Théorie des groupes/Sous-groupe distingué et groupe quotient

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Sous-groupe distingué

Définition

Un sous-groupe distingué, ou normal, ou invariant d’un groupe G est un sous-groupe H de G tel que :

$\forall g\in G\quad gHg^{-1}\subseteq H$.

Cette définition est équivalente à dire que $gHg^{-1}=H$ pour tout g dans G.

En effet, si $gHg^{-1}\subseteq H$ pour tout g, ceci est aussi vrai pour $g^{-1}$, donc $g^{-1}Hg\subseteq H$, d'où en multipliant correctement $H\subseteq gHg^{-1}$.

Pour exprimer que H est sous-groupe normal de G, on écrit souvent H $\vartriangleleft$ G ou encore H ⊴ G.

Remarques :

• Si H est un sous-groupe distingué de G, les classes à gauche et à droite de G suivant H coïncident : $\forall g\in G:gH=Hg$. On vérifie facilement que cette propriété caractérise les sous-groupes distingués : un sous-groupe H d’un groupe G est distingué si et seulement les classes à gauche de G suivant H sont identiques aux classes à droite. Donc, si H est sous-groupe distingué de G, la relation d'équivalence $x^{-1}y\in H$ entre éléments de G (appartenir à la même classe à gauche) est équivalente à la relation d'équivalence $yx^{-1}\in H$ (appartenir à la même classe à droite). Si deux éléments x et y de G sont dans cette relation, nous dirons qu’ils sont congrus modulo H et nous écrirons $\ x\equiv y{\pmod {H}}.$
• Si H est un sous-groupe distingué de G, il n'y a pas de différence entre transversale droite et transversale gauche de H dans G.
• Nous verrons qu'un sous-groupe de G de la forme $gHg^{-1}$ avec $g\in G$ est appelé un conjugué de H. La définition revient donc à dire qu'un sous-groupe est distingué si et seulement s'il est son seul conjugué.
• Rappelons que si f est une application d’un ensemble X dans lui-même, une partie A de X est dite stable par f si $f(A)\subseteq A$. Un sous-groupe de G est donc distingué dans G si et seulement s'il est stable par tout automorphisme intérieur de G.
• Si un sous-groupe H de G est distingué dans G, il est distingué dans tout sous-groupe intermédiaire entre H et G.
• On trouvera dans les exercices un exemple de sous-groupe non normal.
• Un sous-groupe distingué d’un sous-groupe distingué d’un groupe G n’est pas forcément un sous-groupe distingué de G. Nous en verrons un exemple dans le cas où G est le quatrième groupe alterné. (Chapitre sur les groupes alternés finis, sous-chapitre sur les sous-groupes distingués de A_n.) Le lecteur pourra trouver un autre exemple en explorant les sous-groupes du groupe diédral D₈.
• On vérifie facilement que si (H_i)_{i ∈ I} est une famille non vide de sous-groupes distingués d’un groupe G, $\bigcap _{i\in I}H_{i}$ est un sous-groupe distingué de G. Soit X une partie de G. L'ensemble des sous-groupes distingués de G contenant X n’est pas vide, car il comprend au moins G. D'après ce qui précède, l'intersection des sous-groupes distingués de G contenant X est donc un sous-groupe distingué de G. C’est le plus petit sous-groupe distingué de G contenant X. On l'appelle le sous-groupe distingué de G engendré par X. Il est égal au sous-groupe ⟨Y⟩ engendré par $Y:=\cup _{g\in G}gXg^{-1}$ et contient le sous-groupe ⟨X⟩.

Début de l'exemple

Exemple

• {e} et G sont distingués dans G.
• Le centre d’un groupe G, Z(G), est un sous-groupe distingué de G. Plus généralement, tout sous-groupe de G contenu dans Z(G) est distingué dans G.
• Si G est abélien alors tous ses sous-groupes sont distingués.
• Si H est un sous-groupe de G d'indice 2, alors il est distingué dans G. (Voir les exercices.)
• Nous verrons que le groupe alterné A_n est un sous-groupe distingué du groupe symétrique S_n.
• Soient G un groupe fini et p le plus petit diviseur premier de l’ordre de G. Si un sous-groupe de G est d'indice p dans G, il est distingué dans G. (Voir les exercices sur les actions de groupe.)
• Le groupe des automorphismes intérieurs de G, Int(G), est un sous-groupe distingué de Aut(G), le groupe des automorphismes de G.

Fin de l'exemple

Définition

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. On dit qu'un élément g de G normalise H si $gHg^{-1}=H$, ce qui équivaut à $g^{-1}Hg=H$.

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. On vérifie facilement que les éléments g de G qui normalisent H forment un sous-groupe de G.

Définition

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. On appelle normalisateur de H dans G, et l'on note N_G(H), le sous-groupe de G formé par les éléments de G qui normalisent H.

Il est clair que N_G(H) contient H et que c’est le plus grand sous-groupe de G contenant H dans lequel H est normal.

Un sous-groupe H de G est sous-groupe normal de G si et seulement si N_G(H) est G tout entier.

Définition

Si H et K sont des sous-groupes d’un groupe G, on dit que H normalise K si H est contenu dans le normalisateur de K (dans G), autrement dit si tout élément de H normalise K.

Proposition

Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. On suppose que K normalise H. (C'est le cas, par exemple, si H est sous-groupe distingué de G. Alors

1° HK est égal à KH et est le sous-groupe de G engendré par $H\cup K$ ;

2° si H et K sont tous deux distingués dans G, HK est distingué dans G.

Démonstration. Quitte à remplacer G par N_G(H), nous pouvons supposer que H est sous-groupe distingué de G. Nous avons $HK=\bigcup _{x\in K}Hx$. Comme les classes à droite suivant H sont identiques aux classes à gauche, ceci peut s'écrire $HK=\bigcup _{x\in K}xH=KH$. Ainsi, HK = KH. Nous avons vu (dans un exercice de la série Groupes, premières notions) que, de façon générale, si A et B sont deux sous-groupes de G tels que AB = BA, alors AB est un sous-groupe de G ; c’est évidemment le sous-groupe de G engendré par $A\cup B$, d'où le point 1° de l'énoncé. Supposons que K soit lui aussi distingué dans G et prouvons que HK est distingué dans G. Pour tout élément g de G, nous avons g(HK)g^-1 = (gHg^-1)(gKg^-1) = HK, d'où la thèse.

Remarque. Soient G un groupe commutatif noté additivement, H et K des sous-groupes de G. Puisque G est commutatif, H et K sont distingués dans G, donc, d’après ce qui précède, le sous-groupe de G engendré par H et K est l’ensemble H + K des éléments de G de la forme h + k, avec h dans H et k dans K. Cela peut évidemment se démontrer plus directement.

Proposition

Soit $f:G_{1}\rightarrow G_{2}$ un homomorphisme de groupes.

a) Si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de f(G₁) ; cela équivaut à dire que si f est surjectif, si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de G₂.

b) Si K est un sous-groupe distingué de $G_{2}$, alors $f^{-1}(K)$ est un sous-groupe distingué de G₁.

c) Si K est un sous-groupe de G₂, si f est surjectif, alors K est distingué dans G₂ si et seulement si $f^{-1}(K)$ est distingué dans $G_{1}$.

d) Si H est un sous-groupe de G₁, si f est un isomorphisme, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans G₂.

e) Plus généralement, si H est un sous-groupe de G₁, si f est injectif, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans f(G₁).

Démonstration

a) Soit y un élément de $f(G_{1})$. Il s'agit de prouver que $yf(H)y^{-1}\subseteq f(H)$. Soit h un élément de H ; il s'agit de prouver que $yf(h)y^{-1}\in f(H)$. Puisque y appartient à $f(G_{1})$, il existe un élément x de $G_{1}$ tel que y = f(x), donc

$(1)\quad yf(h)y^{-1}=f(x)f(h)f(x)^{-1}=f(xhx^{-1})$. Comme H est distingué dans $G_{1}$, $xhx^{-1}\in H$, donc $f(xhx^{-1})\in f(H)$, autrement dit, d’après (1), $yf(h)y^{-1}\in f(H)$, comme annoncé.

Remarque : si f n’est pas surjectif, f(H) n’est pas forcément sous-groupe distingué de $G_{2}$. (Prendre par exemple un sous-groupe A non distingué d’un groupe B, poser $G_{1}=H=A$ et $G_{2}=B$, prendre pour f l'injection canonique $x\mapsto x$ de $G_{1}=A$ dans $G_{2}=B$.)

b) $f^{-1}(K)$ est un sous-groupe de $G_{1}$ d’après la leçon précédente.

Soient $x\in G_{1}$ et $h\in f^{-1}(K)$.

$f(xhx^{-1})=f(x)f(h)f(x^{-1})\in K$ car f(h) est dans K et K est distingué dans $G_{2}$.

Donc $xhx^{-1}\in f^{-1}(K)$.

c) Soit K un sous-groupe de G₂ et supposons f surjectif. Nous savons par le point b) que si K est distingué dans G₂, alors $f^{-1}(K)$ est distingué dans G₁. Réciproquement, si $f^{-1}(K)$ est distingué dans G₁, alors, d’après le point a) (et compte tenu que f est surjectif), $f(f^{-1}(K))$ est distingué dans G₂ ; puisque f est surjectif, $f(f^{-1}(K))$ est égal à K, donc K est distingué dans G₂.

d) On peut appliquer le point c) à l'isomorphisme réciproque de f.

Remarque : si au lieu de supposer que f est un isomorphisme, on suppose seulement que c’est un homomorphisme surjectif, l'énoncé d) n'est plus vrai. (Prendre un groupe G₁ admettant un sous-groupe non normal H, prendre pour G₂ un groupe réduit à l'élément neutre et considérer l'unique homomorphisme de G₁ sur G₂.)

e) Appliquer le point d) à l'isomorphisme x ↦ f(x) de G₁ sur f(G₁) induit par f

 

.

Corollaire 1

Le noyau d’un homomorphisme de groupes est un sous-groupe distingué du groupe de départ.

Démonstration

Ce noyau est l’image réciproque de {e}, qui est distingué. L'énoncé résulte donc du point b) de la proposition précédente.

 

Nous verrons dans la suite de ce chapitre que, réciproquement, tout sous-groupe distingué d’un groupe G est le noyau d’un homomorphisme de groupes partant de G.

Corollaire 2

Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. Si H est contenu dans le normalisateur N_G(K) (ce qui est le cas, par exemple, si K est sous-groupe distingué de G), $H\cap K$ est sous-groupe distingué de H.

Démonstration

Quitte à remplacer G par N_G(K), nous pouvons supposer que K est sous-groupe distingué de G. Dans la précédente proposition, point b), prenons pour G₁ le groupe H, pour G₂ le groupe G et pour f l'inclusion $x\mapsto x$ de H dans G, qui est évidemment un homomorphisme. Nous trouvons que $f^{-1}(K)$, c'est-à-dire $H\cap K$, est un sous-groupe distingué de G₁, c'est-à-dire de H. (On peut évidemment donner une démonstration plus directe.)

Remarque. Nous retrouverons ceci dans le second théorème d'isomorphisme.

 

Notion de groupe simple

Définition

Un groupe simple est un groupe non réduit à son neutre e et qui n'a que {e} et lui-même comme sous-groupes distingués.

Exemples :

• ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ avec p premier est simple (il n'a pas de sous-groupe autre que lui-même et que son sous-groupe nul). Ce sont les groupes abéliens simples. (On le démontrera au chapitre sur les groupes monogènes.)
• Le groupe alterné A_n est simple pour n = 3 ou n ≥ 5. (Nous le verrons dans un des chapitres suivants.)
• Toutes les structures de groupes simples finis ont été classées à peu près entre 1955 et 1983 ; voir les articles de Wikipédia en français et anglais.

Définition d’un groupe quotient

Rappelons que, de façon générale, si X et Y sont deux parties d’un groupe G noté multiplicativement, on désigne par XY l’ensemble des produits xy, où x parcourt X et y parcourt Y. On définit ainsi une loi de composition associative (vérification facile) dans l’ensemble des parties de G. Si X (par exemple) est réduit à un seul élément x, on écrit aussi xY (notation déjà rencontrée) au lieu de {x}Y.

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G.

Montrons que si X et Y sont deux classes d'éléments de G suivant H, XY en est une aussi. (Rappel : il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite, puisque le sous-groupe H est distingué.)
Il existe des éléments x et y de G tels que X soit la classe de x suivant H et Y la classe de y. Nous avons alors XY = (Hx)(yH) = H(xy)H; comme H est distingué, nous pouvons remplacer H(xy) par (xy)H et nous trouvons XY = xyHH. Mais HH = H (puisque H est un sous-groupe de G), donc la relation obtenue peut s'écrire XY = xyH, ce qui montre bien que XY est une classe suivant H (et, plus particulièrement, la classe de xy).

De ce qui précède, il résulte qu'en faisant correspondre à une classe X et une classe Y l’ensemble XY, nous définissons une loi de composition $\star$ dans l’ensemble des classes suivant H et que cette loi peut être caractérisée par la relation

$xH\star yH=(xy)H$.

Prouvons que cette loi est une loi de groupe. Elle est associative, car elle est induite par une loi de composition associative définie dans l’ensemble des parties de G (voir plus haut). Il est clair que H est une classe suivant H, à savoir la classe 1H du neutre 1; la règle $xH\star yH=(xy)H$, notée plus haut, montre donc que H est neutre à gauche (faire $x=1$) et à droite (faire $y=1$); ainsi, H est neutre pour notre loi $\star$. Enfin, la règle $xH\star yH=(xy)H$ donne $xH\star x^{-1}H=H$ et aussi $x^{-1}H\star xH=H$, ce qui montre que la classe xH admet la classe $x^{-1}H$ pour inverse.
Nous avons donc défini une loi de groupe dans l’ensemble des classes d'éléments de G suivant H.

Définition

Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. L'ensemble des classes d'éléments de G suivant H est désigné par G/H (ou encore par ${\frac {G}{H}}$). Le groupe obtenu en munissant G/H de la loi de composition $X\star Y=XY$, loi qu'on peut encore caractériser par $xH\star yH=(xy)H$, est appelé le groupe quotient de G par H.

En général, dans une expression comportant le symbole /, tout autre symbole d'opération entre groupes est censé avoir la précédence sur /. Par exemple, $G/H\cap K$ signifie $G/(H\cap K)$; de même, si H et K sont des sous-groupes de G tels que HK soit lui aussi un sous-groupe de G, l'expression G/HK signifie G/(HK). Il nous arrivera cependant d'utiliser des parenthèses que cette convention rend théoriquement inutiles.

La relation

$xH\star yH=(xy)H$.

montre que la surjection $x\mapsto xH$ de G sur G/H est un homomorphisme de groupes, dit homomorphisme canonique, ou surjection canonique, de G sur G/H (on trouve également les appellations projection canonique, application canonique et bien sûr morphisme canonique).

Il est clair que le noyau de cet homomorphisme est H, ce qui montre que tout sous-groupe distingué d’un groupe G est noyau d’un homomorphime de groupes partant de G.

Remarque : pour prouver que la loi définie sur l’ensemble des classes est une loi de groupe et la surjection canonique un homomorphisme de groupes, nous aurions pu dire brièvement que la relation

$xH\star yH=(xy)H$.

montre que la surjection $x\mapsto xH$ de G sur l’ensemble des classes est un homomorphisme de magmas; or si $f:M_{1}\rightarrow M_{2}$ est un homomorphisme surjectif de magmas et que $M_{1}$ est un groupe, alors $M_{2}$ est un groupe et f est un homomorphisme de groupes.

Début d’un théorème

Petit fait à noter

Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et X une partie de G. Si f désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H,

$\ f^{-1}(f(X))=XH.$

En particulier, si K est un sous-groupe de G contenant H,

$\ f^{-1}(f(K))=K.$

Fin du théorème

Démonstration

Un élément y de G appartient à $\ f^{-1}(f(X))$ si et seulement s'il existe un élément x de X tel que f(y) = f(x), ou encore yH = xH, ce qui équivaut à ce que y appartienne à la classe de x modulo H. Donc $\ f^{-1}(f(X))$ est la réunion des classes modulo H des éléments de X, autrement dit, c’est XH. (L'énoncé est en fait un cas particulier de celui-ci : si E est un ensemble, R une relation d'équivalence dans E et X une partie de E, si f désigne l’application canonique de E sur l’ensemble des classes d'équivalence suivant R, alors $\ f^{-1}(f(X))$ est la réunion des classes des éléments de X.)

 

Sous-groupes d’un groupe quotient

Si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, si K est un sous-groupe de G contenant H, on vérifie facilement que l’image de K par l'homomorphisme canonique de G sur G/H est K/H, qui est donc un sous-groupe de G/H. Le théorème qui suit entraîne, entre autres choses, que tout sous-groupe de G/H s'obtient de cette façon.

Début d’un théorème

Théorème de correspondance

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); en particulier, f applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H.

Fin du théorème

Démonstration

Désignons par p l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Pour tout sous-groupe K de G contenant H, nous avons donc, comme noté plus haut, K/H = p(K), autrement dit f(K) = p(K). Comme noté plus haut également, K/H est un sous-groupe de G/H, donc l’application f est correctement définie. Prouvons que c’est une bijection. Soit L un sous-groupe de G/H; alors p^-1(L) est un sous-groupe de G contenant H; c’est un sous-groupe de G parce que « l’image réciproque d’un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe », quant à la relation H ≤ p^-1(L), elle équivaut à p(H) ≤ L, ce qui est vrai, car le premier membre est égal à {H}, autrement dit au sous-groupe de G/H réduit à l'élément neutre et est donc bien contenu dans L. Nous pouvons donc définir une application g : L ↦ p^-1(L) de Sub(G/H) dans Sub(G, H). Prouvons que les applications f et g sont réciproques. Si K est un sous-groupe de G contenant H, alors p^-1(p(K)) est égal à K d’après une remarque faite plus haut. Ceci montre que g ∘ f est la transformation identique de Sub(G, H). D'autre part, si L est un sous-groupe de G/H, alors p(p^-1(L)) = L; cela résulte du seul fait que p est une application surjective. Donc f ∘ g est la transformation identique de Sub(G/H). Il résulte de ce qui précède que f : K ↦ K/H est une bijection de Sub(G, H) sur Sub(G/H) et que sa réciproque est l’application f^-1 : L ↦ p^-1(L).

Prouvons que f est un isomorphisme d'ensembles ordonnés (par inclusion). Il s'agit de prouver que f et f^-1 sont toutes deux croissantes. Si K₁ et K₂ sont des éléments de Sub(G, H) tels que K₁ soit contenu dans K₂, alors p(K₁) est contenu dans p(K₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f(K₁) est contenu dans f(K₂), donc f est croissante. Si L₁ et L₂ sont des éléments de Sub(G/H) tels que L₁ soit contenu dans L₂, alors p^-1(L₁) est contenu dans p^-1(L₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f^-1(L₁) est contenu dans f^-1(L₂), ce qui montre que f^-1 est croissante. Donc f est bien un isomorphisme d'ensembles ordonnés.

Soient K et L des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L. Prouvons que K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). Par définition, cela revient à dire que K est normal dans L si et seulement si p(K) est normal dans p(L). Si q désigne l'homomorphisme canonique de L sur L/H, cela revient encore à dire que K est normal dans L si et seulement si q(K) est normal dans L/H (car p(K) = q(K) et p(L) = q(L) = L/H). Si tout d’abord K est normal dans L, alors, d’après une précédente proposition (et compte tenu que l'homomorphisme q est surjectif), q(K) est normal dans L/H. Réciproquement, supposons q(K) normal dans L/H. Alors, d’après une précédente proposition, q^-1(q(K)) est normal dans L; or, du fait que K contient H, il résulte, comme noté plus haut, que q^-1(q(K)) est égal à K, donc K est normal dans L. Nous avons donc bien prouvé que si K et L sont des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). On obtient la dernière assertion de l'énoncé en faisant L = G.

 

Corollaire

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. L'application $K\mapsto K/H$ est un isomorphisme de l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de G contenant H sur l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de G/H; en particulier, c’est une bijection.

Sous-groupes normaux maximaux

Définition

Soit G un groupe. Un élément maximal (relativement à l'inclusion) de l’ensemble des sous-groupes distingués propres de G est appelé un sous-groupe distingué maximal de G, ou encore un sous-groupe normal maximal de G.

Un sous-groupe normal maximal de G est donc un sous-groupe normal propre M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe normal N de G tel que M < N < G.

Par exemple, un groupe est simple si et seulement si son sous-groupe réduit à l'élément neutre est un sous-groupe normal maximal (et est alors évidemment le seul). Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupe normal maximal. Dans un groupe fini, tout sous-groupe normal propre est contenu dans un sous-groupe normal maximal; en effet, si H est un sous-groupe normal propre d’un groupe fini G, on peut, dans l’ensemble non vide des sous-groupes normaux propres de G contenant H, en considérer un dont l’ordre est le plus grand possible (d'ailleurs, tout ensemble ordonné fini non vide admet un élément maximal). En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe normal maximal (dans ce qui précède, prendre pour H le sous-groupe normal propre 1).

On déduit facilement du théorème de correspondance ci-dessus, ou de son corollaire, que si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, alors H est sous-groupe normal maximal de G si et seulement si le groupe quotient G/H est simple.

Les trois théorèmes d'isomorphisme

Soit $f:G\rightarrow H$ un homomorphisme de groupes. Nous désignerons par K = Ker(f) le noyau de f et par Im(f) son image $f(G)$. Si deux éléments x et y de G appartiennent à une même classe suivant Ker(f), ils ont la même image par f, donc pour toute classe X, il existe un et un seul élément z de Im(f) possédant la propriété suivante : $\forall x\in X,z=f(x)$. Si à chaque classe X, nous faisons correspondre cet élément z, nous définissons une application ${\tilde {f}}:G/Ker(f)\rightarrow Im(f)$ telle que, pour tout $x\in X$, $(1)\quad {\tilde {f}}(xKer(f))=f(x)$. Pour tous éléments x, y de G, ${\tilde {f}}((xK)(yK))={\tilde {f}}(xyK)=f(xy)=f(x)f(y)={\tilde {f}}(xK){\tilde {f}}(yK)$, donc ${\tilde {f}}$ est un homomorphisme de G/Ker(f) dans H.
La relation (1) montre que ${\tilde {f}}$ (qui a Im(f) pour groupe d'arrivée) est surjectif : tout élément de Im(f) est image d’un certain x par f et est donc image de l'élément xK de G/Ker(f) par ${\tilde {f}}$.
La même relation (1) montre que si ${\tilde {f}}(xK)=1$, alors f(x) = 1, donc $x\in Ker(f)$, donc xK est l'élément neutre K du groupe G/K. Ainsi, le seul élément du noyau de ${\tilde {f}}$ est l'élément neutre, donc ${\tilde {f}}$ est injectif et, finalement, est un isomorphisme de G/Ker(f) sur Im(f).
Nous avons ainsi prouvé le

Début d’un théorème

Premier théorème d'isomorphisme

Soit $f:G\rightarrow H$ un homomorphisme de groupes. Le groupe quotient G/Ker(f) et le groupe Im(f) sont isomorphes. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme ${\tilde {f}}$ de G/Ker(f) sur Im(f) qui, pour tout élément x de G, applique la classe de x suivant Ker(f) sur f(x).

Fin du théorème

On tire facilement du premier théorème d'isomorphisme que si $G$ et $H$ sont des groupes, alors il existe un homomorphisme surjectif de $G$ sur $H$ si et seulement si $H$ est isomorphe à un quotient de $G.$ (Voir les exercices.) Au lieu de dire que $H$ est isomorphe à un quotient de $G$, on dit souvent (abusivement) que $H$ est un quotient de $G$. Puisque le composé de deux homomorphismes surjectifs est un homomorphisme surjectif, on tire facilement de ce qui précède que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B)

Dans les hypothèses du premier théorème d'isomorphisme, désignons par p l'homomorphisme canonique de G sur G/Ker(f) et par i l'injection canonique $x\mapsto x$ de Im(f) dans H (i est évidemment un homomorphisme). Alors f se décompose en $i\circ {\tilde {f}}\circ p$.

Il résulte du premier théorème d'isomorphisme et de la relation $\vert G\vert =\vert G:K\vert \cdot \vert K\vert$ que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G, $\vert G\vert =\vert Im(f)\vert \cdot \vert Ker(f)\vert$. En particulier, l’ordre de Im(f) divise celui de G.

Début d’un théorème

Second théorème d'isomorphisme

Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. On suppose que K normalise H (ce qui est le cas par exemple si H est distingué dans G). Alors $H\cap K$ est un sous-groupe distingué de K et $K/(H\cap K)$ est isomorphe à $\ HK/H$. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme f de $K/(H\cap K)$ sur $\ HK/H$ tel que, pour tout élément x de K, $f(x(H\cap K))=xH$.

Fin du théorème

Démonstration

Dire que K normalise H revient à dire que K est contenu dans N_G(H). Donc, quitte à remplacer G par N_G(H), nous pouvons supposer que H est distingué dans G. Soit $\varphi :G\rightarrow G/H$ l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Désignons par $\psi$ la restriction de $\varphi$ à K. Le noyau de $\psi$ est $H\cap K$, qui est donc un sous-groupe distingué de K. (Nous l'avons déjà démontré autrement plus haut.) L'image de $\psi$ est l’ensemble des classes d'éléments de K suivant H et il est clair que cet ensemble est le sous-groupe $\ HK/H$ de G/H. L'énoncé résulte donc du premier théorème d'isomorphisme appliqué à l'homomorphisme $\psi$.

 

Début d’un théorème

Troisième théorème d'isomorphisme

Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, K un sous-groupe distingué de G contenant H; donc :

H ⊴ K ⊴ G et H ⊴ G.

Alors K/H est un sous-groupe distingué de G/H et (G/H)/(K/H) est isomorphe à G/K.

Fin du théorème

Démonstration

Nous savons déjà que K/H est un sous-groupe distingué de G/H (voir la section sous-groupes d’un groupe quotient). Toute classe X de G suivant H est contenue dans une et une seule classe suivant K. En effet, X est de la forme xH avec x dans G, donc X est contenue dans la classe xK suivant K; la classe suivant K qui contient X est unique, puisque deux classes suivant K non disjointes sont égales. À toute classe X suivant H, faisons correspondre l'unique classe suivant K qui contient X. Nous définissons ainsi une application f de G/H dans G/K telle que, pour tout élément x de G, f(xH) = xK. Il est clair que f est un homomorphisme surjectif et que son noyau est K/H (ce qui prouve de nouveau que ce sous-groupe est distingué dans G/H). L'énoncé en résulte, d’après le premier théorème d'isomorphisme.

 

Remarque. D'après le théorème de correspondance, l'hypothèse selon laquelle K est normal dans G équivaut (dans les hypothèses du théorème ci-dessus) à ce que K/H soit normal dans G/H. Le troisième théorème d'isomorphisme montre donc que tout quotient d'un quotient d'un groupe G est isomorphe à un quotient de G. On en tire facilement que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B), ce qu'on a d'ailleurs déjà déduit du premier théorème d'isomorphisme.

Voici un théorème qui est dans une certaine mesure plus fort et dans une certaine mesure plus faible que le premier théorème d'isomorphisme.

Début d’un théorème

Variante du premier théorème d'isomorphisme

Soient $f:G\rightarrow H$ un homomorphisme de groupes, K = Ker(f) le noyau de f et Im(f) son image $f(G)$. Soit, de plus, L un sous-groupe normal de G contenu dans K = Ker(f). Il existe un (et un seul) homomorphisme g de G/L dans H tel que, pour tout élément x de G, on ait g(xL) = f(x). Autrement dit, il existe un (et un seul) homomorphisme g de G/L dans H tel que $f=g\circ \varphi$, où $\varphi$ désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/L.
Autre forme de cet énoncé : soient G et H des groupes, soit L un sous-groupe normal de G, soit $\varphi$ l'homomorphisme canonique de G sur G/L; alors $g\to g\circ \varphi$ définit une bijection de Hom(G/L, H) sur l'ensemble des homomorphismes de G dans H dont le noyau contient L.

Fin du théorème

Démonstration

On peut soit généraliser la démonstration du premier théorème d'isomorphisme, soit composer $G/N\rightarrow G/K\rightarrow H$, où l'homomorphisme $G/N\rightarrow G/K$ est défini comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, et où l'homomorphisme $G/K\rightarrow H$ est défini comme dans la démonstration du premier théorème d'isomorphisme.

 

Remarque. Faisons les mêmes hypothèses que dans le troisième théorème d'isomorphisme, sauf que nous ne supposons plus que le sous-groupe K de G est normal dans G. Donc :

H ⊴ G et H ⊴ K ≤ G.

Désignons par G/K l’ensemble des classes à gauche de G suivant K. (Donc ici, G/K ne désigne pas un groupe.) Comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, on prouve qu’il existe une et une seule application h de G/H sur G/K telle que, pour tout x dans G,

h(xH) = xK.

La relation d'équivalence (en X et Y dans G/H) « h(X) = h(Y) » équivaut à ce que X et Y appartiennent à la même classe à gauche du groupe G/H suivant son sous-groupe K/H (démontré dans Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient). L'application déduite de h par passage au quotient par cette relation d'équivalence est une bijection de l'ensemble (G/H)/(K/H) (ensemble des classes à gauche de G/H suivant K/H) sur l’ensemble G/K. (Le troisième théorème d'isomorphisme revient à dire que si K est normal dans G, la bijection en question est un isomorphisme de groupes.) Il en résulte qu'on a la relation entre indices :

[(G/H) : (K/H)] = [G:K].

Ce fait et le troisième théorème d'isomorphisme amènent certains auteurs à énoncer le théorème de correspondance sous la forme plus complète que voici :

Début d’un théorème

Théorème de correspondance (forme plus complète)

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors l'indice de f(K) dans f(L) est égal à l'indice de K dans L; de plus, K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); f(L)/f(K) est alors isomorphe à L/K. En particulier, f applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H.

Fin du théorème

Une conséquence de la formule du produit

Début d’un théorème

Théorème

Soient G un groupe, H₁, …, H_n des sous-groupes distingués de G. L'ordre du sous-groupe H₁ … H_n de G divise le produit des ordres des H_i (1 ≤ i ≤ n).

Fin du théorème

Démonstration

Récurrence facile sur n, compte tenu de la formule du produit et du fait que, les H_i étant des sous-groupes distingués de G, chaque ensemble H₁ … H_i est un sous-groupe de G.