Leçons de niveau 14

Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Facteur de Boltzmann

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Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Facteur de Boltzmann
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Conséquence du champ de pression de l'atmosphère isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme sur la répartition statistique des molécules d’air en équilibre à une température donnée[modifier | modifier le wikicode]

Rappel du champ de pression de l'atmosphère isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Le champ de pression dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre galiléen s'écrit, au point d'altitude l'axe vertical étant ascendant et le point de la surface du globe situé à la verticale du point ,

«» [1] avec « la pression à l'altitude nulle »,
« la masse molaire moléculaire de l'air » [2],
« l'intensité de la pesanteur terrestre » et
« la constante molaire des G.P.[3] approximativement égale à » ;

     en introduisant « la constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température » [4], le champ de pression peut être réécrit selon

«» [5] traduisant une exponentielle de quand .

Expression de la densité volumique molaire des molécules d'air en fonction de l'altitude[modifier | modifier le wikicode]

     Nous déterminons tout d'abord le champ de masse volumique de l'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre galiléen à partir du champ de pression «» en utilisant la forme locale de l'équation d'état de la particule d'atmosphère isotherme en équilibre thermodynamique à la température centrée au point [6] d'altitude faisant intervenir les deux paramètres locaux dépendant de à savoir « la pression et la masse volumique » c.-à-d. «» [7] dont nous déduisons «» ainsi que la même relation appliquée à l'altitude nulle «» d'où le champ de masse volumique de l'air en multipliant de part et d'autre le champ de pression par ,

«» ou encore,

     avec « la constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température » [4], la réécriture du champ de masse volumique de l'air selon

«» traduisant une exponentielle de quand puis

     Nous déterminons le champ de densité volumique molaire «» des molécules d'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température précédemment considéré à partir du champ de masse volumique de l'air «» en utilisant «» [8] ainsi que «» d'où le champ de densité volumique molaire des molécules d'air en divisant de part et d'autre le champ de masse volumique par ,

«» ou encore,

     avec « la constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température » [4], la réécriture du champ de densité volumique molaire des molécules d'air selon

«» traduisant une exponentielle de quand .

Expression de la densité volumique moléculaire de l'air en fonction de l'altitude et réécriture en n'utilisant que des grandeurs d'échelle moléculaire[modifier | modifier le wikicode]

     Nous déterminons le champ de densité volumique moléculaire «» de l'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre galiléen à partir de celui de densité volumique molaire «» des molécules d'air dans le modèle de l'atmosphère précédemment considéré en utilisant le lien entre les deux densités volumiques à l'altitude «» ainsi qu'à l'altitude nulle «» dans lequel « est la constante d'Avogadro » [9] d'où le champ de densité volumique moléculaire des molécules d'air en multipliant de part et d'autre le champ de densité volumique molaire par ,

«» ;

     il reste à transformer l'argument de l'exponentielle «» de façon à remplacer les grandeurs molaires par des grandeurs moléculaires c.-à-d. remplacer

  • la « masse molaire moyenne de l'air » par la « masse moléculaire moyenne de l'air [10] [11] » mais aussi
  • la « constante molaire des G.P. [3] » par une constante d'échelle moléculaire appelée « constante de Boltzmann [12] égale à » [13] ;

     ainsi «» devient, en divisant haut et bas par , «» et permet de réécrire le champ de densité volumique moléculaire des molécules d'air selon

«» dans lequel,
  • «» représente l'« énergie potentielle de pesanteur d'une molécule d'air située à l'altitude » sa référence [14] étant choisie à l'altitude nulle et
  • « l'énergie d'échelle de la variation de la densité volumique moléculaire de l'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température » c.-à-d. la variation d'énergie potentielle de pesanteur d'une molécule d'air située à l'altitude pour laquelle la densité volumique moléculaire locale est divisée par la « constante de Neper [15] »,

     soit la réécriture du champ de densité volumique moléculaire des molécules d'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre galiléen selon

«»

     ce qui définit la répartition volumique statistique des molécules d'air de l'atmosphère terrestre quand elles sont en équilibre thermodynamique à la température fixée suivant leur « énergie potentielle de pesanteur individuelle ».

Notion de facteur de Boltzmann de l'atmosphère isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et interprétation[modifier | modifier le wikicode]

     Comme nous venons de l'établir précédemment « dans le modèle de l'atmosphère terrestre en équilibre isotherme à la température dans le champ de pesanteur uniforme, modèle de G.P. [3] composé de molécules identiques de masse , macroscopiquement immobiles dans le référentiel terrestre galiléen, pouvant occuper individuellement les niveaux d'énergie mécanique macroscopique quand elles sont à l'altitude », les molécules d'air se répartissent selon

une densité volumique moléculaire au facteur «»,
ce facteur étant appelé « facteur de Boltzmann [12] de l'atmosphère isotherme »,

     c.-à-d. le « facteur de Boltzmann [12] d’un système de molécules en équilibre thermodynamique à la température », « chaque molécule pouvant individuellement occuper les niveaux d'énergie ».

     Remarques : Le nombre de molécules présentes dans un « cylindre élémentaire de section droite d'aire à l'altitude et de hauteur » s'évalue selon « ou encore » soit, avec « représentant le nombre de molécules présentes dans un cylindre élémentaire de même volume mais situé au niveau du sol noté »,

«» d'où

           Remarques : l'expression du « nombre relatif de molécules situées à l'altitude par rapport à celui des molécules situées au niveau du sol »

«» c.-à-d.
une signification quantitative du facteur de Boltzmann [12] ;

           Remarques : le facteur de Boltzmann [12] traduit donc l'occupation relative des niveaux d’énergie, plus ce facteur est petit, plus faible est le nombre de molécules occupant le niveau d’énergie correspondant.

     Remarques : Supposant connu le nombre total de molécules présentes dans un « cylindre de section droite d'aire , de base au niveau du sol et de hauteur infinie » «[16] » soit, avec », «[16] » «[16] » d'où la réécriture du nombre de molécules présentes dans un « cylindre élémentaire de section droite d'aire à l'altitude et de hauteur »

«[16] » d'où
la proportion relative de molécules se trouvant à l'altitude à près [17]
«[16] »,

           Remarques : cette proportion traduisant aussi la « probabilité pour qu'une molécule du cylindre de section droite d'aire , de base au niveau du sol et de hauteur infinie soit à l'altitude à près »

«» avec
«[16]
la densité linéique de probabilité d'altitude » [18] ;

           Remarques : conséquence : de «[16] » nous déduisons que le facteur de Boltzmann [12] définit la « densité linéique de probabilité pour qu'une molécule ait l'énergie potentielle de pesanteur» au « facteur de normalisation [16] près » le facteur de normalisation étant nécessaire pour que la probabilité sur le cylindre complet, à savoir «», soit « égale à ».

Généralisation (admise) de la notion de facteur de Boltzmann à un système d'entités en équilibre à une température fixée[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Dans l'énoncé précédent, une entité peut être une molécule, un ion, un atome, une particule élémentaire ou tout assemblage microscopique individuel pouvant se retrouver à constituer un système macroscopique ou mésoscopique d'individualités en équilibre thermodynamique à une certaine température

1er autre exemple, molécules libres confinées dans une expansion tridimensionnelle rigide et en équilibre à une température donnée, répartition statistique de Maxwell-Boltzmann[modifier | modifier le wikicode]

Facteur de Boltzmann d'un système de molécules libres confinées dans une expansion tridimensionnelle rigide et en équilibre à une température donnée[modifier | modifier le wikicode]

     Considérons un système de molécules identiques, de masse individuelle , libres [19], macroscopiquement immobiles et confinées dans une expansion tridimensionnelle rigide [20] liée à un référentiel d'étude galiléen et
     sachant qu'une molécule quelconque de vecteur vitesse d'agitation thermique à un instant quelconque dans tel que [21] l'applicabilité de la cinétique classique [22], a, pour seule énergie non nulle, son « énergie cinétique microscopique d'agitation thermique » [23], nous admettons que

     les molécules de niveaux individuels d'énergie «», se répartissent, dès lors qu'elles constituent un système en équilibre thermodynamique à la température ,

proportionnellement au « facteur de Boltzmann [12] »
dans lequel « est la constante de Boltzmann » [12] et
« l'énergie d'échelle de variation de la densité volumique moléculaire du système en équilibre thermodynamique à la température ».

Interprétation du facteur de Boltzmann du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Le « système de molécules libres confinées dans une étendue tridimensionnelle de volume fixé » constitue un « système dynamique [24] classique au sens de “ non quantique ” à degrés de liberté » étant le nombre de molécules de l'étendue tridimensionnelle de volume fixé ;

     Préliminaire : si le « système de molécules libres confinées dans une étendue tridimensionnelle de volume fixé » est « en équilibre thermodynamique [25] à une température donnée », le nombre de degré de liberté du « système dynamique [24] classique au sens de “ non quantique ”» à l'échelle macroscopique se réduit à « trois » [26] ;

     Préliminaire : pour décrire un « système dynamique [24] classique au sens de “ non quantique ”» à « trois degrés de liberté », il est nécessaire de définir six « variables dynamiques du système » [27] le nombre de « variables dynamiques » [27] étant le double du nombre de degré de liberté du « système dynamique [24] classique au sens de “ non quantique ”» [28], ce sont trois « variables descriptives d'état » caractérisant l'état du système à un instant donné ainsi que trois « variables de modification d'état » permettant de prévoir l'état du système à un instant ultérieur[29] et pour concrétiser cela

          Préliminaire : pour décrire un « système dynamique classique au sens de “ non quantique ”» à « trois degrés de liberté », on définit « l'espace des phases du système dynamique [24] classique au sens de “ non quantique ”» [30], espace vectoriel à six dimensions dont chaque élément a pour composantes les trois « variables descriptives d'état » caractérisant l'état du système à un instant donné ainsi que les trois « variables de modification d'état » permettant de prévoir l'état du système à un instant ultérieur[29] mais

     Préliminaire : pour la description des niveaux d'énergie des entités du « système de molécules libres confinées dans une étendue tridimensionnelle de volume fixé en équilibre thermodynamique [25] à une température donnée », seules les trois « variables de modification d'état » permettant de prévoir l'état du système à un instant ultérieur[29] c.-à-d. les trois composantes du vecteur vitesse de la molécule considérée sont à prendre en compte, et par suite, seul le sous-espace de l'espace des phases de ce système dynamique [24] classique au sens de “ non quantique ”» [30] formé à partir de ces trois « variables de modification d'état » est utilisé, ce sous-espace de dimension trois étant appelé « espace des vitesses ».

     Interprétation du facteur de Boltzmann [12] du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée : ce facteur de Boltzmann [12] permet de définir « la probabilité pour qu'une molécule du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée ait pour vecteur vitesse une valeur fixée de l'espace des vitesses à [31], [32] près c.-à-d. » soit, en restant dans le cadre de la cinétique newtonienne, selon

«» [31] avec
« la masse d'une molécule » et « la température d'équilibre »,
«[13] étant la constante de Boltzmann » [12]
soit encore «» [31]
avec « constante de normalisation définie par » [33],
« étant l'expansion tridimensionnelle de l'espace des vitesses utilisée par les molécules du système »
c.-à-d. «» [31], [33] d'où
«» [31], [33] ;

           Interprétation du facteur de Boltzmann du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée : « la probabilité pour qu'une molécule du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée ait pour vecteur vitesse une valeur fixée de l'espace des vitesses à [31], [32] près c.-à-d. » s'identifie, par utilisation de la loi des grands nombres de la statistique, à la « proportion de molécules dont le vecteur vitesse a pour valeur fixée de l'espace des vitesses à [31], [32] près c.-à-d. [31] relativement au nombre total de molécules confinées c.-à-d. [31] » soit

«[31], [33] ».

Conséquence de l'« isotropie du facteur de Boltzmann du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée »[modifier | modifier le wikicode]

     Le facteur de Boltzmann [12] du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée ne dépendant que de la norme du vecteur vitesse et non de sa direction, il y a « isotropie de la répartition des vecteurs vitesses » c.-à-d. équiprobabilité des directions des vecteurs vitesses et le choix d’un repérage sphérique de l’espace des vitesses est bien adapté soit « » dans lequel «» [34], ce qui permet de réécrire la « proportion de molécules dont le vecteur vitesse a pour valeur fixée de l'espace des vitesses à [31], [32] près c.-à-d. [31] relativement au nombre total de molécules confinées » selon

«[31] » avec
«[33] constante de normalisation »

«[31], [33] »,
cette répartition statistique des vitesses étant connue sous le nom de « répartition de Maxwell-Boltzmann » [35], [12] ;

     de cette répartition statistique des vitesses du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée, on en déduit, en intégrant sur toutes les directions possibles du vecteur vitesse des molécules du système, la « proportion de molécules dont le vecteur vitesse a pour norme fixée de l'espace des vitesses à près c.-à-d. relativement au nombre total de molécules confinées » selon

«[31]
                                                                                                            » [36] avec
                                                «[36] constante de normalisation »

«» [37], [38] ;

     de la proportion de molécules dont le vecteur vitesse a pour norme fixée de l'espace des vitesses à près relativement au nombre total de molécules confinées on en déduit, par identification, conséquence de la validité de la loi des grands nombres, la « probabilité pour qu'une molécule du système ait pour norme de vecteur vitesse une valeur fixée de l'espace des vitesses à près c.-à-d. » soit, en restant dans le cadre de la cinétique newtonienne,

«» [38]

     dont on déduit la « densité de probabilité par unité de vitesse pour qu'une molécule du système ait pour norme de vecteur vitesse une valeur fixée »

«
avec » [38].

     Détermination de la constante : «» [38] se réécrit dans la pratique, «» [16] compte-tenu du fait qu'« il n’y a pas de molécules à vitesse relativiste » [39] ou,
     Détermination de la constante : en posant « », «» [16] nécessitant de calculer l'« intégrale généralisée [16] » ou, après une 1ère I.p.p. [40], «[16] » [41] c.-à-d. «[16] » cette dernière intégrale généralisée «[16] connue sous le nom d'intégrale de Gauss [42] est égale à » [43] d'où « [16] » ;
     Détermination de la constante : nous en déduisons «» [16] ou «» «».

     Conclusion : La « proportion de molécules libres confinées, de masse individuelle , dans une étendue de volume fixé, en équilibre à une température donnée, dont le vecteur vitesse a pour norme fixée de l'espace des vitesses à près c.-à-d. relativement au nombre total de molécules confinées » s'écrit

diagramme de densité de probabilité par unité de vitesse pour qu'une molécule libre de dihydrogène confinée dans une étendue de volume fixé, en équilibre à la température , ait pour norme de vecteur vitesse fixée, tracé en fonction de »
«» [44],

     Conclusion : c'est aussi, compte-tenu de l'utilisation de la loi des grands nombres, la « probabilité pour qu'une molécule libre confinée, de masse individuelle , dans une étendue de volume fixé, en équilibre à la température , ait pour norme de vecteur vitesse une valeur fixée de l'espace des vitesses à près c.-à-d. » soit

«»,

     Conclusion : dont on déduit la « densité de probabilité par unité de vitesse pour qu'une molécule libre confinée, de masse individuelle , dans une étendue de volume fixé, en équilibre à la température , ait pour norme de vecteur vitesse une valeur fixée »

«»
voir ci-contre pour des molécules de dihydrogène en équilibre à , « la vitesse la plus probable étant ».

Commentaires[modifier | modifier le wikicode]

     Dans l’exemple de l’atmosphère isotherme,
     dans le « 2ème autre exemple, molécules sous conformations différentes confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée » ainsi que
     dans le « 3ème autre exemple, atomes sous niveaux d'énergie différents confinés dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée »,
     les systèmes dépendent d’un « seul paramètre » [45], la répartition des entités se fait proportionnellement au facteur de Boltzmann [12] et comme ce dernier est maximal quand l’énergie individuelle de l'entité est minimale, c’est le niveau fondamental c.-à-d. le niveau où l’énergie individuelle est la plus faible qui est le plus peuplé.

     Par contre cette propriété n'est plus valable dans le cas du système de molécules libres, de masse individuelle , confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée, car la « proportion de molécules libres confinées dont le vecteur vitesse a pour norme fixée de l'espace des vitesses à près relativement au nombre total de molécules confinées » s'identifiant à la « probabilité pour qu'une molécule libre confinée ait pour norme de vecteur vitesse une valeur fixée de l'espace des vitesses à près » et la densité de probabilité par unité de vitesse associée étant maximale pour la vitesse la plus probable voir diagramme du paragraphe précédent à laquelle s'associe l'énergie cinétique individuelle , nous vérifions bien que l'état fondamental d'énergie cinétique individuelle nulle n'est pas le plus peuplé, « ce dernier étant l'état où les molécules ont l'énergie cinétique individuelle » ;

     Par contre cette propriété n'est plus valable dans le cas du système de molécules libres, l'une des raisons pour laquelle cette prorpriété n'est plus valable est que le système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée dépend de « trois paramètres » à savoir ou et par suite que « des états distints différents c.-à-d. à triplet ordonné de paramètres différents peuvent correspondent à un même niveau d'énergie cinétique individuelle » [46] quand un même niveau d'énergie correspond à des états distincts différents on dit que « ce niveau d'énergie est dégénéré » ;

     Par contre cette propriété n'est plus valable dans le cas du système de molécules libres, pour déterminer le peuplement des niveaux d’énergie, il faut tenir compte

  • du « facteur de Boltzmann [12] qui quand » mais aussi
  • du « degré de dégénérescence du niveau d'énergie caractérisé par le nombre d’états correspondant au niveau d’énergie envisagé qui quand » et

     Par contre cette propriété n'est plus valable dans le cas du système de molécules libres, on remarque que « la répartition commence parà partir du niveau fondamental car la du degré de dégénérescence des niveaux d’énergie prédomine sur la du facteur de Boltzmann [12] » puis
     Par contre cette propriété n'est plus valable dans le cas du système de molécules libres, on remarque que « la répartitionà partir du niveau associé à la vitesse la plus probable correspondant à une du facteur de Boltzmann [12] prédominante sur la du degré de dégénérescence des niveaux d’énergie » voir diagramme du paragraphe précédent.

     Détermination de la vitesse la plus probable d'un système de molécules libres, de masse individuelleconfinées dans une étendue de volume fixé, en équilibre à la température : « la vitesse la plus probable d'une molécule du système étudié » étant définie par «» avec «» [47] « » s'annulant pour d'où

«»

«»,
« étant l'énergie d'échelle du système » [48] ;

     Détermination de la vitesse la plus probable d'un système de molécules libres, pour un système de molécules de dihydrogène en équilibre à , l'énergie d'échelle [48] vaut « » [49] d'où l'énergie cinétique d'une molécule ayant la vitesse la plus probable «» soit, connaissant la masse d'une molécule de dihydrogène , «».

2ème autre exemple, molécules sous conformations différentes confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée, influence de la température sur la possibilité de conformation d'une molécule dans une expérience[modifier | modifier le wikicode]

2ème autre exemple, molécules sous conformations différentes confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée[modifier | modifier le wikicode]

Profil d'énergie d'une molécule à isomères de conformation différents en fonction du paramètre de conformation

     Considérons le profil d'énergie d'un type de molécules possédant différents isomères de conformation ou conformères possibles c.-à-d. la courbe de variation d’énergie potentielle de ce type de molécules à conformères différents en fonction du paramètre caractérisant l'isomère de conformation considéré paramètre dit « de conformation »,
     Considérons le profil d'énergie le paramètre « de conformation » sur le profil ci-contre étant le « paramètre angulaire » ;

     Considérons le profil d'énergie parmi tous les conformères possibles considérons les extrêmes :

  • « le plus stable » d'énergie potentielle de conformation «» [50] et
  • « le moins stable » d'énergie potentielle de conformation «» [50],

     Considérons le profil d'énergie la différence des niveaux d’énergie « étant notée » ;

     La densité volumique de conformères d'« énergie potentielle de conformation » étant le paramètre de conformation du conformère considéré du système de molécules sous conformations différentes confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à la température étant au « facteur de Boltzmann [12] correspondant à savoir » s'écrit

«»,
étant un facteur dépendant de la quantité totale de molécules et du volume de l'étendue ;                                                                                          

     nous en déduisons la proportion de conformères les plus stables relativement aux conformères les moins stables en faisant le rapport des densités volumiques correspondant soit

« car est »,
montrant que le niveau des conformères les plus stables est plus peuplé que le niveau des conformères les moins stables.

Influence de la température sur la possibilité de conformation d'une molécule dans une expérience[modifier | modifier le wikicode]

     Supposons que la « différence de niveaux d'énergie potentielle de conformation entre le conformère le plus stable et le moins stable soit », nous nous proposons d'étudier l'influence de la température sur le peuplement de ces deux niveaux en utilisant la propriété suivante

« plus la température est élevée, moins l'argument de l'exponentielle l'est et moins le rapport des densités volumiques l'est »

moins la surpopulation du conformère le plus stable est élevée relativement au moins stable » :

     à température ordinaire c.-à-d. «», l’énergie d’échelle valant «» [49] nous en déduisons « » soit «» d'où la conclusion

« on peut négliger les conformères les moins stables relativement aux plus stables à température ordinaire » [51] ;

     à haute température c.-à-d. «», l’énergie d’échelle valant «» [49] nous en déduisons « » soit «» d'où la conclusion

« bien que largement minoritaires les conformères les moins stables relativement aux plus stables restent en quantité notable à haute température » [52].

   Conséquence : Si une réaction entre cette molécule et d'autres réactifs se fait avec le conformère le moins stable mais est bloquée avec le conformère le plus stable , nous en déduisons que

« cette réaction ne pourra se produire qu'à haute température » par absence de conformères à température ordinaire.

3ème autre exemple, atomes sous niveaux d'énergie différents confinés dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée, influence de la température sur la possibilité d'excitation thermique d'un atome dans une expérience[modifier | modifier le wikicode]

3ème autre exemple, atomes sous niveaux d'énergie différents confinés dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée[modifier | modifier le wikicode]

     Considérons le profil d'énergie des atomes d'hydrogène non représenté, les niveaux d’énergie mécanique d'interaction électron - noyau étant quantifiés de valeur «» [53] où l’énergie du niveau fondamental vaut «» [54], [53] la quantification des niveaux d'énergie conduit à un profil d'énergie c.-à-d. la courbe de variation d’énergie mécanique des atomes d'hydrogène en fonction du « nombre quantique principal » composé de raies, le « nombre quantique principal » étant le paramètre « d'excitation » des atomes, en abscisse sur le profil d'énergie non représenté ;

     Considérons le profil d'énergie des atomes d'hydrogène, parmi tous les niveaux d'énergie possibles considérons le niveau fondamental et le 1er niveau excité ci-dessous figure aussi le 2nd niveau excité pour information :

  • « niveau fondamental » d'énergie mécanique «» [54], [53],
  • « 1er niveau excité » d'énergie mécanique «» [54], [53] et
  • « 2nd niveau excité » d'énergie mécanique «» [54], [53]

     Considérons le profil d'énergie des atomes d'hydrogène, la différence d'énergie entre le 1er niveau excité et le niveau fondamental « valant » [54].

     La densité volumique d'atomes d'hydrogène au niveau excité d'« énergie » [55] du système d'atomes sous tous les états d'excitation possibles [55] dans une étendue de volume fixé et en équilibre à la température étant au « facteur de Boltzmann [12] correspondant à savoir » s'écrit

«»,
étant un facteur dépendant de la quantité totale d'atomes et du volume de l'étendue ;

     nous en déduisons la proportion d'atomes dans l'état fondamental relativement aux atomes du 1er niveau excité en faisant le rapport des densités volumiques correspondant soit

« car [54] est »,
montrant que le niveau fondamental des atomes d'hydrogène est plus peuplé que le 1er niveau excité [56].

Influence de la température sur la possibilité d'excitation thermique d'un atome dans une expérience[modifier | modifier le wikicode]

     Nous nous proposons d'étudier l'influence de la température sur le peuplement du 1er niveau excité relativement à celui du niveau fondamental en utilisant la propriété suivante

« plus la température est élevée, moins l'argument de l'exponentielle l'est et moins le rapport des densités volumiques l'est »

moins la surpopulation du niveau fondamental est élevée relativement au 1er niveau excité » :

     à température ordinaire c.-à-d. «», l’énergie d’échelle valant «» [49] nous en déduisons « » soit «» d'où la conclusion

« on peut négliger les atomes du 1er niveau excité relativement à ceux du niveau fondamental à température ordinaire » [57] ;

     à température élevée c.-à-d. «», l’énergie d’échelle valant «» [49] nous en déduisons « » soit «» d'où la conclusion

« on peut encore négliger les atomes du 1er niveau excité relativement à ceux du niveau fondamental à température élevée » [58] ;

     à température très élevée [59] c.-à-d. «», l’énergie d’échelle valant «» [49] nous en déduisons « » soit «» d'où la conclusion

« bien que largement minoritaires les atomes du 1er niveau excité relativement à ceux du niveau fondamental sont en quantité très faible mais notable à température très élevée » [60].

Approche documentaire, reconnaître un facteur de Boltzmann, comparer l’énergie d’échelle « kBT » dans un contexte général[modifier | modifier le wikicode]

Document : extrait du livre « Le Monde des Étoiles » par Lucienne Gouguenheim (éditions Hachette Supérieur)[modifier | modifier le wikicode]

« Le spectre de raies renseigne sur la composition chimique et la température du milieu où sont formées ces raies. » par Lucienne Gouguenheim [61]
     La première condition pour qu'une raie spectrale, caractéristique d'un élément chimique, est évidemment que cet élément chimique soit présent : si on observe les raies de la série de Balmer [62] dans le spectre d'une étoile, cela signifie qu'il existe certainement de l'hydrogène dans cette étoile. Le spectre de raies d'une étoile, ou de tout autre astre, nous renseigne donc sur les divers éléments chimiques présents dans cet astre.
     Cependant le réciproque n'est pas vraie : si l'on n'observe pas les raies d'absorption de la série de Balmer [62] de l'hydrogène dans une étoile, cela ne veut pas dire nécessairement qu'il n'existe pas d'hydrogène dans les couches superficielles de cette étoile. En effet, la formation d'une raie spectrale en absorption correspond au passage d'un atome d'un niveau d'énergie excité au départ à un niveau d'énergie d'arrivée de plus grande énergie. Encore faut-il, pour que la raie puisse se produire, qu'il y ait effectivement des atomes ayant le niveau d'énergie de départ.
     Considérons l'exemple de trois étoiles dont les températures des couches superficielles sont respectivement , et . Dans l'étoile la plus froide, l'agitation thermique n'est pas assez grande pour porter les atomes d'hydrogène au premier niveau excité ni a fortiori aux niveaux supérieurs, tous les atomes d'hydrogène sont donc dans leur niveau fondamental. Considérons maintenant la lumière formée dans les couches plus profondes, donc plus chaudes, de l'étoile qui donne un spectre continu. les photons de longueurs d'onde , , [63], etc. qui correspondent aux raies successives de la série de Balmer [62] , , , etc., sont présents dans cette lumière, mais ils ne sont pas absorbés par l'hydrogène des couches superficielles, parce qu'ils ont l'énergie correspondant à la transition du niveau et un niveau supérieur, et qu'il n'existe pas d'atome d'hydrogène dans ce niveau d'énergie [64].
     Pour une température plus élevée, l'énergie d'agitation thermique devient suffisante pour qu'un certain nombre d'atomes soit excités dans le niveau et absorbent les photons correspondant à une raie de Balmer [62]. C'est le cas d'une étoile dont la température superficielle est de l'ordre de , pour laquelle on observe effectivement les raies de la série de Balmer [62] en absorption. Si la température est encore plus élevée, l'énergie d'agitation thermique devient capable d'ioniser l'hydrogène. Pour une température de , l'hydrogène est ionisé dans une très grande proportion : il ne reste plus beaucoup d'atomes d'hydrogène, ces atomes étant par ailleurs répartis dans les divers niveaux excités supérieurs, et les raies de Balmer [62] ne peuvent donc se former.
     À mesure que la température croît, la proportion d'atomes excités au niveau par rapport au nombre total d'atomes et d'ions commence d'abord par augmenter pour ensuite diminuer. L'intensité des raies de la série de Balmer [62] de l'hydrogène passe par un maximum pour une température voisine de . Cette intensité est donc un indicateur de la température qui règne dans le milieu où les raies se sont formées. En observant le spectre dans la première étoile dans une gamme plus large, qui inclut le domaine ultraviolet, on aurait pu voir les raies de la série de Lyman [65] en absorption, puisqu'elles correspondent à une transition à partir du niveau fondamental.
     En définitive une raie donnée est d'autant plus intense que :
  • l'élément chimique caractérisé est plus abondant,
  • la proportion d'atomes occupant l'état d'énergie qui correspond au niveau de départ est plus élevé.
     Dans la pratique, il est possible de séparer les deux effets. Si l'on considère plusieurs raies d'un même élément chimique formées à partir de niveaux d'énergie différents, on peut, en comparant les intensités de ces raies, déterminer la température du milieu où elles se forment. Pour une température donnée, une raie donnée est d'autant plus intense que l'élément qui la produit est plus abondant. L'étude des raies d'absorption dans le spectre d'une étoile permet donc de déterminer la température de la région où se produisent des raies et l'abondance des divers éléments chimiques dans l'étoile.

Commentaires du document[modifier | modifier le wikicode]

     Le but de ces commentaires est d'expliquer comment l’observation ou la non observation du spectre d’absorption des raies de Balmer [62] de l’atome d’hydrogène émises par les couches inférieures d'une étoile, absorption par les couches superficielles de cette étoile, permet de déterminer la température de surface de l'étoile émettrice ;
  Le but de ces commentaires c'est aussi de prolonger cette étude avec le spectre d’absorption des raies de Lyman [65] de l’atome d’hydrogène émises par les couches inférieures d'une étoile, absorption par les couches superficielles de l'étoile en question ;

     pour cela on déterminera l’énergie d'échelle «» suivant la température de surface de l'étoile considérée et
     pour cela on comparera cette énergie d'échelle à la différence de niveau d’énergie entre le 1er état excité de l’atome d’hydrogène et un pème état excité pour conclure à la possibilité ou non d’absorber les raies de Balmer [62] émises par les couches inférieures de l'étoile ou
     pour cela on comparera cette énergie d'échelle à la différence de niveau d’énergie entre l'état fondamental de l’atome d’hydrogène et un qème état excité pour conclure à la possibilité ou non d’absorber les raies de Lyman [65] émises par les couches inférieures de l'étoile.

     Énergie d'échelle : À température de surface «», l’énergie d’échelle vaut «» [49],

     Énergie d'échelle : à température de surface «», l’énergie d’échelle vaut «» [49] et

     Énergie d'échelle : à température de surface «», l’énergie d’échelle vaut «» [49].

     Série de Balmer [62] : Les photons de la série de Balmer [62] de l'atome d'hydrogène correspondant à une transition entre le 1er niveau excité de l'atome et un pème niveau excité du même atome avec ont pour énergie

« avec »

          Série de Balmer : «[54] étant l'énergie du niveau fondamental », « l'énergie du (n - 1)ème niveau excité », «[54] la constante de Planck » [66], « la fréquence du photon considéré », « sa longueur d'onde étant » avec le célérité de la lumière dans le vide :

          Série de Balmer : la transition entre le 1er niveau excité et le 2ème correspond à un photon d'énergie «» [54] une longueur d'onde dans le vide soit «» c.-à-d. la raie de la série de Balmer [62] de couleur rouge le texte donnait , l'écart résultant du nombre de chiffres significatifs choisis ;

          Série de Balmer : la transition entre le 1er niveau excité et le 3ème correspond à un photon d'énergie «» [54] une longueur d'onde dans le vide soit «» c.-à-d. la raie de la série de Balmer [62] de couleur bleue le texte donnait , l'écart résultant du nombre de chiffres significatifs choisis ;

          Série de Balmer : la transition entre le 1er niveau excité et le 4ème correspond à un photon d'énergie «» [54] une longueur d'onde dans le vide soit «» c.-à-d. la raie de la série de Balmer [62] de couleur bleue le texte donnait , l'écart résultant du nombre de chiffres significatifs choisis ;

          Série de Balmer :