Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Statique dans le champ de pesanteur uniforme

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Les éléments de mécanique des systèmes sont traités dans le cadre newtonien et
l'espace physique dans lequel ils apparaissent est $\;{\big (}$sauf avis contraire${\big )}\;$ « orienté à droite ».

Établissement de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, la seule force volumique étant la force de pesanteur

But recherché

     Considérant un fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre dans un référentiel galiléen, la seule force volumique s’exerçant sur le fluide étant la force de pesanteur et les seules forces surfaciques les « forces pressantes exercées sur chaque particule de fluide de la part du reste de fluide », nous nous proposons de
     déterminer le lien existant entre la force volumique de pesanteur et la variation de la pression à l'intérieur du fluide en équilibre dans le référentiel d'étude galiléen.

Établissement de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, l’axe Oz étant vertical ascendant

Schéma d'une particule de fluide de forme cylindrique de bases horizontales et de génératrices verticales en équilibre dans un champ de pesanteur avec représentation des forces extérieures s'exerçant sur elle

     Soit une particule de fluide centrée en $\;M$, de forme cylindrique dont la section droite est horizontale d’aire élémentaire $\;d^{2}S\;$ et dont les bases sont respectivement situées aux « altitudes $\;z\;$ et $\;z+dz\;$» $\;{\big (}dz\;$ étant une variation élémentaire${\big )}\;$ en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme «$\;{\vec {g}}=-g\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\Big \{}g=\Vert {\vec {g}}\Vert \;$ étant l'intensité de la pesanteur${\Big \}}$, la « masse volumique de fluide $\;{\big (}$non nécessairement constante${\big )}\;$» étant notée «$\;\mu (M)\;$» et le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel nous nous proposons d'étudier l'équilibre du fluide est galiléen $\;{\big \{}$voir le schéma ci-contre $\;{\big (}$le cylindre a été représenté de révolution d’axe $\;\parallel \;$ à $\;Oz\;$ mais la base n’est pas nécessairement un disque${\big )}{\big \}}$ ;

     les forces extérieures s'exerçant sur la particule de fluide «$\;M\,\left(d^{3}{\mathcal {V}}=d^{2}S\;dz\right)\;$» étant :

• son poids «$\;dm\;{\vec {g}}=\mu (M)\;d^{3}{\mathcal {V}}\;{\vec {g}}=-\mu (M)\;d^{2}S\;dz\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big (}$seule force volumique${\big )}$,
• les forces pressantes $\;{\big (}$forces surfaciques${\big )}\;$
  $\;\succ \;$sur la base supérieure «$\;{\overrightarrow {d^{2}F}}_{S,\,{\text{sup}}}=-p(M_{\text{sup}})\;d^{2}S\;{\vec {u}}z\;$»,
  $\;\succ \;$sur la base inférieure «$\;{\overrightarrow {d^{2}F}}_{S,\,{\text{inf}}}=p(M_{\text{inf}})\;d^{2}S\;{\vec {u}}z\;$» et
  $\;\succ \;$sur la surface latérale «$\;{\overrightarrow {d^{3}F}}_{S,\,{\text{lat}}}(M_{\text{lat}})=-p(M_{\text{lat}})\;{\overrightarrow {d^{3}S}}_{\text{lat}}(M_{\text{lat}})\;$»,

     nous en déduisons la « C.N. d’équilibre de la particule dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen » à savoir « la somme des forces extérieures appliquées à la particule en équilibre est égale à $\;{\vec {0}}\;$» $\;{\big \{}$cette C.N. est une C.S. si la particule de fluide est initialement au repos $\;{\big (}$ce qui doit évidemment être envisagé pour un équilibre${\big )}$, sinon la C.N. correspondant à une absence d’accélération, la particule de fluide aurait un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel d'étude galiléen${\big \}}$.

• La seule force « active » étant le poids vertical, les forces « réactives » $\;{\big (}$c'est-à-dire les forces de pression${\big )}\;$ se compensent horizontalement et, si on considère un cylindre à bases adaptées au système de coordonnées cartésiennes c'est-à-dire « rectangulaires de côtés $\;\parallel \;$ à $\;Ox\;$ et à $\;Oy\;$» $\;{\Big (}$par exemple $\;{\overrightarrow {Ox}}\;\perp \;$ au plan de la figure ci-dessus et venant vers le lecteur, $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ dans le plan de la figure $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et orienté vers la droite tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ soit orthogonal direct $\;{\big [}$l'espace physique étant orienté à droite${\big ]}\;$${\Big )}$, nous en déduisons que
  $\;\succ \;$les forces pressantes s’exerçant sur les surfaces latérales $\;\parallel \;$ à $\;Oyz$, de direction $\;Ox$ $\;{\big (}\perp \;$ au plan de la figure ci-dessus${\big )}\;$ se compensent d'où «$\;p(M_{\text{lat, arrière}})\;dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}-p(M_{\text{lat, avant}})\;dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}={\vec {0}}\;$»       dont nous tirons, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et en simplifiant par $\;dy\;dz$, «$\;p(M_{\text{lat, arrière}})=p(M_{\text{lat, avant}})\;$» correspondant à l’« indépendance de la pression relativement à $\;x\;$» et que
  $\;\succ \;$les forces pressantes s’exerçant sur les surfaces latérales $\;\parallel \;$ à $\;Oxz$, de direction $\;Oy$ $\;{\big (}$dans le plan de la figure ci-dessus $\;\perp \;$ à $\;Oz{\big )}\;$ se compensent d'où «$\;p(M_{\text{lat, gauche}})\;dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}-p(M_{\text{lat, droite}})\;dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}={\vec {0}}\;$»       dont nous tirons, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et en simplifiant par $\;dx\;dz$, «$\;p(M_{\text{lat, gauche}})=p(M_{\text{lat, droite}})\;$» correspondant à l’« indépendance de la pression relativement à $\;y\;$» d'où
  $\;\succ \;$une 1^ère conséquence sur la variation de la pression avec les coordonnées du centre $\;M\;$ de la particule de fluide en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme « la pression en un point $\;M\;$ d'un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme ne dépend que de l'altitude${\underline {\;z}}\;$ de $\;M\;$».
• La force « active » c'est-à-dire le poids « étant verticale descendante », la somme des forces « réactives » c'est-à-dire la somme des forces pressantes sur les bases inférieure et supérieure $\;{\big (}$puisque les forces pressantes sur la surface latérale se compensent${\big )}\;$ « doit être verticale ascendante » $\Rightarrow$ la force pressante sur la base inférieure est de norme plus grande que celle sur la base supérieure d'où « la pression est d’autant plus petite que l’altitude est grande »
  c'est-à-dire «$\;p(z)\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;z\;$» ; la projection sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ de la C.N. d'équilibre du fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen nous conduisant à «$\;-p(M_{\text{sup}})\;d^{2}S+p(M_{\text{inf}})\;d^{2}S-\mu (M)\;d^{2}S\;dz\;g=0\;$» se réécrit «$\;-p\!\left(z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\,d^{2}S+p\!\left(z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\,d^{2}S-\mu (M)\;d^{2}S\;dz\;g=0\;$» soit, en effectuant le « D.L. de $\;p\!\left(z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\,$ et de $\;p\!\left(z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\,$ à l'ordre un en $\;dz\;$ au voisinage de $\;z\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq p(z)+{\dfrac {dp}{dz}}(z)\;{\dfrac {dz}{2}}\\p\!\left(z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq p(z)-{\dfrac {dp}{dz}}(z)\;{\dfrac {dz}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;-p\!\left(z+{\dfrac {dz}{2}}\right)+p\!\left(z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq -{\dfrac {dp}{dz}}(z)\;dz\;$ qui s'identifie à l'opposé de la différentielle de la pression soit $\;-dp\;$» d'où en multipliant par $\;-1\;$ et en simplifiant par $\;d^{2}S\;$ la réécriture de la C.N. d'équilibre du fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen «$\;dp(M)+\mu (M)\;g\;dz=0\;$» $\;{\big (}$quand $\;z\,\nearrow$, $\;dz\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ $\;dp\;$ est $\;<0$, donc $\;p\,\searrow {\big )}\;$
  avec $\;Oz\;$ axe vertical ascendant $\;{\big (}z\;$ étant l'altitude de $\;M{\big )}$, la relation «$\;dp(M)+\mu (M)\;g\;dz=0\;$» étant la « forme différentielle de la r.f.s.f. dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme ».

Remarque, forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, l’axe Oz étant vertical descendant

     La forme différentielle de la r.f.s.f. dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme avec l'axe vertical $\;Oz\;$ orienté dans le sens descendant $\;{\big (}z\;$ représentant alors la profondeur du point $\;M{\big )}\;$ s'obtient à partir de la forme différentielle de la r.f.s.f. avec $\;Oz\;$ orienté dans le sens ascendant en changeant $\;z\;$ en $\;-z\;$ soit

«$\;dp(M)-\mu (M)\;g\;dz=0\;$» $\;{\big (}$quand $\;z\,\nearrow$, $\;dz\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ $\;dp\;$ est $\;>0$, donc $\;p\,\nearrow {\big )}\;$
avec $\;Oz\;$ axe vertical descendant $\;{\big (}z\;$ étant la profondeur de $\;M{\big )}$.

Forme locale de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, la seule force volumique s'exerçant sur le fluide étant la force de pesanteur

     Sachant que le « gradient d'un champ scalaire de l'espace $\;s(M)\;$» noté $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[s\right](M)\;$ est « le champ vectoriel tel que sa circulation élémentaire est égale à la différentielle de la fonction scalaire $\;s(M)\;$» dont il « dérive » c'est-à-dire «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[s\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=ds(M)\;$»,

     la forme différentielle de la r.f.s.f. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen «$\;dp(M)+\mu (M)\;g\;dz=0\;$ avec $\;Oz\;$ axe vertical ascendant » peut être réécrite selon «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}+\mu (M)\;g\;dz=0\;$» où «$\,{\overrightarrow {dM}}\;$» est un vecteur déplacement élémentaire « quelconque » de composante verticale «$\;dz\;$» correspondant à la hauteur de la particule de fluide cylindrique précédemment utilisée centrée au point $\;M$ ;

     injectant «$\;dz={\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {u}}_{z}\;$» dans «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}+\mu (M)\;g\;dz=0\;$» nous obtenons «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}+\mu (M)\;g\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {u}}_{z}=0\;$» ou, en utilisant la commutativité de la multiplication scalaire puis en factorisant scalairement par $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ dans le 1^er membre, «$\;\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)+\mu (M)\;g\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$» soit encore, l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ étant ascendant $\Rightarrow$ $\;g\;{\vec {u}}_{z}=-{\vec {g}}$, la réécriture de la forme différentielle de la r.f.s.f. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen «$\;\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)-\mu (M)\;{\vec {g}}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$» ;

     cette dernière relation «$\;\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)-\mu (M)\;{\vec {g}}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$» étant vérifiée quel que soit le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ nous en déduisons «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)-\mu (M)\;{\vec {g}}={\vec {0}}\;$» ou encore

«$\;\mu (M)\;{\vec {g}}-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)={\vec {0}}\;\;\forall \;M\;$ du fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen »
cette relation étant la « forme locale de la r.f.s.f. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen »
$\;{\big (}$l'avantage de la forme locale sur la forme différentielle est que la 1^ère est indépendante du sens d'orientation de l'axe vertical${\big )}$.

Conséquence de la forme différentielle ou locale de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen sur la forme des isobares du fluide, ce dernier n’étant soumis qu’au champ de pesanteur

Conséquence de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, sur la forme des isobares

     Que l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ soit orienté dans le sens ascendant ou descendant, un déplacement élémentaire sur une isobare entraîne «$\;dp(M)=0\;$» dont nous déduisons

     «$\;dz=0\;$» par utilisation de l'une ou l'autre de la forme différentielle de la r.f.s.f. pour le fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen à savoir $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}dp(M)+\mu (M)\;g\;dz=0&\!\!{\text{si }}\!\!&\!\!{\overrightarrow {Oz}}\;{\text{est ascendant}}\\&\!\!{\text{ou }}\!\!&\\dp(M)-\mu (M)\;g\;dz=0&\!\!{\text{si }}\!\!&\!\!{\overrightarrow {Oz}}\;{\text{est descendant}}\end{array}}\right\rbrace \;$ c'est-à-dire que

« les isobares du fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen sont des plans horizontaux ».

     Nous pouvons aussi déduire de la forme différentielle de la r.f.s.f. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}\;$ dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen avec $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ vertical ascendant «$\;dp(M)+\mu (M)\;g\;dz=0\;$» que « la pression diminue quand l’altitude augmente » car «$\;dz>0\;$ $\Rightarrow$ $\;dp<0\;$» ainsi que

     Nous pouvons aussi déduire de la forme différentielle de la r.f.s.f. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}\;$ dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen avec $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ vertical descendant «$\;dp(M)-\mu (M)\;g\;dz=0\;$» que « la pression augmente quand la profondeur augmente » car «$\;dz>0\;$ $\Rightarrow$ $\;dp>0\;$».

Conséquence de la forme locale de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, sur la forme des isobares

     Par utilisation de la forme locale de la r.f.s.f. pour le fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen «$\;\mu (M)\;{\vec {g}}-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)={\vec {0}}\;$» laquelle peut être réécrite «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)=\mu (M)\;{\vec {g}}\;$», nous en déduisons que «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\;$ est vertical descendant » et par suite

     sachant que « la surface iso-U passant par $\;M\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$», la surface isobare passant par $\;M\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\;$ vertical est horizontal d'où

« les isobares du fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen sont des plans horizontaux » et

     sachant que «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ est orienté dans le sens des $\;U\;\nearrow \;$», le caractère vertical descendant de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\;$ $\Rightarrow$ la pression $\;\nearrow \;$ dans le sens vertical descendant c'est-à-dire
     sachant $\succ \;$avec un axe vertical $\;Oz\;$ orienté dans le sens ascendant $\;{\big (}z\;$ repérant alors l'altitude du point${\big )}\;$ « la pression augmente quand l'altitude diminue »,
     sachant $\succ \;$avec un axe vertical $\;Oz\;$ orienté dans le sens descendant $\;{\big (}z\;$ repérant alors la profondeur du point${\big )}\;$ « la pression augmente quand la profondeur augmente ».

Rappel de thermodynamique, notion de gaz parfait (G.P.)

     La notion de gaz parfait (G.P.) a été entrevue dans le cours de physique du secondaire, elle sera revue plus en détail dans le paragraphe « équation d'état sous forme intégrale d'une quantité n fixée d'un G.P. » du chap.$5$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».

« Définition » d’un gaz parfait (G.P.), formes locales de son équation d’état à l’équilibre thermodynamique

     Préliminaire : La définition d'un G.P. donnée ci-après est volontairement incomplète car n'est fournie que la partie nécessaire à l'introduction du « modèle du G.P. » de l'atmosphère terrestre $\;{\big (}$voir le paragraphe « modèle de l'atmosphère isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » plus loin dans le chapitre${\big )}$, il y manque l’aspect énergétique du G.P. qui n'y sera pas utilisé $\;\ldots$

« Définition (incomplète) » d’un gaz parfait (G.P.)

     Un G.P. est un gaz pur, « monophasé » dans la limite des « faibles densités volumiques entitaires » dont la forme locale de l’« équation d’état à l’équilibre thermodynamique » est «$\;p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}=R\;T\;$» dans laquelle      «$\;p\;$ est la pression du gaz en $\;Pa\;$», «$\;T\;$ la température en $\;K\;$ », «$\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\;$ le volume molaire en $\;m^{3}\cdot mol^{-1}\;$ défini par $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}=$ ${\dfrac {d{\mathcal {V}}}{dn}}\;$ avec $\;dn\;$ la quantité contenue dans l'expansion tridimensionnelle mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}\;$», «$\;R\;$ la constante molaire des G.P. caractérisant ces derniers indépendamment de leur nature et approximativement égale à $\;R\simeq 8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\;$».

     Remarque : La forme locale de l’équation d’état du G.P. en équilibre thermodynamique peut également s'écrire, en introduisant la « densité volumique molaire du gaz $\;n_{V}={\dfrac {dn}{d{\mathcal {V}}}}={\dfrac {1}{{\mathcal {V}}_{\text{mol}}}}\;$ en $\;mol\cdot m^{-3}\;$ avec $\;d{\mathcal {V}}\;$ le volume occupé par la quantité mésoscopique de gaz $\;dn\;$», sous la forme

«$\;p=n_{V}\;R\;T\;$» dans laquelle

     Remarque : «$\;p\;$ est la pression du gaz en $\;Pa\;$», «$\;T\;$ la température en $\;K\;$ et «$\;R\;$ la constante molaire des G.P. caractérisant ces derniers indépendamment de leur nature et approximativement égale à $\;R\simeq 8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\;$».

Forme « globale » de l’équation d’état d’un gaz parfait (G.P.) à l’équilibre thermodynamique

     Dans la mesure où un G.P. est nécessairement monophasé, il est « homogène », c'est-à-dire que « sa densité volumique molaire $\;n_{V}={\dfrac {dn}{d{\mathcal {V}}}}\;$ est constante » ou, ce qui est équivalent, « son volume molaire $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}={\dfrac {d{\mathcal {V}}}{dn}}\;$ est constant » $\;{\big (}dn\;$ étant la quantité d'entités contenue dans l'échantillon mésoscopique de volume $\;d{\mathcal {V}}\;$ centrée en $\;M{\big )}$ ;

     le caractère constant du volume molaire $\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\;$ d'un G.P. en équilibre thermodynamique permet de déduire le « volume $\;{\mathcal {V}}\;$» occupé par une « quantité finie $\;n\;$ d'entités » de ce G.P. en équilibre thermodynamique selon «$\;{\mathcal {V}}=n\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\;$» ;

     partant de la forme locale de l’équation d’état d’un G.P. à l’équilibre thermodynamique «$\;p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}=R\;T\;$» et multipliant chaque membre de cette forme locale par la quantité d'entités $\;n\;$ présente dans ce G.P. étudié, nous obtenons «$\;n\,\left[p\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right]=n\,\left[R\;T\right]\;$» ou «$\;p\,\left[n\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\right]=n\;R\;T\;$» soit enfin, avec «$\;{\mathcal {V}}=n\;{\mathcal {V}}_{\text{mol}}\;$»,

la forme globale de l’équation d’état d'une quantité $\;n\;$ d'entités d'un à l’équilibre thermodynamique
«$\;p\;{\mathcal {V}}=n\;R\;T\;$» dans laquelle
«$\;p\;$ est la pression du gaz en $\;Pa\;$», «$\;T\;$ la température en $\;K\;$ », «$\;{\mathcal {V}}\;$ le volume en $\;m^{3}\;$ occupé par la quantité $\;n\;$ en $\;mol\;$» et
«$\;R\;$ la constante molaire des G.P. caractérisant ces derniers indépendamment de leur nature et approximativement égale à $\;R\simeq 8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\;$».

Modèle de l’atmosphère isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme

     Nous considérons que l'atmosphère terrestre est en « équilibre thermodynamique » $\;{\big (}$c'est-à-dire sans vents dans l'atmosphère${\big )}\;$ dans un « champ de pesanteur uniforme » $\;{\big (}$l'atmosphère terrestre n'est donc pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion d'atmosphère limitée dans l'espace de façon à ce que $\;{\vec {g}}\;$ y soit uniforme${\big )}\;$ du « référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ supposé galiléen », de plus

     Nous considérons que l'atmosphère terrestre est supposée « isotherme » $\;{\big (}$c'est-à-dire que la température de l'atmosphère est supposée « constante » sur toute portion d'atmosphère étudiée${\big )}\;$ sa température étant notée $\;T_{0}\;$ par la suite, et enfin

     Nous considérons que toute « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » $\;{\big (}$au sens de particule de fluide${\big )}\;$ est « monophasée » constituant une phase élémentaire dont l’équation d’état est celle d’un « G.P. en équilibre thermodynamique » $\;{\big (}$pour cela il est nécessaire de remplacer les différentes sortes de molécules présentes dans la particule d'atmosphère par un seul type de molécule « moyenne » dont la masse molaire moléculaire est «$\;M_{\text{air}}\simeq 29\;g\cdot mol^{-1}\simeq 29\;10^{-3}\;kg\cdot mol^{-1}\;$»${\big )}\;$ s’écrivant sous forme intégrée

«$\;p(Q)\;d{\mathcal {V}}_{Q}=dn_{Q}\;R\;T(Q)\;$» dans laquelle

     Nous considérons que toute « particule d'atmosphère «$\;p(Q)\;$ et $\;T(Q)\;$ sont respectivement la pression et la température locales », «$\;R\;$ la constante molaire des G.P. approximativement égale à $\;8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\;$» et «$\;dn_{Q}\;$ la quantité de molécules « moyennes » de la particule d'atmosphère de volume $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ liée à la masse $\;dm_{Q}\;$ de celle-ci par $\;dn_{Q}={\dfrac {dm_{Q}}{M_{\text{air}}}}\;$» ;
     Nous considérons que toute « particule d'atmosphère reportant «$\;dn_{Q}={\dfrac {dm_{Q}}{M_{\text{air}}}}\;$» dans la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » en équilibre thermodynamique, nous obtenons pour nouvelle forme intégrée de cette particule d'atmosphère «$\;p(Q)\;d{\mathcal {V}}_{Q}={\dfrac {dm_{Q}}{M_{\text{air}}}}\;R\;T(Q)\;$» se réécrivant

«$\;p(Q)\;d{\mathcal {V}}_{Q}=dm_{Q}\;{\dfrac {R}{M_{\text{air}}}}\;T(Q)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ » ;

     Nous considérons que toute « particule d'atmosphère de la forme intégrée $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » en équilibre thermodynamique, nous obtenons, en divisant chacun de ses membres par $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ et en introduisant la « masse volumique de la particule d'atmosphère $\;\mu (Q)={\dfrac {dm_{Q}}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}\;$» la forme locale $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ associée à la forme intégrée $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » en équilibre thermodynamique,

«$\;p(Q)=\mu (Q)\;{\dfrac {R}{M_{\text{air}}}}\;T(Q)\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ ».

     En conclusion la « particule d'atmosphère isotherme à la température $\;T_{0}\;$ centrée en $\;Q\;$ en équilibre thermodynamique » prend pour forme locale de son équation d'état faisant intervenir les deux paramètres locaux dépendant de $\;Q\;$ à savoir « la pression $\;p(Q)\;$ et la masse volumique $\;\mu (Q)\;$»

«$\;p(Q)={\dfrac {R\;T_{0}}{M_{\text{air}}}}\;\mu (Q)\;\;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$ » $\;{\big \{}p(Q)\;$ étant $\;\propto \;$ à $\;\mu (Q)\;$${\big \}}$.

Détermination du champ de pression dans l’atmosphère isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme

     Dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen, la forme différentielle de la r.f.s.f. d’une atmosphère en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}$ $\;{\big (}$le seul champ de force pris en compte${\big )}\;$ uniforme $\;{\big (}$pour cela l'atmosphère terrestre n'est pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion limitée dans l'espace d'« étendue horizontale maximale $\;400\;km\;{\mathtt {x}}\;400\;km\;$» et de « variation maximale d'altitude $\;\left[0\,,\,30\;km\right]\;$»${\big )}$, écrite au point $\;Q\;$ d'altitude $\;z$ $\;{\Big (}$l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ étant ascendant et $\;O\;$ le point de la surface du globe situé à la verticale du point $\;Q{\Big )}\;$ étant

«$\;dp(z)+\mu (z)\;g\;dz=0\;$ » avec
«$\;p(z)\;$ et $\;\mu (z)\;$ respectivement la pression et la masse volumique de l'atmosphère en $\;Q\;$», $\;g\;$ étant l'intensité de la pesanteur,

     le choix du « modèle de l’atmosphère isotherme à la température $\;T_{0}\;$» permet, en utilisant la relation $\;\left({\mathfrak {a}}''\right)$, de « remplacer $\;\mu (z)\;$ par $\;{\dfrac {M_{\text{air}}}{R\;T_{0}}}\;p(z)\;$ » d'où «$\;dp(z)+{\dfrac {M_{\text{air}}}{R\;T_{0}}}\;p(z)\;g\;dz=0\;$» et finalement la pression de l'atmosphère au point $\;Q\;$ se détermine en résolvant l’équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en $\;p(z)\;$ homogène

«$\;{\dfrac {dp}{dz}}(z)+{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;p(z)=0\;$» ;

     la résolution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre en $\;p(z)\;$ homogène nous conduit à «$\;p(z)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\right)\;$» avec «$\;A\;$ constante à déterminer par utilisation de la C.A.L. $\;p(z=0)=p_{0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;p_{0}=p(0)=A\;$» soit finalement l'expression du champ de pression dans le modèle de l’atmosphère terrestre isotherme soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen

«$\;p(z)=p_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\right)\;$» traduisant
une décroissance exponentielle de la pression de l'atmosphère avec l'altitude de sa mesure.

Ordre de grandeur du champ de pression dans l’atmosphère réelle en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et comparaison à celui du modèle de l’atmosphère isotherme

Constante d'altitude « d » du modèle de l'atmosphère isotherme à la température T₀ en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et réécriture de son champ de pression en fonction de « d »

     La pression $\;p(z)\;$ du modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;T_{0}\;$ en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme, décroissant exponentiellement avec l'altitude $\;z\;$ du lieu de sa mesure dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen selon «$\;p(z)=p_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\right)\;$» avec $\;p_{0}\;$ la pression au niveau du sol, nous définissons

     une constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température${\underline {\;T_{0}}}$ «$\;d={\dfrac {R\;T_{0}}{M_{\text{air}}\;g}}\;$ en $\;m\;$» permettant de réécrire la « variation de la pression avec l'altitude $\;z\;$» selon

«$\;p(z)=p_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {z}{d}}\right)\;$» avec «$\;z\;$ en $\;m\;$»,
${\Big \{}p(z)\;$ et $\;p_{0}\;$ étant dans la même unité de pression « le $\;Pa\;$» $\;{\big (}$ou un multiple « le $\;bar=10^{5}\;Pa\;$»${\big )}{\Big \}}$ ;

     $\;\succ \;$ à l'altitude $\;z=d$, la pression vaut «$\;p(d)=p_{0}\;\exp(-1)\simeq 37\;\%\;{\text{de}}\;p_{0}\;$»,

     $\;\succ \;$ à l'altitude $\;z=3\;d$, la pression vaut «$\;p(d)=p_{0}\;\exp(-3)\simeq 5,0\;\%\;{\text{de}}\;p_{0}\;$» et

     $\;\succ \;$ à l'altitude $\;z=5\;d$, la pression vaut «$\;p(d)=p_{0}\;\exp(-5)\simeq 0,67\;\%\;{\text{de}}\;p_{0}\;$» $\;{\big (}\ll \;$ par rapport à $\;p_{0}$, correspondant donc à un milieu très dilué assimilable au vide $\Rightarrow$ $\;H=5\;d\;$ peut être considéré comme la hauteur pratique du modèle de l'atmosphère isotherme c'est-à-dire que le « plafond de celui-ci, théoriquement situé à l'infini, est, dans la pratique, ramené à l'altitude $\;5\;d\;$»${\big )}$.

Face Nord de l'Everest vue du Camp de base tibétain situé à $\;5200\;m\;$ d'altitude $\;{\big (}$Luca Galuzzi en $\;2006{\big )}$

     A.N. : Considérant une température centésimale d’atmosphère égale à «$\;\theta _{0}\simeq 15\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue «$\;T_{0}\simeq 288\;K\;$», la constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à cette température $\;T_{0}\;$ vaut «$\;d={\dfrac {R\;T_{0}}{M_{\text{air}}\;g}}\simeq {\dfrac {8,314\times 288}{29\;10^{-3}\times 9,81}}\;$ en $\;m\;$ soit $\;d\simeq 8415\;m\;$» que nous arrondissons à «$\;d\simeq 8,4\;km\;$» $\;{\big (}$à comparer au « point culminant de l'Everest d’altitude $\;8848\;m\;$» voir ci-contre${\big )}$ ;

          A.N. : pour une pression au niveau du sol «$\;p_{0}\simeq 1,013\;bar=1,013\;10^{5}\;Pa\;$», la pression du modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;T_{0}\simeq 288K\;$ en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme ne vaut plus que

          A.N. : $\;\succ \;$à l'« altitude $\;d\simeq 8400\;m\;$» «$\;p(d)\simeq 1,013\times \exp(-1)\;$ en $\;bar\;$ soit $\;p(d)\simeq 0,373\;bar\;$»,

          A.N. : $\;\succ \;$à l'« altitude $\;2\;d\simeq 16800\;m\;$» «$\;p(2\;d)\simeq 1,013\times \exp(-2)\;$ en $\;bar\;$ soit $\;p(2\;d)\simeq 0,137\;bar\;$»,

          A.N. : $\;\succ \;$à l'« altitude $\;3\;d\simeq 25200\;m\;$» «$\;p(3\;d)\simeq 1,013\times \exp(-3)\;$ en $\;bar\;$ soit $\;p(3\;d)\simeq 0,0504\;bar\;$»,

          A.N. : $\;\succ \;$à l'« altitude $\;4\;d\simeq 33600\;m\;$» «$\;p(4\;d)\simeq 1,013\times \exp(-4)\;$ en $\;bar\;$ soit $\;p(4\;d)\simeq 0,0186\;bar\;$» et

          A.N. : $\;\succ \;$à l'« altitude $\;5\;d\simeq 42000\;m\;$» «$\;p(5\;d)\simeq 1,013\times \exp(-5)\;$ en $\;bar\;$ soit $\;p(5\;d)\simeq 0,00683\;bar\;$» soit moins de $\;1\;\%\;$ de la pression au niveau du sol $\;\ldots \;$ Pouvant estimer qu'à cette altitude le modèle de l’atmosphère isotherme est suffisamment raréfié pour être assimilée à un « vide relatif » nous en déduisons le niveau pratique du plafond du modèle de l'atmosphère isotherme situé à l'altitude de $\;40000\;m$.

Comparaison à l’atmosphère réelle

     Avec une température centésimale d’atmosphère au niveau du sol égale à «$\;\theta _{0}\simeq 15\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue à l'altitude nulle «$\;T_{0}\simeq 288\;K\;$», la pression réelle de l'atmosphère en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme pour une pression au niveau du sol «$\;p_{0}\simeq 1,013\;bar=1,013\;10^{5}\;Pa\;$» est,

     $\;\succ \;$à l'« altitude $\;d\simeq 8400\;m\;$» «$\;p_{\text{réelle}}(d)\simeq 0,336\;bar\;$» $\Rightarrow$ la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de $\;{\dfrac {0,373-0,336}{0,336}}\simeq 11\;\%\;$ de $\;p_{\text{réelle}}(d)\;$» $\;{\big (}$l'erreur de l'ordre de $\;10\;\%\;$ restant dans le domaine du raisonnable${\big )}$,

     $\;\succ \;$à l'« altitude $\;2\;d\simeq 16800\;m\;$» «$\;p_{\text{réelle}}(2\;d)\simeq 0,0901\;bar\;$» $\Rightarrow$ la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de $\;{\dfrac {0,137-0,0901}{0,0901}}\simeq 52\;\%\;$ de $\;p_{\text{réelle}}(2\;d)\;$» $\;{\big \{}$mesurant une pression de $\;0,0901\;bar\;$ et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;288\;K\;$ pour déterminer l'altitude $\;{\big (}$principe des altimètres${\big )}\;$ nous trouverions une altitude de $\;20300\;m\;$ !${\big \}}$,

     $\;\succ \;$à l'« altitude $\;3\;d\simeq 25200\;m\;$» «$\;p_{\text{réelle}}(3\;d)\simeq 0,0241\;bar\;$» $\Rightarrow$ la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de $\;{\dfrac {0,0504-0,0241}{0,0241}}\simeq 1,09\times p_{\text{réelle}}(3\;d)\;$» $\;{\big \{}$mesurant une pression de $\;0,0241\;bar\;$ et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;288\;K\;$ pour déterminer l'altitude $\;{\big (}$principe des altimètres${\big )}\;$ nous trouverions une altitude de $\;31400\;m\;$ ! !${\big \}}$,

     $\;\succ \;$à l'« altitude $\;4\;d\simeq 33600\;m\;$» «$\;p_{\text{réelle}}(4\;d)\simeq 0,00300\;bar\;$» $\Rightarrow$ la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de $\;{\dfrac {0,0186-0,00300}{0,00300}}\simeq 5,2\times p_{\text{réelle}}(4\;d)\;$» $\;{\big \{}$mesurant une pression de $\;3,00\;mbar\;$ et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;288\;K\;$ pour déterminer l'altitude $\;{\big (}$principe des altimètres${\big )}\;$ nous trouverions une altitude de $\;48900\;m\;$ ! ! !${\big \}}\;$ et

     $\;\succ \;$à l'« altitude $\;5\;d\simeq 42000\;m\;$» «$\;p_{\text{réelle}}(5\;d)\simeq 0,000928\;bar\;$» $\Rightarrow$ la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de $\;{\dfrac {6,83\;10^{-3}-0,928\;10^{-3}}{0,928\;10^{-3}}}\simeq 6,36\times p_{\text{réelle}}(5\;d)\;$» $\;{\big \{}$mesurant une pression de $\;0,928\;mbar\;$ et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;288\;K\;$ pour déterminer l'altitude $\;{\big (}$principe des altimètres${\big )}\;$ nous trouverions une altitude de $\;58800\;m\;$ ! ! ! !${\big \}}$.

     Remarque : Avec l'hypothèse qu'une mesure de pression réelle de moins de $\;1\;\%\;$ de la pression au niveau du sol permet de considérer l'atmosphère suffisamment raréfiée pour être assimilée à un « vide relatif » le niveau pratique du plafond de l'atmosphère réelle est situé à l'altitude de $\;\simeq 31000\;m\;$ au lieu de $\;40000\;m\;$ pour le modèle de l'atmosphère isotherme à la température $\;288\;K\;$.

Interprétation des écarts de pression entre celle de l’atmosphère réelle et celle du modèle de l’atmosphère isotherme

     Modélisation plus fine de l'atmosphère réelle : pour modéliser plus finement l’atmosphère terrestre réelle, nous la considérerons comme constituée de couches sphériques se superposant à partir de la surface du globe selon les variations d'altitude suivantes :

• nous trouvons sur «$\;\left[\,0\;km\;,\,11\;km\,\right]\;$» la « troposphère » dans laquelle la température $\;\searrow \;$ linéairement de «$\;6,5\;K\cdot km^{-1}\;$»,
• nous trouvons sur «$\;\left[\,11\;km\;,\,20\;km\,\right]\;$» la « tropopause suivie de la basse stratosphère » dans laquelle la température reste constante $\;{\Bigg \{}$si la température centésimale du sol est «$\;\theta _{\text{sol}}=15\;{\text{°C}}\;$» celle de cette couche est «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{tropopause et}}\\{\text{basse stratosphère}}\end{array}}}\simeq \theta _{\text{haut de troposphère}}\simeq \theta _{\text{sol}}-6,5\times 11\simeq -56,5\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{tropopause et}}\\{\text{basse stratosphère}}\end{array}}}\simeq -56,5+273,15\simeq 216,5\;K\;$»${\Bigg \}}$,
• nous trouvons sur «$\;\left[\,20\;km\;,\,32\;km\,\right]\;$» la « moyenne stratosphère » dans laquelle la température $\;\nearrow \;$ linéairement de «$\;1\;K\cdot km^{-1}\;$» $\;{\Bigg \{}$si la température centésimale du sol est «$\;\theta _{\text{sol}}=15\;{\text{°C}}\;$» celle de cette couche varie de «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{tropopause et}}\\{\text{basse stratosphère}}\end{array}}}\simeq -56,5\;{\text{°C}}\;$» à «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface moyenne et}}\\{\text{haute stratosphères}}\end{array}}}\simeq \theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{tropopause et}}\\{\text{basse stratosphère}}\end{array}}}+1\times 12\simeq -44,5\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue variant de «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{tropopause et}}\\{\text{basse stratosphère}}\end{array}}}$ $\simeq 216,5\;K\;$» à «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface moyenne et}}\\{\text{haute stratosphères}}\end{array}}}\simeq 228,5\;K\;$»${\Bigg \}}$,
• nous trouvons sur «$\;\left[\,32\;km\;,\,47\;km\,\right]\;$» la « haute stratosphère » dans laquelle la température $\;\nearrow \;$ linéairement de «$\;2,8\;K\cdot km^{-1}\;$» $\;{\Bigg \{}$si la température centésimale du sol est «$\;\theta _{\text{sol}}=15\;{\text{°C}}\;$» celle de cette couche varie de «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface moyenne et}}\\{\text{haute stratosphères}}\end{array}}}\simeq -44,5\;{\text{°C}}\;$» à «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{limite sup. de la}}\\{\text{haute stratosphère}}\end{array}}}\simeq \theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface moyenne et}}\\{\text{haute stratosphères}}\end{array}}}+2,8\times 15\simeq -2,5\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue $\;\nearrow \;$ de «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{tropopause et}}\\{\text{basse stratosphère}}\end{array}}}$ $\simeq 216,5\;K\;$» à «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{limite sup. de la}}\\{\text{haute stratosphère}}\end{array}}}\simeq 270,5\;K\;$»${\Bigg \}}$,
• nous trouvons sur «$\;\left[\,47\;km\;,\,51\;km\,\right]\;$» la « stratopause » dans laquelle la température reste constante $\;{\Bigg \{}$si la température centésimale du sol est «$\;\theta _{\text{sol}}=15\;{\text{°C}}\;$» celle de cette couche est «$\;\theta _{\text{stratopause}}$ $\simeq \theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{limite de la}}\\{\text{haute stratosphère}}\end{array}}}\simeq -2,5\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue «$\;T_{\text{stratopause}}\simeq 270,5\;K\;$»${\Bigg \}}\;$ ensuite
• nous trouvons sur «$\;\left[\,51\;km\;,\,85\;km\,\right]\;$» la « mésosphère » se composant
  $\;\succ \;$d'une « 1^ère couche sur $\;\left[\,51\;km\;,\,71\;km\,\right]\;$» dans laquelle la température $\;\searrow \;$ linéairement de «$\;2,8\;K\cdot km^{-1}\;$» $\;{\Bigg \{}$si la température centésimale du sol est «$\;\theta _{\text{sol}}=15\;{\text{°C}}\;$» celle de cette couche varie de «$\;\theta _{\text{stratopause}}\simeq -2,5\;{\text{°C}}\;$» à «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface basse et}}\\{\text{haute mésosphères}}\end{array}}}\simeq \theta _{\text{stratopause}}-2,8\times 20\simeq -58,5\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue $\;\searrow \;$ de «$\;T_{\text{stratopause}}\simeq 270,5\;K\;$» à «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface basse et}}\\{\text{haute mésosphères}}\end{array}}}$ $\simeq 214,5\;K\;$»${\Bigg \}}$ et

Aurore australe en Antarctique

Aurore australe photographiée depuis la navette spatiale Discovery lors du maximum solaire de $1991$

$\;\succ \;$d'une « 2^ème couche sur $\;\left[\,71\;km\;,\,85\;km\,\right]\;$» dans laquelle la température $\;\searrow \;$ linéairement de «$\;2,0\;K\cdot km^{-1}\;$» $\;{\Bigg \{}$si la température centésimale du sol est «$\;\theta _{\text{sol}}=15\;{\text{°C}}\;$» celle de cette couche varie de «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface basse et}}\\{\text{haute mésosphères}}\end{array}}}\simeq -58,5\;{\text{°C}}\;$» à «$\;\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{limite sup. de}}\\{\text{la mésosphère}}\end{array}}}\simeq$ $\theta _{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface basse et}}\\{\text{haute mésosphères}}\end{array}}}-2,0\times 14\simeq -86,5\;{\text{°C}}\;$» soit une température absolue $\;\searrow \;$ de «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{interface basse et}}\\{\text{haute mésosphères}}\end{array}}}\simeq 214,5\;K\;$» à «$\;T_{{\Big \vert }{\begin{array}{l}{\text{limite sup. de}}\\{\text{la mésosphère}}\end{array}}}$ $\simeq 186,5\;K\;$»${\Bigg \}}\;$ puis

• nous trouvons sur «$\;\left[\,85\;km\;,\,640\;km\,\right]\;$» la « thermosphère » dans laquelle la température reste constante sur «$\;\left[\,85\;km\;,\,100\;km\,\right]\;$» puis $\;\nearrow \;$ avec l'altitude jusqu'à une température oscillant entre $\;300\;{\text{°C}}\;$ et $\;1600\;{\text{°C}}\;$ suivant l'activité solaire $\;{\Big \{}$sur «$\;\left[\,100\;km\;,\,150\;km\,\right]\;$», le dioxygène moléculaire $\;O_{2}\;$ absorbe les très courtes longueurs d'onde $\;{\big (}$entre $\;100\;$ et $\;200\;nm{\big )}\;$ de l'ultraviolet solaire ce qui a pour effet une $\;\nearrow \;$ de la température en rapport avec la quantité d'ultraviolet absorbée${\Big \}}\;$ et enfin
• nous trouvons sur «$\;\left[\,640\;km\;,\,50000\;km\,\right]\;$» l'« exosphère » dans laquelle la température n'a plus de signification $\;{\big \{}$en effet la température absolue en un point $\;Q\;$ étant, par définition, $\;\propto \;$ à l’énergie cinétique moyenne d’agitation des molécules présentes à un instant donné dans un échantillon de petit volume à l'échelle macroscopique $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ centré en $\;Q\;$ et cette moyenne ne pouvant être faite que si l'échantillon considéré est mésoscopique $\;{\big (}$c'est-à-dire s'il y a suffisamment de molécules pour faire de la statistique${\big )}$, ce qui n’est plus le cas dans l’exosphère${\big \}}$ ;
• au-delà, le milieu étant beaucoup trop dilué $\;{\big (}$et inhomogène${\big )}$, la notion d'atmosphère n'a plus de signification, nous y trouvons des particules circulant librement provenant de la « magnétosphère terrestre » $\;{\big \{}$ensemble des lignes de champs magnétiques terrestres entourant la Terre $\;{\text{♁}}$, située au-delà de l'ionosphère $\;{\big (}$voir la localisation de celle-ci dans la note « ⁵⁴ » plus haut dans ce chapitre${\big )}$, plus précisément au-dessus de $\;800\;$ à $\;1000\;km\;$ d'altitude, lignes déformées par l’action du vent solaire et à l'intérieur desquelles est piégé un plasma $\;{\big (}$c'est-à-dire des particules chargées libres sous forme d’électrons et d’ions${\big )}{\big \}}$ ainsi que du « vent solaire » $\;{\big \{}$flux de plasma éjecté de la haute atmosphère du Soleil $\;{\text{☉}}$, essentiellement composé d’électrons et d’ions pouvant être très énergétiques${\big \}}$, voir schéma ci-dessous à droite.

Structure de la magnétosphère terrestre

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : La principale cause d’écart, sur l'intervalle «$\;\left[\,0\;km\;,\,11\;km\,\right]\;$ d'altitude c'est-à-dire la troposphère », du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur uniforme du référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen par rapport au champ de pression de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L. prise au niveau du sol est le caractère « non isotherme » de l’atmosphère $\;{\big \{}$voir un modèle mieux adapté traité « en exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l'atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » dans le paragraphe suivant${\big \}}$ ;

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle «$\;\left[\,11\;km\;,\,20\;km\,\right]\;$ d'altitude c'est-à-dire la tropopause » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle est principalement dû à la température de l'atmosphère isotherme qui doit être choisie $\;71,5\;{\text{°C}}\;$ plus basse et très légèrement aussi à l'intensité de la pesanteur terrestre qui est un peu plus faible, la C.A.L. devant bien sûr être choisie à la base de la tropopause ;

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle «$\;\left[\,20\;km\;,\,32\;km\,\right]\;$ d'altitude c'est-à-dire la moyenne stratosphère » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L. prise à la base de la moyenne stratosphère est principalement le caractère « non isotherme » de l’atmosphère et légèrement aussi la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui est un plus faible $\;{\big \{}$voir un modèle mieux adapté traité « en exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l'atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » dans le paragraphe suivant${\big \}}$ ;

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle «$\;\left[\,32\;km\;,\,47\;km\,\right]\;$ d'altitude c'est-à-dire la haute stratosphère » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L. prise à la base de la haute stratosphère est là encore principalement le caractère « non isotherme » de l’atmosphère et aussi la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui est plus faible $\;{\big \{}$voir un modèle mieux adapté traité « en exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l'atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » dans le paragraphe suivant${\big \}}$ ;

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle «$\;\left[\,47\;km\;,\,51\;km\,\right]\;$ d'altitude c'est-à-dire la stratopause » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L. prise à la base de la stratopause est principalement dû à la température de l'atmosphère isotherme qui doit être choisie $\;17,5\;{\text{°C}}\;$ plus basse et aussi à la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui est plus faible $\;\ldots$

En exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l’atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme

Modèle de l’atmosphère à gradient de température uniforme dans un champ de pesanteur uniforme

     Nous considérons l'atmosphère terrestre en « équilibre thermodynamique » $\;{\big (}$c'est-à-dire sans vents dans l'atmosphère${\big )}\;$ dans un « champ de pesanteur uniforme » $\;{\big (}$l'atmosphère terrestre n'est donc pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion d'atmosphère limitée dans l'espace de façon à ce que $\;{\vec {g}}\;$ y soit uniforme${\big )}\;$ du « référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ supposé galiléen », mais dans ce modèle

     Nous considérons la « température de l'atmosphère terrestre est supposée varier linéairement avec l'altitude » $\;{\Big [}$c'est-à-dire que la température de l'atmosphère à l'altitude $\;z\;$ s'écrit «$\;T(z)=T_{0}-a\,\left(z-z_{0}\right)\;$ avec $\;a=cste\;$» sur toute portion d'atmosphère étudiée, $\;T_{0}\;$ étant la température du point de cette portion à l'altitude $\;z_{0}\;$ avec $\;a>0\;$ si $\;T(z)\;\searrow \;$ avec l'altitude $\;{\Big \{}$cas de l'atmosphère terrestre à partir de l'altitude nulle jusqu'à $\;11\;km\;$ d'altitude $\;{\big (}$c'est-à-dire la troposphère${\big )}{\Big \}}\;$ et $\;a<0\;$ si $\;T(z)\;\nearrow \;$ avec l'altitude $\;{\Big \{}$cas de l'atmosphère terrestre à partir de $\;20\;km\;$ jusqu'à $\;32\;km\;$ d'altitude $\;{\big (}$c'est-à-dire la moyenne stratosphère${\big )}\;$ et celui de l'atmosphère terrestre à partir de $\;32\;km\;$ jusqu'à $\;47\;km\;$ d'altitude $\;{\big (}$c'est-à-dire la haute stratosphère${\big )}{\Big \}}{\Big ]}$, la variation linéaire de la température avec l'altitude correspondant à un « gradient de température $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](Q)\;$ vertical uniforme » plus exactement «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](Q)=-a\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;a=cste\;$» $\;{\Big \{}$avec $\;a\simeq 6,5\;K\cdot km^{-1}\;$ dans la troposphère, $\;a\simeq -1,0\;K\cdot km^{-1}\;$ dans la moyenne stratosphère, $\;a\simeq -2,8\;K\cdot km^{-1}\;$ dans la haute stratosphère${\Big \}}\;$ et enfin

     Nous considérons toute « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » $\;{\big (}$au sens de particule de fluide${\big )}\;$ est « monophasée » constituant une phase élémentaire dont l’équation d’état est celle d’un « G.P. en équilibre thermodynamique » $\;{\big (}$pour cela il est nécessaire de remplacer les différentes sortes de molécules présentes dans la particule d'atmosphère par un seul type de molécule « moyenne » dont la masse molaire moléculaire est «$\;M_{\text{air}}\simeq 29\;g\cdot mol^{-1}\simeq 29\;10^{-3}\;kg\cdot mol^{-1}\;$»${\big )}\;$ s’écrivant sous forme intégrée

«$\;p(Q)\;d{\mathcal {V}}_{Q}=dn_{Q}\;R\;T(Q)\;$» dans laquelle

     Nous considérons toute « particule d'atmosphère «$\;p(Q)\;$ et $\;T(Q)\;$ sont respectivement la pression et la température locales », «$\;R\;$ la constante molaire des G.P. approximativement égale à $\;8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\;$» et «$\;dn_{Q}\;$ la quantité de molécules « moyennes » de la particule d'atmosphère de volume $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ liée à la masse $\;dm_{Q}\;$ de celle-ci par $\;dn_{Q}={\dfrac {dm_{Q}}{M_{\text{air}}}}\;$» ;
     Nous considérons toute « particule d'atmosphère reportant «$\;dn_{Q}={\dfrac {dm_{Q}}{M_{\text{air}}}}\;$» dans la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » en équilibre thermodynamique, nous obtenons pour nouvelle forme intégrée de cette particule d'atmosphère «$\;p(Q)\;d{\mathcal {V}}_{Q}={\dfrac {dm_{Q}}{M_{\text{air}}}}\;R\;T(Q)\;$» se réécrivant

«$\;p(Q)\;d{\mathcal {V}}_{Q}=dm_{Q}\;{\dfrac {R}{M_{\text{air}}}}\;T(Q)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ » ;

     Nous considérons toute « particule d'atmosphère de la forme intégrée $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » en équilibre thermodynamique, nous obtenons, en divisant chacun de ses membres par $\;d{\mathcal {V}}_{Q}\;$ et en introduisant la « masse volumique de la particule d'atmosphère $\;\mu (Q)={\dfrac {dm_{Q}}{d{\mathcal {V}}_{Q}}}\;$» la forme locale $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ associée à la forme intégrée $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère $\;Q\,\left(d{\mathcal {V}}_{Q}\right)\;$ » en équilibre thermodynamique,

«$\;p(Q)=\mu (Q)\;{\dfrac {R}{M_{\text{air}}}}\;T(Q)\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ ».

     En conclusion la « particule d'atmosphère à gradient de température uniforme $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](Q)=-a\;{\vec {u}}_{z}\;$ à partir de l'altitude $\;z_{0}\;$ de température $\;T(z_{0})\;$ centrée en $\;Q\;$ en équilibre thermodynamique » prend pour forme locale de son équation d'état faisant intervenir les trois paramètres locaux dépendant de $\;Q\;$ à savoir « la pression $\;p(Q)$, la température $\;T(Q)\;$ et la masse volumique $\;\mu (Q)\;$»

«$\;p(Q)={\dfrac {R}{M_{\text{air}}}}\;T(Q)\;\mu (Q)\;\;\left({\mathfrak {a}}'''\right)\;$ » $\;{\big \{}p(Q)\;$ étant $\;\propto \;$ à $\;T(Q)\;$ et $\;\mu (Q)\;$${\big \}}$.

Équation différentielle en champ de pression « p(z) »

     Dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen, la forme différentielle de la r.f.s.f. d’une atmosphère en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}$ $\;{\big (}$le seul champ de force pris en compte${\big )}\;$ uniforme $\;{\big (}$pour cela l'atmosphère terrestre n'est pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion limitée dans l'espace d'« étendue horizontale maximale $\;400\;km\;{\mathtt {x}}\;400\;km\;$» et de « variation maximale d'altitude $\;\left[0\,,\,30\;km\right]\;$»${\big )}$, écrite au point $\;Q\;$ d'altitude $\;z$ $\;{\Big (}$l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ étant ascendant et $\;O\;$ le point de la surface du globe situé à la verticale du point $\;Q{\Big )}\;$ étant

«$\;dp(z)+\mu (z)\;g\;dz=0\;$ » avec
«$\;p(z)$, $\;T(z)\;$ et $\;\mu (z)\;$ respectivement la pression, la température et la masse volumique de l'atmosphère en $\;Q\;$», $\;g\;$ étant l'intensité de la pesanteur,

     le choix du « modèle de l’atmosphère à gradient de température uniforme » permet, en utilisant la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'''\right)$, de « remplacer $\;\mu (z)\;$ par $\;{\dfrac {M_{\text{air}}}{R\;T(z)}}\;p(z)\;$ » d'où «$\;dp(z)+{\dfrac {M_{\text{air}}}{R\;T(z)}}\;p(z)\;g\;dz=0\;$» et finalement la pression de l'atmosphère au point $\;Q\;$ se détermine en résolvant l’équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $\;p(z)\;$ homogène

«$\;{\dfrac {dp}{dz}}(z)+{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T(z)}}\;p(z)=0\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$»,
équation toujours linéaire mais qui n'est plus à cœfficients constants.

Évaluation du champ de pression

     La « température absolue $\;T\;$ de l'atmosphère terrestre variant linéairement avec l'altitude $\;z\;$» selon «$\;T(z)=T_{0}-a\,\left(z-z_{0}\right)\;$ avec $\;a=cste\;$