En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Statique des fluides (PCSI) : Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Résultante des forces de pression Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Résultante des forces de pression », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'espace physique étant sauf avis contraire « orienté à droite »[1].
Rappel de notion de vecteur surface élémentaire dans les différents systèmes de coordonnées
Le « vecteur surface élémentaire[2] en un point régulier de la surface »[3] est le « vecteur normal à en », colinéaire au « vecteur unitaire normal à en » de sens a priori arbitraire tel que
Si la surface est « plane à , orientée par le 3ème vecteur de la base cartésienne orthonormée directe dans l'espace physique orienté à droite »[4], le vecteur élément de surface de la surface en s'écrit
Si la surface est « plane à , orientée par le 3ème vecteur de la base cylindro-polaire de pôle d'axe liée à orthonormée directe dans l'espace physique orienté à droite »[4], le vecteur élément de surface de la surface en s'écrit
Si la surface est une « portion de surface latérale de tuyau cylindrique de révolution d'axe à , orientée par le 1er vecteur de la base cylindro-polaire de pôle d'axe liée à orthonormée directe dans l'espace physique orienté à droite »[4], le vecteur élément de surface de la surface en s'écrit
Si la surface est une « portion de sphère de centre , orientée par le 1er vecteur de la base sphérique de pôle liée à orthonormée directe dans l'espace physique orienté à droite »[4], le vecteur élément de surface de la surface en s'écrit
Si la surface est une « portion de cône de révolution de sommet , d'axe , orientée par le 2ème vecteur de la base sphérique de pôle d'axe liée à orthonormée directe dans l'espace physique orienté à droite »[4], le vecteur élément de surface de la surface en s'écrit
Si on considère un élément de paroi en un point , d’aire , orienté du fluide vers la paroi limitant le fluide par le vecteur unitaire normal «», la force pressante exercée par le fluide sur l’élément de paroi en le fluide étant au repos relativement à la paroi s’écrit
« » avec «».
Utilisation des symétries (ou antisymétries) planes de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi pour déterminer la direction de la résultante des forces pressantes
Invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes
Si la répartition des forces pressantes s’exerçant sur une paroi est invariante par symétrie plane relativement à un plan[11], c’est aussi un plan de symétrie pour la résultante de ces forces pressantes et par suite cette résultante est dans ce plan de symétriecela résulte du fait que toutes les forces pressantes possédant l'invariance par symétrie plane,
d'une part leur résultante c'est-à-dire leur somme la possède également et
d'autre part, cette dernière doit être appliquée en un point du plan de symétrie[12] d'où
la résultante des forces pressantes est nécessairement contenue dans ce plan[13]voir ci-contre à droite.
Invariance par antisymétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes
Si la répartition des forces pressantes s’exerçant sur une paroi[14] est invariante par antisymétrie plane relativement à un plan[15], c’est aussi un plan d'antisymétrie pour la résultante de ces forces pressantes et par suite cette résultante està ce plan d'antisymétriecela résulte du fait que toutes les forces pressantes possédant l'invariance par antisymétrie plane,
d'une part leur résultante c'est-à-dire leur somme la possède également et
d'autre part, cette dernière doit être appliquée en un point du plan d'antisymétrie[16] d'où
la résultante des forces pressantes est nécessairement à ce plan[17]voir ci-contre à gauche.
On considère un barrage hémicylindrique d’axe , de « hauteur »[18] et de « rayon », l’eau étant située du côté « concave » du barrage voir les schémas de droite, en vue de dessus et en perspective, du paragraphe « invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes » plus haut dans ce chapitre, le repérage du point générique du barrage étant cylindro-polaire d'axe , axe vertical ascendant de révolution du barrage, de pôle choisi sur l'axe de révolution au fond de l'étendue d'eau, l'axe étant choisi horizontal dans le plan de symétrie du barrage, axe orienté dans le sens « eau - barrage » et l'axe horizontal tel que « le trièdre soit direct l'espace physique étant orienté à droite[1]»[4], on se propose d’évaluer la « résultante des forces pressantes que l’eau exerce sur le barrage » quand la hauteur maximale d’eau est retenue.
Rappel des propriétés de symétrie déterminant la direction de la résultante des forces pressantes
d'une part le plan étant un plan de symétrie de la répartition des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage[19], la résultante de ces forces pressantes est dans ce plan d'où
«» ;
d'autre part les forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage étant toutes horizontales car le barrage est vertical, la résultante de ces forces pressantes est aussi horizontale d'où
«» ;
des deux informations précédentes on en déduit que la direction de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage est horizontale selon soit
«».
Calcul de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage
Soit la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique , elle se calcule selon
«»[20] avec « le vecteur surface élémentaire du barrage en , point générique de ce dernier, y étant le vecteur unitaire normal orienté de l'eau vers le barrage », ou encore,
en utilisant le repérage cylindro-polaire d'axe , axe vertical ascendant de révolution du barrage, de pôle choisi sur l'axe de révolution au fond de l'étendue d'eau nous en déduisons que
d'une part le vecteur unitaire normal orienté de l'eau vers le barrage s'identifie au 1er vecteur de base cylindro-polaire en soit «» et
d'autre part l'aire de la surface élémentaire en s'écrit «»[21],
d'où la réécriture de l'expression intégrale de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique ,
la pression au point générique du barrage s’obtenant par intégrale 1ère spatiale l'axe vertical étant ascendant, l'intensité de la pesanteur uniforme égale à , la masse volumique de l'eau constante et la pression de l'atmosphère à la surface libre de l'eau
pour terminer nous utilisons «» «» ou, étant un vecteur constant, «» soit enfin, avec «», «»[24] dans lequel
«» et
«»
d'où l'expression de la composante de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique «» puis de la résultante «» :
«» soit finalement «».
Remarque : Dans l'hypothèse où l'eau retenue par le barrage est remplacée par de l'air c'est-à-dire si l'eau retenue a été libérée par ouverture des vannes d'évacuation, la résultante des forces pressantes que l'air exerce sur la partie du barrage hémicylindrique usuellement immergée est «»[20] avec «» pour les mêmes raisons d'invariance de la répartition des forces pressantes par symétrie relativement à d'où «»[20] ce qui donne, étant un vecteur constant, «»[23] ou, «» sachant que , soit «»[24] ou «» «» ;
Remarque : nous en déduisons que le remplissage de la réserve d'eau située en amont du barrage hémicylindrique engendre une résultante de forces pressantes «» soit «» numériquement, avec , , et , «» c'est-à-dire une force de poussée horizontale équivalente au poids d'une charge de [25].
Autre exemple : résultante des forces pressantes sur un corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme
Bien que ce ne soit pas précisé dans ce paragraphe, on rappelle que le fluide considéré et le corps y étant immergé sont au repos dans le référentiel d'étude.
Exposé du problème et expression de la force pressante que le fluide exerce sur un élément de surface de la sphère limitant le corps totalement immergé
On considère un corps sphérique de centre , de rayon , totalement immergé dans un fluide à « masse volumique constante » réalisée si le fluide est incompressible et homogène en équilibre isotherme, le centre étant repérée par sa « cote » relativement à un axe vertical orienté dans le sens ascendant voir le schéma ci-contre,
on se propose d’évaluer la « résultante des forces pressantes que le fluide exerce sur le corps » appelée « poussée d'Archimède[26] dans la mesure où le corps est indéformable » et pour cela
on rappelle l'expression de la force pressante que le fluide exerce sur le corps sur l'élément de surface centré en point générique de la surface limitant le corps de « vecteur surface élémentaire » étant le vecteur unitaire normal à en orienté vers l'extérieur et l'aire de la surface élémentaire, soit
«» où « est la pression exercée par le fluide sur la surface au point » ;
compte-tenu du fait que la surface limitant le corps est une sphère de centre , le meilleur repérage du point générique de est un repérage sphérique de pôle , nous le choisissons d'axe vertical ascendant «» le 1er vecteur de la « base sphérique liée à orthonormée directe dans l'espace physique orienté à droite »[4], le point étant de « coordonnées » ;
la pression exercée par le fluide sur la surface au point s'obtient par application de l'intégrale 1ère spatiale du fluide selon «»[22] où est un point du fluide à la même cote que le centre de la sphère avec d'où, l'expression de la pression cherchée «» ou encore, celle-ci étant la même dans un même plan horizontal,
«» d'où «» avec « l'aire de la surface élémentaire de centrée en »[27].
Utilisation des propriétés de symétrie pour déterminer la direction de la résultante des forces pressantes
Tout plan verticalcontenant le centrede la sphère limitant le corps est plan de symétrie de la répartition des forces pressantes « que le fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur uniforme exerce sur le corps en point générique de » en effet et étant deux points de , symétriques par rapport à , sont dans un même plan horizontal et donc soumis à la même pression d'une part et d'autre part ces points ayant une même colatitude et des longitudes séparées de sont associés à des vecteurs surfaces élémentaires symétriques relativement à mêmes aires élémentaires et 1ers vecteurs de base sphérique symétriques relativement à voir ci-contre,
on en déduit que « la résultante des forces pressantes que le fluide exerce sur le corps » possédant la même invariance de symétrie plane par rapport à tous ces plans verticaux est à tous ceux-ci donc verticale soit
«».
Remarque : la répartition des forces pressantes que le fluide exerce sur le corps est « équivalente à sa résultante » dans la mesure où le corps est indéformable est appelée « poussée d'Archimède »[26] appliquée en un point particulier de l'axe vertical passant par le centre du corps sphérique, point particulier appelé « centre de poussée » voir la justification dans la note « 12 » plus haut dans ce chapitre.
Calcul de la résultante des forces pressantes que le fluide exerce sur le corps sphérique
L'expression de la force pressante que le fluide exerce sur le corps au point de la surface limitant le corps étant «» avec « l'aire de la surface élémentaire de centrée en »[27], la résultante de ces forces pressantes s'évalue selon
sachant que la direction de la résultante est suivant la verticale c'est-à-dire que «», on en déduit la composante verticale «» en projetant son expression intégrale sur
enfin, la fonction à intégrer «» de l'intégrale surfacique étant « indépendante du paramètre ne dépendant que de », on peut remplacer par l'aire d'une surface élémentaire semi-intégrée correspondant à une « couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches et » «»[28],[29] soit finalement
« »,
la 1ère intégrale «» s'évaluant selon «» et
la 2ème intégrale «» s'évaluant selon «»,
d'où l'expression finale de la composante verticale de la résultante des forces pressantes que le fluide exerce sur le corps
«» «» c'est-à-dire verticale ascendante de norme égale au poids du « fluide déplacé »[30].
Remarque : le calcul fait ci-dessus n’est applicable que dans un fluide à masse volumique constante comme par exemple un fluide incompressible, homogène à évolution isotherme mais
Remarque : le fait que la « résultante des forces pressantes est verticale ascendante de norme égale au poids du « fluide déplacé »[30] reste valable dans un fluide compressible et inhomogène bien sûr, une autre démonstration de ce résultat doit être fournie voir le paragraphe « en complément, démonstration du théorème d'Archimède » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) ».
↑ Si la surface est définie par une équation sous forme implicite , est un point régulier de si y est continûment dérivable c'est-à-dire de classe il existe alors, en , un plan tangent à .
↑ 5,05,15,25,3 et 5,4À connaître sans hésitation ; reconnaître d'abord, dans la base du repérage choisi et si cela est possible, le vecteur unitaire à la surface considérée, l'aire de l'élément de surface en est alors le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base ; la connaissance des composantes du vecteur déplacement élémentaire dans les différents systèmes de repérage entraîne l'absence d'effort de mémoire supplémentaire à faire
↑ Une répartition de forces pressantes est équivalente à sa résultante appliquée en un point si en ce point le moment vectoriel résultant des forces pressantes est nul ; soit un point du plan de symétrie par rapport auquel la répartition des forces pressantes est invariante, un couple de points symétriques par rapport , nous en déduisons que
d'une part, les forces pressantes appliquées en chacun des points du couple et étant symétriques par rapport à et
d'autre part, les vecteurs position de et par rapport à , à savoir et , étant également symétriques par rapport à ,
↑ Une répartition de forces pressantes est équivalente à sa résultante appliquée en un point si en ce point le moment vectoriel résultant des forces pressantes est nul ; soit un point du plan d'antisymétrie par rapport auquel la répartition des forces pressantes est invariante, un couple de points symétriques par rapport , nous en déduisons que
d'une part, les forces pressantes appliquées en chacun des points du couple et étant antisymétriques par rapport à et
d'autre part, les vecteurs position de et par rapport à , à savoir et , étant quant à eux symétriques par rapport à ,
les moments vectoriels par rapport à des forces pressantes en chacun des points du couple, à savoir et sont invariants par symétrie plane relativement à voir le paragraphe « invariance par symétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour la notion de symétrie plane ainsi que le fait que le produit vectoriel d'un vecteur polaire ou vrai vecteur invariant par symétrie et d'un autre vecteur polaire ou vrai vecteur invariant par antisymétrie, tous deux de point d'application , se transforme, en prenant le point d'application , en un vecteur égal au symétrique du produit vectoriel initial de point d'application en effet, leurs composantes respectives au plan restent les mêmes celles-ci résultant des produits vectoriels , , et dans lesquels est changé en son opposé, et restant inchangés, restant inchangé, et sont changés en leur opposé alors que celle au plan se transforme en son opposé celle-ci résultant des produits vectoriels et dans lesquels et restant inchangés, et sont changés en leur opposé c'est-à-dire de composantes opposées selon une direction à et de mêmes composantes dans le plan un moment vectoriel résultant en des forces pressantes de direction à ; finalement notant le plan et l'axe à en , « la résultante des forces pressantes s'écrivant » et « le moment vectoriel résultant en de ces forces pressantes », nous en déduisons, en utilisant la formule de changement d'origine des moments vectoriels résultants voir le paragraphe « complément : changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » applicable aussi à une somme partielle de forces, le moment vectoriel résultant en un autre point de coordonnées selon «» soit finalement «» il existe un point en lequel le moment vectoriel résultant des forces pressantes est nul, ce point ayant des coordonnées dans le plan telles que «» ; en conséquence, la répartition de forces pressantes considérée est équivalente à sa résultante appliquée au point précédemment défini. En utilisant la notion de torseurhors programme de physique de P.C.S.I. et d'après le résultat établi ci-dessus, les forces pressantes considérées définissent un torseur glisseur voir le paragraphe « définition un torseur glisseur » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « expression en paramétrage cylindro-polaire (du vecteur surface élémentaire d'une portion de surface latérale d'un tuyau cylindrique) » plus haut dans ce chapitre.
↑ 23,0 et 23,1 On utilise un des théorèmes de Fubini permettant de transformer une intégrale surfacique en un ensemble de deux intégrales emboîtées en figeant un des paramètres et en intégrant sur l’autre les bornes de cet autre paramètre dépendant, a priori, du paramètre figé puis en libérant le 1er paramètre pour intégrer sur lui. Guido Fubini (1879 - 1943) mathématicien italien surtout connu pour ses travaux sur les intégrales.
↑ 24,0 et 24,1 Dans la mesure où les bornes de l'intégrale « intérieure » dans l'ensemble des deux intégrales emboîtées, l'intégrale « intérieure » ici étant sur ne dépendent pas du paramètre figé ici, l'ensemble des deux intégrales emboîtées devient un produit d'intégrales indépendantes l'une de l'autre.
↑ La tonnede symbole «» est un multiple du kilogramme valant «».
↑ 26,0 et 26,1Archimède de Syracuse (vers 287 avant J.C. - 212 avant J.C.) physicien, mathématicien et ingénieur grec de SicileGrande-Grèce, considéré comme l'un des principaux scientifiques de l'Antiquité classique ; on lui doit, dans le domaine de la physique, des résultats en hydrostatique, en statique des solides et l'explication du principe du levier ; en tant qu'ingénieur, il est crédité de plusieurs outils innovants comme la vis d'Archimède ; il est considéré comme le plus grand mathématicien de l'Antiquité et comme l'un des plus grands de tous les temps, on lui doit l'emploi de la méthode d'exhaustion pour calculer l'aire sous un arc de parabole, un encadrement de avec une remarquable précision, l'introduction de la spirale qui porte son nom, des formules évaluant les volumes d'expansions tridimensionnelles limitées par des surfaces de révolution