréductibles de G engendrent le -espace vectoriel formé par les applications centrales de G dans .)

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe fini et g un élément de G. Prouver que les trois conditions suivantes sont équivalentes :

(i) g et g-1 sont conjugués;
(ii) pour tout -caractère de G, est réel;
(iii) pour tout -caractère irréductible de G, est réel.

b) On a vu dans le chapitre théorique que toutes les valeurs de la table des -caractères d'un groupe diédral sont réelles. Donc, d'après le point a), tout élément d'un groupe diédral est conjugué à son inverse. Démontrer ce dernier fait sans utiliser la théorie des caractères.

c) Un élément g d'un groupe fini G tel que les conditions équivalentes (i), (ii) et (iii) du point a) soient satisfaites est appelé (abusivement) un élément réel de G. Prouver que si un groupe fini G comprend un élément réel distinct de 1, G est d'ordre pair.

Problème 6 (Caractères complexes des groupes dicycliques)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe dicyclique d'ordre 4m (m nombre naturel non nul).
Il existe donc des éléments a et b de G tels que a soit d'ordre 2m, et .
On va déterminer les -caractères irréductibles de G. (La méthode sera très semblable à celle qu'on a suivie dans le chapitre théorique pour déterminer les -caractères irréductibles d'un groupe diédral.)

a) Déterminer les -caractères de degré 1 de G. (Indication : G' désignant le dérivé de G, on a déterminé G' et G/G' dans un exercice de la série Groupes dicycliques. Il faut distinguer les cas m pair et m impair.)

b) Posons (avec dans ). Donc est une racine primitive 2m-ième de l'unité.
Désignons par A la matrice

et, pour tout entier rationnel j, posons

.

Prouver que pour tout , il existe une et une seule -représentation de G, soit Tj, qui applique a sur Aj et b sur Bj. (Indication : on peut utiliser un exercice de la série Groupes dicycliques intitulé « Homomorphismes partant d'un groupe dicyclique ».)

Remarque. On a déjà rencontré les deux matrices T1(a) = A et T1(b) = B1 dans le chapitre Groupes dicycliques, où on a donné une preuve de l'existence d'un groupe dicyclique d'ordre 4m en montrant que le sous-groupe de engendré par ces deux matrices est un tel groupe. De ce dernier fait, on tire facilement que la représentation T1 est fidèle.

c) Les -représentations Tj étant définies comme au point b), prouver que T1, ... , Tm-1 sont irréductibles. (Indication : on peut imiter la façon dont on a prouvé un énoncé analogue relatif aux groupes diédraux dans le chapitre théorique.)

d) Prouver que les -représentations T1, ... , Tm-1 de G sont deux à deux non équivalentes. (Indication : utiliser la démonstration de l'énoncé analogue relatif aux groupes diédraux qui a été donnée dans le chapitre théorique.)

e) Dresser la table des -caractères de G (en distinguant selon que m est pair ou impair).

f) Montrer que le groupe des quaternions (groupe dicyclique d'ordre 8) a la même table de caractères que le groupe diédral d'ordre 8 (abstraction faite de la première ligne de titre). En conclure que deux groupes finis peuvent avoir la même table des caractères sans être isomorphes.