Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient
Problème 1
[modifier | modifier le wikicode]Prouver que tout sous-groupe d'indice 2 est normal.
Soit H un sous-groupe d'indice 2 du groupe G. Les classes à gauche de G suivant H sont en quantité 2, donc il est clair que ces classes à gauche sont H et la partie complémentaire de H dans G. De même, les classes à droite suivant H sont H et la partie complémentaire de H dans G. Ainsi, les classes à gauche et les classes à droite suivant H sont identiques, donc H est normal.
Problème 2
[modifier | modifier le wikicode]Désignons par S le groupe des permutations de l’ensemble E = {1, 2, 3}, la loi de groupe étant la composition (f, g) ↦ f ∘ g. Désignons par id la permutation identique de E. Si a et b sont deux différents éléments de E, désignons par (a b) la permutation de E qui applique a sur b, b sur a et laisse donc fixe l'élément de E distinct de a et de b. Il est clair que {id, (1 2)} est un sous-groupe de S. Prouver que ce n’est pas un sous-groupe normal de S.
Il est clair que (1 3)-1 = (1 3), donc (1 3)-1 ∘ (1 2) ∘ (1 3) = (1 3) ∘ (1 2) ∘ (1 3) = (2 3). Comme (2 3) n'appartient pas au sous-groupe {id, (1 2)}, il en résulte que ce sous-groupe n’est pas normal dans S.
Problème 3
[modifier | modifier le wikicode]Soient G un groupe et une famille de sous-groupes de G. On désigne par H le sous-groupe de G engendré par les Hi. Prouver que
et que l'inclusion réciproque n’est pas forcément vraie.
Prouvons la relation (1). Soit g un élément de G qui normalise tous les Hi; il s'agit de prouver que g normalise H. Désignons par l'automorphisme de G. Il s'agit de prouver que H est invariant par . Or est le sous-groupe de G engendré par les ; puisque g normalise tous les Hi, les sont les Hi. Donc est le sous-groupe de G engendré par les Hi, c'est-à-dire est égal à H, donc H est bien invariant par comme annoncé.
Nous avons donc prouvé la relation (1) de l'énoncé. Prouvons que l'inclusion réciproque n’est pas vraie. Soit G un groupe admettant un sous-groupe K non distingué. (On sait que le cas se présente.) Posons H1 = K et H2 = G. Le sous-groupe H engendré par H1 et H2 est G tout entier, donc est G tout entier, donc n’est pas contenu dans , car G n’est pas contenu dans .
Problème 4
[modifier | modifier le wikicode]Soient G1 et G2 deux groupes, f un homomorphisme surjectif de G1 sur G2. Soit A une partie de G1. Désignons par Dist(A) le sous-groupe distingué de G1 engendré par A. Prouver que f(Dist(A)) est le sous-groupe distingué de G2 engendré par f(A).
Du fait que f est surjectif, il résulte (théorie) que f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué de G2. Puisque Dist(A) contient A, f(Dist(A)) contient f(A). Ainsi, f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué de G2 contenant f(A). Il reste à prouver qu’il est contenu dans tout sous-groupe distingué de G2 contenant f(A). Soit K un sous-groupe distingué de G2 contenant f(A). Il s'agit de prouver que K contient f(Dist(A)). Puisque K contient f(A), A est contenu dans f-1(K), qui est un sous-groupe distingué de G1. Donc, par minimalité de Dist(A), Dist(A) est contenu dans f-1(K), autrement dit, f(Dist(A)) est contenu dans K, comme annoncé.
Problème 5
[modifier | modifier le wikicode]Soient G un groupe et H, K des sous-groupes normaux de G tels que H ⋂ K = 1. Tout élément de H commute avec tout élément de K. (Indication : x étant un élément de H et y un élément de K, considérer l'élément x-1 y-1 x y de G. Nous retrouverons les éléments de la forme x-1 y-1 x y au chapitre Commutateurs, groupe dérivé.)
Soient x un élément de H et y un élément de K. Il s'agit de prouver que x et y commutent. Cela revient à prouver que x-1 y-1 x y = 1. Vu les hypothèses, il suffit de prouver que x-1 y-1 x y appartient à H et à K. Il appartient à H parce qu’il est le produit de x-1, qui appartient à H, et de y-1 x y, qui appartient à H parce que H est normal dans G. De même, x-1 y-1 x y appartient à K, parce qu’il est le produit de x-1 y-1 x et de y, qui appartiennent tous deux à K.
Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira au chapitre Produit direct et somme restreinte.
Problème 6
[modifier | modifier le wikicode]Soient un groupe, un sous-groupe distingué de et un sous-groupe de contenant . Notons l’ensemble des classes à gauche de suivant (ici, n'est donc pas nécessairement un groupe, contrairement à ).
- Montrer qu’il existe une unique application de dans telle que, pour tout dans , .
- Montrer que, pour tous et dans , équivaut à ce que et appartiennent à la même classe à gauche du groupe suivant son sous-groupe .
- Existence
La seule chose à montrer est que la définition ne dépend pas du représentant choisi de la classe . Prenons donc et dans tels que et montrons que . Comme , on a , or donc , ce qui prouve que et sont dans la même classe à gauche modulo , c'est-à-dire . L'application est donc bien définie.
Unicité
Tout élément de s'écrit pour un certain dans . La relation donnée définit donc l'image de chaque élément de l'ensemble de départ de , ce qui prouve l'unicité.
- Notons l'homomorphisme canonique de sur . Pour tous et dans , on a :
Donc équivaut à ce que les éléments et de appartiennent à la même classe à gauche du groupe suivant son sous-groupe . Ceci prouve ce que l'on voulait, puisque si et sont des éléments de , alors et .
Remarque : c'est l'hypothèse « distingué dans » qui nous permet d'avoir le morphisme de groupes .
Problème 7
[modifier | modifier le wikicode]a) Soient G et H deux groupes. Prouver que (comme énoncé dans le chapitre théorique) les deux conditions suivantes sont équivalentes :
- 1° il existe un homomorphisme surjectif de G sur H;
- 2° il existe un sous-groupe normal N de G tel que H soit isomorphe au groupe quotient G/N.
Supposons 1° et prouvons 2°. Par hypothèse, il existe un homomorphisme surjectif f de G sur H. D'après le premier théorème d'isomorphisme, H est isomorphe au groupe quotient G/Ker f, ce qui prouve 2°.
Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°. Par hypothèse, il existe un sous-groupe normal N de G et un isomorphisme de G/N sur H. Si désigne l'homomorphisme (surjectif) canonique de G sur G/N, est un homomorphisme surjectif de G sur H, ce qui prouve 1°.
b) Supposons que les conditions 1° et 2° du point a) sont satisfaites. (Comme signalé dans le chapitre théorique, on exprime souvent ce fait en disant que H « est un quotient » de G.) Prouver que pour tout groupe K,
(Indication : à partir d'un homomorphisme surjectif de G sur H, définir une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K).)
Par hypothèse, il existe un homomorphisme surjectif f de G sur H. Un groupe K étant donné, considérons l'application
- .
Cette application est injective car f, étant surjectif, est simplifiable à droite du signe . Le fait que soit une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K) entraîne que
ce qui démontre l'énoncé.
Remarque. Le point b) nous servira dans une démonstration de l'équipotence des bases d'un même groupe libre.
Problème 8
[modifier | modifier le wikicode]Soient A et B des groupes abéliens. Prouver que pour tout homomorphisme de A dans B, les deux conditions suivantes sont équivalentes :
- 1° est surjectif;
- 2° pour tout groupe abélien C, pour tous homomorphismes et de B dans C, la relation entraîne
Indication : pour prouver que 2° entraîne 1°, on peut prendre pour C le quotient de B par un certain sous-groupe de B (dépendant de ) dont une certaine propriété équivaut à ce que soit surjectif.
Prouvons que 1° entraîne 2°. Soit un homomorphisme surjectif de A dans B, soit C un groupe abélien, soient et des homomorphismes de B dans C tels que ; il s'agit de prouver que
Soit un élément de B; puisque est supposé surjectif, il existe un élément de A tel que D'après l'hypothèse , nous avons , autrement dit Ceci étant démontré pour tout élément de B, nous avons donc Comme nous l'avons vu, cela prouve que la condition 1° de l'énoncé entraîne la condition 2°. (On pouvait aussi le déduire de la propriété analogue dans la catégorie des ensembles.)
Réciproquement, prouvons que 2° entraîne 1°. Soit un homomorphisme de A dans B tel que
- (hyp. 1)pour tout groupe abélien C, pour tous homomorphismes et de B dans C, la relation entraîne
Il s'agit de prouver que est surjectif.
Puisque B est abélien, tous ses sous-groupes sont normaux et les quotients correspondants sont abéliens. Dans l'hypothèse (1), prenons C égal à B/f(A), prenons pour l'homomorphisme canonique de B sur C = B/f(A) et prenons pour l'homomorphisme nul de B dans C = B/f(A). Alors et sont tous deux égaux à l'homomorphisme nul de A dans C = B/f(A), donc, d'après notre hypothèse (1), , c'est-à-dire que pour tout élément de B, la classe de modulo f(A) est la classe nulle f(A). Cela revient à dire que tout élément de B appartient à f(A), autrement dit est surjectif. Nous avons donc prouvé que la condition 2° de l'énoncé entraîne la condition 1°
Remarque. L'énoncé de ce problème exprime que les épimorphismes de la catégorie des groupes abéliens sont les homomorphismes surjectifs entre groupes abéliens. On a un énoncé analogue pour la catégorie des groupes (voir un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur).