Thermodynamique (PCSI)/Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Généralités

**Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Généralités**
Leçon : Thermodynamique (PCSI)

Chapitre n^o 1
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Chap. suiv. :	Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Caractères généraux de la distribution des vitesses moléculaires d'un gaz

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Thermodynamique (PCSI) : Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Généralités
Thermodynamique (PCSI)/Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Généralités », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Rappel sur les échelles d’espace macroscopique, microscopique et mésoscopique

Introduction

L'échelle d'espace mésoscopique a été entrevue une 1^ère fois dans la note « ²⁷ » du chap. $2$ intitulé « Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre » de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », puis

L'échelle d'espace mésoscopique a été vue plus en détail dans le paragraphe « modèle de la source ponctuelle monochromatique » chap. $10$ intitulé « Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique » de la même leçon « Signaux physiques (PCSI) » et enfin

L'échelle d'espace mésoscopique a été définie avec précision dans le paragraphe « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace » chap. $21$ intitulé « Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance » de cette même leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Rappel des échelles d'espace macroscopique, microscopique et mésoscopique

Échelle macroscopique de l'espace : toute dimension « $\;{\mathit {l}}\geqslant 1\;mm=10^{-3}\;m\;$ »,
échelle microscopique de l'espace : toute dimension « $\;{\mathit {l}}\leqslant 1\;mm=10^{-9}\;m\;$ » $\;{\big (}$ de l'ordre de la distance moyenne séparant deux atomes dans un solide ou deux molécules dans un gaz à pression et température usuelles ${\big )}\;$ et
échelle mésoscopique de l'espace : les dimensions « $\;{\mathit {l}}\simeq 1\;\mu m=10^{-6}\;m\;$ » $\;{\big (}$ peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux dimensions microscopiques » et considérées comme « des infiniment petits relativement aux dimensions macroscopiques » ${\big )}$ .

Rappel sur les échelles de temps macroscopique, microscopique et mésoscopique

Introduction

L'échelle de temps mésoscopique a été introduite une 1^ère fois dans le paragraphe « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps » chap. $21$ intitulé « Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance » de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Rappel des échelles de temps macroscopique, microscopique et mésoscopique

Échelle macroscopique de temps : toute durée « $\;\tau \geqslant 0,1\;s=10^{-1}\;s\;$ »,
échelle microscopique de temps : toute durée « $\;\tau \leqslant 10\;ps=10^{-11}\;s\;$ » $\;{\big (}$ la limite étant d'ordre de grandeur de la durée moyenne entre deux chocs successifs d'une même molécule dans un gaz à pression et température usuelles ${\big )}\;$ et
échelle mésoscopique de temps : les durées « $\;\tau \simeq 1\;\mu s=10^{-6}\;s\;$ » $\;{\big (}$ peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux durées microscopiques » et considérées comme « des infiniment petits relativement aux durées macroscopiques » ${\big )}$ .

Impossibilité « matérielle » d'étudier un système d'échelle mésoscopique en mécanique

Ordre de grandeur du nombre d'entités dans un échantillon d'échelle spatiale mésoscopique

     Nous considérons un échantillon de volume « $\;\delta {\mathcal {V}}=1,00\;\mu m^{3}=1,00\;10^{-18}\;m^{3}\;$ » d'air dans des conditions usuelles de température et de pression telles que sa masse volumique soit « $\;\mu _{\text{air}}\simeq$ $1,30\;g\cdot L^{-1}=1,30\;kg\cdot m^{-3}\;$ », la masse molaire moyenne de l'air étant « $\;M_{\text{air}}\simeq 29,0\;g\cdot mol^{-1}=29,0\;10^{-3}\;kg\cdot mol^{-1}\;$ » ;
     nous nous proposons de déterminer l'ordre de grandeur du nombre de molécules dans cet échantillon mésoscopique $\;{\big (}$ en imaginant un seul type de molécules de masse adaptée telle que le nombre de ces molécules hypothétiques identique au nombre réel de molécules contribue à la valeur de la masse molaire moyenne « $\;M_{\text{air}}\simeq 29,0\;g\cdot mol^{-1}\;$ » ${\big )}\;$ et pour cela
     nous rappelons la valeur de la constante d'Avogadro^[1] « $\;{\mathcal {N}}=6,022\,140\,76\;10^{23}\;mol^{-1}\simeq 6,02\;10^{23}\;mol^{-1}\;$ » ;

ainsi nous obtenons

la masse de l'échantillon d'air « $\;\delta m=\mu _{\text{air}}\;\delta {\mathcal {V}}\simeq 1,30\times 1,00\;10^{-18}=1,30\;10^{-18}\;kg\;$ »,
la quantité de molécules de l'échantillon « $\;\delta n={\dfrac {\delta m}{M_{\text{air}}}}\simeq {\dfrac {1,30\;10^{-18}}{29,0\;10^{-3}}}\simeq 4,48\;10^{-17}\;mol\;$ » et
le nombre de molécules d'air de l'échantillon « $\;\delta N=\delta n\;{\mathcal {N}}\simeq 4,48\;10^{-17}\times 6,02\;10^{23}\simeq 2,70\;10^{7}\;$ » soit approximativement « $\;{\underline {27\;}}$ millions de molécules dans l'échantillon mésoscopique d'air ».

     Remarque : nous en déduisons la densité volumique particulaire de l'échantillon mésoscopique d'air « $\;N_{V}={\dfrac {\delta N}{\delta {\mathcal {V}}}}\simeq {\dfrac {2,70\;10^{7}}{1,00\;10^{-18}}}\simeq 2,70\;10^{25}\;m^{-3}\;$ » et
     Remarque : nous retenons l'ordre de grandeur des densités volumiques particulaires $\;\simeq 10^{25}\;m^{-3}\;$ dans les gaz dans les conditions usuelles de température et de pression ainsi que
                            Remarque : nous retenons celui des densités volumiques particulaires $\;\simeq 10^{28}\;m^{-3}\;$ dans les liquides ou solides^[2]^,^[3].

Conséquence du grand nombre de particules d'un échantillon mésoscopique

Le nombre de particules d'un échantillon d'échelle mésoscopique étant trop important, le suivi du mouvement individuel de toutes ces particules par utilisation exclusive des théorèmes de la mécanique est « IMPOSSIBLE même avec les plus gros ordinateurs », il y a donc « IMPOSSIBILITÉ MATÉRIELLE d'étudier, au sens de la mécanique, l'évolution d'un échantillon d'échelle mésoscopique » $\;{\big (}$ c'est-à-dire qu'il est MATÉRIELLEMENT IMPOSSIBLE de déterminer simultanément le mouvement de toutes les particules de l'échantillon mésoscopique ${\big )}$ .

Ordre de grandeur, calculé sur une durée d'échelle temporelle mésoscopique, du nombre moyen de chocs d'une molécule avec ses voisines dans un échantillon d'échelle spatiale mésoscopique

Nous considérons toujours l'échantillon $\;\left(\delta \Omega \right)\;$ de volume « $\;\delta {\mathcal {V}}=1,00\;\mu m^{3}=1,00\;10^{-18}\;m^{3}\;$ » d'air dans des conditions usuelles de température et de pression avec une « température Celsius^[4] $\;\theta =20\;{\text{°C}}\;$ » c'est-à-dire une « température absolue « $\;T\simeq 293\;K\;$ »^[5] et une pression « $\;p=1\;bar=10^{5}\;Pa\;$ » $\;{\big (}$ dans ces conditions la masse volumique de l'air vaut « $\;\mu _{\text{air}}\simeq 1,30\;g\cdot L^{-1}=$ $1,30\;kg\cdot m^{-3}\;$ » ${\big )}$ ;
nous nous proposons d'évaluer le nombre moyens de chocs qu'une molécule type^[6] subit avec les autres molécules de l'échantillon pendant la durée mésoscopique « $\;\delta t=$ $1,00\;\mu s=1,00\;10^{-6}\;s\;$ » :

ainsi, connaissant le nombre de molécules d'air de l'échantillon « $\;\delta N\simeq 2,70\;10^{7}\;$ »^[7] nous obtenons

le volume moyen disponible par molécule « $\;{\mathcal {V}}_{\text{moy par molécule}}={\dfrac {\delta {\mathcal {V}}}{\delta N}}\simeq {\dfrac {1,00\;10^{-18}}{2,70\;10^{7}}}\simeq 3,71\;10^{-26}\;m^{3}\;$ »,
la distance moyenne entre molécules de l'échantillon $\;{\big [}$ faisant l'hypothèse que l'expansion spatiale tridimensionnelle de l’échantillon mésoscopique est découpée en cellules cubiques de volume égal à $\;{\mathcal {V}}_{\text{moy par molécule}}$ , il y a alors une molécule par cellule et la distance moyenne entre molécules, notée $\;a$ , peut être estimée par l'arête de la cellule cubique c'est-à-dire la racine cubique de $\;{\mathcal {V}}_{\text{moy par molécule}}{\big ]}$ « $\;a=$ ${\sqrt[{3}]{{\mathcal {V}}_{\text{moy par molécule}}}}\simeq {\sqrt[{3}]{3,71\;10^{-26}}}\simeq 3,33\;10^{-9}\;m=3,33\;nm\;$ »,
la vitesse quadratique moyenne^[8] $\;v^{*}\;$ des molécules de l'échantillon en admettant le lien entre l'énergie cinétique moyenne d'une molécule et la température absolue de l'échantillon $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition de la température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique » du chap. $3$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » ${\big ]}\;$ c'est-à-dire « $\;{\bigg \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{part}}\;v^{2}\!(M){\bigg \rangle }_{\!M\,\in \,\left(\delta \Omega \right)}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T\;$ » $\;{\Big [}$ avec « $\;m_{\text{part}}\;$ la masse d'une molécule type^[6] de l'échantillon », « $\;v(M)\;$ sa vitesse quand elle est positionnée au point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ », « $\;T\;$ la température cinétique de l'échantillon $\;{\big (}$ s'identifiant à la température absolue ${\big )}\;$ » et « $\;k_{B}\;$ la constante de Boltzmann^[9] égale à $\;k_{B}\simeq 1,381\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}\;$ »^[10] ${\Big ]}\;$ ou encore « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{part}}\;\langle v^{2}\!(M)\rangle _{M\,\in \,\left(\delta \Omega \right)}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T\;$ » $\Leftrightarrow$ « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{part}}\,\left(v^{*}\right)^{2}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T\;$ » $\;{\Big [}$ compte-tenu de la définition de la vitesse quadratique moyenne des molécules de l'échantillon « $\;v^{*}={\sqrt {\langle v^{2}\!(M)\rangle _{M\,\in \,\left(\delta \Omega \right)}}}\;$ » ${\Big ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;v^{*}={\sqrt {\dfrac {3\;k_{B}\;T}{m_{\text{part}}}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {3\times 1,38\;10^{-23}\times 293}{1,30\;10^{-18}}}}\simeq 502\;m\cdot s^{-1}\;$ »,
la durée moyenne entre deux chocs successifs d'une même molécule sur les autres molécules de son environnement $\;{\big [}$ en l'estimant par la durée $\;\tau \;$ que mettrait la molécule $\;{\big (}$ dont nous voulons étudier les chocs successifs ${\big )}\;$ pour parcourir, à une vitesse constante égale à la vitesse quadratique moyenne $\;v^{*}$ , une distance égale à la distance moyenne $\;a\;$ séparant deux molécules ${\big ]}$ « $\;\tau ={\dfrac {a}{v^{*}}}\simeq {\dfrac {3,33\;10^{-9}}{502}}\simeq$ $6,63\;10^{-12}\;s=6,63\;ps\;$ » et
le nombre moyen de chocs d’une molécule pendant la durée mésoscopique « $\;\delta t=1\;\mu s\;$ » « $\;\delta N_{{\text{de }}(\delta \Omega )\,{\text{pendant}}\,\delta t}^{\,{\text{chocs d'une part}}}={\dfrac {\delta t}{\tau }}\simeq {\dfrac {1,00\;10^{-6}}{6,63\;10^{-12}}}\simeq 1,51\;10^{5}\;$ » soit approximativement « $\;{\underline {150\,000\;}}$ chocs en moyenne par molécule de l'échantillon mésoscopique pendant la durée mésoscopique d'étude ».

Remarque : nous en déduisons la fréquence de chocs d'une molécule de l'échantillon mésoscopique d'air « $\;\nu _{\text{chocs par part}}={\dfrac {1}{\tau }}\simeq {\dfrac {1}{6,63\;10^{-12}}}\simeq 1,51\;10^{11}\;s^{-1}\;$ »^[11] c'est-à-dire qu'« une molécule subit approximativement $\;100\;$ milliards de chocs en moyenne par $\;s\;$ ».

Conséquence du grand nombre de chocs subi, pendant une durée d'échelle mésoscopique, par une molécule de l'échantillon mésoscopique

Le nombre de « changements de direction du mouvement d’une molécule donnée par seconde » $\;{\big (}$ égal à la fréquence de chocs de la molécule considérée avec les autres molécules de l'échantillon mésoscopique ${\big )}\;$ ${\big [}$ l'ensemble des segments successifs décrits par la molécule définissant la trajectoire associée au « mouvement brownien »^[12] de cette dernière ${\big ]}\;$ est « tellement grand qu’il est IMPOSSIBLE pratiquement de percevoir toutes ces évolutions » $\;{\big [}$ d’ailleurs, même si cela était possible à l’aide d’un très gros ordinateur $\;{\big (}$ ou de plusieurs travaillant en commun^[13] ${\big )}$ , il y aurait tellement d’informations que nous ne pourrions en utiliser qu’une infime part $\;{\big (}$ « trop d’informations tuant l’Information » ${\big )}{\big ]}$ ;

notre perception à l'échelle mésoscopique de la vitesse d'une molécule n’est en fait que statistique, ce qui se traduit par le principe suivant

« la vitesse d'une molécule à un instant donné peut prendre toutes les valeurs possibles,
celles-ci étant affectées d’une fréquence statistique qui dépend de l’environnement immédiat de la molécule »^[14],

notre perception à l'échelle mésoscopique il y a donc DISPARITION du caractère « INDIVIDUEL » d’une molécule d’un échantillon mésoscopique au profit d’un « caractère COLLECTIF » $\;{\big [}$ « toutes les molécules » de l’échantillon mésoscopique ont une « même répartition de vitesse » c'est-à-dire que chaque vitesse possible a une fréquence statistique « indépendante de la molécule de l'échantillon », ne dépendant que des paramètres caractérisant l’échantillon dans son entier ${\big ]}$ .

Notion de libre parcours moyen d'un système de particules

Définition du « libre parcours moyen » d'un système de particules

« Libre parcours moyen » d'un système de particules

Le « libre parcours moyen » d’un système de particules $\;{\big (}$ par exemple des atomes, des molécules, des photons $\;\ldots {\big )}\;$ est
la distance moyenne « $\;{\mathit {l}}\;$ » parcourue par une particule entre deux chocs successifs avec ses voisines.

Ordre de grandeur du « libre parcours moyen » suivant la « phase » présentée par le système de particules

L'ordre de grandeur du « libre parcours moyen » d’un système de particules est estimé, suivant la phase de ce dernier dans les conditions usuelles de température et de pression^[15], :

L'ordre de grandeur du « libre parcours moyen » d’un système de particules est estimé, à « $\;{\mathit {l}}\leqslant 1\;{\text{Å}}\;$ »^[16] pour un système sous « phase condensée »^[17] $\;{\big (}$ en effet, dans un solide ou liquide, le libre parcours moyen est légèrement inférieur à la dimension d’une particule car ces dernières sont « serrées » les unes contre les autres ${\big )}$ ,

L'ordre de grandeur du « libre parcours moyen » d’un système de particules est estimé, à « $\;{\mathit {l}}\simeq 0,1\;\mu m\;$ » pour un système sous « phase vapeur »^[18] $\;{\big (}$ le rapport entre le libre parcours moyen d'une « phase vapeur » et celui d'une « phase condensée » peut être estimé inversement $\;\propto \;$ au rapport de leur masse volumique^[19], celle des phases « phases vapeur » dans les conditions usuelles de température et de pression étant $\;\simeq 1000\;$ fois plus faible que celle des « phases condensées », le libre parcours moyen d'une « phase vapeur » est donc $\;\simeq 1000\;$ fois plus grand que celui des « phases condensées » ${\big )}$ .

Justification de l'ordre de grandeur du « libre parcours moyen » d'un système de molécules en « phase vapeur »

Schéma simplifié du mouvement d'une molécule $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ de vitesse $\;{\vec {v}}\;$ fixée parmi d'autres molécules $\;\left({\mathit {m}}\right)\;$ supposées immobiles

Soit à évaluer le libre parcours moyen $\;{\mathit {l}}\;$ du système de molécules en « phase vapeur » dans le modèle simplifié où ces dernières sont assimilées à des « boules de rayon figé $\;r\simeq 1,5\;\;{\text{Å}}\;$ ^[16] se déplaçant rectilignement tant qu'elles n'ont pas subi de collision avec une de leurs voisines » $\;{\big (}$ correspondant au mouvement brownien »^[12] des molécules du système ${\big )}$ ;

choisissant dans ce système de molécules en « phase vapeur » une molécule $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ quelconque juste après son dernier choc, lequel lui a donné un vecteur vitesse $\;{\vec {v}}\;$ ${\big (}$ quelconque ${\big )}\;$ relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ ;
d'après la définition du libre parcours moyen $\;{\mathit {l}}\;$ du système de molécules, $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ aura son prochain choc après avoir parcouru, en ligne droite, une distance moyenne $\;{\mathit {l}}$ , $\;{\Big \{}$ la molécule $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ ne subira aucune collision tant que son centre $\;P\;$ restera à une distance $\;>\;$ à $\;2\;r\;$ du centre $\;M\;$ de toute autre molécule $\;\left({\mathit {m}}\right)$ $\;{\big (}$ distance entre deux centres de molécules sans contact nécessairement $\;>\;$ au diamètre des molécules ${\big )}\!{\Big \}}$ ;

supposant $\;{\big (}$ de façon à obtenir relativement facilement un « ordre de grandeur de $\;{\mathit {l}}\;$ » ${\big )}\;$ que les autres molécules $\;\left({\mathit {m}}\right)\;$ susceptibles d'entrer en collision avec $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ sont immobiles dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ ^[20] et

introduisant le cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ d'axe « le support du vecteur vitesse $\;{\vec {v}}\;$ de la molécule $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ passant par la position $\;P_{0}\;$ du centre de cette dernière lors du choc lui ayant communiqué cette vitesse », de rayon « $\;2\;r\;$ » et de longueur « $\;{\mathit {l}}\;$ » $\;{\big (}$ comptée dans le sens de $\;{\vec {v}}{\big )}$ $\;{\big [}$ voir schéma ci-dessus ${\big ]}$ , nous en déduisons, d'après ce même schéma, la règle suivante :

pour que la molécule $\;\left({\mathit {p}}\right)$ , dans son mouvement de translation rectiligne de vitesse $\;{\vec {v}}\;$ acquise après son dernier choc, heurte une autre molécule $\;\left({\mathit {m}}\right)$ supposée immobile, il faut que cette dernière ait son centre $\;M\;$ à l'intérieur du cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)$ $\;{\big [}$ sur le schéma ci-dessus les molécules $\;\left({\mathit {m}}\right)\;$ dans les positions $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ satisfont au critère mais pas celle dans la position $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\!{\big ]}$ ,
le cylindre $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ sera effectivement de longueur égale au libre parcours moyen $\;{\mathit {l}}\;$ s'il n'y a qu'un centre $\;M\;$ de molécule $\;\left({\mathit {m}}\right)\;$ et un seul dans ce cylindre, centre situé sur la base opposée à celle passant par la position $\;P_{0}\;$ du centre de $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ lors de son dernier choc^[21] $\Rightarrow$ « il y a donc en moyenne un centre de molécule dans le cylindre $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ de volume $\;{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}=\pi \,\left(2\;r\right)^{2}\;{\mathit {l}}\;$ »^[22] ;

connaissant le volume molaire d'un gaz dans les « conditions usuelles de température et de pression $\;\theta \simeq 20\;{\text{°C}}\;$ et $\;p\simeq 1\;bar\;$ » à savoir « $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\simeq 24\;L\cdot mol^{-1}=24\;10^{-3}\;m^{3}\cdot mol^{-1}\;$ »^[23], nous pouvons en déduire le volume du cylindre $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ sachant que l'expansion tridimensionnelle qu'il mesure contient une seule molécule en moyenne c'est-à-dire « une quantité $\;{\dfrac {1}{\mathcal {N}}}\;$ » où $\;{\mathcal {N}}\simeq 6,02\;10^{23}\;mol^{-1}\;$ est la constante d'Avogadro^[1] soit « une quantité $\;1,66\;10^{-24}\;mol\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}={\mathcal {V}}_{\text{mol}}\;{\dfrac {1}{\mathcal {N}}}\simeq 24\;10^{-3}\times 1,66\;10^{-24}\simeq 3,98\;10^{-26}\;m^{3}\;$ » ;

finalement le libre parcours moyen $\;{\mathit {l}}\;$ s'évalue par l'équation « $\;{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}=\pi \,\left(2\;r\right)^{2}\;{\mathit {l}}\;$ » avec « $\;{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}\simeq 3,98\;10^{-26}\;m^{3}\;$ » et « $\;r\simeq 1,5\;10^{-10}\;m\;$ » soit « $\;{\mathit {l}}={\dfrac {{\mathcal {V}}_{({\mathcal {C}})}}{\pi \,\left(2\;r\right)^{2}}}\simeq {\dfrac {3,98\;10^{-26}}{\pi \times \left(3,0\;10^{-10}\right)^{2}}}\simeq 1,41\;10^{-7}\;m$ $\simeq 0,14\;\mu m\;$ » $\;{\big [}$ effectivement en accord le résultat affirmé au paragraphe « ordre de grandeur du libre parcours moyen suivant la phase présentée par le système de particules (cas de la phase vapeur) » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .

Définition d’un système thermodynamique

Préliminaire : Notre perception macroscopique d'un système mésoscopique étant nécessairement « COLLECTIVE »^[24] et « NON INDIVIDUELLE »^[25], nous ne pouvons étudier le système mésoscopique au sens de la mécanique d'où l'introduction d'un nouveau domaine d'étude « la thermodynamique ».

Notion de système thermodynamique

Un système thermodynamique est un système mésoscopique $\;{\big (}$ ou macroscopique ${\big )}\;$ d'« entités »^[26] dont on étudie « uniquement » la répartition de vitesse $\;{\big (}$ en norme ${\big )}\;$ de l'« entité^[26] moyenne » représentative du système.

Remarque : Le qualificatif « thermodynamique » donné à un système l'est par opposition au qualificatif « mécanique » qui peut être fourni dès lors qu'il est possible d'« étudier individuellement le mouvement des $\;N\;$ entités^[26] $\;{\big (}N\;$ étant le nombre d'entités^[26] du système ${\big )}\;$ »^[27].

     Propriétés : Un système thermodynamique à répartition de vitesse de l'« entité^[26] moyenne » « stationnaire »^[28] est « complètement décrit par la connaissance d'un petit nombre de paramètres »^[29] dits « paramètres d'état du système thermodynamique » comme la température, la pression $\;{\big (}$ et éventuellement quelques autres ${\big )}$ ;
     Propriétés : Un système thermodynamique ces paramètres d'état représentent, à un cœfficient multiplicatif près, des valeurs moyennes de grandeurs microscopiques comme, par exemple,
     Propriétés : Un système thermodynamique ces paramètres d'état représentent, la valeur moyenne d'« énergie cinétique particulaire » pour la « température »^[30], ou
    Propriétés : Un système thermodynamique ces paramètres d'état représentent, la valeur moy celle d'« impulsion fournie par molécule à la paroi par unité de surface et de temps » pour la « pression »^[31] $\;\ldots$

Propriétés : Distinction entre équilibre thermodynamique et état dynamique stationnaire : Un système thermodynamique « ne recevant globalement aucune énergie de l'extérieur en chacun des points de la surface limitant le système »^[32], est dit « en équilibre thermodynamique », cela se traduit par une répartition de vitesse $\;{\big (}$ en norme ${\big )}\;$ de l'« entité^[26] moyenne » « stationnaire » ;

Propriétés : Distinction entre équilibre thermodynamique et état dynamique stationnaire : un système thermodynamique « recevant globalement de l'énergie de l'extérieur en au moins deux points de la surface limitant le système » et tel que la répartition de vitesse $\;{\big (}$ en norme ${\big )}\;$ de l'« entité^[26] moyenne » soit néanmoins « stationnaire » est dit « en état dynamique stationnaire » $\;{\big \{}$ c'est le cas par exemple d'une tige métallique aux bornes de laquelle « on impose une différence de température »^[33] : en un point quelconque de la tige, la température ne varie pas, d'où la stationnarité mais l'échantillon mésoscopique entourant ce point est traversé par une énergie allant du côté à plus haute température vers le côté à plus basse température $\;{\big [}$ pendant la même durée, l'énergie entrante dans l'échantillon mésoscopique par son côté à plus haute température $\;{\big (}$ provenant de son extérieur immédiat ${\big )}\;$ est égale à l'énergie sortante par son côté à plus basse température $\;{\big (}$ en direction de son extérieur immédiat ${\big )}$ , l'égalité des deux n'entraînant aucun gain d'énergie cinétique d'agitation pour les atomes de l'échantillon ce qui correspond bien à une stationnarité ${\big ]}{\big \}}$ .

Notes et références

↑ ^1,0 et ^1,1 Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) est un physicien et chimiste du Piémont $\;{\big (}$ région actuelle de l'Italie ${\big )}\;$ à qui on doit essentiellement la loi d'Avogadro Ampère qu'il énonça en $\;1811\;$ et proposée indépendamment par Ampère en $\;1814$ , celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules ».
André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
↑ Les conditions de température et de pression n'ayant que peu d'influence.
↑ Voir le paragraphe « évaluation de la densité volumique particulaire des porteurs de charge mobiles dans quelques conducteurs typiques (exemple du cuivre) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $\;{\big (}$ en effet dans le cas du cuivre le nombre de porteurs de charge mobiles est identique au nombre d'atomes de l'échantillon ${\big )}$ ;
la densité volumique particulaire de l'eau liquide de masse volumique « $\;\mu _{\text{eau}}\simeq 1,00\;kg\cdot L^{-1}=10^{3}\;kg\cdot m^{-3}\;$ » et de masse molaire « $\;M_{\text{eau}}\simeq 18,0\;g\cdot mol^{-1}=18,0\;10^{-3}\;kg\cdot mol^{-1}\;$ » se détermine en cherchant la densité volumique molaire selon « $\;n_{V}={\dfrac {\mu _{\text{eau}}}{M_{\text{eau}}}}\simeq {\dfrac {10^{3}}{18,0\;10^{-3}}}\simeq 5,56\;10^{4}\;mol\cdot m^{-3}\;$ » puis en déduisant la densité volumique particulaire selon « $\;N_{V}=n_{V}\;{\mathcal {N}}\simeq$ $5,56\;10^{4}\times 6,02\;10^{23}\simeq 3,34\;10^{28}\;m^{-3}\;$ » effectivement d'ordre de grandeur $\;10^{28}\;m^{-3}$ .
↑ Anders Celsius (1701 - 1744) est un savant suédois surtout connu pour avoir été à l'origine d'une échelle de repérage des températures.
↑ Les températures Celsius et absolue n’étant pas de même nature doivent être notées différemment, nous noterons $\;\theta \;$ ${\big (}$ ou parfois t ${\big )}\;$ la température Celsius et toujours $\;T\;$ ${\big (}$ normalisation oblige ${\big )}\;$ la température absolue ;
   la température Celsius $\;\theta \;$ en $\;{\text{°C}}\;$ ${\big (}$ degré Celsius ${\big )}\;$ ne correspond pas à une mesure de température mais à un repérage $\;{\big [}$ on repère la température par « la hauteur d'une colonne de liquide dilatable » $\;{\big (}$ appelée grandeur thermométrique ${\big )}\;$ après avoir fixé le « repère $\;0\;$ à la température de fusion de la glace » et le « repère $\;100\;$ à la température d'ébullition de l'eau sous pression de $\;1\;bar\;$ », « le degré Celsius représentant un centième de la distance séparant ces deux repères », une conséquence est que le « rapport de deux valeurs d'une grandeur thermométrique repérable n'a aucun sens » $\;{\big (}$ « $\;2\;{\text{°C}}\;$ n'étant pas deux fois plus grand que $\;1\;{\text{°C}}\;$ » ${\big )}{\big ]}$
   la température absolue « $\;T\;$ » en $\;K\;$ ${\big (}$ Kelvin ${\big )}\;$ est effectivement à une mesure $\;{\big [}$ on verra qu'il est possible de mesurer la température absolue en utilisant comme grandeur thermométrique « le volume d'un gaz sous pression de $\;1bar\;$ », grandeur mesurable $\;{\big (}$ et non repérable ${\big )}\;$ dans la mesure où le « rapport de deux valeurs de cette grandeur a un sens » $\;{\big (}$ « $\;400\;K\;$ correspondant à un volume deux fois plus grand que celui associé à $\;200\;K\;$ » ${\big )}{\big ]}\;$ et que cette grandeur est additive.
   La distinction entre grandeurs « mesurable » et « repérable » est à connaître.
   Anders Celsius (1701 - 1744) est un savant suédois surtout connu pour avoir été à l'origine d'une échelle de repérage des températures.
   William Thomson (1824 - 1907) physicien britannique d'origine irlandaise $\;{\big [}$ encore connu sous le nom de Lord Kelvin ${\big ]}\;$ pour développer l'échelle absolue de température et a étudié la magnétostriction $\;{\big (}$ propriété que possèdent les matériaux ferromagnétiques de se déformer en fonction de l'orientation de leur aimantation, par exemple sous l'influence d'un champ magnétique ${\big )}$ .
↑ ^6,0 et ^6,1 Obtenue(s) en imaginant un seul type de molécules de masse adaptée telle que le nombre de ces molécules hypothétiques identique au nombre réel de molécules contribue à la valeur de la masse molaire moyenne « $\;M_{\text{air}}\simeq 29,0\;g\cdot mol^{-1}\;$ ».
↑ Voir le paragraphe « ordre de grandeur du nombre d'entités dans un échantillon d'échelle spatiale mésoscopique » plus haut dans ce chapitre.
↑ Le carré de la vitesse quadratique moyenne est la moyenne du carré des vitesses.
↑ Ludwig Eduard Boltzmann (1844 - 1906) physicien et philosophe autrichien, il est l'un des fondateurs de la mécanique statistique qui explique les lois de la thermodynamique à l'aide des propriétés statistiques des grands ensembles des particules ;
en mathématiques il est aussi, avec Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, l'un des fondateurs de l'analyse vectorielle.
↑ De la valeur de la constante de Boltzmann, constante adaptée à l'échelle microscopique, on déduit une grandeur adaptée à l'échelle macroscopique appelée « constante molaire des G.P. et notée $\;R\;$ » en utilisant la valeur de la constante d'Avogadro $\;{\mathcal {N}}\simeq 6,022\;10^{23}\;mol^{-1}\;$ selon $\;R=k_{B}\;{\mathcal {N}}\simeq 1,381\;10^{-23}\times 6,022\;10^{23}\simeq 8,314\;J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}$ ;
   si nous multiplions les deux membres de la relation « $\;{\bigg \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{part}}\;v^{2}\!(M){\bigg \rangle }_{\!M\,\in \,\left(\delta \Omega \right)}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T\;$ » par la constante d'Avogadro $\;{\mathcal {N}}\;$ nous obtenons, avec $\;m_{\text{part}}\;{\mathcal {N}}=M_{\text{air}}$ , « $\;{\dfrac {1}{2}}\;M_{\text{air}}\;\langle v^{2}\!(M)\rangle _{M\,\in \,\left(\delta \Omega \right)}$ $={\dfrac {3}{2}}\;R\;T\;$ » ou « $\;{\dfrac {1}{2}}\;M_{\text{air}}\,\left(v^{*}\right)^{2}={\dfrac {3}{2}}\;R\;T\;$ » avec $\;v^{*}\;$ la vitesse quadratique moyenne des molécules de l'échantillon définie selon $\;v^{*}={\sqrt {\langle v^{2}\!(M)\rangle _{M\,\in \,\left(\delta \Omega \right)}}}$ .
   Ludwig Eduard Boltzmann (1844 - 1906) physicien et philosophe autrichien, voir la note « ⁹ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
   Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) physicien et chimiste du Piémont $\;{\big (}$ région actuelle de l'Italie ${\big )}\;$ , voir la note « ¹ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ L'ordre de grandeur de la fréquence de chocs entre molécules d'un gaz dans les conditions usuelles de température et de pression à savoir « $\;\simeq 10^{11}\;s^{-1}\;$ » est à connaître.
↑ ^12,0 et ^12,1 Robert Brown (1773 - 1858) chirurgien, botaniste et explorateur écossais, essentiellement connu pour sa découverte $\;{\big (}$ non botanique ${\big )}\;$ du « mouvement brownien » en $\;1827$ .
↑ Ce qui n'est pas le cas à l’heure actuelle ou dans un futur immédiat $\;\ldots$
↑ « La fréquence statistique » d’une vitesse donnée dans un échantillon mésoscopique est en fait « la proportion moyenne de molécules » pouvant avoir cette vitesse dans cet échantillon, « la fréquence statistique maximale » correspondant à « la vitesse la plus probable » des molécules de l'échantillon.
↑ Il y a principalement trois phases dans les conditions usuelles de température et de pression « solide, liquide ou vapeur ».
↑ ^16,0 et ^16,1 L'angström de symbole « $\;{\text{Å}}\;$ » est une unité de longueur adaptée à la physique atomique, sa valeur est « $\;1\;{\text{Å}}=10^{-10}\;m=0,1\;nm\;$ » ;
Anders Jonas Ångström (1814 - 1874) est un astronome et physicien suédois du XIX^ème siècle, c'est l'un des fondateurs de la spectroscopie.
↑ Les phases solide et liquide sont qualifiées de « condensées »,
↑ Voir la justification de l'ordre de grandeur au paragraphe « justification de l'ordre de grandeur du libre parcours moyen d'un système de particules en phase vapeur » plus loin dans ce chapitre.
↑ En effet nous établissons, dans le paragraphe « justification de l'ordre de grandeur du libre parcours moyen d'un système de particules en phase vapeur » plus loin dans ce chapitre, que
   le volume de l'expansion tridimensionnelle disponible pour une particule entre deux chocs successifs est $\;\propto \;$ au libre parcours moyen de cette dernière,
   comme une même quantité de particules occupe une expansion tridimensionnelle de volume $\;\simeq 1000\;$ fois plus grand en phase vapeur que les mêmes pourraient occuper en phase condensée $\;{\big (}$ ce qui correspond à une masse volumique en phase vapeur $\;\simeq 1000\;$ fois plus petite que celle en phase condensée ${\big )}$ , nous en déduisons que
   le volume de l'expansion tridimensionnelle disponible en phase vapeur pour une particule entre deux chocs successifs est $\;\simeq 1000\;$ fois plus grand que celui en phase condensée $\;{\big (}$ rapport du volume disponible en phase vapeur sur celui en phase condensée inversement $\;\propto \;$ au rapport de la masse volumique en phase vapeur sur celle en phase condensée ${\big )}$ d'où
   le rapport entre le libre parcours moyen d'une « phase vapeur » et celui d'une « phase condensée » estimé inversement $\;\propto \;$ au rapport de leur masse volumique $\;\ldots$
↑ Ou, ce qui revient au même, que les autres molécules $\;\left({\mathit {m}}\right)\;$ susceptibles d'entrer en collision avec $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ ont toutes mêmes vecteurs vitesse $\;{\vec {v}}_{({\mathit {m}})}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ , la molécule $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ y ayant, quant à elle, un vecteur vitesse différent $\;{\vec {v}}_{({\mathit {p}})}\;$ tel que $\;{\vec {v}}={\vec {v}}_{({\mathit {p}})}-{\vec {v}}_{({\mathit {m}})}\;$ soit le vecteur vitesse relative de $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ par rapport aux autres molécules monocinétiques $\;\left({\mathit {m}}\right)$ .
↑ Si le centre $\;M\;$ de molécule $\;\left({\mathit {m}}\right)\;$ subissant un choc avec la molécule projectile $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ était en moyenne sur une section droite du cylindre $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ localisée à une distance $\;\delta <\;$ à $\;{\mathit {l}}\;$ de la base passant par $\;P_{0}\;$ cela signifierait que le libre parcours moyen n'est pas $\;{\mathit {l}}\;$ mais $\;\delta$ ;
il est donc bien nécessaire que le centre $\;M\;$ de molécule $\;\left({\mathit {m}}\right)\;$ subissant un choc avec la molécule projectile $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ soit sur la base opposée à celle passant par la position $\;P_{0}$ $\;\ldots$
↑ La molécule dont le centre est présent dans le cylindre $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant la molécule projectile $\;\left({\mathit {p}}\right)$ , c'est en effet la seule molécule dont le centre y est présent entre les deux chocs successifs, les centres des molécules $\;\left({\mathit {m}}\right)\;$ immobiles et responsables de ces deux chocs successifs étant en moyenne situés à la périphérie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)$ , plus exactement très légèrement devant la base du cylindre passant par $\;P_{0}$ $\;{\big (}$ position de $\;P\;$ lors du 1^er choc ${\big )}\;$ et très légèrement derrière la base du cylindre passant par $\;{P'}_{\!0}$ $\;{\big (}$ position de $\;P\;$ lors du 2^nd choc ${\big )}$ $\;{\big [}$ devant et derrière étant définis relativement au sens de $\;{\vec {v}}{\big ]}$ .
↑ Un G.P. $\;{\big (}$ gaz parfait ${\big )}\;$ ayant un volume molaire dans les « conditions de température $\;\theta \simeq 20\;{\text{°C}}\;$ et de pression $\;p\simeq 1\;bar\;$ » $\;{\big (}$ ou de température absolue $\;T\simeq 293\;K\;$ et de pression $\;p\simeq$ $10^{5}\;Pa{\big )}\;$ déterminé par équation d'état « $\;p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}=R\;T\;$ » où « $\;R\simeq 8,31\;J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}\;$ est la constante molaire des G.P. » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « équation d'état sous forme locale d'un G.P. » du chap. $5$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » ${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}={\dfrac {R\;T}{p}}\simeq {\dfrac {8,31\times 293}{10^{5}}}\simeq 24,3\;10^{-3}\;m^{3}\cdot mol^{-1}\;$ ».
↑ C.-à-d. une perception donnant accès à la « répartition commune des vitesses $\;{\big (}$ en norme ${\big )}\;$ » des molécules du système.
↑ Une perception individuelle nécessiterait d'avoir accès au mouvement instantané de chaque molécule, ce qui est matériellement IMPOSsIBLE à cause du très grand nombre de molécules et de la très grande valeur de la fréquence de chocs de chacune d'elles.
↑ ^26,0 ^26,1 ^26,2 ^26,3 ^26,4 ^26,5 et ^26,6 C.-à-d. de molécules, d'atomes, d'ions, d'électrons ou de photons $\;{\big (}$ liste non exhaustive ${\big )}$ .
↑ Matériellement cela reste possible avec utilisation de gros ordinateurs jusqu'à « $\;N\simeq 100\;$ », ce qui est excessivement inférieur au nombre de particules d'un échantillon mésoscopique $\;\ldots$
↑ C.-à-d. n'évoluant pas avec le temps .
↑ Alors que la description complète d'un système mécanique de $\;N\;$ entités nécessite au moins $\;6\;N\;$ paramètres $\;{\big (}3\;$ coordonnées de position et $\;3\;$ composantes de vitesse par entité ${\big )}$ .
↑ Voir le paragraphe « définition de la température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique » du chap. $3$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « expression (statistique) de la pression cinétique exercée sur un élément de paroi d'aire dS par le G.P. en équilibre thermodynamique » du chap. $2$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » ;
pour la notion d'impulsion de force voir le paragraphe « impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel » du chap. $15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Cela ne veut pas dire que l'extérieur ne fournit aucune énergie au système à travers la surface limitant ce dernier, ce qui importe c'est qu'en chacun des points de cette surface, les énergies cédées sous différentes formes par l'extérieur se compensent.
↑ Une façon de réaliser une différence de température entre les deux extrémités de la tige métallique est par exemple de mettre une extrémité au contact de la glace fondante $\;{\big (}$ cette extrémité est alors à $\;0\;{\text{°C}}{\big )}\;$ et l'autre extrémité au contact d'eau bouillante à pression standard c'est-à-dire $\;1\;bar$ $\;{\big (}$ cette extrémité est alors à $\;100\;{\text{°C}}{\big )}$ .

Thermodynamique (PCSI)

Sommaire

Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Caractères généraux de la distribution des vitesses moléculaires d'un gaz

[Avogadro-1] 1,0 et ^1,1 Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) est un physicien et chimiste du Piémont $\;{\big (}$ région actuelle de l'Italie ${\big )}\;$ à qui on doit essentiellement la loi d'Avogadro Ampère qu'il énonça en $\;1811\;$ et proposée indépendamment par Ampère en $\;1814$ , celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules ».
André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.

[2] Les conditions de température et de pression n'ayant que peu d'influence.

[3] Voir le paragraphe « évaluation de la densité volumique particulaire des porteurs de charge mobiles dans quelques conducteurs typiques (exemple du cuivre) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $\;{\big (}$ en effet dans le cas du cuivre le nombre de porteurs de charge mobiles est identique au nombre d'atomes de l'échantillon ${\big )}$ ;
la densité volumique particulaire de l'eau liquide de masse volumique « $\;\mu _{\text{eau}}\simeq 1,00\;kg\cdot L^{-1}=10^{3}\;kg\cdot m^{-3}\;$ » et de masse molaire « $\;M_{\text{eau}}\simeq 18,0\;g\cdot mol^{-1}=18,0\;10^{-3}\;kg\cdot mol^{-1}\;$ » se détermine en cherchant la densité volumique molaire selon « $\;n_{V}={\dfrac {\mu _{\text{eau}}}{M_{\text{eau}}}}\simeq {\dfrac {10^{3}}{18,0\;10^{-3}}}\simeq 5,56\;10^{4}\;mol\cdot m^{-3}\;$ » puis en déduisant la densité volumique particulaire selon « $\;N_{V}=n_{V}\;{\mathcal {N}}\simeq$ $5,56\;10^{4}\times 6,02\;10^{23}\simeq 3,34\;10^{28}\;m^{-3}\;$ » effectivement d'ordre de grandeur $\;10^{28}\;m^{-3}$ .

[Celsius-4] Anders Celsius (1701 - 1744) est un savant suédois surtout connu pour avoir été à l'origine d'une échelle de repérage des températures.

[température_repérée_et_température_mesurée-5] Les températures Celsius et absolue n’étant pas de même nature doivent être notées différemment, nous noterons $\;\theta \;$ ${\big (}$ ou parfois t ${\big )}\;$ la température Celsius et toujours $\;T\;$ ${\big (}$ normalisation oblige ${\big )}\;$ la température absolue ;
la température Celsius $\;\theta \;$ en $\;{\text{°C}}\;$ ${\big (}$ degré Celsius ${\big )}\;$ ne correspond pas à une mesure de température mais à un repérage $\;{\big [}$ on repère la température par « la hauteur d'une colonne de liquide dilatable » $\;{\big (}$ appelée grandeur thermométrique ${\big )}\;$ après avoir fixé le « repère $\;0\;$ à la température de fusion de la glace » et le « repère $\;100\;$ à la température d'ébullition de l'eau sous pression de $\;1\;bar\;$ », « le degré Celsius représentant un centième de la distance séparant ces deux repères », une conséquence est que le « rapport de deux valeurs d'une grandeur thermométrique repérable n'a aucun sens » $\;{\big (}$ « $\;2\;{\text{°C}}\;$ n'étant pas deux fois plus grand que $\;1\;{\text{°C}}\;$ » ${\big )}{\big ]}$
la température absolue « $\;T\;$ » en $\;K\;$ ${\big (}$ Kelvin ${\big )}\;$ est effectivement à une mesure $\;{\big [}$ on verra qu'il est possible de mesurer la température absolue en utilisant comme grandeur thermométrique « le volume d'un gaz sous pression de $\;1bar\;$ », grandeur mesurable $\;{\big (}$ et non repérable ${\big )}\;$ dans la mesure où le « rapport de deux valeurs de cette grandeur a un sens » $\;{\big (}$ « $\;400\;K\;$ correspondant à un volume deux fois plus grand que celui associé à $\;200\;K\;$ » ${\big )}{\big ]}\;$ et que cette grandeur est additive.
La distinction entre grandeurs « mesurable » et « repérable » est à connaître.
Anders Celsius (1701 - 1744) est un savant suédois surtout connu pour avoir été à l'origine d'une échelle de repérage des températures.
William Thomson (1824 - 1907) physicien britannique d'origine irlandaise $\;{\big [}$ encore connu sous le nom de Lord Kelvin ${\big ]}\;$ pour développer l'échelle absolue de température et a étudié la magnétostriction $\;{\big (}$ propriété que possèdent les matériaux ferromagnétiques de se déformer en fonction de l'orientation de leur aimantation, par exemple sous l'influence d'un champ magnétique ${\big )}$ .

[molécule_type_d'air-6] 6,0 et ^6,1 Obtenue(s) en imaginant un seul type de molécules de masse adaptée telle que le nombre de ces molécules hypothétiques identique au nombre réel de molécules contribue à la valeur de la masse molaire moyenne « $\;M_{\text{air}}\simeq 29,0\;g\cdot mol^{-1}\;$ ».

[7] Voir le paragraphe « ordre de grandeur du nombre d'entités dans un échantillon d'échelle spatiale mésoscopique » plus haut dans ce chapitre.

[vitesse_quadratique_moyenne-8] Le carré de la vitesse quadratique moyenne est la moyenne du carré des vitesses.

[Boltzmann-9] Ludwig Eduard Boltzmann (1844 - 1906) physicien et philosophe autrichien, il est l'un des fondateurs de la mécanique statistique qui explique les lois de la thermodynamique à l'aide des propriétés statistiques des grands ensembles des particules ;
en mathématiques il est aussi, avec Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, l'un des fondateurs de l'analyse vectorielle.

[constante_de_Boltzmann-10] De la valeur de la constante de Boltzmann, constante adaptée à l'échelle microscopique, on déduit une grandeur adaptée à l'échelle macroscopique appelée « constante molaire des G.P. et notée $\;R\;$ » en utilisant la valeur de la constante d'Avogadro $\;{\mathcal {N}}\simeq 6,022\;10^{23}\;mol^{-1}\;$ selon $\;R=k_{B}\;{\mathcal {N}}\simeq 1,381\;10^{-23}\times 6,022\;10^{23}\simeq 8,314\;J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}$ ;
si nous multiplions les deux membres de la relation « $\;{\bigg \langle }{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{part}}\;v^{2}\!(M){\bigg \rangle }_{\!M\,\in \,\left(\delta \Omega \right)}={\dfrac {3}{2}}\;k_{B}\;T\;$ » par la constante d'Avogadro $\;{\mathcal {N}}\;$ nous obtenons, avec $\;m_{\text{part}}\;{\mathcal {N}}=M_{\text{air}}$ , « $\;{\dfrac {1}{2}}\;M_{\text{air}}\;\langle v^{2}\!(M)\rangle _{M\,\in \,\left(\delta \Omega \right)}$ $={\dfrac {3}{2}}\;R\;T\;$ » ou « $\;{\dfrac {1}{2}}\;M_{\text{air}}\,\left(v^{*}\right)^{2}={\dfrac {3}{2}}\;R\;T\;$ » avec $\;v^{*}\;$ la vitesse quadratique moyenne des molécules de l'échantillon définie selon $\;v^{*}={\sqrt {\langle v^{2}\!(M)\rangle _{M\,\in \,\left(\delta \Omega \right)}}}$ .
Ludwig Eduard Boltzmann (1844 - 1906) physicien et philosophe autrichien, voir la note « ⁹ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) physicien et chimiste du Piémont $\;{\big (}$ région actuelle de l'Italie ${\big )}\;$ , voir la note « ¹ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.

[11] L'ordre de grandeur de la fréquence de chocs entre molécules d'un gaz dans les conditions usuelles de température et de pression à savoir « $\;\simeq 10^{11}\;s^{-1}\;$ » est à connaître.

[Brown-12] 12,0 et ^12,1 Robert Brown (1773 - 1858) chirurgien, botaniste et explorateur écossais, essentiellement connu pour sa découverte $\;{\big (}$ non botanique ${\big )}\;$ du « mouvement brownien » en $\;1827$ .

[13] Ce qui n'est pas le cas à l’heure actuelle ou dans un futur immédiat $\;\ldots$

[fréquence_statistique-14] « La fréquence statistique » d’une vitesse donnée dans un échantillon mésoscopique est en fait « la proportion moyenne de molécules » pouvant avoir cette vitesse dans cet échantillon, « la fréquence statistique maximale » correspondant à « la vitesse la plus probable » des molécules de l'échantillon.

[15] Il y a principalement trois phases dans les conditions usuelles de température et de pression « solide, liquide ou vapeur ».

[Å-16] 16,0 et ^16,1 L'angström de symbole « $\;{\text{Å}}\;$ » est une unité de longueur adaptée à la physique atomique, sa valeur est « $\;1\;{\text{Å}}=10^{-10}\;m=0,1\;nm\;$ » ;
Anders Jonas Ångström (1814 - 1874) est un astronome et physicien suédois du XIX^ème siècle, c'est l'un des fondateurs de la spectroscopie.

[17] Les phases solide et liquide sont qualifiées de « condensées »,

[18] Voir la justification de l'ordre de grandeur au paragraphe « justification de l'ordre de grandeur du libre parcours moyen d'un système de particules en phase vapeur » plus loin dans ce chapitre.

[19] En effet nous établissons, dans le paragraphe « justification de l'ordre de grandeur du libre parcours moyen d'un système de particules en phase vapeur » plus loin dans ce chapitre, que
le volume de l'expansion tridimensionnelle disponible pour une particule entre deux chocs successifs est $\;\propto \;$ au libre parcours moyen de cette dernière,
comme une même quantité de particules occupe une expansion tridimensionnelle de volume $\;\simeq 1000\;$ fois plus grand en phase vapeur que les mêmes pourraient occuper en phase condensée $\;{\big (}$ ce qui correspond à une masse volumique en phase vapeur $\;\simeq 1000\;$ fois plus petite que celle en phase condensée ${\big )}$ , nous en déduisons que
le volume de l'expansion tridimensionnelle disponible en phase vapeur pour une particule entre deux chocs successifs est $\;\simeq 1000\;$ fois plus grand que celui en phase condensée $\;{\big (}$ rapport du volume disponible en phase vapeur sur celui en phase condensée inversement $\;\propto \;$ au rapport de la masse volumique en phase vapeur sur celle en phase condensée ${\big )}$ d'où
le rapport entre le libre parcours moyen d'une « phase vapeur » et celui d'une « phase condensée » estimé inversement $\;\propto \;$ au rapport de leur masse volumique $\;\ldots$

[20] Ou, ce qui revient au même, que les autres molécules $\;\left({\mathit {m}}\right)\;$ susceptibles d'entrer en collision avec $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ ont toutes mêmes vecteurs vitesse $\;{\vec {v}}_{({\mathit {m}})}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ , la molécule $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ y ayant, quant à elle, un vecteur vitesse différent $\;{\vec {v}}_{({\mathit {p}})}\;$ tel que $\;{\vec {v}}={\vec {v}}_{({\mathit {p}})}-{\vec {v}}_{({\mathit {m}})}\;$ soit le vecteur vitesse relative de $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ par rapport aux autres molécules monocinétiques $\;\left({\mathit {m}}\right)$ .

[21] Si le centre $\;M\;$ de molécule $\;\left({\mathit {m}}\right)\;$ subissant un choc avec la molécule projectile $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ était en moyenne sur une section droite du cylindre $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ localisée à une distance $\;\delta <\;$ à $\;{\mathit {l}}\;$ de la base passant par $\;P_{0}\;$ cela signifierait que le libre parcours moyen n'est pas $\;{\mathit {l}}\;$ mais $\;\delta$ ;
il est donc bien nécessaire que le centre $\;M\;$ de molécule $\;\left({\mathit {m}}\right)\;$ subissant un choc avec la molécule projectile $\;\left({\mathit {p}}\right)\;$ soit sur la base opposée à celle passant par la position $\;P_{0}$ $\;\ldots$

[22] La molécule dont le centre est présent dans le cylindre $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant la molécule projectile $\;\left({\mathit {p}}\right)$ , c'est en effet la seule molécule dont le centre y est présent entre les deux chocs successifs, les centres des molécules $\;\left({\mathit {m}}\right)\;$ immobiles et responsables de ces deux chocs successifs étant en moyenne situés à la périphérie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)$ , plus exactement très légèrement devant la base du cylindre passant par $\;P_{0}$ $\;{\big (}$ position de $\;P\;$ lors du 1^er choc ${\big )}\;$ et très légèrement derrière la base du cylindre passant par $\;{P'}_{\!0}$ $\;{\big (}$ position de $\;P\;$ lors du 2^nd choc ${\big )}$ $\;{\big [}$ devant et derrière étant définis relativement au sens de $\;{\vec {v}}{\big ]}$ .

[23] Un G.P. $\;{\big (}$ gaz parfait ${\big )}\;$ ayant un volume molaire dans les « conditions de température $\;\theta \simeq 20\;{\text{°C}}\;$ et de pression $\;p\simeq 1\;bar\;$ » $\;{\big (}$ ou de température absolue $\;T\simeq 293\;K\;$ et de pression $\;p\simeq$ $10^{5}\;Pa{\big )}\;$ déterminé par équation d'état « $\;p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}=R\;T\;$ » où « $\;R\simeq 8,31\;J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}\;$ est la constante molaire des G.P. » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « équation d'état sous forme locale d'un G.P. » du chap. $5$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » ${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}={\dfrac {R\;T}{p}}\simeq {\dfrac {8,31\times 293}{10^{5}}}\simeq 24,3\;10^{-3}\;m^{3}\cdot mol^{-1}\;$ ».

[24] C.-à-d. une perception donnant accès à la « répartition commune des vitesses $\;{\big (}$ en norme ${\big )}\;$ » des molécules du système.

[25] Une perception individuelle nécessiterait d'avoir accès au mouvement instantané de chaque molécule, ce qui est matériellement IMPOSsIBLE à cause du très grand nombre de molécules et de la très grande valeur de la fréquence de chocs de chacune d'elles.

[entité-26] 26,0 ^26,1 ^26,2 ^26,3 ^26,4 ^26,5 et ^26,6 C.-à-d. de molécules, d'atomes, d'ions, d'électrons ou de photons $\;{\big (}$ liste non exhaustive ${\big )}$ .

[27] Matériellement cela reste possible avec utilisation de gros ordinateurs jusqu'à « $\;N\simeq 100\;$ », ce qui est excessivement inférieur au nombre de particules d'un échantillon mésoscopique $\;\ldots$

[28] C.-à-d. n'évoluant pas avec le temps .

[29] Alors que la description complète d'un système mécanique de $\;N\;$ entités nécessite au moins $\;6\;N\;$ paramètres $\;{\big (}3\;$ coordonnées de position et $\;3\;$ composantes de vitesse par entité ${\big )}$ .

[30] Voir le paragraphe « définition de la température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique » du chap. $3$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».

[31] Voir le paragraphe « expression (statistique) de la pression cinétique exercée sur un élément de paroi d'aire dS par le G.P. en équilibre thermodynamique » du chap. $2$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » ;
pour la notion d'impulsion de force voir le paragraphe « impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel » du chap. $15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[32] Cela ne veut pas dire que l'extérieur ne fournit aucune énergie au système à travers la surface limitant ce dernier, ce qui importe c'est qu'en chacun des points de cette surface, les énergies cédées sous différentes formes par l'extérieur se compensent.

[33] Une façon de réaliser une différence de température entre les deux extrémités de la tige métallique est par exemple de mettre une extrémité au contact de la glace fondante $\;{\big (}$ cette extrémité est alors à $\;0\;{\text{°C}}{\big )}\;$ et l'autre extrémité au contact d'eau bouillante à pression standard c'est-à-dire $\;1\;bar$ $\;{\big (}$ cette extrémité est alors à $\;100\;{\text{°C}}{\big )}$ .

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