En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Notion d'angle solide Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Notion d'angle solide », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La notion d'angle solide permet d'introduire la mesure d'une portion d'« espace affineeuclidien tridimensionnel » comme la notion d'angle traduit l'introduction de la mesure d'une portion d'« espace affineeuclidien bidimensionnel ». Remarque : bien que cette notion ne soit pas au programme de mathématiques ou de physique de P.C.S.I., nous l'introduisons car Remarque : bien que cette elle ne présente aucune difficulté et est très utile pour simplifier les exposés en physique.
Rappel de la définition de la mesure d'un angle non orienté d'un plan (en radians « rad »)
Schéma de définition de la mesure d'un angle non orienté
Deux demi-droites distinctes de même origine délimitent dans le plan les contenant deux secteurs angulaires[1],
la portion d'espace plan convexe définit un « secteur angulaire[1] saillant » voir ci-contre,
l'autre portion d'espace plan non convexedéfinit un « secteur angulaire[1] rentrant » sur le schéma ci-contre c'est la portion d'espace plan complémentaire du « secteur angulaire[1] saillant » du plan les contenant ;
dans la suite nous considérons le « secteur angulaire[1] saillant » comme support d'explication mais tout ce qui est introduit est encore applicable au « secteur angulaire[1] rentrant » complémentaire du « secteur angulaire[1] saillant » du plan ;
pour mesurer un secteur angulaire[1]l'origine des deux demi-droites définissant le sommet du secteur angulaire[1] et les demi-droites ses côtés, pour mesurer un secteur angulaire nous traçons, dans le plan contenant le secteur angulaire[1], un cercle de rayon quelconque pour mesurer un secteur angulaire nous traçons, dans le plan contenant le secteur angulaire, un cercle centré au sommet du secteur angulaire[1] et pour mesurer un secteur angulaire nous mesurons l'« arc découpé par le secteur angulaire[1] sur le cercle »,
« étant à »[2] le « rapport indépendant de représente la mesure du secteur angulaire[1] ou « angle » en ».
Mesure d'un secteur angulaire (ou angle)
La mesure en d'un secteur angulaire[1] est «» dans laquelle « est la longueur de l'arc de cercle découpé par le secteur angulaire[1] sur le cercle centré au sommet du secteur angulaire[1] et de rayon arbitraire ».
Propriétés : la mesure d'un secteur angulaire[1] « saillant » est « à »,
Propriétés : la mesure d'un secteur angulaire[1] « rentrant » est « à mais à »,
Propriétés : si les côtés d'un secteur angulaire[1] sont alignés sans être superposés, le secteur angulaire[1] est dit « plat » et sa « mesure est »,
Propriétés : si les côtés d'un secteur angulaire[1] sont superposés, le secteur angulaire[1] est dit « nul » et sa « mesure est »,
Propriétés : le secteur angulaire[1]complémentaire dans le plan du secteur angulaire[1] nul est dit « plein » et sa « mesure est »,
Propriétés : un secteur angulaire[1] « saillant » à côtés est dit « droit » et sa « mesure est »,
Propriétés : un secteur angulaire[1] « saillant » de « mesure à » est dit « aigu » et
Propriétés : un secteur angulaire[1] « saillant » de « mesure à » est dit « obtus ».
Définition d'un angle solide mesurant l'intérieur d'un cône (en stéradians « sr »)
De même qu'un plan peut être découpé en deux portions par deux demi-droites de même origine donnant la notion de secteurs angulaires[1] « saillant[3] » et « rentrant[4] », De même qu'un plan peut être découpé en deux portions par deux demi-droites de même origine donnant la mesure du « secteur angulaire saillant[3] » étant à celle du « secteur angulaire rentrant[4] », De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un côneensemble de demi-droites de même origine appelé sommet du cône De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône s'appuyant sur une courbe fermée en général plane[5]appelée directrice du cône[6], De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône les demi-droites constituant les génératrices de ce dernier, De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône dans la suite de ce paragraphe nous supposons la directrice plane[7], De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « convexe[8] », la portion « convexe[8] » d'espace tridimensionnel délimitée par De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « convexe », la portion « convexe » le cône définit l'« intérieur du cône », De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « convexe », l'autre portion « non convexe[8] » complémentaire de l'intérieur De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « convexe », du cône dans l'espace tridimensionnel définissant De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « convexe », l'autre portion « non convexe » l'« extérieur du cône », De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « non convexe[8] », une courbe fermée plane « convexe[8] » telle que De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « non convexe », tous les points de la directrice « non convexe[8] » soient De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « non convexe », à l'intérieur de cette courbe fermée « convexe[8] » De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « non convexe », l'« intérieur du cône de directrice» est défini par De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « non convexe », la portion d'espace tridimensionnel délimité par incluse De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « non convexe », dans l'intérieur du cône de directrice de De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « non convexe », même sommet que le cône de directrice et De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « non convexe », l'« extérieur du cône de directrice» est défini par De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « non convexe », le complémentaire de l'intérieur de de directrice De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône si la directrice du cône est « non convexe », le complémentaire dans l'espace tridimensionnel. De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône Remarque : si la directrice du cône est gauche, tracer une courbe fermée plane sur [6] et De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône Remarque : si la directrice du cône est gauche, la considérer comme directrice du cône pour De même qu'l'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône Remarque : si la directrice du cône est gauche, définir l'intérieur et l'extérieur du cône.
Commentaire applicable dans la suite du chapitre : nous considérons systématiquement l'« intérieur du cône » comme support d'explication mais tout ce qui est introduit est encore applicable à Commentaire applicable dans la suite du chapitre : nous considérons systématiquement l'« extérieur du cône » complémentaire de l'« intérieur du cône » dans l'espace tridimensionnel.
Définition de l'angle solide (non orienté) mesurant l'intérieur d’un cône (en stéradians « sr »)
Schéma de définition de la mesure de l'angle solide non orienté correspondant à l'intérieur du cône de sommet
Préliminaire : La mesure de la « portion d'espace tridimensionnel intérieur au cône»[9] est calquée sur Préliminaire : La m celle de la « portion de plan correspondant à un secteur angulaire saillant[3] » ; Préliminaire : pour cela, le « cercle de rayon quelconque centré sur le sommet du secteur angulaire[1] » est remplacé par Préliminaire : pour cela, une « sphère de rayon quelconque centrée sur le sommet du cône».
Pour mesurer l'« intérieur du cône[9], de sommet, de directrice» non représentée sur le schéma ci-contre Pour mesurer l'« intérieur du cône , de sommet , de directrice » dans le but de ne pas surcharger la figure, Pour mesurer l'« intérieur du cône , nous traçons une sphère , de rayon quelconque, centrée au sommet du cône et Pour mesurer l'« intérieur du cône , nous mesurons l'« aire [10] de la portion de sphère limitée par la courbe fermée Pour mesurer l'« intérieur du cône , nous mesurons l'« aire de la portion de sphère découpée par le cône sur la sphère », Pour mesurer l'« intérieur du cône , « étant à »[11] le « rapport est indépendant de , Pour mesurer l'« intérieur du cône , « étant à » le « il représente la « mesure de l’intérieur du cône[9] » appelée Pour mesurer l'« intérieur du cône , « étant à » le « il représente la « angle solidenon orienté de l'intérieur de » Pour mesurer l'« intérieur du cône , « étant à » le « il représente la «en « stéradians de symbole »» d'où
l'« angle solidenon orienté mesurant l'intérieur du cône» est défini par «» avec « l'aire[10] de la surface limitée par la courbe fermée découpée par le cône sur la sphère de rayon ».
Algébrisation d'un angle solide Ω mesurant l'intérieur d'un cône par orientation de la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon R centrée au sommet du cône
Si la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon centrée au sommet du cône est, en de sa surface, Si la surface sphérique orientée par le 1er vecteur de la base sphérique de pôle liée à à savoir le vecteur unitaire radial «» orientation dans le sens centrifuge, Si la surface sphérique orientée par le 1er vecteur de la base sphérique l'« angle solide algébrique mesurant l'intérieur du cône est » c.-à-d. Si la surface sphérique orientée par le 1er vecteur de la base sphérique l'angle solide algébrique «[12] » ;
si la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon centrée au sommet du cône est, en de sa surface, si la surface sphérique orientée par l'opposé du 1er vecteur de la base sphérique de pôle liée à à savoir l'opposé du vecteur unitaire radial «» orientation dans le sens centripète, Si la surface sphérique orientée par l'opposé du 1er vecteur de la base sphérique l'« angle solide algébrique mesurant l'intérieur du cône est » c.-à-d. Si la surface sphérique orientée par l'opposé du 1er vecteur de la base sphérique l'angle solide algébrique «[12] ».
Expression en coordonnées sphériques de l'angle solide (algébrique) mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré en sphérique par (θ, φ) à dθ et dφ près
Schéma décrivant le repérage sphérique pour évaluer l'angle solidealgébrique mesurant l'intérieur d'un cône élémentaire d'axe repéré en sphérique par à et près
Soit le cône élémentaire de sommet et Soit le cône élémentaire d'axe repéré en sphérique de pôle par à et près voir ci-contre ainsi que Soit la sphère de centre et de rayon seul le huitième de sphère du quadrant est partiellement représenté par ses méridiens de longitude et ainsi que par les portions de parallèles localisés entre les deux méridiens précédents, parallèles de colatitude et , l'intersection “ cône et sphère ” donnant une courbe fermée constituée l'intersection “ cône et sphère ” donnant une courbe fermée des portions de parallèles de colatitude et et l'intersection “ cône et sphère ” donnant une courbe fermée des portions de méridiens de longitude et [13] l'intersection “ cône et sphère ” donnant une courbe fermée toutes représentées en bleu sur le schéma ci-contre l'intersection “ cône et sphère ” délimite la « portion de sphère d'aire[10]»[14] d'où l'angle solidenon algébrisé «» mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré par à et près : l'angle solide non algébrisé«[12] ».
L'angle solidealgébrisé «» mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré par à et près L'angle solide algébriséest défini par «» L'angle solide algébrisé est défini par « pour et de même signe » et toutes deux ou , L'angle solide algébrisé est défini par « pour et de signe contraire » et ou et .
Remarques : La définition de l'angle solidealgébrique «» mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré par à et près Remarques : La définition de l'angle solide algébrique «» est en accord avec «[12] »[15] dans la mesure où Remarques : La définition de l'angle solide algébrique «» est en accord avec le « vecteur surface élémentaire de la portion sphérique limitée par Remarques : La définition de l'angle solide algébrique «» est en accord avec le « vecteur surface élémentaire est défini selon » Remarques : La définition de l'angle solide algébrique «» est en accord si et sont de même signe et toutes deux ou , nous en déduisons Remarques : La définition de l'angle solide algébrique «» est en accord « où et orienté par » Remarques : La définition de l'angle solide algébrique «» est en accord «» C.Q.F.V[16]., Remarques : La définition de l'angle solide algébrique «» est en accord si et sont de signe contraire et ou et , nous en déduisons Remarques : La définition de l'angle solide algébrique «» est en accord « où et orienté par » Remarques : La définition de l'angle solide algébrique «» est en accord «» C.Q.F.V[16].
Remarques : Si nous introduisons l'aire algébrique de la portion de sphère délimitée par l'intersection du cône et de la sphère selon «» Remarques : Si nous introduisons l'aire algébrique le « vecteur surface élémentaire de cette portion sphérique se réécrit selon où » d'où Remarques : Si nous introduisons l'aire algébrique l'angle solidealgébrique «» mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré par à et près s'écrit selon Remarques : Si nous introduisons l'aire algébrique l'angle solide algébrique«» unifiant «[12] »[15] en effet, Remarques : Si nous introduisons l'aire algébrique l'angle solide algébriquesi et sont de même signe et toutes deux ou , nous en déduisons Remarques : Si nous introduisons l'aire algébrique l'angle solide algébrique«, dans le sens de » «» C.Q.F.V[16]., Remarques : Si nous introduisons l'aire algébrique l'angle solide algébriquesi et sont de signe contraire et ou et , nous en déduisons Remarques : Si nous introduisons l'aire algébrique l'angle solide algébrique«, dans le sens de » «» C.Q.F.V[16].
Expression de l'angle solide mesurant l'intérieur d'un cône de révolution de demi-angle au sommet α à partir du sommet du cône
Schéma de description d'un cône de révolution de sommet, d'axe et demi-angle au sommet avec repérage sphérique de pôle des directions intérieures au cône
Considérons un cône de révolution, de sommet, d'axe et de demi-angle au sommetvoir le schéma ci-contre[17], Considérons un cône de révolution , chaque direction intérieure au cône étant repérée par sa « colatitude » et Considérons un cône de révolution , chaque direction intérieure au cône étant repérée par sa « longitude », nous nous proposons d'évaluer l'« angle solidealgébrisé mesurant l'intérieur de ce cône de révolution» nous nous proposons d'évaluer à l'aide de l'angle solidealgébrisé mesurant l'intérieur du cône élémentaire nous nous proposons d'évaluer à l'aide de l'angle solide algébrisé mesurant l'intérieur du d'axe repéré en sphérique par à et près[18] nous nous proposons d'évaluer à l'aide de l'angle solide algébrisé mesurant l'intérieur du à savoir «» et nous nous proposons d'évaluer à l'aide du caractère additif de la notion d'angle solidealgébrisé ou non qui sera établi « plus bas dans ce chapitre »[19] ;
nous en déduisons l'« angle solidealgébrisé mesurant l'intérieur de ce cône de révolution» nous en déduisons l'« angle solide algébrisésous forme de l'intégrale surfacique sur la portion de sphère de centre , de rayon quelconque, nous en déduisons l'« angle solide algébrisé sous forme de l'intégrale surfacique sur limitée par le contour fermé , nous en déduisons l'« angle solide algébrisé sous forme de l'intégrale surfacique sur la portion de sphère notée et orientée par [20] nous en déduisons l'« angle solide algébrisé sous forme «»[21] qui s'intègre selon nous en déduisons l'« angle solide algébrisé sous forme «[22] nous en déduisons l'« angle solide algébrisé sous forme « soit finalement nous en déduisons l'« angle solidealgébrisé mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet et de demi-angle au sommet» nous en déduisons l'« angle solide algébrisévaut «» résultat utile à connaître, nous en déduisons l'« angle solide algébriséremarque : c'est aussi l'« angle solidenon algébrisé mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet et de demi-angle au sommet» nous en déduisons l'« angle solide algébrisé remarque : c'est aussi l’angle solide non algébrisé«» résultat aussi à connaître.
Applications : L'« angle solidenon algébrisé mesurant l'espace tridimensionnel entier à partir d'un point quelconque » Applications : L'« angle solide non algébrisé mesurant l'espace tridimensionnel entier est aussi l'« angle solidenon algébrisé mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet et Applications : L'« angle solide non algébrisé mesurant l'espace tridimensionnel entier est aussi l'« angle solide non algébrisé mesurant l'intérieur du cône de révolution de demi-angle au sommet» Applications : L'« angle solide non algébrisé mesurant l'espace tridimensionnel entier est aussi «» à connaître. Applications : L'« angle solidenon algébrisé mesurant le demi-espace tridimensionnel situé d'un côté d'un plan et vue d'un point situé de l'autre côté du plan » Applications : L'« angle solide non algébrisé mesurant le demi-espace tridimensionnel est aussi l'« angle solidenon algébrisé mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet et Applications : L'« angle solide non algébrisé mesurant le demi-espace tridimensionnel est aussi l'« angle solide non algébrisé mesurant l'intérieur du cône de révolution de demi-angle au sommet» Applications : L'« angle solide non algébrisé mesurant le demi-espace tridimensionnel est aussi «» à connaître.
Définition d'un angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée
Schéma de définition de l'angle solidealgébrique sous lequel du point est vue la surface ouverte orientée s'appuyant sur le contour fermé
Considérant la surface ouverte s’appuyant sur le contour fermé voir ci-contre et Considérant le cône de sommet ayant pour directrice la courbe fermée » voir ci-contre, nous définissons l'« angle solidenon algébrisé sous lequel du point est vue la surface ouverte » par nous définissons l'« angle solidenon algébrisé mesurant l'intérieur du cône de sommet s'appuyant sur » soit, nous définissons l'« après définition de la sphère centrée en de rayon quelconque et nous définissons l'« après détermination de l'aire non algébrisé de la portion de sphère limitée par , nous définissons l'« angle solidenon algébrisé mesurant l'intérieur du cône» : «»[12].
Pour définir l'angle solidealgébrique sous lequel du point est vue la surface ouverte , Pour définir l'angle solide algébriqueil faut orienter la surface ouverte par « vecteur unitaire normal ou »[23] et Pour définir l'angle solide algébrique il faut orienter la portion de la sphère limitée par en correspondance[24] c.-à-d. Pour définir l'angle solide algébrique il faut orienter la portion de la sphère par « vecteur unitaire radial du repérage sphérique de Pour définir l'angle solide algébrique il faut orienter la portion de la sphère par « vecteur unitaire pôle , ou »[23] ; Pour définir l'angle solide algébriquesi est orienté par la portion de sphère limitée par l'est par et Pour définir l'angle solide algébriquel'« angle solidealgébrique sous lequel la surface ouverte orientée est vue de Pour définir l'angle solide algébriquel'« angle solide algébriqueest et vaut »[12], Pour définir l'angle solide algébriquesi est orienté par la portion de sphère limitée par l'est par et Pour définir l'angle solide algébriquel'« angle solidealgébrique sous lequel la surface ouverte orientée est vue de Pour définir l'angle solide algébriquel'« angle solide algébriqueest et vaut »[12].
Caractère additif de la notion d'angle solide : Que l'« angle solide sous lequel du point est vue la surface ouverte orientée » soit algébrisé ou non, Caractère additif de la notion d'angle solide : Que l'« angle solide étant défini, après introduction de la sphère , de rayon et de centre , Caractère additif de la notion d'angle solide : Que l'« angle solide étant défini, grâce à l'aire [10] de la portion de sphère limitée par » Caractère additif de la notion d'angle solide : Que l'« angle solide étant défini, étant le cône de sommet s'appuyant sur la courbe fermée limitant et Caractère additif de la notion d'angle solide : Que « l'aire d'une portion de sphère étant une grandeur additive », nous en déduisons que Caractère additif de la notion d'angle solide : Que l'« angle solidealgébrisé ou non sous lequel du point est vue la surface ouverte orientée est une grandeur additive ».
Expression de l'angle solide élémentaire sous lequel de O on voit une surface élémentaire de vecteur surface fixé
Schéma de définition de l'angle solidenon algébrisé sous lequel du point est vue la surface élémentaire d'aire centrée en de coordonnées sphériques de pôle «»
Considérant la surface élémentaire d'aire centrée en de coordonnées sphériques de pôle «» Considérant la surface élémentaire d'aire ci-contre la surface élémentaire représentée en bleu non nécessairement rectangulaire, l'« angle solidenon algébrisé sous lequel du point est vue la surface élémentaire d'aire » est l'« angle solidenon algébrisé mesurant l'intérieur du cône de sommet l'« angle solide non algébrisé mesurant l'intérieur du cône s'appuyant sur la courbe fermée limitant la surface élémentaire d'aire » l'« angle solide non algébrisé mesurant l'intérieur du cône cône élémentaire en rouge sur le schéma ci-contre soit, l'« après définition de la sphère centrée en de rayon coordonnée radiale de et l'« après détermination de l'aire non algébrisée de la portion de sphère limitée par l'« après détermination de l'aire non algébriséereprésentée en rouge sur le schéma ci-contre, nous en déduisons l'« angle solidenon algébrisé sous lequel du point est vue la surface élémentaire d'aire selon [25] »[26].
Pour définir l'angle solidealgébrique sous lequel du point est vue la surface élémentaire d'aire [10], il faut Pour définir l'angle solide algébriqueorienter la surface élémentaire par un « vecteur unitaire normal ou »[27] et Pour définir l'angle solide algébrique orienter la portion de sphère limitée par en correspondance[28] c.-à-d. Pour définir l'angle solide algébrique orienter la portion de sphère par un « vecteur unitaire radial du repérage sphérique de Pour définir l'angle solide algébrique orienter la portion de la sphère par un « vecteur unitaire pôle , ou »[27] ;
Schéma de définition en coupe de l'angle solidealgébrisé sous lequel du point est vue la surface élémentaire d'aire centrée en de coordonnées sphériques de pôle «» avec orientation de s'éloignant de Schéma de définition en coupe de l'angle solidealgébrisé sous lequel du point est vue la surface élémentaire d'aire centrée en de coordonnées sphériques de pôle «» avec orientation de se rapprochant de
« est orientée par » voir schéma ci-contre à gauche la portion de sphère limitée par orientée par l'angle solidealgébrisé sous lequel de est vue la surface élémentaire d'aire est «[25] » ; « il reste à évaluer en fonction de l'orientation de la surface élémentaire et de son aire , soit, en notant , «»[29] ou encore «» ; « finalement nous en déduisons «» ; « est orientée par » schéma ci-contre à droite la portion de sphère limitée par orientée par l'« angle solidealgébrisé sous lequel de est vue la surface élémentaire d'aire » «[25] » ; il reste à évaluer en fonction de l'orientation de la surface élémentaire et de son aire , soit, en notant , «»[30] ou encore «» «» ; finalement nous en déduisons «».
Conclusion : Quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire d'aire centrée en , l'« angle solidealgébrisé sous lequel du point est vue la surface élémentaire » s'écrit Conclusion : Quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire d'aire centrée en , l'angle solide algébrisé«» avec Conclusion : Quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire d'aire centrée en , l'angle solide algébrisé « coordonnée radiale de dans son repérage sphérique de pôle et Conclusion : Quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire d'aire centrée en , l'angle solide algébrisé « vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à . Conclusion : L'« angle solidealgébrisé sous lequel de est vue la surface élémentaire d'aire centrée en » Conclusion : L'« angle solide algébrisés'écrivant encore «» quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire, nous en déduisons que Conclusion : L'« angle solide algébriséc'est aussi « le flux élémentaire du champ vectorielà travers la surface élémentaire de vecteur surface»[31].
Définition (équivalente) de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée
D'une part l'« angle solidealgébrisé ou non sous lequel du point est vue une surface ouverte orientée est une grandeur additive »[32], d'autre part l'« angle solidealgébrisé sous lequel de est vue la surface élémentaire d'aire centrée en de coordonnée radiale dans son repérage sphérique de pôle , d'autre part l'« angle solide algébrisé sous lequel de est vue la surface élémentaire d'aire centrée en le vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à étant d'autre part l'« angle solide algébrisé sous lequel de est vue la surface élémentaire d'aire centrée en est le flux élémentaire du champ vectoriel [31] d'autre part l'« angle solide algébrisé sous lequel de est vue la surface élémentaire d'aire centrée en est le flux élémentaire à travers la surface élémentaire de vecteur surface » d'autre part l'« angle solide algébrisé sous lequel de est vue la surface élémentaire d'aire centrée en c.-à-d. «»[33], nous en déduisons d'autre part une définition équivalente de l'« angle solidealgébrique sous lequel du point est vue une surface ouverte orientée » d'autre part une définition équivalente de l'« angle solide algébriquecomme « flux du champ vectoriel à travers la surface ouverte orientée »[34] :
Définition (équivalente) de l'angle solide (algébrique) sous lequel du point O est vue une surface ouverte orientée
L'« angle solidealgébrique sous lequel du point est vue une surface ouverte orientée » L'« angle solide algébriqueest le « flux du champ vectoriel à travers la surface »[34], L'« angle solide algébrique est avec coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle du point générique de et L'« angle solide algébrique est avec vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à soit mathématiquement L'« angle solide algébrique est «»[21] dans lequel L'« angle solide algébrique est est le vecteur surface élémentaire défini au point générique de .
Remarque : Dans ce paragraphe nous avons établi que « l'angle solidealgébrique sous lequel du point est vue la surface ouverte orientée » Remarque : Dans ce paragraphe nous avons établi que « l'angle solide algébriqueest le « flux du champ vectoriel à travers la surface »[34], Remarque : Dans ce paragraphe pour affirmer l'équivalence des deux définitions il conviendrait d'établir la réciproque c.-à-d. Remarque : Dans ce paragraphe pour affirmer l'équivalence le « flux du champ vectoriel à travers la surface ouverte orientée »[34] Remarque : Dans ce paragraphe pour affirmer l'équivalence le avec coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle du point générique de et Remarque : Dans ce paragraphe pour affirmer l'équivalence le avec vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à Remarque : Dans ce paragraphe pour affirmer l'équivalence le « flux du champ vectoriel mesure algébriquement l'« intérieur du cône de sommet Remarque : Dans ce paragraphe pour affirmer l'équivalence le « flux du champ vectoriel mesure algébriquement l'« intérieur du cône s'appuyant sur le contour fermé limitant » mais Remarque : Dans ce paragraphe pour affirmer l'équivalence son établissement ne présentant aucune difficulté est laissé au soin du lecteur
Suite des applications utilisant l'expression de l'angle solide mesurant l'intérieur d'un cône de révolution de demi-angle au sommet α à partir du sommet du cône
Application : L'« angle solidenon algébrisé sous lequel d'un point est vu un disque , de centre , de rayon , d'axe passant par tel que » Application : L'« angle solide non algébrisé sous lequel d'un point est vu un disque , est aussi l'« angle solidenon algébrisé mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet et Application : L'« angle solide non algébrisé sous lequel d'un point est vu un disque , est aussi l'« angle solide non algébrisé mesurant l'intérieur du cône de révolution de demi-angle au sommet Application : L'« angle solide non algébrisé sous lequel d'un point est vu un disque , est aussi l'« angle solide non algébrisé mesurant l'intérieur du cône de révolution » d'où Application : L'« angle solide non algébrisé sous lequel d'un point est vu un disque , est aussi «»[36].
Définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une courbe fermée orientée
Schémas de définition des orientations couplées d'une surface ouverte et de la courbe fermée sur laquelle s'appuie la surface
Rappel des orientations couplées entre contour fermé et surface ouverte s’appuyant sur le contour : Rappel des orientations couplées Supposant l'espace tridimensionnel orienté à droite[37] avec choix d'une base orthonormée directe[38], Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation de la surface ouverte à partir de celle de la courbe fermée la limitant Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation voir schémas ci-contre, nous appliquons l'une des règles suivantes[39] Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation la règle du tire-bouchon de Maxwell[40] : Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point de limitrophe de et Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation le tournant dans le sens choisi sur , le sens correspondant sur en est Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation le sens de déplacement du tire-bouchon, le sens défini sur en tout autre point Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation étant obtenu par continuité, ou Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation la règle de trois doigts de la main droite de l'apprenti cow-boy droitier : Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation le pouce pointant dans le sens choisi sur en un point de cette dernière et Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation l'index pointant un point de à partir de , Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation le sens défini sur en est donné par le sens pointé par le majeur. Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation Remarque : dans l'hypothèse où l'espace tridimensionnel serait orienté à gauche[37] Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation Remarque : avec choix d'une base orthonormée indirecte au sens de la physique[41], Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation Remarque : dans l’hypothèse quasi-jamais choisie, nous appliquons Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation Remarque : la règle de trois doigts de la main gauche de l'apprenti cow-boy gaucher[42], Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation Remarque : le pouce pointant dans le sens choisi sur en un point de cette dernière et Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation Remarque : l'index pointant un point de à partir de , Rappel des orientations couplées pour déterminer l'orientation Remarque : le sens défini sur en est donné par le sens pointé par le majeur[43].
Définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel du point O est vue une courbe fermée orientée
L'« angle solidealgébrique sous lequel du point est vue une courbe fermée orientée » est l'« angle solidealgébrique sous lequel de est vue une surface ouverte quelconque[44] s'appuyant , l'« angle solide algébrique sous lequel de est vue une l'orientation de étant couplée à celle de » ; c'est donc aussi l'« angle solidealgébrique mesurant l'intérieur du cône de sommet s'appuyant sur le contour fermé orienté l'« angle solide algébrique mesurant l'intérieur du cône de sommet s'appuyant sur de la surface ouverte à orientation l'« angle solide algébrique mesurant l'intérieur du cône de sommet s'appuyant sur de la surface couplée à celle de ».
« Les angles solidesalgébriséssous lequel d'un même pointsont vues deux surfaces ouvertes orientées distinctes et « Les angles solidesalgébriséssous lequel d'un même pointsont vues s'appuyant sur un même contour fermé orienté , avec les « Les angles solidesalgébriséssous lequel d'un même pointsont vues orientations de et couplées à celle de [45], « Les angles solidesalgébriséssont égaux ».
Justification : En effet si nous modifions la surface ouverte en gardant le même contour, le cône s'appuyant sur le contour reste le même et par suite l'angle solidenon algébrisé reste inchangé ; Justification : En effet si les orientations des surfaces ouvertes s'appuyant sur le contour restent couplées à celle du contour, l'algébrisation de l'angle solide n'est pas modifiée.
2ème propriété
« Les angles solidesalgébriséssous lequel d'un même pointsont vues deux courbes fermées distinctes et « Les angles solidesalgébriséssous lequel d'un même pointsont vues tracées sur un même cône de sommet avec les « Les angles solidesalgébriséssous lequel d'un même pointsont vues orientations de et dans le même sens si celles des « Les angles solidesalgébriséssous lequel d'un même pointsont vues surfaces ouvertes et s'appuyant sur et en « Les angles solidesalgébriséssous lequel d'un même pointsont vues leur étant respectivement couplées[45] sont les mêmes « Les angles solidesalgébriséssous lequel d'un même pointsont vues leur étant respectivement couplées relativement à [46], « Les angles solidesalgébriséssont égaux ».
Justification : En effet si nous modifions la courbe fermée en gardant le même cône, l'angle solidenon algébrisé reste inchangé ; Justification : En effet si les orientations des courbes fermées sont dans le même sens, l'algébrisation de l'angle solide n'est pas modifiée.
Utilisation des symétries de l'espace pour évaluer des angles solides
Préliminaire : Une « symétrie de l'espace » qualifie ici le fait que l'espace entier ou une partie de ce dernier peut être, en étant observé à partir d'un même point , Préliminaire : Une « symétrie de l'espace » qualifie ici le fait que l'espace entier ou une partie de ce dernier peut être, décomposé en parties disjointes[47], de même configuration, Préliminaire : Une « symétrie de l'espace » qualifie ici le fait que l'espace entier ou une partie de ce dernier peut être, décomposé en la symétrie étant alors dite d'ordre ; Préliminaire : le caractère commun des configurations de chaque partie vue du point l'identité des angles solidesnon algébrisés sous lequel de est vue chaque partie soit Préliminaire : le caractère commun des configurations de chaque partie vue du point «» ; Préliminaire : le caractère commun connaissant l'angle solide sous lequel du point est vu l'espace entier ou une partie de ce dernier et Préliminaire : le caractère commun utilisant le caractère additif de la notion d'angle solide[32], nous en déduisons que Préliminaire : le caractère commun l'« angle solidenon algébrisé sous lequel de est vue chaque partie Préliminaire : le caractère commun l'« angle solide non algébrisévaut de l'angle solide sous lequel de est vu l'espace entier ou une partie de ce dernier ».
Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux ou symétrie orthogonale par rapport à un plan, Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan passant par un point quelconque Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan peut être décomposé en parties disjointesà l'exception du plan [47], Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan peut être décomposé en celles situées d'un côté ou de l'autre de , Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan peut être décomposé en celles symétriques l'une de l'autre par rapport à Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan peut être décomposé en celles symétriques donc de même configuration et par suite Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan peut être décomposé en mesurées par le « même angle solidenon algébrisé Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan peut être décomposé en mesurées par le « sous lequel de elles sont vues Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan peut être décomposé en mesurées par le « » ; nous en déduisons que Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'« angle solidenon algébrisé sous lequel de est vue la partie d'espace située d'un même côté du plan passant par Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'« angle solide non algébrisévaut de l'angle solide sous lequel de est vu l'espace entier » d'où Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre deux l'« angle solide non algébrisé«»[48].
Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre ou invariance par rotation d'angle autour d'un même axe, Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan passant par un point quelconque Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan peut être décomposé en un ensemble ordonné de parties disjointes[47] Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan parties se déduisant les unes des autres par rotation autour de l'axe Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan parties en d'angle [49] donc de même configuration et par suite Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan parties mesurées par le « même angle solidenon algébrisé Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan parties mesurées par le « sous lequel de elles sont vues » ; Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre le demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan parties mesurées par le nous en déduisons que Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'« angle solidenon algébrisé sous lequel de est vue la partie d'espace située à l'intérieur d'un trièdre rectangle d'origine Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'« angle solide non algébrisévaut de l'angle solide sous lequel de est vu le demi-espace » d'où Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'« angle solide non algébrisé«»[50].
Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre ou invariance par rotations d'angle autour de deux axes faisant un angle entre eux, Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un tétraèdre régulier peut être décomposé en un ensemble de parties disjointes[47], Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un tétraèdre régulier parties se déduisant les unes des autres par rotation d'angle autour Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un tétraèdre régulier parties d'un axe issu de passant par un sommet du tétraèdre, Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un tétraèdre régulier la 4ème partie se déduisant de n'importe laquelle des précédentes par rotation Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un tétraèdre régulier la 4ème partie d'angle autour de l'axe issu de Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un tétraèdre régulier la 4ème partie d'angle autour de passant le sommet adéquat[51], Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un tétraèdre régulier ces parties étant donc de même configuration et par suite elles sont Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un tétraèdre régulier ces parties mesurées par le « même angle solidenon algébrisé Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un tétraèdre régulier ces parties mesurées par le « sous lequel de elles sont vues Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un tétraèdre régulier ces parties mesurées par le «» ; nous en tirons que Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'« angle solidenon algébrisé sous lequel de est vue une face quelconque du tétraèdre régulier de centre Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'« angle solide non algébrisévaut de l'angle solide sous lequel de est vu l'espace entier » d'où Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre l'« angle solide non algébrisé«».
Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six ou invariance par rotations d'angle autour de deux axes , Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un cube peut être décomposé en un ensemble de parties disjointes[47], Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un cube parties d'entre elles se déduisant les unes des autres par rotation d'angle Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un cube parties autour d'un axe issu de passant par le centre d'une des faces du cube, Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un cube les autres s'obtenant à partir de deux des précédentes n'ayant que comme point Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un cube les autres commun par exemple par rotation d'angle autour d'un axe Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un cube les autres issu de passant par le centre d'une des deux faces incluses dans l'une Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un cube les autres issu de passant par le centre d'une des deux autres parties [52],
Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un cube ces parties étant donc de même configuration et par suite elles sont Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un cube ces parties mesurées par le « même angle solidenon algébrisé Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un cube ces parties mesurées par le « sous lequel de elles sont vues Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'espace tridimensionnel vu à partir du centre d'un cube ces parties mesurées par le «» ; nous en déduisons que Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'« angle solidenon algébrisé sous lequel de est vue une face quelconque du cube de centre Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'« angle solide non algébrisévaut de l'angle solide sous lequel de est vu l'espace entier » d'où Exemples : Utilisation d'une symétrie d'ordre six l'« angle solide non algébrisé«».
↑ 3,03,1 et 3,2 Par abus encore appelé « angle intérieur » par confusion entre l'objet « secteur angulaire saillant » et sa mesure « angle intérieur ».
↑ 4,0 et 4,1 Par abus encore appelé « angle extérieur » par confusion entre l'objet « secteur angulaire rentrant » et sa mesure « angle extérieur ».
↑ Dans le cas où la courbe est plane, si le plan de celle-ci contient le sommet du cône, le cône obtenu est dégénéré c.-à-d. plan.
↑ 6,0 et 6,1 La directrice du cône peut être gauche mais dans ce cas il est toujours possible de tracer sur le même cône une courbe fermée plane jouant le rôle de directrice de ce cône et par suite d'utiliser cette courbe fermée plane comme directrice
↑ Car il est toujours possible de choisir une directrice plane pour un cône quelconque, voir la note « 6 » plus haut dans ce chapitre.
↑ 8,08,18,28,38,48,5 et 8,6 Une courbe est convexe si elle est la frontière d'un ensemble convexe, ce dernier étant tel qu'en y prenant deux points quelconques. et , le segment qui les joint y est entièrement contenu.
↑ 9,09,1 et 9,2 Par abus encore appelé « angle solide intérieur au cône» par confusion entre l'objet « portion d'espace tridimensionnel intérieur au cône» et sa mesure « angle solide mesurant l'intérieur du cône».
↑ Quand la méthode de calcul de l'intégrale surfacique conduit à deux intégrales emboîtées telles que les bornes de l'intégrale intérieure ici l'intégrale sur réalisée à constant sont indépendantes de la variable figée ici , l'ensemble des deux intégrales emboîtées devient un produit de deux intégrales indépendantes.
↑ 23,0 et 23,1 Choix d'un sens en un point quelconque puis généralisation par continuité en tous les autres points de la surface ouverte.
↑ Il reste à définir la signification de « en correspondance » : le plus simple est de passer par l'orientation des surfaces ouvertes en accord avec celle des contours fermés sur lesquels elles s'appuient voir la note « 3 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », pour que l'orientation des deux surfaces ouvertes soient en correspondance il faut que celle, vue du point , des contours fermés soient dans le même sens pour un observateur ayant placé son œil en .
↑ 25,025,1 et 25,2ou étant l'aire non algébrique de la portion de sphère de rayon .
↑ 27,0 et 27,1 Voir les coupes ci-dessous réalisées dans le plan méridien passant par c.-à-d. le plan , « cas où la surface élémentaire d'aire est orientée par et la portion de sphère limitée par orientée par à gauche » et « cas où la surface élémentaire d'aire est orientée par et la portion de sphère limitée par orientée par à droite ».
↑ Il reste à définir la signification de « en correspondance » : le plus simple est de passer par l'orientation des surfaces élémentaires en accord avec celle des contours fermés sur lesquels elles s'appuient voir la note « 3 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » avec surfaces ouvertes remplacées par surfaces élémentaires, pour que l'orientation des deux surfaces élémentaires soient en correspondance il faut que celle, vue du point , des contours fermés soient dans le même sens pour un observateur ayant placé son œil en .
↑ En effet, dans l'hypothèse où la surface élémentaire d'aire est rectangulaire à deux côtés au plan méridien de coupe et deux autres côtés à ce plan, chaque côté au plan méridien de coupe de longueur se projette sur le plan tangent à en en vraie grandeur et chaque côté au plan méridien de coupe de longueur se projette sur le plan tangent à en selon d'où «», le résultat obtenu en prenant une surface élémentaire rectangulaire étant applicable quelle que soit la forme de la surface.
↑ En effet, dans l'hypothèse où la surface élémentaire d'aire est rectangulaire à deux côtés au plan méridien de coupe et deux autres côtés à ce plan, chaque côté au plan méridien de coupe de longueur se projette sur le plan tangent à en en vraie grandeur et chaque côté au plan méridien de coupe de longueur se projette sur le plan tangent à en selon d'où «», le résultat obtenu en prenant une surface élémentaire rectangulaire étant applicable quelle que soit la forme de la surface.
↑James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.
↑ Ce qui donne un sens opposé à celui obtenu dans un espace tridimensionnel orienté à droite voir la note « 37 » plus haut dans ce chapitre avec choix d'une base orthonormée directe voir la note « 38 » plus haut dans ce chapitre.
↑ Le caractère « quelconque » est justifié dans le paragraphe « propriétés (1ère propriété) » plus bas dans ce chapitre, la raison étant que modifier la surface ouverte en gardant le même contour conserve le cône s'appuyant sur ce contour et par suite l'angle solide est inchangé.
↑ C.-à-d. si les vecteurs normaux à et respectivement en des points et alignés avec s'éloignent de ce dernier ou s'en rapprochent simultanément.
↑ 47,047,147,247,3 et 47,4 En fait il est possible que les parties ne soient pas strictement disjointes mais aient une intersection commune, dans ce cas il faut s'assurer que la suppression de cette intersection commune ne change pas la mesure de l'angle solide sous lequel du point est vue chaque partie d'espace.
↑ En fait les parties qui se déduisent les unes des autres par rotation autour de l'axe en d'angle ne sont pas strictement disjointes, elles le sont à l'exception du plan et de l'axe qui leur sont communs.
↑ C'est aussi le « de l'angle solide sous lequel de est vu l'espace entier ».
↑ En fait ces parties qui se déduisent entre elles par rotation autour de l'axe ou d'angle ne sont pas strictement disjointes deux à deux, elles le sont à l'exception des demi-droites issues des sommets du tétraèdre régulier et passant par le centre de ce dernier, demi-droites à support susceptible d'être choisi comme axe de rotation ou et appartenant aux deux parties qui se déduisent l'une de l'autre par rotation adéquate, les parties étant globalement disjointes à l'exception du centre du tétraèdre régulier.
↑ En fait ces parties qui se déduisent entre elles par rotation autour de l'axe ou d'angle ne sont pas strictement disjointes deux à deux, elles le sont à l'exception des demi-droites issues du centre du cube et passant par l'un des sommets de ce dernier, les parties étant globalement disjointes à l'exception du centre du cube.
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\searrow {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97dfb0fd4860364b28e71d4a8d8dd162d860938d)
![{\displaystyle \;\varphi \nearrow {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2835529c82b4882a8e5a50ad470a6ac30df54ded)
![{\displaystyle \;\Omega =\displaystyle \int _{\varphi \,=\,0}^{\varphi \,=\,2\;\pi }\left[\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,\alpha }\sin(\theta )\;d\theta \right]d\varphi =\displaystyle \int _{\varphi \,=\,0}^{\varphi \,=\,2\;\pi }d\varphi \times \displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,\alpha }\sin(\theta )\;d\theta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0caf29b753b9bc6a2f6fc686585b232842bfea)
![{\displaystyle =2\;\pi \times \left[-\cos(\theta )\right]_{0}^{\alpha }=2\;\pi \,\left[1-\cos(\alpha )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34577ab4c7211d3ceea98cdbf2beb94f2fdb3e12)
![{\displaystyle \;\Omega =2\;\pi \,\left[1-\cos(\alpha )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015fb5913a68fd254e1b8a7ae66a4ca325aae630)
![{\displaystyle \;\omega =2\;\pi \,\left[1-\cos(\alpha )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3133f816cbe5694b1ce5c795763ce704083c16e4)
![{\displaystyle \;\omega _{\text{espace entier}}=2\;\pi \,\left[1-\cos(\pi )\right]=4\;\pi \;sr\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1dad62d5d605bb3364c3ef5b3ee966160ffcaa1)
![{\displaystyle \;\omega _{\text{demi-espace}}=2\;\pi \,\left[1-\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)\right]=2\;\pi \;sr\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b244a13ebb7654eac499d020c99659c316672d10)
![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048e93a52f65a1c7610105a6ef8077731e061257)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{r}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11af98f226a87b9e88c8a9833b71e0cab664a26a)
![{\displaystyle \;M{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a7e7677d7c8ddfa751d0cc213d5919154c4bd9)
![{\displaystyle \;\Omega =\Phi _{({\mathcal {S}})}\!\left[{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\right]=\displaystyle \iint _{({\mathcal {S}})}{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796707a65c33872dd3432759ad6cd1b1cca07791)
![{\displaystyle \;\omega _{\,\left({\mathcal {D}}\right)\;{\text{vu de }}O}=2\;\pi \,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\arctan \!\left({\dfrac {R}{h}}\right)\right]\right\rbrace =2\;\pi \,\left(1-{\dfrac {h}{\sqrt {R^{2}+h^{2}}}}\right)\;sr\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ff1b340906b26ac2517158a678d531c33abc9c)
![{\displaystyle \;\omega _{k}=cste\;\;\forall \;k\;\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0986d9e0ef1856781f35af13067e6fdd5e4a5d5)
![{\displaystyle \;\left(\Pi \right){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29906741cfda1ad6b4f851406790b699e9789930)
![{\displaystyle \;\left(_{1}\,,\,_{3}\right)\!{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f728e440c45e9073839bcd0f5b9cfdf3a5da11)
![{\displaystyle \;\left[AB\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb8a0b88f71836c6a42df4b1ade5bce6ff2d461)
![{\displaystyle \;\Sigma (R)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\text{int de }}\left(K\right)\,\cap \,\left(\Sigma \right)}\!\!\!\!R^{2}\;\sin \!\left(\theta _{M}\right)\;d\theta _{M}\;d\varphi _{M}=R^{2}\left[\,\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\text{int de }}\left(K\right)\,\cap \,\left(\Sigma \right)}\!\!\!\!\sin \!\left(\theta _{M}\right)\;d\theta _{M}\;d\varphi _{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf3ced16c14609118863c87ff84169795966310)
![{\displaystyle \;\left({\overrightarrow {Oz}}\,,\,M\right){\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0b9d92f61d07d3cd0a7edbf2a57379cf8f2c51)
![{\displaystyle \;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {R}{h}}\right)\in \left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d819bc9f24ca23471e3bcda548d3094af3d1d7)
