Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Statique dans le champ de pesanteur uniforme

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Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Statique dans le champ de pesanteur uniforme
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Chapitre no 2
Leçon : Statique des fluides (PCSI)
Chap. préc. :Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Forces surfaciques et volumiques
Chap. suiv. :Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Facteur de Boltzmann
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Statique des fluides (PCSI) : Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Statique dans le champ de pesanteur uniforme
Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Statique dans le champ de pesanteur uniforme
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les éléments de mécanique des systèmes sont traités dans le cadre newtonien et
l'espace physique dans lequel ils apparaissent est sauf avis contraire « orienté à droite »[1].

Établissement de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, la seule force volumique étant la force de pesanteur[modifier | modifier le wikicode]

But recherché[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant un fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre dans un référentiel galiléen, la seule force volumique s’exerçant sur le fluide étant la force de pesanteur et les seules forces surfaciques les « forces pressantes exercées sur chaque particule de fluide de la part du reste de fluide »[2], nous nous proposons de
     déterminer le lien existant entre la force volumique de pesanteur et la variation de la pression à l'intérieur du fluide en équilibre dans le référentiel d'étude galiléen.

Établissement de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, l’axe Oz étant vertical ascendant[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'une particule de fluide de forme cylindrique de bases horizontales et de génératrices verticales en équilibre dans un champ de pesanteur avec représentation des forces extérieures s'exerçant sur elle

     Soit une particule de fluide centrée en , de forme cylindrique dont la section droite est horizontale d’aire élémentaire[3] et dont les bases sont respectivement situées aux « altitudes et »[4] étant une variation élémentaire[3] en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme «» étant l'intensité de la pesanteur, la « masse volumique de fluide non nécessairement constante» étant notée «»[5] et le référentiel par rapport auquel nous nous proposons d'étudier l'équilibre du fluide est galiléen voir le schéma ci-contre le cylindre a été représenté de révolution d’axe à mais la base n’est pas nécessairement un disque ;

     les forces extérieures s'exerçant sur la particule de fluide «»[6] étant :

  • son poids «» seule force volumique,
  • les forces pressantes forces surfaciques
    sur la base supérieure «»[7],
    sur la base inférieure «»[7] et
    sur la surface latérale «»[8],[9],

     nous en déduisons la « C.N[10]. d’équilibre de la particule dans le référentiel d'étude galiléen » à savoir « la somme des forces extérieures appliquées à la particule en équilibre est égale à » cette C.N[10]. est une C.S[11]. si la particule de fluide est initialement au repos ce qui doit évidemment être envisagé pour un équilibre, sinon la C.N[10]. correspondant à une absence d’accélération, la particule de fluide aurait un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel d'étude galiléen.

  • La seule force « active » étant le poids vertical, les forces « réactives » c'est-à-dire les forces de pression se compensent horizontalement et, si on considère un cylindre à bases adaptées au système de coordonnées cartésiennes c'est-à-dire « rectangulaires de côtés à et à » par exemple au plan de la figure ci-dessus et venant vers le lecteur, dans le plan de la figure à et orienté vers la droite tel que le trièdre soit orthogonal direct l'espace physique étant orienté à droite[1][12], nous en déduisons que
    les forces pressantes s’exerçant sur les surfaces latérales à , de direction au plan de la figure ci-dessus se compensent d'où
    «»[13]
          dont nous tirons, en projetant sur et en simplifiant par , «»[13] correspondant à l’« indépendance de la pression relativement à » et que
    les forces pressantes s’exerçant sur les surfaces latérales à , de direction dans le plan de la figure ci-dessus à se compensent d'où
    «»[14]
          dont nous tirons, en projetant sur et en simplifiant par , «»[14] correspondant à l’« indépendance de la pression relativement à » d'où
    une 1ère conséquence sur la variation de la pression avec les coordonnées du centre de la particule de fluide en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme
    « la pression en un point d'un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme ne dépend que de l'altitude de ».
  • La force « active » c'est-à-dire le poids « étant verticale descendante », la somme des forces « réactives » c'est-à-dire la somme des forces pressantes sur les bases inférieure et supérieure puisque les forces pressantes sur la surface latérale se compensent « doit être verticale ascendante » la force pressante sur la base inférieure est de norme plus grande que celle sur la base supérieure d'où
    « la pression est d’autant plus petite que l’altitude est grande »
    c'est-à-dire « est une fonction de » ;
    la projection sur de la C.N[10]. d'équilibre du fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme dans galiléen nous conduisant à «»[7] se réécrit «» soit, en effectuant le « D.L[15]. de et de à l'ordre un en au voisinage de »[16] «» « qui s'identifie à l'opposé de la différentielle de la pression soit »[17] d'où en multipliant par et en simplifiant par la réécriture de la C.N[10]. d'équilibre du fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme dans galiléen
    «» quand , est est , donc
    avec axe vertical ascendant étant l'altitude de ,
    la relation «» étant la « forme différentielle de la r.f.s.f.[18] dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme ».

Remarque, forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, l’axe Oz étant vertical descendant[modifier | modifier le wikicode]

     La forme différentielle de la r.f.s.f.[18] dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme avec l'axe vertical orienté dans le sens descendant représentant alors la profondeur du point s'obtient à partir de la forme différentielle de la r.f.s.f[18]. avec orienté dans le sens ascendant en changeant en soit

«» quand , est est , donc
avec axe vertical descendant étant la profondeur de .

Forme locale de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, la seule force volumique s'exerçant sur le fluide étant la force de pesanteur[modifier | modifier le wikicode]

     Sachant que le « gradient d'un champ scalaire de l'espace » noté est « le champ vectoriel tel que sa circulation élémentaire[19] est égale à la différentielle de la fonction scalaire » dont il « dérive » c'est-à-dire «»[20],

     la forme différentielle de la r.f.s.f[18]. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen « avec axe vertical ascendant » peut être réécrite selon «» où «» est un vecteur déplacement élémentaire « quelconque »[21] de composante verticale «» correspondant à la hauteur de la particule de fluide cylindrique précédemment utilisée centrée au point  ;

     injectant «» dans «» nous obtenons «» ou, en utilisant la commutativité de la multiplication scalaire puis en factorisant scalairement par dans le 1er membre[22], «» soit encore, l'axe étant ascendant , la réécriture de la forme différentielle de la r.f.s.f[18]. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen «» ;

     cette dernière relation «» étant vérifiée quel que soit le vecteur déplacement élémentaire nous en déduisons «» ou encore

« du fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur dans le référentiel galiléen »
cette relation étant la « forme locale de la r.f.s.f.[18] pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen »
l'avantage de la forme locale sur la forme différentielle est que la 1ère est indépendante du sens d'orientation de l'axe vertical.

Conséquence de la forme différentielle ou locale de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen sur la forme des isobares du fluide, ce dernier n’étant soumis qu’au champ de pesanteur[modifier | modifier le wikicode]

Conséquence de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, sur la forme des isobares[modifier | modifier le wikicode]

     Que l'axe vertical soit orienté dans le sens ascendant ou descendant, un déplacement élémentaire sur une isobare entraîne «» dont nous déduisons

     «» par utilisation de l'une ou l'autre de la forme différentielle de la r.f.s.f[18]. pour le fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme dans le référentiel d'étude galiléen à savoir c'est-à-dire que

« les isobares du fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme dans le référentiel d'étude galiléen sont des plans horizontaux ».

     Nous pouvons aussi déduire de la forme différentielle de la r.f.s.f[18]. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel d'étude galiléen avec vertical ascendant «» que « la pression diminue quand l’altitude augmente » car « » ainsi que

     Nous pouvons aussi déduire de la forme différentielle de la r.f.s.f[18]. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel d'étude galiléen avec vertical descendant «» que « la pression augmente quand la profondeur augmente » car « ».

Conséquence de la forme locale de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen, pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, sur la forme des isobares[modifier | modifier le wikicode]

     Par utilisation de la forme locale de la r.f.s.f[18]. pour le fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme dans le référentiel d'étude galiléen «» laquelle peut être réécrite «», nous en déduisons que « est vertical descendant » et par suite

     sachant que « la surface iso-U passant par est à »[23], la surface isobare passant par étant à vertical est horizontal d'où

« les isobares du fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme dans le référentiel d'étude galiléen sont des plans horizontaux » et

     sachant que « est orienté dans le sens des »[24], le caractère vertical descendant de la pression dans le sens vertical descendant c'est-à-dire
     sachant avec un axe vertical orienté dans le sens ascendant repérant alors l'altitude du point « la pression augmente quand l'altitude diminue »,
     sachant avec un axe vertical orienté dans le sens descendant repérant alors la profondeur du point « la pression augmente quand la profondeur augmente ».

Rappel de thermodynamique, notion de gaz parfait (G.P.)[modifier | modifier le wikicode]

     La notion de gaz parfait (G.P.) a été entrevue dans le cours de physique du secondaire, elle sera revue plus en détail dans le paragraphe « équation d'état sous forme intégrale d'une quantité n fixée d'un G.P. » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».

« Définition » d’un gaz parfait (G.P.), formes locales de son équation d’état à l’équilibre thermodynamique[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : La définition d'un G.P[25]. donnée ci-après est volontairement incomplète car n'est fournie que la partie nécessaire à l'introduction du « modèle du G.P[25]. » de l'atmosphère terrestre voir le paragraphe « modèle de l'atmosphère isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » plus loin dans le chapitre, il y manque l’aspect énergétique du G.P[25]. qui n'y sera pas utilisé

     Remarque : La forme locale de l’équation d’état du G.P[25]. en équilibre thermodynamique peut également s'écrire, en introduisant la « densité volumique molaire du gaz en avec le volume occupé par la quantité mésoscopique de gaz », sous la forme

«» dans laquelle

     Remarque : « est la pression du gaz en », « la température en [31] et « la constante molaire des G.P[25]. caractérisant ces derniers indépendamment de leur nature et approximativement égale à ».

Forme « globale » de l’équation d’état d’un gaz parfait (G.P.) à l’équilibre thermodynamique[modifier | modifier le wikicode]

     Dans la mesure où un G.P[25]. est nécessairement monophasé[32], il est « homogène », c'est-à-dire que « sa densité volumique molaire est constante » ou, ce qui est équivalent, « son volume molaire est constant » étant la quantité d'entités contenue dans l'échantillon mésoscopique de volume centrée en  ;

     le caractère constant du volume molaire d'un G.P[25]. en équilibre thermodynamique permet de déduire le « volume » occupé par une « quantité finie d'entités » de ce G.P[25]. en équilibre thermodynamique selon «» ;

     partant de la forme locale de l’équation d’état d’un G.P[25]. à l’équilibre thermodynamique «» et multipliant chaque membre de cette forme locale par la quantité d'entités présente dans ce G.P[25]. étudié, nous obtenons «» ou «» soit enfin, avec «»,

la forme globale de l’équation d’état d'une quantité d'entités d'un[25] à l’équilibre thermodynamique
«»[33] dans laquelle
« est la pression du gaz en », « la température en [31] », « le volume en occupé par la quantité en » et
« la constante molaire des G.P[25]. caractérisant ces derniers indépendamment de leur nature et approximativement égale à ».

Modèle de l’atmosphère isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Nous considérons que l'atmosphère terrestre est en « équilibre thermodynamique » c'est-à-dire sans vents dans l'atmosphère dans un « champ de pesanteur uniforme » l'atmosphère terrestre n'est donc pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion d'atmosphère limitée dans l'espace de façon à ce que y soit uniforme[34] du « référentiel terrestre supposé galiléen »[35], de plus

     Nous considérons que l'atmosphère terrestre est supposée « isotherme » c'est-à-dire que la température de l'atmosphère est supposée « constante » sur toute portion d'atmosphère étudiée[36] sa température étant notée par la suite, et enfin

     Nous considérons que toute « particule d'atmosphère [37] » au sens de particule de fluide[38] est « monophasée » constituant une phase élémentaire dont l’équation d’état est celle d’un « G.P[25]. en équilibre thermodynamique » pour cela il est nécessaire de remplacer les différentes sortes de molécules présentes dans la particule d'atmosphère par un seul type de molécule « moyenne » dont la masse molaire moléculaire est «»[39] s’écrivant sous forme intégrée

«» dans laquelle

     Nous considérons que toute « particule d'atmosphère « et sont respectivement la pression et la température locales », « la constante molaire des G.P[25]. approximativement égale à » et « la quantité de molécules « moyennes » de la particule d'atmosphère de volume liée à la masse de celle-ci[40] par » ;
     Nous considérons que toute « particule d'atmosphère reportant «» dans la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère [37] » en équilibre thermodynamique, nous obtenons pour nouvelle forme intégrée de cette particule d'atmosphère «» se réécrivant

«[41] » ;

     Nous considérons que toute « particule d'atmosphère de la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère [37] » en équilibre thermodynamique, nous obtenons, en divisant chacun de ses membres par et en introduisant la « masse volumique de la particule d'atmosphère » la forme locale associée à la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère [37] » en équilibre thermodynamique,

«[42] ».

     En conclusion la « particule d'atmosphère isotherme à la température centrée en [37] en équilibre thermodynamique » prend pour forme locale de son équation d'état faisant intervenir les deux paramètres locaux dépendant de à savoir « la pression et la masse volumique »

«[43] » étant à [44].

Détermination du champ de pression dans l’atmosphère isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le référentiel terrestre galiléen, la forme différentielle de la r.f.s.f[18]. d’une atmosphère en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre le seul champ de force pris en compte uniforme pour cela l'atmosphère terrestre n'est pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion limitée dans l'espace d'« étendue horizontale maximale » et de « variation maximale d'altitude »[34], écrite au point [37] d'altitude l'axe vertical étant ascendant et le point de la surface du globe situé à la verticale du point étant

«[45] » avec
« et respectivement la pression et la masse volumique de l'atmosphère en », étant l'intensité de la pesanteur,

     le choix du « modèle de l’atmosphère isotherme à la température » permet, en utilisant la relation , de « remplacer par [45] » d'où «» et finalement la pression de l'atmosphère au point se détermine en résolvant l’équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en homogène

«» ;

     la résolution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en homogène[46] nous conduit à «» avec « constante à déterminer par utilisation de la C.A.L[47]. » «» soit finalement l'expression du champ de pression dans le modèle de l’atmosphère terrestre isotherme soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre galiléen

«» traduisant
une décroissance exponentielle de la pression de l'atmosphère avec l'altitude de sa mesure.

Ordre de grandeur du champ de pression dans l’atmosphère réelle en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et comparaison à celui du modèle de l’atmosphère isotherme[modifier | modifier le wikicode]

Constante d'altitude « d » du modèle de l'atmosphère isotherme à la température T0 en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et réécriture de son champ de pression en fonction de « d »[modifier | modifier le wikicode]

     La pression du modèle de l'atmosphère isotherme à la température en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, décroissant exponentiellement avec l'altitude du lieu de sa mesure dans le référentiel terrestre galiléen selon «» avec la pression au niveau du sol, nous définissons

     une constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température « en » permettant de réécrire la « variation de la pression avec l'altitude » selon

«» avec « en »,
et étant dans la même unité de pression « le » ou un multiple « le » ;

      à l'altitude , la pression vaut «»,

      à l'altitude , la pression vaut «» et

      à l'altitude , la pression vaut «» par rapport à , correspondant donc à un milieu très dilué assimilable au vide peut être considéré comme la hauteur pratique du modèle de l'atmosphère isotherme c'est-à-dire que le « plafond de celui-ci, théoriquement situé à l'infini, est, dans la pratique, ramené à l'altitude ».

Face Nord de l'Everest vue du Camp de base tibétain situé à d'altitude Luca Galuzzi en

     A.N.[48] : Considérant une température centésimale d’atmosphère égale à «» soit une température absolue «»[31], la constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à cette température vaut « en soit » que nous arrondissons à «»[49] à comparer au « point culminant de l'Everest d’altitude » voir ci-contre ;

          A.N. : pour une pression au niveau du sol «», la pression du modèle de l'atmosphère isotherme à la température [31] en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme ne vaut plus que

          A.N. : à l'« altitude »[50] « en soit »,

          A.N. : à l'« altitude » « en soit »,

          A.N. : à l'« altitude » « en soit »,

          A.N. : à l'« altitude » « en soit » et

          A.N. : à l'« altitude » « en soit » soit moins de de la pression au niveau du sol Pouvant estimer qu'à cette altitude le modèle de l’atmosphère isotherme est suffisamment raréfié pour être assimilée à un « vide relatif » nous en déduisons le niveau pratique du plafond du modèle de l'atmosphère isotherme situé à l'altitude de .

Comparaison à l’atmosphère réelle[modifier | modifier le wikicode]

     Avec une température centésimale d’atmosphère au niveau du sol égale à «» soit une température absolue à l'altitude nulle «»[31], la pression réelle de l'atmosphère en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme pour une pression au niveau du sol «» est,

     à l'« altitude »[50] «» la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de de » l'erreur de l'ordre de restant dans le domaine du raisonnable,

     à l'« altitude » «» la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de de »[51] mesurant une pression de et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température [31] pour déterminer l'altitude principe des altimètres nous trouverions une altitude de  !,

     à l'« altitude » «» la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de »[51] mesurant une pression de et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température [31] pour déterminer l'altitude principe des altimètres nous trouverions une altitude de  ! !,

     à l'« altitude » «» la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de »[51] mesurant une pression de et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température [31] pour déterminer l'altitude principe des altimètres nous trouverions une altitude de  ! ! ! et

     à l'« altitude » «» la « pression du modèle de l'atmosphère isotherme y est supérieure de »[51] mesurant une pression de et utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme à la température [31] pour déterminer l'altitude principe des altimètres nous trouverions une altitude de  ! ! ! !.

     Remarque : Avec l'hypothèse qu'une mesure de pression réelle de moins de de la pression au niveau du sol permet de considérer l'atmosphère suffisamment raréfiée pour être assimilée à un « vide relatif » le niveau pratique du plafond de l'atmosphère réelle est situé à l'altitude de au lieu de pour le modèle de l'atmosphère isotherme à la température [31].

Interprétation des écarts de pression entre celle de l’atmosphère réelle et celle du modèle de l’atmosphère isotherme[modifier | modifier le wikicode]

     Modélisation plus fine de l'atmosphère réelle : pour modéliser plus finement l’atmosphère terrestre réelle, nous la considérerons comme constituée de couches sphériques se superposant à partir de la surface du globe selon les variations d'altitude suivantes :

  • nous trouvons sur «» la « troposphère » dans laquelle la température linéairement de «»,
  • nous trouvons sur «» la « tropopause suivie de la basse stratosphère » dans laquelle la température reste constante si la température centésimale du sol est «» celle de cette couche est «» soit une température absolue «»[31],
  • nous trouvons sur «» la « moyenne stratosphère »[52] dans laquelle la température linéairement de «» si la température centésimale du sol est «» celle de cette couche varie de «» à «» soit une température absolue variant de « »[31] à «»[31],
  • nous trouvons sur «» la « haute stratosphère »[52] dans laquelle la température linéairement de «» si la température centésimale du sol est «» celle de cette couche varie de «» à «» soit une température absolue de « »[31] à «»[31],
  • nous trouvons sur «» la « stratopause » dans laquelle la température reste constante si la température centésimale du sol est «» celle de cette couche est « » soit une température absolue «»[31] ensuite
  • nous trouvons sur «» la « mésosphère »[53],[54] se composant
    d'une « 1ère couche sur » dans laquelle la température linéairement de «» si la température centésimale du sol est «» celle de cette couche varie de «» à «» soit une température absolue de «»[31] à « »[31] et
Aurore australe en Antarctique
Aurore australe photographiée depuis la navette spatiale Discovery lors du maximum solaire de
d'une « 2ème couche sur » dans laquelle la température linéairement de «» si la température centésimale du sol est «» celle de cette couche varie de «» à « » soit une température absolue de «»[31] à « »[31] puis
  • nous trouvons sur «» la « thermosphère »[54],[55] dans laquelle la température reste constante sur «» puis avec l'altitude jusqu'à une température oscillant entre et suivant l'activité solaire[56] sur «», le dioxygène moléculaire absorbe les très courtes longueurs d'onde entre et de l'ultraviolet solaire ce qui a pour effet une de la température en rapport avec la quantité d'ultraviolet absorbée et enfin
  • nous trouvons sur «» l'« exosphère »[54],[55] dans laquelle la température n'a plus de signification en effet la température absolue en un point étant, par définition, à l’énergie cinétique moyenne d’agitation des molécules présentes à un instant donné dans un échantillon de petit volume à l'échelle macroscopique centré en [57] et cette moyenne ne pouvant être faite que si l'échantillon considéré est mésoscopique c'est-à-dire s'il y a suffisamment de molécules pour faire de la statistique, ce qui n’est plus le cas dans l’exosphère ;
  • au-delà, le milieu étant beaucoup trop dilué et inhomogène, la notion d'atmosphère n'a plus de signification[58], nous y trouvons des particules circulant librement provenant de la « magnétosphère terrestre » ensemble des lignes de champs magnétiques terrestres entourant la Terre , située au-delà de l'ionosphère voir la localisation de celle-ci dans la note « 54 » plus haut dans ce chapitre, plus précisément au-dessus de à d'altitude, lignes déformées par l’action du vent solaire et à l'intérieur desquelles est piégé un plasma c'est-à-dire des particules chargées libres sous forme d’électrons et d’ions ainsi que du « vent solaire » flux de plasma éjecté de la haute atmosphère du Soleil , essentiellement composé d’électrons et d’ions pouvant être très énergétiques, voir schéma ci-dessous à droite.
Structure de la magnétosphère terrestre

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : La principale cause d’écart, sur l'intervalle « d'altitude c'est-à-dire la troposphère », du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur uniforme du référentiel terrestre galiléen par rapport au champ de pression de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L[47]. prise au niveau du sol est le caractère « non isotherme » de l’atmosphère voir un modèle mieux adapté traité « en exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l'atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » dans le paragraphe suivant ;

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle « d'altitude c'est-à-dire la tropopause » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle est principalement dû à la température de l'atmosphère isotherme qui doit être choisie plus basse et très légèrement aussi à l'intensité de la pesanteur terrestre qui est un peu plus faible, la C.A.L[47]. devant bien sûr être choisie à la base de la tropopause ;

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle « d'altitude c'est-à-dire la moyenne stratosphère » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L[47]. prise à la base de la moyenne stratosphère est principalement le caractère « non isotherme » de l’atmosphère et légèrement aussi la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui est un plus faible voir un modèle mieux adapté traité « en exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l'atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » dans le paragraphe suivant ;

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle « d'altitude c'est-à-dire la haute stratosphère » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L[47]. prise à la base de la haute stratosphère est là encore principalement le caractère « non isotherme » de l’atmosphère et aussi la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui est plus faible voir un modèle mieux adapté traité « en exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l'atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » dans le paragraphe suivant ;

     Analyse des écarts de pression entre l'atmosphère réelle et le modèle de l'atmosphère isotherme : sur l'intervalle « d'altitude c'est-à-dire la stratopause » l'écart du champ de pression du modèle de l'atmosphère isotherme par rapport à celui de l'atmosphère réelle dans la même C.A.L[47]. prise à la base de la stratopause est principalement dû à la température de l'atmosphère isotherme qui doit être choisie plus basse et aussi à la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui est plus faible

En exercice, détermination du champ de pression dans le modèle G.P. de l’atmosphère à gradient de température uniforme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Modèle de l’atmosphère à gradient de température uniforme dans un champ de pesanteur uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Nous considérons l'atmosphère terrestre en « équilibre thermodynamique » c'est-à-dire sans vents dans l'atmosphère dans un « champ de pesanteur uniforme » l'atmosphère terrestre n'est donc pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion d'atmosphère limitée dans l'espace de façon à ce que y soit uniforme[34] du « référentiel terrestre supposé galiléen »[35], mais dans ce modèle

     Nous considérons la « température de l'atmosphère terrestre est supposée varier linéairement avec l'altitude » c'est-à-dire que la température de l'atmosphère à l'altitude s'écrit « avec » sur toute portion d'atmosphère étudiée, étant la température du point de cette portion à l'altitude avec si avec l'altitude cas de l'atmosphère terrestre à partir de l'altitude nulle jusqu'à d'altitude c'est-à-dire la troposphère et si avec l'altitude cas de l'atmosphère terrestre à partir de jusqu'à d'altitude c'est-à-dire la moyenne stratosphère et celui de l'atmosphère terrestre à partir de jusqu'à d'altitude c'est-à-dire la haute stratosphère, la variation linéaire de la température avec l'altitude correspondant à un « gradient de température [20] vertical uniforme » plus exactement «[59] avec » avec dans la troposphère, dans la moyenne stratosphère, dans la haute stratosphère et enfin

     Nous considérons toute « particule d'atmosphère [37] » au sens de particule de fluide[38] est « monophasée » constituant une phase élémentaire dont l’équation d’état est celle d’un « G.P[25]. en équilibre thermodynamique » pour cela il est nécessaire de remplacer les différentes sortes de molécules présentes dans la particule d'atmosphère par un seul type de molécule « moyenne » dont la masse molaire moléculaire est «»[39] s’écrivant sous forme intégrée

«» dans laquelle

     Nous considérons toute « particule d'atmosphère « et sont respectivement la pression et la température locales », « la constante molaire des G.P[25]. approximativement égale à » et « la quantité de molécules « moyennes » de la particule d'atmosphère de volume liée à la masse de celle-ci[40] par » ;
     Nous considérons toute « particule d'atmosphère reportant «» dans la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère [37] » en équilibre thermodynamique, nous obtenons pour nouvelle forme intégrée de cette particule d'atmosphère «» se réécrivant

«[41] » ;

     Nous considérons toute « particule d'atmosphère de la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère [37] » en équilibre thermodynamique, nous obtenons, en divisant chacun de ses membres par et en introduisant la « masse volumique de la particule d'atmosphère » la forme locale associée à la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère [37] » en équilibre thermodynamique,

«[42] ».

     En conclusion la « particule d'atmosphère à gradient de température uniforme [59] à partir de l'altitude de température centrée en [37] en équilibre thermodynamique » prend pour forme locale de son équation d'état faisant intervenir les trois paramètres locaux dépendant de à savoir « la pression , la température et la masse volumique »

«[60] » étant à et [61].

Équation différentielle en champ de pression « p(z) »[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le référentiel terrestre galiléen, la forme différentielle de la r.f.s.f[18]. d’une atmosphère en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre le seul champ de force pris en compte uniforme pour cela l'atmosphère terrestre n'est pas étudiée dans sa globalité mais sur une portion limitée dans l'espace d'« étendue horizontale maximale » et de « variation maximale d'altitude »[34], écrite au point [37] d'altitude l'axe vertical étant ascendant et le point de la surface du globe situé à la verticale du point étant

«[45] » avec
«, et respectivement la pression, la température et la masse volumique de l'atmosphère en », étant l'intensité de la pesanteur,

     le choix du « modèle de l’atmosphère à gradient de température uniforme » permet, en utilisant la relation , de « remplacer par [45] » d'où «» et finalement la pression de l'atmosphère au point se détermine en résolvant l’équation différentielle linéaire du 1er ordre en homogène

«»,
équation toujours linéaire mais qui n'est plus à cœfficients constants.

Évaluation du champ de pression[modifier | modifier le wikicode]

     La « température absolue de l'atmosphère terrestre variant linéairement avec l'altitude » selon « avec sur toute la portion d'atmosphère étudiée, étant la température absolue du point de cette portion à l'altitude » cette variation linéaire de température avec l'altitude correspond à un « gradient de température [20] vertical uniforme » plus exactement «[59] avec si la température quand et si la température quand » son report dans l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en homogène précédemment établie nous conduit, après avoir fait un changement d'origine d'altitude en choisissant le point d'altitude comme nouvelle origine «», à

«»[62].

     L'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre en homogène «» étant de la forme « avec » a pour solution générale « » dans laquelle « est une primitive de c'est-à-dire [63] » et « constante d'intégration »[64] d'où «» soit finalement

«» avec
« constante d'intégration » à déterminer à l'aide de la C.A.L[47]. ;

     utilisant la « C.A.L[47]. étant notée » pour laquelle la « température absolue est notée », nous en déduisons « » soit finalement l'expression du champ de pression du modèle de l’atmosphère à « gradient de température uniforme »[59] dans un « champ de pesanteur uniforme »

«» avec «»,
valable sur l'intervalle d'altitudes avec « et ».

     A.N[48]. du modèle appliqué à la « troposphère» : le taux de décroissance linéaire de la température étant « la température de ou de [31] par d'ascension», l'« intensité de la pesanteur au sol valant » et les C.A.L[65]. étant « [31] ainsi que », le champ de pression du modèle dans la troposphère se réécrit «» avec «[66] soit » d'où
     A.N. du modèle appliqué à la « troposphère » :                                       la pression du modèle à l'« altitude »[50] s'évalue selon en [67] soit

«» la température y étant « en soit
                                                    » ou «»[31] et

     A.N. du modèle appliqué à la « troposphère » :                                       la pression du modèle à l'« altitude » limite « troposphère - tropopause » selon en [67] soit

«» la température y étant « en soit
                                                         » ou «»[31].

     A.N[48]. du modèle d'atmosphère isotherme appliqué à la « tropopause - basse stratosphère» : les C.A.L[65]. adaptées étant choisies à l'altitude la « température reste constante à la valeur [31] et la pression à la limite troposphère - tropopause vaut », de plus l'intensité de la pesanteur terrestre, toujours considérée comme uniforme, étant légèrement plus faible à l'altitude qu'au niveau du sol est choisie à , nous en déduisons le champ de pression du modèle d'atmosphère isotherme dans la tropopause - basse stratosphère «» avec « en » et « » soit encore «» d'où
     A.N. du modèle d'atmosphère isotherme appliqué à la « tropopause - basse stratosphère » :                                                 la pression du modèle d'atmosphère isotherme à l'« altitude » s'évalue selon en soit

«» et

     A.N. du modèle d'atmosphère isotherme appliqué à la « tropopause - basse stratosphère » :                                                 la pression du modèle d'atmosphère isotherme à l'« altitude » limite « basse stratosphère - moyenne stratosphère » selon en soit

«».

     A.N[48]. du modèle appliqué à la « moyenne stratosphère[52]» : le taux de décroissance linéaire de la température étant « la température de ou de [31] par d'ascension» et les C.A.L[65]. adaptées choisies à l'altitude c'est-à-dire « [31] ainsi que », de plus l'« intensité de la pesanteur terrestre, toujours considérée comme uniforme, étant légèrement plus faible à l'altitude qu'à celle de est choisie à , le champ de pression du modèle dans la moyenne stratosphère se réécrit «» avec « en » et « [66] soit » d'où
     A.N. du modèle appliqué à la « moyenne stratosphère » :                                                       la pression du modèle à l'« altitude » s'évalue en [67] soit

«» la température y étant « en soit
                                                                                     » ou «»[31] et

     A.N. du modèle appliqué à la « moyenne stratosphère » :                                                       la pression du modèle à l'« altitude » limite « moyenne stratosphère - haute stratosphère » selon en [67] soit

«» la température y étant « en soit
                                                                                              » ou «»[31].

     A.N[48]. du modèle appliqué à la « haute stratosphère[52]» : le taux de décroissance linéaire de la température étant « la température de ou de [31] par d'ascension» et les C.A.L[65]. adaptées choisies à l'altitude c'est-à-dire « [31] ainsi que », de plus l'« intensité de la pesanteur terrestre, toujours considérée comme uniforme, étant légèrement plus faible à l'altitude qu'à celle de est choisie à , le champ de pression du modèle dans la haute stratosphère se réécrit «» avec « en » et « [66] soit » d'où
     A.N. du modèle appliqué à la « haute stratosphère » :                                                       la pression du modèle à l'« altitude » s'évalue en [67] soit

«» la température y étant « en soit
                                                                                               » ou «»[31],

     A.N. du modèle appliqué à la « haute stratosphère » :                                                       la pression du modèle à l'« altitude » s'évalue en [67] soit

«» la température y étant « en soit
                                                                                          » ou «»[31] et

     A.N. du modèle appliqué à la « haute stratosphère » :                                                       la pression du modèle à l'« altitude » limite « haute stratosphère - stratopause » selon en [67] soit

«» la température y étant « en soit
                                                                                              » ou «»[31].

Comparaison du champ de pression du modèle à celui de l’atmosphère réelle[modifier | modifier le wikicode]

     À condition d'appliquer les C.A.L[65]. de température et de pression adaptées au modèle d'atmosphère à gradient de température uniforme dans un champ de pesanteur uniforme la modification de la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre n'étant que secondaire, nous constatons un très accord entre les valeurs expérimentales et les valeurs obtenues par modélisation ainsi,
     avec une « température de l'atmosphère au niveau du sol »[31] et une « pression au sol », la pression à l'altitude peut être évaluée par

  • «» dans la troposphère c'est-à-dire « pour » modèle d'atmosphère à gradient de température uniforme,
  • «» dans la tropopause - basse stratosphère c'est-à-dire « pour » modèle d'atmosphère isotherme à ou [31],
  • «» dans la moyenne stratosphère c'est-à-dire « pour » modèle d'atmosphère à gradient de température uniforme et
  • «» dans la haute stratosphère c'est-à-dire « pour » modèle d'atmosphère à gradient de température uniforme.

     Si nous définissons le niveau pratique du plafond de l'atmosphère comme l'endroit d'altitude telle que la pression de l'atmosphère y soit égale à de celle au niveau du sol l'atmosphère y étant suffisamment raréfiée pour être assimilée à un « vide relatif », nous trouvons ce « plafond pratique dans la moyenne stratosphère à l'altitude » en effet, faisant l'hypothèse qu'il se situe dans la moyenne stratosphère, nous obtenons l'équation ce qui valide effectivement l'appartenance au domaine de la moyenne stratosphère.

Modèle de fluide incompressible et homogène à évolution isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Compressibilité d’un fluide, modèle « incompressible »[modifier | modifier le wikicode]

     La « compressibilité » d’un fluide est définie en précisant la façon dont le volume d’une quantité fixée de fluide varie avec la pression[68] et dans le cas présent, considérant une « compression isotherme », nous définissons le « cœfficient de compressibilité isotherme du fluide » selon

«»[69],[70] exprimé en »[71] ;

     il est possible de transformer ce cœfficient de compressibilité isotherme de façon à le relier à la masse volumique du fluide étant le volume occupé par l'échantillon mésoscopique de masse à la pression et la température , selon «»[72] ou «»[72] avec [73] le volume massique du fluide à la pression et la température [72] car est une constante soit enfin le volume massique «»[73] étant l’inverse de la masse volumique «» « » et par suite « »[72] ou encore

«»[69] exprimé en » ;

     Un fluide « incompressible » est un fluide dont le cœfficient de compressibilité isotherme «»[71] ou, avec «»[69],

     Un fluide « incompressible » est un fluide tel que « sa masse volumique est indépendante de la pression en chaque point », soit finalement «».

Modèle « homogène » d’un fluide incompressible[modifier | modifier le wikicode]

     Un fluide incompressible est « homogène » si ses propriétés sont indépendantes du point de l'espace, en particulier

     Un fluide incompressible est « homogène » si « sa masse volumique ne dépendant pas de est indépendante du point », soit finalement si «».

Modèle de fluide incompressible et homogène à évolution isotherme[modifier | modifier le wikicode]

     Un fluide incompressible et homogène subissant une « évolution isotherme » reste, lors de cette évolution, de « masse volumique constante » en effet sa masse volumique ne dépendant ni de , ni du point n'est fonction que de la température laquelle, restant constante lors d'une évolution isotherme, .

Dilatation d’un fluide, modèle « indilatable »[modifier | modifier le wikicode]

     La « dilatation » d’un fluide est définie en précisant la façon dont le volume d’une quantité fixée de fluide varie avec la température[74] et dans le cas présent, considérant une « dilatation isobare », nous définissons le « cœfficient de dilatation isobare du fluide » selon

«»[69],[75] exprimé en »[71] ;

     il est possible de transformer ce cœfficient de dilatation isobare de façon à le relier à la masse volumique du fluide étant le volume occupé par l'échantillon mésoscopique de masse à la température et la pression , selon «»[72] ou «»[72] avec [73] le volume massique du fluide à la température et la pression [72] car est une constante soit enfin le volume massique «»[73] étant l’inverse de la masse volumique «» « » et par suite « »[72] ou encore

«[69] exprimé en » ;

     Un fluide « indilatable » est un fluide dont le cœfficient de dilatation isobare «»[71] ou, avec «»[69],

     Un fluide « indilatable » est un fluide tel que « sa masse volumique est indépendante de la température en chaque point », soit finalement «».

Modèle de fluide incompressible, homogène et indilatable[modifier | modifier le wikicode]

     Un fluide incompressible, homogène et « indilatable » est de « masse volumique constante » c'est-à-dire «».

Liquide réel et modèle à « masse volumique constante »[modifier | modifier le wikicode]

     Rappel : Le modèle à « masse volumique constante » étant soit un modèle incompressible et homogène « à évolution isotherme » ou soit un modèle incompressible, homogène et « indilatable ».

     Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : son cœfficient de compressibilité isotherme à température ordinaire valant « pratiquement indépendant de la pression » permet de déterminer la variation de la masse volumique de l'eau liquide en fonction de la pression par «»[72] en l'intégrant « à température constante » entre « pression au niveau de la surface libre » et « pression à une certaine profondeur »[76] «» ou encore « à constante » ;
     Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : « à température maintenue constante » si «», « à près pour une profondeur » plus précisément « étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un »[77] et le « D.L[15]. à l'ordre un de étant »[78], nous en déduisons que « la masse volumique pourra être considérée comme constante à » près si «» ou «» c'est-à-dire «» condition usuellement réalisée nous verrons au paragraphe « océan réel en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » plus bas dans ce chapitre qu'une telle différence de pression correspond à une profondeur voisine de  ; une étendue d'eau liquide profonde de conduisant à une augmentation de pression entre la surface libre et le fond de l'étendue de [79] simultanément à une augmentation relative de masse volumique , il est donc légitime
     Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : de considérer l’eau liquide sur une profondeur de comme un fluide « incompressible » et
     Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : d'y appliquer le modèle « fluide à masse volumique constante » si la température ne varie pas c'est-à-dire lors d'une évolution isotherme ;

     Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : son cœfficient de dilatation isobare à pression ordinaire valant « pratiquement indépendant de la température » permet de déterminer la variation de la masse volumique de l'eau liquide en fonction de la température par «»[72] en l'intégrant « à pression constante » entre « température au niveau de la surface libre » et « température à une certaine profondeur »[76] «» ou encore « à constante » ;
     Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : « à pression maintenue constante » si «», « à quelle que soit la profondeur considérée » plus précisément « étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un »[77] et le « D.L[15]. à l'ordre un de étant »[78], nous en déduisons que « la masse volumique pourra être considérée comme constante à » près si «» c'est-à-dire «» condition usuellement réalisée dans l'eau liquide des étendues naturelles la température de l'eau liquide des océans reste à peu près constante sur les 1ères dizaines de de profondeur puis rapidement de dans une couche de transition thermique appelée thermocline de de profondeur, pour ensuite continuer à de manière beaucoup moins prononcée la température restant comprise entre et dans les eaux au-dessous de la thermocline ; une étendue naturelle d'eau liquide de profondeur quelconque conduisant à une diminution de température entre la surface libre et le fond de l'étendue de [80] simultanément à une augmentation relative de masse volumique[81] , il est donc légitime
     Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : de considérer l’eau liquide des étendues naturelles sur une profondeur quelconque comme un fluide « indilatable » et
     Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : d'y appliquer le modèle « fluide à masse volumique constante » si la pression ne varie pas ce qui est une situation tout à fait hypothétique, la pression à de profondeur étant fois la pression au niveau de la surface libre[79] ;

     Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : tenant compte simultanément du cœfficient de compressibilité isotherme à température ordinaire valant « pratiquement indépendant de la pression » et du cœfficient de dilatation isobare à pression ordinaire valant « pratiquement indépendant de la température », une 1ère intégration à température constante de « »[72] «» avec « une fonction arbitraire de à déterminer[82] » «»[72], une 2ème intégration à pression constante de «»[72] se réécrivant «» d'où «», se déterminant à l'aide des « C.A.L[47]. » «» ou encore «» ;
     Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : dans la mesure où « est » c'est-à-dire considéré comme infiniment petit d'ordre un[77], le « D.L[15]. à l'ordre un de » nous donnant «»[78], nous en déduisons que « à près si « est » ce qui est réalisé pour l'eau liquide des étendues naturelles sur une profondeur de [83] à raison de d'augmentation relative de due à une diminution de température de [80] et d'augmentation relative de due à une augmentation de pression de [79] ; il est donc légitime
     Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : de considérer l'eau liquide des étendues naturelles sur une profondeur de[83] comme un fluide « indilatable », « incompressible » et
     Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : d'y appliquer le modèle « fluide à masse volumique constante » en supposant bien entendu le caractère « homogène » de cette eau.

     Exemple de liquide réel « l'eau liquide » : Si nous considérons une étendue d'eau non naturelle, nous pouvons, sans restriction, considérer l'eau liquide de cette étendue comme étant « incompressible »[84] mais par contre comme étant vraisemblablement « dilatable »[85], ainsi pour appliquer, sans restriction, le modèle « fluide à masse volumique constante » à l'eau liquide d'une étendue d'eau non naturelle dont le caractère « homogène » est supposé réalisé il est nécessaire de considérer une « évolution isotherme » de cette eau avec la profondeur.

Détermination du champ de pression d’un fluide incompressible et homogène à évolution isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, intégrale 1ère spatiale ou formule du nivellement barométrique[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) d’un fluide en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme, le référentiel terrestre étant supposé galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     La forme différentielle de la r.f.s.f[18]. d'un fluide de masse volumique en équilibre thermodynamique dans un champ de pesanteur uniforme d'intensité d'un référentiel galiléen quand l'axe vertical est orienté dans le sens descendant représente la profondeur localisant le point dans la mesure où l'origine est choisie en la position la plus élevée du centre des éléments mésoscopiques du fluide[86], est, avec la pression du point ,

«»

     voir le paragraphe « remarque, forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, l'axe Oz étant vertical descendant » plus haut dans ce chapitre.

Application au modèle de fluide à « masse volumique constante », intégrale 1ère spatiale[modifier | modifier le wikicode]

     La forme différentielle de la r.f.s.f[18]. appliquée à un fluide de « masse volumique constante » en équilibre thermodynamique dans un champ de pesanteur uniforme d'intensité d'un référentiel galiléen quand l'axe vertical est orienté dans le sens descendant représente la profondeur localisant le point dans la mesure où l'origine est choisie en la position la plus élevée du centre des éléments mésoscopiques du fluide[86], se réécrivant, avec la pression du point , «» ou, étant une constante, selon «» qui s'intègre facilement relativement à l'espace pour donner l'« intégrale 1ère spatiale »[87] du modèle fluide à « masse volumique constante »

«», l'axe vertical étant descendant
à déterminer par C.A.L[47]. par exemple «».

     Commentaire : retenir le signe «» devant le 2ème terme du 1er membre de l'intégrale 1ère spatiale du modèle fluide à « masse volumique constante » ne doit demander aucun effort si nous nous souvenons que la pression quand la profondeur et que le 2ème membre de l'intégrale 1ère spatiale est constant.

     Remarque : Nous pouvons être amené à choisir un axe vertical ascendant par exemple en plaçant l'origine de l'axe au fond du récipient contenant le fluide à « masse volumique constante » et en repérant le point courant de ce dernier par son écart relativement au fond, avec ce choix l'« intégrale 1ère spatiale »[87] du modèle fluide à « masse volumique constante » s'écrit

«», l'axe vertical étant ascendant
à déterminer par C.A.L[47]. par exemple «».

     Remarque : Commentaire : retenir le signe «» devant le 2ème terme du 1er membre de l'intégrale 1ère spatiale du modèle fluide à « masse volumique constante » ne doit demander aucun effort si nous nous souvenons que la pression quand l'écart avec le fond correspondant à une remontée vers la surface et que le 2ème membre de l'intégrale 1ère spatiale est constant.

Application au modèle de fluide à « masse volumique constante », formule du nivellement barométrique[modifier | modifier le wikicode]

     La « formule du nivellement barométrique » du modèle fluide à « masse volumique constante » n'est qu'une autre formulation de l'« intégrale 1ère spatiale » du même modèle fluide à « masse volumique constante » obtenue en écrivant l'égalité entre deux niveaux «» et «» de la grandeur maintenue constante dans l'intégrale 1ère spatiale soit :

  • pour un axe vertical orienté dans le sens descendant représente la profondeur localisant le point dans la mesure où l'origine est choisie en la position la plus élevée du centre des éléments mésoscopiques du fluide[86], «» «» c'est-à-dire la « formule du nivellement barométrique »
    «», avec
    traduisant qu'une augmentation de profondeur «» est accompagnée d'une augmentation de pression «» « celle-ci s'obtenant en multipliant par grandeur caractérisant le fluide et la pesanteur»,
  • pour un axe vertical orienté dans le sens ascendant par exemple en plaçant l'origine de l'axe au fond du récipient contenant le fluide à « masse volumique constante » et en repérant le point courant de ce dernier par son écart relativement au fond, «» «» c'est-à-dire la « formule du nivellement barométrique »
    «», avec
    traduisant qu'une augmentation d'écart avec le fond du récipient «» c'est-à-dire, dans le cas d'un liquide, une remontée vers la surface libre est accompagnée d'une diminution de pression correspondant à «»[88] « s'obtenant en multipliant par grandeur caractérisant le fluide, le sens de l'axe vertical et la pesanteur».

Traversée de l’interface séparant un fluide à masse volumique constante et l’étendue gazeuse située au-dessus de lui[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : L'interface séparant un « fluide à masse volumique constante par exemple un liquide incompressible, homogène, à évolution isotherme» de l'« étendue gazeuse au-dessus de lui par exemple l'atmosphère le surplombant» est encore appelée « surface libre du fluide à masse volumique constante» ;
     Préliminaire : dans la suite de ce chapitre et dans le but de simplifier l'exposé nous appellerons « liquide » tout fluide à masse volumique constante,
     Préliminaire : dans la suite de ce chapitre et dans le but de simplifier l'exposé nous appellerons « atmosphère » toute étendue gazeuse au-dessus du fluide même si elle n'est pas composée d'air et
     Préliminaire : dans la suite de ce chapitre et dans le but de simplifier l'exposé nous appellerons « surface libre du liquide » l'interface séparant le fluide et l'étendue gazeuse le surplombant.

     Propriété (admise) de la pression lors de la traversée de la surface libre d'un liquide[89] : la pression lors de la traversée de la surface libre d'un liquide est supposée « continue », ceci nécessitant de négliger les phénomènes de « tension superficielle »[90] voir commentaires ci-dessous donnés en complément.

     Complément sur les phénomènes de « tension superficielle »[90] : l'introduction de cette dernière permet d'expliquer

  • la forme d'une goutte de liquide dans un gaz,
  •      celle d'une bulle de gaz s'échappant d'un liquide et
  • la forme de la surface libre d'un liquide dans un tube capillaire ainsi que la dénivellation algébrique entre la surface libre du liquide dans le tube et celle du même liquide dans le récipient dans lequel le tube plonge, forme et dénivellation algébrique dépendant de la nature du liquide.

           Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'une goutte d'eau dans l'air : ci-contre une coupe de goutte d'eau dans l'air avec précision de l'algébrisation du rayon de courbure de l'interface « eau - air » compté positivement de l'intérieur vers l'extérieur c'est-à-dire de l'eau vers l'air ; il y a une discontinuité de pression lors de la traversée de l'interface sphérique, la pression de l'eau de la goutte étant plus grande que celle de l'air environnant , la différence de pression de part et d'autre de l'interface sphérique suivant la « loi de Laplace[91] (ou équation de Laplace-Young)[92] » dans laquelle « est la différence de pression », « le rayon de courbure algébrisé de la goutte » et « le cœfficient de tension superficielle[93] des interfaces eau - air », la démonstration de la « loi de Laplace[91] (ou équation de Laplace-Young)[92] » utilisant le résultat de la note « 93 » à savoir la résultante des forces de cohésion sur une calotte sphérique limitée par un cercle de rayon de la surface de la goutte d'eau de rayon est «» une pression algébrique de cohésion de la calotte sphérique « avec l'aire de la calotte projetée sur un plan à son axe de révolution » soit finalement « » d'où, l'épaisseur de la surface de la goutte étant négligeable, il y a équilibre si la pression algébrique que la goutte exerce sur l'extérieur de sa surface est égale à la pression que l'air exerce sur ce même extérieur c'est-à-dire soit «» étant , ce « saut de pression de part et d'autre de l'interface étant appelée pression de Laplace[91] » ;
            Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'une goutte d'eau dans l'air : le cœfficient de tension superficielle[93] de l'interface eau - air valant « à »[94], nous en déduisons la pression de Laplace[91] pour une goutte d'eau de rayon à , « en soit » dans le cas où , la pression de l'eau dans la goutte de rayon à vaut la valeur relative étant d'autant plus grande que le rayon de la goutte est petit.

           Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'une bulle d'air dans l'eau : ci-contre une coupe de bulle d'air dans l'eau avec précision de l'algébrisation du rayon de courbure de l'interface « air - eau » compté positivement de l'extérieur vers l'intérieur c'est-à-dire de l'eau vers l'air ; il y a une discontinuité de pression lors de la traversée de l'interface sphérique, la pression de l'air de la bulle étant plus grande que celle de l'eau environnante , la différence de pression de part et d'autre de l'interface sphérique suivant la « loi de Laplace[91] (ou équation de Laplace-Young)[92] » dans laquelle « est la différence de pression », « le rayon de courbure algébrisé de la bulle » et « le cœfficient de tension superficielle[93] des interfaces eau - air », la démonstration de la « loi de Laplace[91] (ou équation de Laplace-Young)[92] » utilisant le résultat de la note « 93 » à savoir la résultante des forces de cohésion sur une calotte sphérique limitée par un cercle de rayon de la surface de la bulle d'air de rayon est «» une pression algébrique de cohésion de la calotte sphérique « avec l'aire de la calotte projetée sur un plan à son axe de révolution » soit finalement « » d'où, l'épaisseur de la surface de la bulle étant négligeable, il y a équilibre si la pression algébrique que la bulle exerce sur l'intérieur de sa surface est égale à la pression que l'eau exerce sur ce même intérieur c'est-à-dire soit «» étant , ce « saut de pression de part et d'autre de l'interface étant appelée pression de Laplace[91] » ;
            Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'une bulle d'air dans l'eau : le cœfficient de tension superficielle[93] de l'interface eau - air valant « à »[94], nous en déduisons la pression de Laplace[91] pour une bulle d'air de rayon à , « en soit finalement » dans le cas où c'est-à-dire au-dessous de la surface libre du récipient contenant l'eau[79], la pression de l'air dans la bulle de rayon au fond du récipient vaut la valeur relative étant d'autant plus grande que le rayon de la bulle est petit ;
            Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'une bulle d'air dans l'eau : autre exemple : une « petite » bulle d'air de rayon «» formée par un plongeur explorant un fond marin à une profondeur de la pression d'eau y est «»[79], la pression de Laplace[91] valant « en à soit finalement », nous en déduisons la pression d'air à l'intérieur de la bulle « » ; quand la bulle remonte, la pression d’eau , celle d'air de même en restant néanmoins légèrement plus grande que et si sa température reste constante le volume de la bulle [95] entraînant une du rayon de la bulle et par suite une de la valeur absolue de la pression de Laplace[91] c'est-à-dire de la discontinuité de pression entre l'air intérieur de la bulle et l'eau extérieur[96] toutefois, rapportée à la pression de l'eau qui a aussi mais de façon plus grande, la discontinuité relative de pression entre l'air intérieur de la bulle et l'eau extérieur a [97].

           Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Remarque, cas d'une bulle de savon : une bulle de savon est en fait un film d'eau savonneuse[98] emprisonnant de l'air dans une atmosphère d'air, si la bulle est sphérique de rayon l'épaisseur de la bulle étant négligeable devant , il y a alors deux interfaces, l'une séparant l'eau savonneuse[98] de l'air extérieur et l'autre l'eau savonneuse[98] de l'air intérieur, le « cœfficient de tension superficielle[93] de ces deux interfaces eau savonneuse[98] - air étant noté » et le « rayon de courbure de ces interfaces étant compté positivement de l'intérieur vers l'extérieur c'est-à-dire », il y a discontinuité de pression lors de la traversée du film d'eau savonneuse[98], la pression de l'air intérieur étant plus grande que celle de l'air environnant , la différence de pression de part et d'autre du film d'eau savonneuse[98] suivant la « loi de Laplace[91] » dans laquelle « est la différence de pression », la démonstration de la « loi de Laplace[91] (ou équation de Laplace-Young)[92] » utilisant les résultats précédents concernant la pression de Laplace[91] entre l'eau savonneuse[98] et l'air extérieur « » voir « cas d'une goutte d'eau dans l'air » plus haut dans ce paragraphe et celle entre l'air intérieur et l'eau savonneuse[98] «» voir « cas d'une bulle d'air dans l'eau » plus haut dans ce paragraphe ou, avec le choix d'orientation du rayon de courbure imposée ici « », «» soit finalement «» étant , l'est aussi.

           Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : ci-contre la coupe d'un tube capillaire tube de section droite cylindrique de révolution de faible rayon [99] plongeant verticalement dans l'eau avec précision de la courbure de la surface libre de l'eau dans le tube ainsi que du sens de la dénivellation entre cette dernière et la surface libre de l'eau du récipient dans lequel plonge le tube ; nous constatons d'une part que la surface libre de l'eau dans le tube capillaire n'est pas plane mais forme un « ménisque concave » la raison étant que l'adhésion de l'eau sur le verre est supérieure à la cohésion propre de l'eau d'où une tendance de l'eau à adhérer le plus possible au verre et d'autre part que le point le plus bas de la surface libre dans le tube est à un niveau plus élevé que celui de la surface libre dans le récipient, la dénivellation suivant la « loi de Jurin[100] » dans laquelle « est la masse volumique de l'eau », « l'intensité de la pesanteur », « le cœfficient de tension superficielle[93] de l'interface eau - air » et « l'angle de contact entre l'eau et la paroi du tube[101] encore appelé angle de raccordement » ; la démonstration de la « loi de Jurin[100] » utilise d'une part
            Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : la « formule du nivellement barométrique[102] appliquée à l'eau contenue dans le récipient et le tube, entre la surface libre de l'eau dans le récipient ou de l'eau du tube située au même niveau et le point de l'eau du tube juste au-dessous du ménisque soit » et d'autre part
            Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : la « loi de Laplace[91] (ou équation de Laplace-Young)[92] appliquée de part et d'autre du ménisque entre le point de l'eau du tube juste au-dessous du ménisque et l'air juste au-dessus est le rayon de courbure du ménisque orienté de l'eau vers l'air c'est-à-dire ou, en notant le rayon de courbure non algébrisé » d'où «» et finalement,
            Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : l'identification des deux expressions de conduit à «» ;
            Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : il reste maintenant à expliciter le « rayon de courbure du ménisque en fonction du rayon du tube et de l'angle de contact entre l'eau et la paroi du tube » d'une part et d'autre part à rechercher « à quelle condition la hauteur du ménisque dans le tube voir définition dans le détail de la figure ci-dessus à droite peut être négligée devant la dénivellation »[103] soit
            Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : d'une part voir détail de la figure ci-dessus à droite «» expression reportée dans «» pour achever la démonstration de la « loi de Jurin[100] »,
            Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : d'autre part voir détail de la figure ci-dessus à droite ou, en factorisant et reportant l'expression précédemment établie de , «» d'où la réécriture de «» selon «» » d'où

la condition de validité de la « loi de Jurin[100] »,
«» ;

            Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans l'eau : exemple : le « cœfficient de tension superficielle[93] de l'interface eau - air valant à »[94], l'« angle de contact entre l'eau et le verre de la paroi du tube étant estimée à », la « masse volumique de l'eau étant à » et l'« intensité de la pesanteur », la condition d'applicabilité de la « loi de Jurin[100] » impose que le rayon du tube satisfasse « en » soit «» ; pour un « tube capillaire de diamètre », la « dénivellation entre le ménisque de la surface libre de l'eau du tube et la surface libre de l'eau du récipient dans lequel est plongé le tube » vaut « en » soit «» remarque : nous pouvons obtenir un ordre de grandeur de la dénivellation en appliquant la loi de Jurin[100] dans un tube de rayon bien que sa condition de validité ne soit pas respectée, par exemple si l'ordre de grandeur de trouvé par loi de Jurin[100] à savoir reste du domaine acceptable.

            Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans le mercure : contrairement aux autres liquides à température ordinaire, d'une part la « surface libre du mercure dans le tube capillaire forme un ménisque convexe » la raison étant que l'adhésion du mercure sur le verre est inférieure à la cohésion propre du mercure d'où une tendance du mercure à adhérer le moins possible au verre dont une conséquence est que l'« angle de contact entre le mercure et la paroi du tube est obtus », d'autre part la « dénivellation entre le ménisque de la surface libre du mercure du tube et la surface libre du mercure du récipient dans lequel est plongé le tube est inversée » ;
            Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans le mercure : à condition d'algébriser la dénivellation entre les deux surfaces libres du tube et du récipient dans le sens ascendant selon «» ainsi dans le cas de l'eau et des autres liquides ayant le même comportement et dans le cas du mercure nous pouvons appliquer la « loi de Jurin[100] algébrisée » pour déterminer la dénivellation entre les deux surfaces libres du mercure du tube et du récipient, la « condition d'applicabilité étant que le rayon du tube satisfasse » soit, avec le « cœfficient de tension superficielle[93] de l'interface mercure - air valant à », un « angle de contact entre le mercure et la paroi du tube », la « masse volumique du mercure à » et l'« intensité de la pesanteur », la condition d'applicabilité de la loi de Jurin[100] algébrisée se réécrit, dans le cas du mercure, en soit finalement «» ;
            Complément sur les phénomènes de « tension superficielle » : Cas d'un tube capillaire plongeant dans le mercure : pour un « tube capillaire de diamètre »[104], la « dénivellation algébrique entre le ménisque de la surface libre du mercure du tube et la surface libre du mercure du récipient dans lequel est plongé le tube » vaut « en » soit «» c'est-à-dire près de fois plus faible en valeur absolue que la dénivellation utilisant de l'eau dans les mêmes conditions.

Propriété des vases communicants et exemples d'utilisation[modifier | modifier le wikicode]

Surface libre d'un fluide à masse volumique constante, propriété des vases communicants[modifier | modifier le wikicode]

     Ci-contre un schéma d'analyse[105] d'un liquide[106] surmonté d'une atmosphère d'air[107] pour établir que « la surface libre d'un liquide[106] c'est-à-dire l'interface liquide - atmosphère en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme est plane et horizontale ».

     Démonstration : l'axe vertical étant orienté dans le sens ascendant, nous appliquons l'intégrale 1ère spatiale[108] en un point quelconque du liquide soit, avec la pression en et sa cote comptée dans le sens ascendant, «» étant la masse volumique du liquide et l'intensité de la pesanteur terrestre, cette relation est en particulier applicable en de cote , point du liquide juste au-dessous de la surface libre d'où «» ;

     Démonstration : or, en absence de phénomènes de capillarité, il y a continuité de la pression lors de la traversée de la surface libre et la pression de l’air surmontant cette dernière étant uniforme égale à , nous en déduisons «» en tout point du liquide juste au-dessous de la surface libre d’où, en reportant dans la relation précédente,

Vases communicants

     Démonstration : «» et par suite «» « la surface libre d'un liquide[106] en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme est plane et horizontale » C.Q.F.D[109]..

     Remarque : le résultat concernant la forme de la surface libre d'un liquide[106] en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme est applicable quelle que soit la forme du récipient contenant le liquide, récipient qui peut être constitué de plusieurs vases communicants par la base voir schéma ci-contre d'où le nom donné à cette relation « propriété des vases communicants ».

1er exemple d'utilisation, explication du fonctionnement d'une écluse sur un fleuve[modifier | modifier le wikicode]

     Une écluse sur un fleuve ou un canal est composée d'un sas limité par deux portes permettant aux bateaux navigant sur le fleuve ou un canal de franchir des dénivellations ; nous nous proposons d'expliquer son fonctionnement en quatre phases pour un bateau navigant dans le sens du courant, ce sont :

     une 1ère phase de fonctionnement, le bateau étant en attente du côté amont du fleuve, la porte amont de l'écluse s'entrouvre plus exactement c'est la vanne située dans la porte qui est ouverte, ce qui permet le passage de l'eau et non du bateau, la porte aval restant fermée, la surface libre de l'eau du fleuve amont étant de niveau plus élevé que celui de la surface libre de l'eau du sas, l'eau du fleuve amont entre dans le sas jusqu'à ce que les deux surfaces libres soient de même niveau selon la « propriété des vases communicants » voir schéma ci-contre à gauche,

     une 2ème phase de fonctionnement, la porte amont de l'écluse s'ouvre entièrement simultanément la vanne est fermée, le fait qu'elle soit ouverte n'ayant plus d'intérêt, la porte aval restant fermée, comme l'eau du sas est au niveau du fleuve amont, le bateau entre dans le sas voir schéma ci-contre à droite,

     une 3ème phase de fonctionnement, le bateau étant en attente dans le sas, la porte aval de l'écluse s'entrouvre plus exactement c'est la vanne située dans la porte qui est ouverte, ce qui permet le passage de l'eau et non du bateau, la porte amont étant fermée ainsi que la vanne située dans la porte de façon à empêcher l'eau de passer, la surface libre de l'eau du sas étant de niveau plus élevé que celui de la surface libre de l'eau du fleuve aval, l'eau du sas s'écoule vers le fleuve aval jusqu'à ce que les deux surfaces libres soient de même niveau selon la « propriété des vases communicants » voir schéma ci-contre à gauche,

     une 4ème phase de fonctionnement, la porte aval de l'écluse s'ouvre entièrement simultanément la vanne est fermée, le fait qu'elle soit ouverte n'ayant plus d'intérêt, la porte amont restant fermée, comme l'eau du sas est au niveau du fleuve aval, le bateau sort du sas pour poursuivre sa navigation sur le fleuve aval voir schéma ci-contre à droite.

2èmes exemples d'utilisation, explication de l'utilisation d'un siphon hydraulique, présentation de la méthode de siphonnage[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un siphon hydraulique
Schéma présentant la méthode de siphonnage

     voir ci-contre à gauche le schéma d'un siphon hydraulique dont le but est de bloquer les odeurs provenant des tuyaux d'évacuation, une hauteur de à d'eau dans le siphon c'est-à-dire la partie coudée est usuellement suffisante la quantité doit être telle que l'eau occupe la totalité de la section droite du siphon au niveau du coude, de plus la pression des gaz dans le tuyau d'évacuation et de l'air de l'autre côté doit être la même pour que les surfaces libres de l'eau de chaque côté du coude soit au même niveau ;

     voir ci-contre à droite un schéma de présentation de la méthode de siphonnage permettant de transférer une partie ou la totalité du liquide d'un 1er récipient placé en hauteur dans un 2ème récipient placé en contre-bas et contenant le même liquide mais avec une surface libre à un niveau plus bas que celui de la surface libre du 1er récipient, le transfert étant réalisé à l'aide d'un tuyau souple ; le principe du siphonnage consiste à rendre les deux récipients communicants en plongeant une extrémité du tuyau souple dans le liquide du 1er récipient pour aspirer le liquide et, une fois ce dernier circulant dans le tuyau souple, en plongeant l'autre extrémité du tuyau souple dans le liquide du 2ème récipient[110], nous observons alors le transfert du liquide du 1er récipient vers le 2ème par l'intermédiaire du tuyau souple jusqu'à ce que les surfaces libres des deux récipients communicants par le tuyau souple soient les mêmes ou jusqu'à l'évacuation complète du liquide dans le 1er récipient dans le cas où un même niveau pour les deux surfaces libres seraient impossibles[111].

Interface entre deux fluides de densités différentes[modifier | modifier le wikicode]

     Ci-contre un schéma d'analyse[105] d'un liquide[106] surmonté d'un autre liquide[106] moins dense la masse volumique du liquide étant à la masse volumique du liquide pour établir que « l'interface des deux liquides[106] en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme est plane et horizontale » la stabilité de cet équilibre thermodynamique étant assurée si le liquide le plus dense est au-dessous du liquide le moins dense.

     Démonstration : l'axe vertical étant orienté dans le sens ascendant, nous appliquons l'intégrale 1ère spatiale[108] en deux points quelconques et du liquide soit, avec et la pression en et ainsi que et leur cote comptée dans le sens ascendant, « » étant l'intensité de la pesanteur terrestre, cette relation est en particulier applicable en de cote et de cote , points du liquide juste au-dessous de l'interface des deux liquides d'où «» ;

     Démonstration : reprenant le même raisonnement en se plaçant dans le liquide et notant de cote et de cote les points du liquide juste au-dessus de l'interface des deux liquides non représentés sur le schéma et à la verticale des points et du liquide nous en déduisons «» ;

     Démonstration : en absence de phénomènes de capillarité la pression est continue de part et d'autre de l'interface des deux liquides c'est-à-dire les C.A.L[65]. «» et «» soit,

     Démonstration : en reportant les C.A.L[65]. précédentes dans nous en déduisons «» soit, après simplification par «», «» d'où la même cote pour tous les points de l'interface des deux liquides « l'interface entre deux liquides[106] de densités différentes en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme est plane et horizontale » C.Q.F.D[109]..

     Remarque : Nous nous proposons de comparer les énergies potentielles de pesanteur du système des deux liquides[106] et , non miscibles, de densités différentes la masse volumique du liquide étant à la masse volumique du liquide , dans le cas de l'un ou l'autre des équilibres thermodynamiques dans le champ de pesanteur terrestre uniforme du système composé de quantités fixées de chaque liquide telles que « surmonte » situation de droite dans la figure ci-contre ou « surmonte » situation de gauche dans la figure ci-contre dans le but d'établir laquelle des deux énergies potentielles de pesanteur est la plus faible et par suite de déterminer que l’« équilibre stable correspond au liquide le moins dense surmontant le plus dense » situation de gauche, l'autre équilibre « le liquide le plus dense surmontant le moins dense » situation de droite étant instable ;

     Remarque : cas du liquide surmontant le liquide  : l'ensemble des deux liquides formant un cylindre de génératrices à , de section droite d'aire et de hauteur avec la hauteur de liquide , celle de liquide étant , son énergie potentielle de pesanteur avec choix de sa référence[112] sur la section la plus basse du cylindre, vaut «»[113] » soit finalement «» ;

     Remarque : cas du liquide surmontant le liquide  : se traite comme le cas précédent en permutant et simultanément au remplacement de par d'où l'énergie potentielle de pesanteur de l'ensemble des deux liquides avec choix de sa référence[112] sur la section la plus basse du cylindre «» ;

     Remarque : formant nous obtenons soit, après simplification évidente, «» d'où la stabilité de l'équilibre correspondant au liquide le moins dense surmontant le plus dense l'autre équilibre étant instable C.Q.F.D[109]..

Principe des manomètres différentiels[modifier | modifier le wikicode]

     Un manomètre est un instrument servant à mesurer une pression, il est dit hydrostatique si son principe consiste à mesurer une pression par rapport à une pression de référence grâce à une dénivellation de liquide à et inversement à la masse volumique du liquide ;

        Un manomètre est un instrument servant à mesurer une de plus il est dit différentiel si son but est de mesurer une différence de pression entre deux gaz voir le schéma de principe ci-contre : les extrémités supérieures d'un tube en U contenant un liquide[106] de masse volumique étant reliées à des récipients remplis de gaz dont nous souhaitons comparer les pressions, par exemple, sur le schéma,
     l'extrémité supérieure de gauche étant reliée à un récipient rempli du gaz à la pression et
     l'extrémité supérieure de droite étant reliée    à un récipient rempli du gaz à la pression ,
     nous souhaitons savoir lequel des deux gaz a la plus grande pression d'une part et déterminer la différence de pression en valeur absolue d'autre part ;

     appliquant la formule du nivellement barométrique au liquide entre et points respectivement juste au-dessous des interfaces « liquide - gaz » et « liquide - gaz », nous obtenons «»[102] d'une part et

     utilisant la continuité des pressions de part et d'autre des interfaces « liquide - gaz » hors capillarité «» d'autre part, nous obtenons

«» soit,
avec , «» c'est-à-dire que
« le gaz ayant la plus grande pression est celui du côté duquel le liquide est du tube en U est au plus bas niveau » et
en notant « la dénivellation non algébrisée «»,
la « différence non algébrisée de pression » vaut «».

     Exemples : Un manomètre différentiel à colonne de liquide utilisant un tube en U haut de l'ordre du mètre rempli à moitié soit
     Exemples : d'eau permet de mesurer des différences de pression correspondant à une dénivellation maximale soit, avec et , ou «» ce qui est faible mais
           Exemples : d'eau permet de mesurer des différences de pression correspondant à une dénivellation minimale avec utilisation d'un vernier ou «» ce qui correspond à une grande sensibilité soit
     Exemples : de mercure permet de mesurer des différences de pression correspondant à une dénivellation maximale soit, avec et , ou «» ce qui correspond à une étendue de mesure fois à celle d'un manomètre différentiel à colonne d'eau de même dimension mais
           Exemples : de mercure permet de mesurer des différences de pression correspondant à une dénivellation minimale avec utilisation d'un vernier ou «» ce qui correspond à une faible sensibilité plus exactement fois moins bonne que celle d'un manomètre différentiel à colonne d'eau de même dimension.

Principe des baromètres absolus (tube de Torricelli)[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un tube de Torricelli[114] (principe d'un baromètre absolu)

     Pour réaliser un « tube de Torricelli[114] » voir ci-contre il faut remplir un tube de de long « entièrement de mercure » et le retourner sur une cuve à mercure sans faire entrer d'air dans le tube, ceci fait nous constatons que le mercure dans le tube retourné ne reste pas collé au fond du tube situation étonnante compte-tenu du fait qu'il n'y a eu aucune entrée d'air mais que le niveau le plus élevé dans le tube stationne à une hauteur au-dessus de la surface libre du mercure de la cuve laissant entre la surface du mercure dans le tube retourné et le fond de ce dernier un espace appelé « chambre barométrique » dans lequel il y a un « vide apparent »[115] ;

     appliquant la formule du nivellement barométrique[102] au mercure entre les points juste au-dessous de la surface libre du mercure de la cuve et juste au-dessous du niveau le plus élevé de mercure dans le tube retourné nous obtenons «» dans laquelle « est la masse volumique du mercure liquide à »[116] et « l'intensité de la pesanteur terrestre normale[117] » puis

     utilisant la continuité de la pression hors capillarité de part et d'autre de la surface libre du mercure de la cuve soit «» étant la pression atmosphérique à l'altitude du tube de Torricelli[114] et à la température de l'expérience et

                 utilisant la continuité de la pression (capillarité) de part et d'autre du niveau le plus élevé de mercure liquide dans le tube retourné soit «» étant la pression de vapeur saturante de mercure à la température de l'expérience[118], pression correspondant à un « vide apparent » par exemple, à elle vaut et par suite considérée comme nulle d'où

     la réécriture de la formule du nivellement barométrique[102] appliquée au mercure liquide entre les points et ,

«»

la « mesure de » permet de déduire la « pression atmosphérique à l'altitude et à la température de l'expérience »
d'où le nom de « baromètre absolu » donné au tube de Torricelli[114].

     Exemple d'utilisation : « Au niveau de la mer », à la « température de », pour une « pression atmosphérique moyenne valant », la « hauteur de mercure dans le tube renversé vaut en » soit «».

     Exemple d'utilisation : De cet exemple, on tire une nouvelle unité de pression atmosphérique le « torr de symbole » correspondant à une hauteur de mercure de dans le tube renversé d'un baromètre absolu[119] «» ;

     Exemple d'utilisation : la pression exercée au niveau moyen de la mer par une colonne verticale de de mercure à la température de définit la pression atmosphérique normale ou pression atmosphérique standard sa valeur étant fixée à «»[120].

Théorème de Pascal, principe d'un pont élévateur hydraulique, expérience du crève-tonneau de Pascal[modifier | modifier le wikicode]

Théorème de Pascal[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : pour que le théorème de Pascal[121] s'applique à un liquide en équilibre thermodynamique dans un champ de pesanteur uniforme, il est nécessaire que la variation de pression imposée en un point particulier ne modifie pas l'équilibre du liquide en particulier il doit s'agir du même équilibre avec la même occupation spatiale du liquide.

     Démonstration : appliquons à un liquide[106] de masse volumique en équilibre thermodynamique dans un champ de pesanteur uniforme l'axe vertical étant ascendant, l'« intégrale 1ère spatiale »[87] «» avec résultant de la C.A.L[47]. « la pression au point de cote est » «» d'où la relation traduisant l'équilibre thermodynamique de ce liquide en chacun de ses points

«» ;

     Démonstration : une surpression ayant été créée au point de cote sans changement de la répartition spatiale du liquide, ce dernier gardant le même équilibre dans le champ de pesanteur uniforme et supposant que cela engendre une surpression au point quelconque du liquide, de cote la nouvelle C.A.L[47]. étant « la pression au point de cote est » et « la pression au point supposée égale à », l'« intégrale 1ère spatiale »[87] correspondant à cet équilibre avec nouvelle C.A.L[47]. «» avec résultant de la nouvelle C.A.L[47]. «» d'où la relation traduisant l'équilibre thermodynamique avec nouvelle C.A.L[47]. de ce liquide en chacun de ses points

«»

«» ;

     Démonstration : formant la différence entre les deux relations du même équilibre thermodynamique du liquide dans le champ de pesanteur uniforme sous C.A.L[47]. distincte «» nous obtenons, après simplification évidente,

«», c'est-à-dire que
« la surpression engendrée en se retrouve intégralement en quelconque » C.Q.F.D[109]..

Principe d'un pont élévateur hydraulique[modifier | modifier le wikicode]

dispositif exposant le principe d'un pont élévateur hydraulique, à vide dans le schéma de gauche, à charge dans celui de droite

     Sur le schéma de gauche, ci-contre, un liquide[106] est contenu dans deux récipients reliés à leurs bases par un tuyau horizontal tel que, sur la surface de niveau le plus élevé du liquide dans chaque récipient repose un piston occupant toute la section droite du récipient pour le récipient de gauche de section droite d'aire le piston est de masse et pour le récipient de droite de section droite d'aire le piston est de masse , ces pistons séparant le liquide de l'« atmosphère de pression » ;

     Sur le schéma de gauche, le liquide[106] étant en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme vertical unitaire ascendant, notons et deux points du liquide[106] juste au-dessous du piston dans le récipient de gauche pour le 1er et de celui dans le récipient de droite pour le 2ème, les pressions et se déterminant en écrivant l'équilibre du piston considéré soit,

     Sur le schéma de gauche, pour le piston de gauche «»[122] «» et

     Sur le schéma de gauche,       pour celui de droite «»[122] «» ;

     Sur le schéma de gauche, l'« intégrale 1ère spatiale »[87] appliquée au liquide en équilibre avec pistons à vide s'écrit «» étant la masse volumique du liquide[123] ;

     sur le schéma de droite, ci-dessus, a été ajoutée une surcharge de masse sur le piston du récipient de gauche et, simultanément, une surcharge de masse sur le piston du récipient de droite de façon à ce que l'équilibre thermodynamique du liquide dans le champ de pesanteur terrestre uniforme reste inchangé c'est-à-dire la même répartition spatiale du liquide, l'ajout d'une surcharge sur l'un des pistons engendrant une surpression au point du liquide situé juste au-dessous du piston considéré, les nouvelles pressions et se déterminant en écrivant l'équilibre du piston adequat soit,

     Sur le schéma de droite, pour le piston de gauche «»[124] avec l'équilibre de la surcharge s'écrivant «»[125] dont nous déduisons «» soit, en reportant dans la relation d'équilibre du piston, «» «» et

     Sur le schéma de droite,       pour celui de droite «»[124] avec l'équilibre de la surcharge s'écrivant «»[125] dont nous déduisons «» soit, en reportant dans la relation d'équilibre du piston, «» «» ;

     Sur le schéma de droite, l'« intégrale 1ère spatiale »[87] appliquée au liquide en équilibre avec pistons à charge s'écrivant «» ou encore « » soit, en utilisant l'« intégrale 1ère spatiale »[87] appliquée au liquide en équilibre avec pistons à vide «»,

«» ce qui n'est rien d'autre que le théorème de Pascal[121] ;

     l'égalité des surpressions en et se réécrit «» «» par exemple, si « et », une charge de masse placée sur le piston du récipient de droite permet de maintenir l'équilibre thermodynamique du pont élévateur hydraulique avec une charge de masse placée sur le piston du récipient de gauche à condition bien sûr que le circuit hydraulique soit parfaitement hermétique.

Expérience du crève-tonneau de Pascal[modifier | modifier le wikicode]

crève-tonneau de Pascal[121]

     L'expérience du crève-tonneau de Pascal[121] a été réalisée par ce dernier en voir ci-contre à gauche : dans cette expérience Pascal[121] insère un tube de de long, de faible section, dans un tonneau rempli d'eau ; alors qu'il ajoute de l'eau dans le tube, Pascal[121] observe l'explosion du tonneau, celle-ci résultant de l'augmentation de pression créée par l'eau ajoutée bien que la quantité ajoutée reste faible compte-tenu de la petitesse de la section du tube ;
             L'expérience du crève-tonneau de Pascal pour un tube de de long, la « surpression engendrée en tout point de l'eau du tonneau une fois ce tube rempli d’eau est de [79] », cette surpression transmise en bas du tonneau a été suffisante pour le faire éclater pour un tube d’approximativement de diamètre, le volume ajouté était d’un peu moins de [126].

     Explication de l'expérience du crève-tonneau de Pascal[121] voir schémas ci-contre à droite : soit un tonneau rempli d'eau jusqu'en haut surmonté d’un tube fin vide d'eau 1er schéma à droite dans lequel nous nous intéressons à l'équilibre thermodynamique de l'eau contenue dans le tonneau encadrée en tiretés bleus ;
              Explication de l'expérience du crève-tonneau de Pascal une hauteur d’eau est ajoutée dans le tube ce qui crée une surpression en point de la surface libre de l'eau dans le tonneau avant ajout d'eau dans le tube, voir le 1er schéma à droite de «» avec « la masse volumique de l'eau liquide » et « l'intensité de la pesanteur terrestre » voir le 2èmeschéma à droite ; d’après le théorème de Pascal, le liquide[106] du tonneau restant en équilibre, cette surpression se retrouve en tout point de l'eau du tonneau, en particulier aux points de celle-ci proches des parois, surpression transmise aux parois du tonneau d'où

              Explication de l'expérience du crève-tonneau de Pascal pour une hauteur suffisamment grande, la surpression sur les parois peut être telle que le tonneau explose, ceci étant réalisé avec une faible quantité d’eau dans la mesure où la section du tube est petite

Ordre de grandeur du champ de pression dans un océan réel en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et comparaison à celui du modèle océan incompressible et homogène à évolution isotherme[modifier | modifier le wikicode]

Océan réel en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     La pression de l'eau liquide des océans approximativement de tous les de profondeur avec un léger resserrement des isobares dans les « grands fonds océaniques »[127] dues au fait que l'eau de ces zones a une « masse volumique plus grande » [128].

     La température de l'eau liquide des océans reste à peu près constante sur les 1ères dizaines de de profondeur puis rapidement de dans une couche de transition thermique appelée thermocline de de profondeur, pour ensuite continuer à de manière beaucoup moins prononcée la température restant comprise entre et dans les eaux au-dessous de la thermocline avant de se stabiliser dans les abysses à partir de de profondeur les abysses étant pratiquement isothermes voir la note « 80 » plus haut dans ce chapitre exposant un graphique montrant la variation de la température de l'eau d'un océan tropical avec la profondeur dans la couche de transition thermique appelée thermocline de de profondeur.

Comparaison du champ de pression d’un océan réel en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et celui du modèle océan à masse volumique constante[modifier | modifier le wikicode]

     Le champ de pression d’un océan réel et celui du modèle océan à masse volumique constante, tous deux en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, diffèrent

  • diffèrent très peu hors « grands fonds océaniques »[127] en effet selon l'application de la formule du nivellement barométrique[102] à l'eau du modèle océanique à masse volumique constante « » dans laquelle l'axe vertical est descendant avec « la masse volumique de l'eau liquide » et « l'intensité de la pesanteur terrestre » pour ce qui est effectivement ce qui est observé dans un océan réel,
  • la faible différence qui peut être observée en exigeant un accord plus précis étant la variation de la température qui n'est pas prise en compte dans le modèle d'où une différence très légère dans la thermocline entre et de profondeur, la température y étant quand la profondeur et la masse volumique légèrement [129] les plans isobares séparées de sont légèrement resserrés pour une même , étant légèrement plus grande, est légèrement plus petite, mais
  • diffèrent un peu plus dans les « grands fonds océaniques »[127], la différence observable étant due au caractère « compressible » de l'eau des « grands fonds océaniques »[127] qui n'est pas pris en compte dans le modèle la masse volumique de l'eau à la profondeur de étant légèrement plus grande qu'à la surface libre elle représente de à la surface libre et une fonction quand la profondeur [130] elle représente, à la profondeur de , de à la surface libre les plans isobares séparées de sont légèrement plus resserrés et ceci de façon d'autant plus prononcée que la profondeur est grande pour une même , étant d'autant plus grande que la profondeur l'est, est d'autant plus petite.

Complément documentaire sur la plongée[modifier | modifier le wikicode]

     Actuellement le record masculin de plongée en apnée No Limit[131] a été établi par l'apnéiste Herbert Nitsch[132] en Grèce en à la profondeur de «»,

     Actuellement le record féminin de plongée en apnée No Limit[131] a été établi par l'apnéiste Audrey Mestre[133] en République dominicaine en à la profondeur de «»,

     Actuellement le record de plongée autonome avec bouteille[134] a été établi par l'homme-grenouille Ahmed Gabr[135] en Mer Rouge à Dahab au large de l'Égypte à la profondeur de «»[136].

     Commentaires : La variation de pression de l'eau des océans avec la profondeur a des effets dangereux en plongée avec bouteille à air comprimé si le plongeur ne suit pas les conditions de sécurité ; en effet,

     Commentaires : à « de profondeur », la surpression relativement à la pression atmosphérique étant « la pression de l'eau des océans est » « l'air sort de la bouteille sous la même pression à savoir » et « la fraction molaire d'air dissoute dans le sang du plongeur étant à la pression » selon la loi de Henry[137] considérant une « solution liquide » constituée d'un « soluté » dissout dans un « solvant », la « fraction molaire du soluté en phase liquide à l'équilibre liquide-vapeur » est à la « pression partielle de ce soluté en phase gazeuse » selon « », « étant la constante de Henry du soluté dans le solvant » elle ne dépend quasiment pas de la pression si celle-ci reste modérée mais dépend de la température du mélange en variant dans le même sens que cette dernière homogène à une pression « la fraction molaire d'air dissoute dans le sang du plongeur à de profondeur est donc fois plus grande que celle dissoute quand ce dernier est en surface » ceci n'est pas gênant pour le dioxygène qui est consommé par le corps du plongeur mais ça l'est pour le diazote qui reste stocké dans les tissus ;

        Commentaires : à « 60 m de profondeur », si le plongeur remonte sans palier de décompression, le diazote ne se dégage qu'au retour à la surface d'où, à ce moment, un grand nombre de bulles dans les tissus possibilité d’embolie gazeuse ;

        Commentaires : à « 60 m de profondeur », il est donc nécessaire de prévoir des paliers de décompression lors de la remontée permettant un « dégagement progressif du diazote » ou

        Commentaires : à « 60 m de profondeur », il est donc nécessaire d’utiliser des mélanges gazeux adaptés sans diazote

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 et 1,1 Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  2. Les forces pressantes sont les seules forces surfaciques car les forces de viscosité sont nulles en absence de glissement des particules de fluide les unes sur les autres.
  3. 3,0 et 3,1 Élémentaire du point de vue macroscopique, la grandeur considérée étant d'échelle « mésoscopique ».
  4. Le substantif « altitude » impliquant que l’axe vertical est orienté vers le haut pour un axe vertical orienté vers le bas on emploierait le substantif « profondeur ».
  5. Dans le cadre de l'étude d'un équilibre, les grandeurs introduites sont nécessairement indépendantes de .
  6. Le volume de la particule de fluide noté jusqu'à présent ou plus simplement l'est «» pour rappeler que c'est un infiniment petit d'ordre trois, produit d'un infiniment petit d'ordre deux «» et d'un infiniment petit d'ordre un «».
  7. 7,0 7,1 et 7,2 et étant respectivement les projetés orthogonaux de sur les bases supérieure et inférieure.
  8. étant un point quelconque de la surface latérale choisi sur le schéma à la même altitude que .
  9. L'aire de la surface latérale totale infiniment petite d'ordre deux étant notée et considérant, centrée sur , une portion élémentaire de cette surface latérale totale, l'aire de cette portion élémentaire est notée «» en tant que infiniment petite d'ordre trois.
  10. 10,0 10,1 10,2 10,3 et 10,4 Condition Nécessaire.
  11. Condition Suffisante.
  12. Une base directe, dans un espace orienté à droite voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », s'obtient en utilisant la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « 12 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  13. 13,0 et 13,1 et étant respectivement les projetés orthogonaux de sur les surfaces latérales arrière d'abscisse et avant d'abscisse d'aire commune .
  14. 14,0 et 14,1 et étant respectivement les projetés orthogonaux de sur les surfaces latérales gauche d'ordonnée et droite d'ordonnée d'aire commune .
  15. 15,0 15,1 15,2 et 15,3 Développement limité.
  16. Voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  17. Voir le paragraphe « différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  18. 18,00 18,01 18,02 18,03 18,04 18,05 18,06 18,07 18,08 18,09 18,10 18,11 18,12 et 18,13 Relation fondamentale de la Statique des Fluides.
  19. La circulation élémentaire d'un champ vectoriel est voir paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  20. 20,0 20,1 et 20,2 Voir le paragraphe « définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  21. Le caractère « quelconque » du déplacement élémentaire est important dans la suite du raisonnement, la démonstration de la forme différentielle de la r.f.s.f. a été faite avec une particule de fluide cylindrique dont les génératrices étaient à l'axe de façon à pouvoir écrire «», la masse étant alors «» mais
       si on considère une particule de fluide cylindrique dont les génératrices sont obliques de direction quelconque à correspondant néanmoins à la même hauteur , le volume du cylindrique oblique s’écrit «» où est l’angle d’inclinaison des génératrices relativement à la verticale, soit encore, en utilisant «», «» c'est-à-dire le même volume «» que le cylindre « droit », ceci entraînant que les cylindres oblique et droit de même volume ayant la même masse ont également le même poids et par suite que l’on a la même variation de pression entre les bases ce qui n'est rien d'autre que la même forme différentielle de la r.f.s.f. pour une particule de fluide de forme cylindrique « oblique » en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme que celle obtenue pour une particule de fluide de forme cylindrique « droite » en équilibre dans le même champ de pesanteur uniforme à condition que ces deux particules de fluide soient de même hauteur  ;
       en conclusion la forme différentielle de la r.f.s.f. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen « avec axe vertical ascendant » est indépendante de la forme cylindrique de la particule de fluide utilisée pour la démontrer elle ne dépend pas non plus de la nature cylindrique de cette particule, admis pour l'instant.
  22. Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  23. Voir le paragraphe « propriétés du gradient d'une fonction scalaire de l'espace U relativement aux surfaces iso-U » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  24. Voir le paragraphe « composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », si les surfaces iso-U sont les plans , ne dépend que de et «» « est dans le sens de correspondant à ».
  25. 25,00 25,01 25,02 25,03 25,04 25,05 25,06 25,07 25,08 25,09 25,10 25,11 25,12 25,13 25,14 25,15 25,16 et 25,17 Gaz Parfait.
  26. Un système est monophasé si ses paramètres locaux c'est-à-dire les paramètres ne dépendant pas directement de la quantité on qualifiera ces paramètres d'« intensifs » comme la température, la pression, la concentration volumique molaire, la masse volumique y sont constants les paramètres dépendant directement de la quantité comme le volume, la masse seront qualifiés d’« extensifs ».
  27. Relatif à une entité, le plus souvent l'entité du gaz pur monophasé étant une molécule on remplace « entitaire » par « moléculaire »
  28. Dans le cas d'un G.P. de molécules la densité volumique moléculaire doit être faible devant celle définie dans les gaz réels à température et pression usuelles c'est-à-dire voir le paragraphe « ordre de grandeur du nombre d'entités dans un échantillon d'échelle spatiale mésoscopique (remarque) » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».
  29. L’équilibre thermodynamique signifiant que la pression équilibre mécanique et la température équilibre thermique sont telles qu’il n’y a pas de mouvement « macroscopique » à l'intérieur du système étudié.
  30. Les paramètres locaux d'un système c'est-à-dire les paramètres intensifs ne sont pas indépendants pour un système en équilibre thermodynamique mais liés entre eux, le nombre de paramètres intensifs indépendants que l'on peut choisir dans un système en équilibre thermodynamique définissant la « variance » du système, un gaz en équilibre thermodynamique est un système « divariant » c'est-à-dire dont la « variance » est deux ;
       comme nous ne pouvons choisir que deux paramètres intensifs indépendants dans un gaz en équilibre thermodynamique, il existe une relation entre les deux paramètres intensifs usuellement choisis indépendants «» et les autres paramètres intensifs définissant, pour chaque autre paramètre intensif, une équation d’état sous forme locale, cette dernière permettant d’évaluer cet autre paramètre intensif en fonction des deux paramètres intensifs choisis indépendants.
  31. 31,00 31,01 31,02 31,03 31,04 31,05 31,06 31,07 31,08 31,09 31,10 31,11 31,12 31,13 31,14 31,15 31,16 31,17 31,18 31,19 31,20 31,21 31,22 31,23 31,24 31,25 31,26 31,27 31,28 31,29 31,30 31,31 31,32 31,33 31,34 31,35 et 31,36 Le Kelvin symbole est l'unité de température « absolue » du S.I. Système International définie telle que la température « absolue » la plus basse théorique soit  ;
       la température « absolue » est liée à la température centésimale repérée en degré Celsius par «» ;
       William Thomson (1824 - 1907), connu aussi sous le nom de Lord Kelvin, physicien britannique d'origine irlandaise à qui on doit des avancées significatives en thermodynamique avec, entre autres, l'introduction du zéro absolu correspondant à l'état idéal d'absence d'agitation thermique ;
                                      il redécouvrit aussi dans les années le théorème de Stokes attribué à George Gabriel Stokes (1819 - 1903) mathématicien et physicien britannique voir note « 30 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais démontré en premier en par Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky (1801 - 1862) physicien et mathématicien russe province de l'Ukraine voir aussi note « 30 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
                                      ce que William Thomson a apporté en redécouvrant le théorème de Stokes est la formulation particulièrement adaptée à la physique que les anglo-saxons nomment théorème de Kelvin-Stokes concernant la circulation du rotationnel d'un champ vectoriel sur une courbe fermée et sa transformation en flux du champ à travers n'importe quelle surface ouverte s'appuyant sur le contour fermé ;
       Anders Celsius (1701 - 1744) est un savant suédois surtout connu pour avoir été à l'origine d'une échelle de repérage des températures.
  32. Dès lors qu'un gaz n'est pas monophasé par exemple parce que la pression ou la température y varient il ne peut être considéré comme parfait, néanmoins
       il peut être en équilibre mécanique si un champ de force volumique extérieur maintient le différentiel de pression et par suite, dans tout échantillon mésoscopique de ce gaz, la pression y est constante mais dépendant de l'échantillon mésoscopique choisi et
       il peut être en équilibre thermique si deux thermostats de température différente disposés de part et d'autre du récipient contenant le gaz maintiennent le différentiel de température et par suite, dans tout échantillon mésoscopique de ce gaz, la température y est constante mais dépendant de l'échantillon mésoscopique choisi,
       en conclusion, dans le cas d'un gaz non monophasé mais en équilibre thermodynamique par la présence d'un champ de force volumique d'une part assurant l'équilibre mécanique et celles de deux thermostats à température différente situés de part et d'autre du récipient limitant le gaz d'autre part assurant l'équilibre thermique, chaque échantillon mésoscopique du gaz est monophasé et, si les autres conditions sont réalisées, peut être considéré comme parfait.
  33. Cette forme globale fait intervenir deux paramètres intensifs c'est-à-dire locaux et deux paramètres extensifs c'est-à-dire globaux .
  34. 34,0 34,1 34,2 et 34,3 Pour que reste uniforme dans la portion d'atmosphère terrestre à près, il faut limiter la variation d’altitude à «» et celles de déplacement horizontal à «», voir le paragraphe « condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre (condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi-uniforme) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  35. 35,0 et 35,1 Pour que le référentiel terrestre soit quasi-galiléen, il faut que la durée d'observation soit voir le paragraphe « caractère quasi-galiléen du référentiel terrestre pour une durée d'expérience n'excédant pas 15 min » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », ce qui est réalisé lors de la mesure de la pression en un point de l'atmosphère terrestre, celle-ci étant quasi-instantanée.
  36. L'hypothèse de température constante de l'atmosphère n’est pas vérifiée sur les 1ers d’altitude de celle-ci la température réelle de lors de l'ascension sur ces 1ers , ce n’est qu’au-delà des 1ers et en deçà de d'altitude que la température reste quasi-constante voir le paragraphe « interprétation des écarts de pression entre celle de l'atmosphère réelle et celle du modèle de l'atmosphère isotherme » plus loin dans ce chapitre.
  37. 37,00 37,01 37,02 37,03 37,04 37,05 37,06 37,07 37,08 37,09 37,10 et 37,11 Le centre de la particule d'atmosphère est noté et non car cette dernière notation est réservée à la masse molaire moléculaire
  38. 38,0 et 38,1 Voir le paragraphe « définition d'une particule de fluide » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) ».
  39. 39,0 et 39,1 En effet l'air sec de l'atmosphère terrestre est composée, en proportion moléculaire, de de diazote de masse molaire moléculaire , de de dioxygène de masse molaire moléculaire et de d'argon de masse molaire moléculaire , soit une masse molaire moléculaire moyenne d'air « en et finalement «.
  40. 40,0 et 40,1 La masse de la particule d'atmosphère de volume s'évalue par rapport à ses composants selon «» ou, avec la quantité totale de molécules de la particule d'atmosphère soit «» ou, après factorisation par , « », cette dernière relation établissant que la « quantité totale de molécules de la particule d'atmosphère » s'identifie à la « quantité de molécules moyennes de cette même particule d'atmosphère ».
  41. 41,0 et 41,1 La constante « en » caractéristique du G.P. air est parfois appelée « constante massique du G.P. air » et « notée », la forme intégrée de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère » en équilibre thermodynamique s'écrit alors «» mais le désavantage de cette notation est que la constante massique du G.P. dépend de la nature de ce dernier contrairement à la constante molaire qui n'en dépend pas d'où, une notation à éviter autant que possible
  42. 42,0 et 42,1 Si nous introduisions la « constante massique du G.P. air en » caractéristique du G.P. air, la forme locale de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère » en équilibre thermodynamique s'écrirait alors «» avec le même désavantage de notation que celui dénoncé dans la note « 41 » plus haut dans ce chapitre notation à éviter autant que possible
  43. Si nous introduisions la « constante massique du G.P. air en » caractéristique du G.P. air, la forme locale de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère isotherme à la température » en équilibre thermodynamique s'écrirait alors «» avec le même désavantage de notation que celui dénoncé dans la note « 42 » plus haut dans ce chapitre notation à éviter autant que possible
  44. Nous pouvons donc affirmer «».
  45. 45,0 45,1 45,2 et 45,3 Comme nous avons vu que la pression ne dépendait que de , il est licite de remplacer par son altitude dans  ;
                                      la masse volumique liée à la pression et la température par la relation ne dépend aussi que de dans la mesure où la température n'est fonction que de , il est alors aussi licite de remplacer par son altitude dans .
  46. Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  47. 47,00 47,01 47,02 47,03 47,04 47,05 47,06 47,07 47,08 47,09 47,10 47,11 47,12 47,13 47,14 47,15 et 47,16 Condition À la Limite.
  48. 48,0 48,1 48,2 48,3 et 48,4 Application Numérique.
  49. Ordre de grandeur à retenir.
  50. 50,0 50,1 et 50,2 Un peu au-dessous du « point culminant de l'Everest d’altitude ».
  51. 51,0 51,1 51,2 et 51,3 Au-delà de l'altitude de , l'erreur sur la pression utilisant le modèle de l'atmosphère isotherme est de plus en plus grande le modèle de l’atmosphère isotherme n'est plus acceptable.
  52. 52,0 52,1 52,2 et 52,3 C’est « entre et d'altitude » donc dans la stratosphère que se trouvent les plus grandes concentrations d’ozone «», l'ozone stratosphérique connue sous le nom de couche d'ozone filtre une partie des rayons ultraviolets émis par le Soleil, ultraviolets notamment responsables du cancer de la peau il est donc très important de lutter contre la destruction de la couche d'ozone.
  53. C’est « dans la mésosphère » que la plupart des météorites se consument « partiellement » un objet solide, d'origine extraterrestre, brûlant entièrement dans l'atmosphère terrestre n'étant pas qualifié de « météorite » en entrant dans l'atmosphère terrestre.
  54. 54,0 54,1 et 54,2 Sur la « haute mésosphère », la « thermosphère » et la « basse exosphère », entre et d'altitude, se trouve l'« ionosphère » partie de l’atmosphère ionisée par les radiations solaires grâce à ses particules chargées l'« ionosphère » influence la propagation des ondes radio, c’est aussi dans la partie de l'« ionosphère » située au-dessus des pôles Nord ou Sud que les aurores polaires se forment aurores « boréales dans l'hémisphère Nord » ou « australes dans l'hémisphère Sud ».
  55. 55,0 et 55,1 L'interface thermosphère - exosphère n'est pas partout située à l'altitude de , elle dépend des coordonnées angulaires et suivant celles-ci se situe entre « et ».
  56. Lorsque l'activité solaire est telle que la température atteint , celle-ci est sans danger pour l'homme à condition qu'il soit en combinaison spatiale, la pression y étant excessivement faible.
  57. Voir le paragraphe « définition de la température cinétique d'un gaz en équilibre thermodynamique » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».
  58. En fait le milieu est déjà trop dilué dans la « haute exosphère » pour estimer que celle-ci fait partie de l'atmosphère la température n'y ayant d'ailleurs aucune signification.
  59. 59,0 59,1 59,2 et 59,3 Voir le paragraphe « composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  60. Si nous introduisions la « constante massique du G.P. air en » caractéristique du G.P. air, la forme locale de l'équation d'état de la « particule d'atmosphère à gradient de température uniforme à partir de l'altitude de température » en équilibre thermodynamique s'écrirait alors «» avec le même désavantage de notation que celui dénoncé dans la note « 42 » plus haut dans ce chapitre notation à éviter autant que possible
  61. Nous pouvons donc affirmer «».
  62. Selon l'habitude faite en physique nous confondons la notation d'une fonction avec la valeur de cette dernière dans son domaine de valeurs ainsi la « notation mathématique ou » est remplacée, en physique, par « la notation plus compacte dans laquelle la valeur sert également à noter la fonction » ;
       quand un changement de variable est effectué par exemple , la « fonction qui associe à étant est notée en mathématiques ou », adopter l'habitude des physiciens consistant à confondre la notation de la fonction et de la valeur de cette dernière pose évidemment un problème lors d'un changement de variable car si la valeur ne change pas il n'en est pas de même de la fonction, néanmoins, par abus, les physiciens maintiennent cette simplification car elle apporte beaucoup plus d'avantages que d'inconvénients et ils noteront « pour traduire » tout comme ils notent « pour traduire » dans la notation utilisée en physique, le du membre de gauche est le même avant et après le changement de variable alors que le du membre de droite est évidemment différent
  63. «» doit faire penser à une intégration en logarithme et, pour préparer cette intégration on fait apparaître au numérateur du quotient «» soit un facteur «» en plus relativement à «» d’où la nécessité de compenser par un facteur «» multipliant le facteur «» non utilisé
  64. Voir le paragraphe « cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre homogène (2ème méthode) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  65. 65,0 65,1 65,2 65,3 65,4 65,5 et 65,6 Conditions Aux Limites.
  66. 66,0 66,1 et 66,2 Attention doit être exprimé en c'est-à-dire en .
  67. 67,0 67,1 67,2 67,3 67,4 67,5 et 67,6 « est exprimé en » car « est laissée en ».
  68. Un fluide étant « divariant » c'est-à-dire de variance , voir la définition de la variance dans la note « 30 » plus haut dans ce chapitre, il faut ajouter comment cette compression est réalisée un 1er paramètre local « la pression » variant, il faut maintenir constant un 2ème paramètre local « la température » ou préciser la relation liant ce 2ème paramètre local au 1er ; dans ce qui suit la compression est réalisée en maintenant la température constante voir le paragraphe « définitions des cœfficients thermoélastiques d'un système thermodynamique monophasé » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » mais nous verrons que la compression peut être faite de façon adiabatique voir la définition d'« adiabatique » dans le paragraphe « définition d'une évolution adiabatique » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » et dans ce cas, quand la pression , la température aussi en suivant l'équation de Laplace voir le paragraphe « équation d'une évolution Q.S.M.R. adiabatique d'un G.P. (à facteur isentropique constant) en variables (T, p), équation de Laplace en variables (T, p) » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».
  69. 69,0 69,1 69,2 69,3 69,4 et 69,5 Voir le paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  70. Le facteur «» dans la définition du cœfficient de compressibilité isotherme est présent pour que ce dernier soit « intensif » c'est-à-dire indépendant de la quantité envisagée ; d'autre part le signe «» est introduit pour que le cœfficient de compressibilité isotherme soit positif car le volume quand la pression à température maintenue constante.
  71. 71,0 71,1 71,2 et 71,3 Seules les dépendances relativement aux paramètres thermodynamiques sont précisées, la dépendance par rapport au point de l'espace étant omise.
  72. 72,00 72,01 72,02 72,03 72,04 72,05 72,06 72,07 72,08 72,09 72,10 72,11 et 72,12 Voir le paragraphe « définition des dérivées logarithmiques partielles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       si l'utilisation du logarithmique népérien d'une fonction scalaire dans la définition d'une dérivée logarithmique partielle de cette fonction ne présente aucune difficulté en mathématiques les grandeurs scalaires n'ayant pas d'unités en mathématiques, il n'en est pas de même en physique ou autres sciences appliquées comme la chimie la valeur de l'image d'une fonction dépendant de l'unité choisie et par suite le logarithme népérien de cette image aussi en physique ou autres sciences appliquées comme la chimie l'argument d'un logarithme népérien devant être un nombre sans dimension il est incorrect d'écrire ou ou etc car leur valeur dépend de l'unité choisie si on change d'unité de mesure de la grandeur, la valeur du logarithme de la grandeur varie d'une constante dépendant du rapport entre les unités initiale et finale, mais toutefois cette modification n'intervient plus après une dérivation partielle, s'il est incorrect d'écrire ou ou etc celle de leur dérivée partielle est parfaitement définie ;
       pour rendre correct, en physique ou autres sciences appliquées comme la chimie, l'écriture de ou ou etc il conviendrait de la remplacer par ou ou etc dans laquelle ou ou etc sont des valeurs de référence comme par exemple ou ou etc mais, par abus, cela n'est usuellement pas fait.
  73. 73,0 73,1 73,2 et 73,3 Les grandeurs massiques sont notées, en thermodynamique, par des lettres minuscules.
  74. Un fluide étant « divariant » c'est-à-dire de variance , voir la définition de la variance dans la note « 30 » plus haut dans ce chapitre, il faut ajouter comment cette dilatation est réalisée un 1er paramètre local « la température » variant, il faut maintenir constant un 2ème paramètre local « la pression » ou préciser la relation liant ce 2ème paramètre local au 1er ; dans ce qui suit la dilatation est réalisée en maintenant la pression constante voir le paragraphe « définitions des cœfficients thermoélastiques d'un système thermodynamique monophasé » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » mais nous verrons que la dilatation peut être faite de façon adiabatique voir la définition d'« adiabatique » dans le paragraphe « définition d'une évolution adiabatique » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » et dans ce cas, quand la température , la pression aussi en suivant l'équation de Laplace voir le paragraphe « équation d'une évolution Q.S.M.R. adiabatique d'un G.P. (à facteur isentropique constant) en variables (T, p), équation de Laplace en variables (T, p) » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».
  75. Le facteur «» dans la définition du cœfficient de dilatation isobare est présent pour que ce dernier soit « intensif » c'est-à-dire indépendant de la quantité envisagée ; usuellement le cœfficient de dilatation isobare est positif car le volume quand la température à pression maintenue constante il n'y a que l'eau entre et qui a un cœfficient de dilatation isobare négatif.
  76. 76,0 et 76,1 Sans s'intéresser à la faisabilité pratique du maintien de la température ou de la pression constante avec la modification de profondeur.
  77. 77,0 77,1 et 77,2 Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  78. 78,0 78,1 et 78,2 Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  79. 79,0 79,1 79,2 79,3 79,4 et 79,5 Voir le paragraphe « océan réel en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » plus bas dans ce chapitre.
  80. 80,0 et 80,1
    Ci-contre le graphique montrant la variation de la température de l'eau d'un océan tropical avec la profondeur dans la couche de transition thermique appelée thermocline de de profondeur ; noter
    • une faible diminution de température de l'ordre de sur les 1ers de profondeur puis
    • une transition rapide une chute de température d'approximativement entre et de profondeur,
    • une décroissance beaucoup moins rapide une chute de température d'approximativement entre et de profondeur et
    • une décroissance de moins en moins rapide une chute de température d'approximativement entre et de profondeur,
    • en-deçà de cette profondeur se trouve les « eaux profondes » où la température continue de baisser de manière moins prononcée, la température restant comprise entre et .
  81. En effet si est , est à .
  82. Cette fonction arbitraire jouant le rôle de constante d'intégration par rapport à à température constante.
  83. 83,0 et 83,1 Plus précisément pour obtenir d'augmentation relative de masse volumique dans l'océan tropical dont la courbe de variation de température en fonction de la profondeur est donnée dans la note « 80 » plus haut dans ce chapitre, nous pourrions admettre une profondeur de sur laquelle nous observons une diminution de température de entraînant une augmentation relative de de et une augmentation de pression de voir la note « 79 » plus haut dans ce chapitre entraînant une augmentation relative de de mais
       nous avons retenu une profondeur de pour simplifier.
  84. Car, pour qu'elle ne le soit pas à près à température constante il faudrait envisager une profondeur à comme cela a été exposé plus haut dans ce paragraphe
  85. Car, pour qu'elle soit indilatable à près à pression constante même s'il faudrait envisager une différence de température entre la surface et le fond à comme cela a été exposé plus haut dans ce paragraphe, ce qui est une contrainte réalisable, il est aussi relativement facile d'obtenir une différence de température à d'où le caractère a priori « dilatable » de cette eau
  86. 86,0 86,1 et 86,2 Dans le cas où le fluide est un liquide, est sur la surface libre de ce dernier.
  87. 87,0 87,1 87,2 87,3 87,4 87,5 et 87,6 Porte ce nom car résulte d'une 1ère intégration par rapport à l'espace et non par rapport au temps une 1ère intégration par rapport au temps fournissant une intégrale 1ère du mouvement.
  88. Attention la notation traduisant l'augmentation algébrique de la grandeur , si nous nous plaçons dans le cas où cette dernière diminue, c'est son augmentation algébrique qui est et non sa diminution, la diminution algébrique de la grandeur étant doit être notée ou encore .
  89. C.-à-d. lors de la traversée de l'interface séparant un fluide à masse volumique constante et l'étendue gazeuse au-dessus de lui.
  90. 90,0 et 90,1 La « tension superficielle » est la « force élastique » s’opposant à la pénétration dans le liquide d’objets situés au-dessus de la surface libre cette force élastique permet à certains insectes de « marcher sur la surface libre du liquide sans s'y enfoncer » et il est alors nécessaire de l'introduire pour expliquer ce phénomène la masse d'un insecte de ce type est de l'ordre de quelques , son poids est alors compensé par la composante verticale ascendante de la tension superficielle mais, dès que l'objet a une masse plus importante quelques , ce dernier s'enfonce à travers la surface libre la composante verticale ascendante de la tension superficielle étant de norme négligeable devant celle du poids de l'objet, il est alors inutile d'introduire la tension superficielle du liquide puisque celle-ci ne peut jouer un rôle que sur la surface libre du liquide et que son rôle ici est nul ;
       a priori nous pouvons donc négliger les phénomènes de « tension superficielle » en absence d'objets matériels au-dessus de la surface libre du liquide la composante verticale de la tension superficielle devant compenser un poids nul est nulle d'où la continuité de la pression lors de la traversée de la surface libre,
       toutefois il y a d'autres conditions portant sur l'étendue de la surface libre pour que la tension tension superficielle ne joue aucun rôle et par suite qu'il y ait continuité de la pression lors de la traversée de la surface libre, l'étendue de la surface libre ne doit pas être de trop faible diamètre à pour l'eau, dans le cas contraire apparaissent des phénomènes de capillarité lesquelles dépendent aussi de la nature du liquide, il y a alors discontinuité de la pression lors de la traversée de la surface libre, discontinuité expliquée par introduction de la tension superficielle
  91. 91,00 91,01 91,02 91,03 91,04 91,05 91,06 91,07 91,08 91,09 91,10 91,11 91,12 et 91,13 Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie il contribue de façon décisive à l’émergence de l’astronomie mathématique : il vérifie mathématiquement la stabilité du Système solaire et ébauche l’histoire de ce dernier à partir de l’hypothèse de la nébuleuse, il est aussi l’un des 1ers scientifiques à concevoir l’existence de trous noirs et la notion de « collapsus ou effondrement gravitationnel » et de la théorie des probabilités en il retrouve indépendamment le théorème de Bayes, lequel permet, pour un événement ayant seulement deux tirages possibles « succès ou insuccès », de déterminer la probabilité que le tirage suivant soit un succès quand on connaît le nombre total de succès observés sur le nombre total de tirage, il y utilise la transformation de Laplace qui porte son nom en son honneur, celle-ci ayant été découverte par Léonard Euler ;
       dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide en statique des fluides, il est aussi le 1er à mettre en évidence la raison pour laquelle la théorie de Newton du mouvement oscillatoire purement mécanique fournit une valeur sous-estimée de la vitesse du son pour cela il introduit un traitement thermodynamique, le son se propageant de façon adiabatique et non isotherme comme le supposait Isaac Newton, sans doute est-ce à cette époque qu’il énonce les lois des adiabatiques quasi-statiques.
       Thomas Bayes (1702 - 1761) mathématicien et pasteur britannique qui fut le 1er à établir le théorème de Bayes en théorie des probabilités on rappelle que ce théorème permet, pour un événement ayant seulement deux tirages possibles « succès ou insuccès », de déterminer la probabilité que le tirage suivant soit un succès quand on connaît le nombre total de succès observés sur le nombre total de tirage.
       Léonard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps.
       Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal partagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
       Gottfried Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal calcul différentiel et calcul intégral dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton.
  92. 92,0 92,1 92,2 92,3 92,4 et 92,5 Thomas Young (1773 - 1829) physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en sciences des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique.
  93. 93,0 93,1 93,2 93,3 93,4 93,5 93,6 et 93,7
    Le cœfficient de tension superficielle dans l'article « définition (du cœfficient de tension superficielle) » de wikipedia est noté «», toutefois la notation est aussi fréquente et c'est la notation que je privilégie ; un cœfficient de tension superficielle « s'exprime en », il peut être défini selon le processus suivant introduit sur une calotte sphérique limitée par un cercle de rayon étant le rayon de la sphère voir ci-contre :
       pour accroître l'aire de la calotte sans modifier sa forme on exerce, sur chaque portion de cercle limitant la calotte, une force au cercle et tangente à la calotte dirigée vers l'extérieur de celle-ci «» étant la longueur élémentaire de cercle définie au point d'azimut et le vecteur unitaire orthoradial de la base sphérique de pôle et d'axe liée à le cœfficient de tension superficielle d'une surface est donc l'intensité de la force linéique minimale à exercer normalement à la courbe limitant la surface pour faire l'aire de cette dernière, la résultante de ces forces appliquées sur le cercle pour tenter d'accroître l'aire de la surface de la calotte sphérique limitée par définit aussi la résultante des forces de cohésion des molécules de la surface dans la mesure où l'aire n'est pas modifiée soit «» voir le paragraphe « notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'introduction faite sur une fonction scalaire restant applicable sans modification à une fonction vectorielle et la notation étant utilisée quand la courbe est fermée ;
       compte-tenu de l'invariance par symétrie de révolution autour de , seules les composantes sur sont soit, avec « ou encore » et «», la réécriture de «» selon «» soit «»
  94. 94,0 94,1 et 94,2 Le cœfficient de tension superficielle de l'interface eau - air est une fonction localement quand la température par exemple il vaut « à ».
  95. Par exemple, en prenant le modèle G.P. pour l'air de la bulle, l'équation d'état d'un G.P. étant «» voir le paragraphe « forme globale de l'équation d'état d'un G.P. à l'équilibre thermodynamique » plus haut dans ce chapitre soit, dans l'hypothèse où la remontée de la bulle est isotherme «» «» c'est-à-dire un volume de bulle approximativement fois plus grand en surface qu'au fond.
  96. D'après la note précédente « 95 », le volume de bulle étant approximativement fois plus grand en surface qu'au fond, son rayon est fois plus grand en arrivant en surface soit et par suite la valeur absolue de la pression de Laplace fois plus petite en arrivant en surface soit .
  97. D'après la note précédente « 96 », la valeur absolue de la pression de Laplace en arrivant en surface valant soit une discontinuité relative fois plus grande en surface qu'au fond.
  98. 98,0 98,1 98,2 98,3 98,4 98,5 98,6 et 98,7 L'ajout de savon dans l'eau permet d'obtenir des films d'eau de faible épaisseur à durée de vie d'au moins quelques , la raison étant qu'un savon est composé de molécules amphiphiles c'est-à-dire ayant une extrémité à comportement hydrophile appelée « tête hydrophile » et une autre à comportement hydrophobe appelée « queue hydrophobe », cela confère aux molécules de savon les propriétés d'un agent tensioactif en présence d'eau c'est-à-dire ayant la propriété, même en faible concentration, d'abaisser la tension superficielle de l'eau
  99. Plus exactement de rayon tel que les phénomènes de capillarité y soient visibles ce qui, dans le cas de l'eau, correspond à voir « exemple » en fin de paragraphe.
  100. 100,0 100,1 100,2 100,3 100,4 100,5 100,6 100,7 et 100,8 James Jurin (1684 - 1750) médecin et physicien anglais essentiellement connu, en tant que physicien, pour ses travaux sur la capillarité et, en tant que médecin, pour ceux sur l'épidémiologie plus précisément la variolisation.
  101. Cet angle serait égal à si la surface libre dans le tube était plane c'est-à-dire sans ménisque, le tube étant vertical.
  102. 102,0 102,1 102,2 102,3 et 102,4 Voir le paragraphe « application au modèle de fluide à masse volumique constante, formule du nivellement barométrique » plus haut dans ce chapitre, écrite sans référence à un sens d'axe mais simplement à s'assurant que les deux membres ont même signe.
  103. En effet l'application de la « formule du nivellement barométrique à l'eau contenue dans le récipient et le tube, entre la surface libre de l'eau dans le récipient surface plane horizontale voir le paragraphe « surface libre d'un fluide à masse volumique constante, propriété des vases communicants » plus bas dans ce chapitre et la surface isobare de l'eau du tube à la pression c'est-à-dire la surface sphérique juste au-dessous du ménisque suppose que cette dernière peut être assimilée à une surface plane horizontale » sinon, en prenant pour point de la surface isobare à la pression un des points de contact du ménisque sur le tube, la formule du nivellement barométrique donnerait d'où la nécessité que soit , ce qui revient à considérer la surface isobare à la pression comme plane horizontale dans l'application de la formule du nivellement barométrique
  104. Le rayon du tube étant ne peut pas, en toute rigueur, être considéré comme , mais nous estimerons que l'erreur commise lors de l'utilisation de la loi de Jurin algébrisée reste limitée en valeur absolue.
  105. 105,0 et 105,1 Donc n'utilisant pas volontairement la propriété à démontrer.
  106. 106,00 106,01 106,02 106,03 106,04 106,05 106,06 106,07 106,08 106,09 106,10 106,11 106,12 106,13 106,14 et 106,15 C.-à-d. d'un fluide à masse volumique constante.
  107. Ou de toute autre étendue gazeuse dans laquelle peut être définie une pression constante au contact du fluide de masse volumique constante
  108. 108,0 et 108,1 Voir le paragraphe « application au modèle de fluide à masse volumique constante, intégrale 1ère spatiale » plus haut dans ce chapitre.
  109. 109,0 109,1 109,2 et 109,3 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  110. Sur le schéma l'extrémité « inférieure » du tuyau souple ne plonge pas dans le liquide du 2ème récipient mais le caractère communicant des deux récipients est néanmoins réalisé par le jet de liquide sortant du tuyau et entrant en contact avec le liquide déjà présent dans le 2ème récipient
  111. En fait, comme il ne s'agit pas d'un problème de statique des fluides mais de dynamique, le raisonnement nécessiterait d'être retravaillé à l'aune de la dynamique des fluides, laquelle est hors programme de physique de P.C.S.I.
  112. 112,0 et 112,1 C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.
  113. L'énergie potentielle de pesanteur d'une particule de fluide de masse volumique située à l'altitude étant avec choix de sa référence c'est-à-dire l'endroit où elle est choisie nulle l'origine des altitudes.
  114. 114,0 114,1 114,2 et 114,3 Evangelista Torricelli (1608 - 1647) physicien et mathématicien italien né en Émilie-Romagne et mort en Toscane, toutes deux régions d'Italie laquelle n'était pas encore unifiée à cette époque, essentiellement connu pour avoir inventé le baromètre, mais à qui on doit d'autres découvertes dans le domaine de la physique comme la vitesse d'écoulement de l'eau à la base d'un récipient ouvert contenant une hauteur d'eau donnée par la « formule de Torricelli » ou la notion de diagramme horaire du mouvement d'un mobile en cinématique ou encore celle de parabole de sûreté d'un projectile en balistique introduisant la notion d'enveloppe d'une famille de courbes planes ainsi que des avancées dans le domaine des mathématiques portant sur la méthode des indivisibles ou principe de Cavalieri servant à calculer des aires et des volumes
       Bonaventura Franscesco Cavalieri (1598 - 1647) mathématicien, géomètre et astronome italien né en Lombardie et mort en Émilie-Romagne, toutes deux régions d'Italie laquelle n'était pas encore unifiée à cette époque, essentiellement connu pour son principe de Cavalieri qui énonce que les volumes de deux objets sont égaux si les sections transversales correspondantes de ces objets c'est-à-dire correspondant à l'intersection de ces objets avec des plans équidistants d'un plan de référence donné sont de même aire ou que les aires de deux objets plans sont égales si les sections transversales correspondantes de ces objets plans c'est-à-dire correspondant à l'intersection de ces objets avec des droites équidistantes d'une droite de référence donnée sont de même longueur ce qui préfigure le calcul intégral
  115. En fait ce n'est pas un vide parfait car, dans la chambre barométrique, il y a de la vapeur de mercure en équilibre physique avec la phase liquide située au-dessous correspondant, à la température de l'expérience, à une excessivement faible pression de vapeur voir le paragraphe « exemple de système monovariant, corps pur sous deux phases » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » « vide apparent »
  116. La masse volumique du mercure liquide est une fonction légèrement quand la température , par exemple à elle vaut «».
  117. L'intensité de la pesanteur terrestre normale est définie comme étant l'intensité de la pesanteur à l'altitude nulle relativement à une surface théorique réduisant la Terre à un ellipsoïde de révolution autour de son axe de rotation, de rayons dans le plan à l'axe correspondant à l'équateur et sur l'axe correspondant aux pôles voir schéma ci-contre et
       L'intensité de la pesanteur terrestre normale est calculée en tenant compte du champ de gravitation terrestre mais aussi du champ d'inertie d'entraînement « axifuge » dû à la rotation de la Terre sur elle-même dans le référentiel géocentrique le champ de pesanteur étant défini dans un référentiel terrestre, l'ajout du champ d'inertie d'entraînement tient compte partiellement du caractère non galiléen du référentiel terrestre dans l'hypothèse où le référentiel géocentrique est supposé galiléen voir la note « 50 » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
  118. Voir le paragraphe « exemple de système monovariant, corps pur sous deux phases » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».
  119. Devenue actuellement peu utilisée, auparavant, dans la vie courante, le «» était le plus souvent appelé «».
  120. Cette valeur définissait une autre unité de pression atmosphérique appelée atmosphère de symbole , cette unité n'étant plus actuellement utilisée
  121. 121,0 121,1 121,2 121,3 121,4 121,5 et 121,6 Blaise Pascal (1623 - 1662) mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français ; ses premiers travaux contribuèrent à clarifier la notion de pression et de vide mais il est aussi l'inventeur de la 1ère machine à calculer ainsi qu'un mathématicien de premier ordre il a publié à un traité de géométrie projective, a développé en une méthode de résolution du problème des partis ayant donné naissance, au siècle suivant, au calcul des probabilités ; on lui doit aussi une réflexion philosophique et théologique voir Les Provinciales et les Pensées qui ne furent publiées qu'après sa mort.
  122. 122,0 et 122,1 Le bilan de forces extérieures sur le piston étant
    • une force de champ volumique le poids du piston et
    • deux forces surfaciques, la force pressante descendante due à l'atmosphère, la force pressante ascendante due au liquide.
  123. Dans la mesure où les pressions et ne sont vraisemblablement pas égales, et ne sont sans doute pas au même niveau horizontal c'est-à-dire «»
  124. 124,0 et 124,1 Le bilan de forces extérieures sur le piston étant
    • une force de champ volumique le poids du piston,
    • trois forces surfaciques, la force pressante descendante due à l'atmosphère, la force pressante ascendante due au liquide et l'action de la surcharge sur le piston.
  125. 125,0 et 125,1 Le bilan de forces extérieures sur la surcharge étant
    • une force de champ volumique le poids de la surcharge et
    • une force surfacique, la réaction du piston sur la surcharge égale, d'après le principe des actions réciproques, à l'opposé de l'action de la surcharge sur le piston.
  126. Plus exactement le volume était « en » soit «».
  127. 127,0 127,1 127,2 et 127,3 Ou « grandes profondeurs océaniques ».
  128. Correspondant au caractère compressible de l'eau, la masse volumique à température constante étant une fonction légèrement de la pression, donc de la profondeur
  129. L'eau liquide ayant un cœfficient de dilatation isobare «» légèrement positif entre et quand la température à pression constante mais aussi quand la température simultanément à la de la pression dans la mesure où l'eau liquide est supposée incompressible, c'est-à-dire quand la profondeur .
  130. L'eau liquide ayant un cœfficient de compressibilité isotherme «» légèrement positif quand la pression à température constante mais aussi quand la profondeur .
  131. 131,0 et 131,1 L'apnéiste descend avec une gueuse appareil lesté de masse entre et , fixé sur le câble et pouvant se déplacer verticalement et remonte avec un ballon gonflé d'air rempli par l'apnéiste avec une bouteille d'air comprimé fixée à la gueuse.
  132. Herbert Nitsch (né en 1970) est un apnéiste autrichien, détenteur de records du monde dans toutes les différentes disciplines de l'apnée, il mit fin à sa carrière d'apnéiste après un accident de décompression le .
  133. Audrey Mestre (1974 - 2002) biologiste marine et apnéiste française, atteignit la profondeur de le puis celle de huit jours plus tard, mais décéda lors de la remontée suite à un problème technique sur le ballon.
  134. Le plongeur autonome avec bouteille descend et remonte le long de plusieurs lignes de décompression , allant à des profondeurs différentes et sur lesquelles sont accrochées des bouteilles de plongée à contenu adapté aux profondeurs au-delà de la profondeur de les bouteilles d’air sont abandonnées car la pression est telle que le diazote et le dioxygène agissent comme un poison, il faut utiliser des mélanges de gaz en calculant finement les proportions en fonction de la profondeur ; la remontée devant se faire par paliers est très lente, elle peut prendre plus de .
  135. Ahmed Gamal Gabr (né en 1972) homme-grenouille égyptien, détient le record de profondeur en plongée profonde et technique autonome avec bouteilles trimix depuis .
  136. Il fallut au plongeur de remontée par paliers avec utilisation de bouteilles remplies de quatre mélanges de gaz tels que le dioxygène, le diazote, l'hélium et le dihydrogène, savamment dosés pour chaque palier selon quatre formules différentes établies par une équipe de médecins hyperbares français et égyptiens après une descente de .
  137. William Henry (1774 - 1836) physicien et chimiste britannique, essentiellement connu pour la loi de dissolution des gaz dans les liquides, loi énoncée en et portant son nom.