Leçons de niveau 14

Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Facteur de Boltzmann

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Conséquence du champ de pression de l'atmosphère isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme sur la répartition statistique des molécules d’air en équilibre à une température donnée[modifier | modifier le wikicode]

Rappel du champ de pression de l'atmosphère isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Le champ de pression dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre galiléen s'écrit, au point d'altitude l'axe vertical étant ascendant et le point de la surface du globe situé à la verticale du point ,

«» [1] avec « la pression à l'altitude nulle »,
« la masse molaire moléculaire de l'air » [2],
« l'intensité de la pesanteur terrestre » et
« la constante molaire des G.P.[3] approximativement égale à » ;

     en introduisant « la constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température » [4], le champ de pression peut être réécrit selon

«» [5] traduisant une exponentielle de quand .

Expression de la densité volumique molaire des molécules d'air en fonction de l'altitude[modifier | modifier le wikicode]

     Nous déterminons tout d'abord le champ de masse volumique de l'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre galiléen à partir du champ de pression «» en utilisant la forme locale de l'équation d'état de la particule d'atmosphère isotherme en équilibre thermodynamique à la température centrée au point [6] d'altitude faisant intervenir les deux paramètres locaux dépendant de à savoir « la pression et la masse volumique » c.-à-d. «» [7] dont nous déduisons «» ainsi que la même relation appliquée à l'altitude nulle «» d'où le champ de masse volumique de l'air en multipliant de part et d'autre le champ de pression par ,

«» ou encore,

     avec « la constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température » [4], la réécriture du champ de masse volumique de l'air selon

«» traduisant une exponentielle de quand puis

     Nous déterminons le champ de densité volumique molaire «» des molécules d'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température précédemment considéré à partir du champ de masse volumique de l'air «» en utilisant «» [8] ainsi que «» d'où le champ de densité volumique molaire des molécules d'air en divisant de part et d'autre le champ de masse volumique par ,

«» ou encore,

     avec « la constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température » [4], la réécriture du champ de densité volumique molaire des molécules d'air selon

«» traduisant une exponentielle de quand .

Expression de la densité volumique moléculaire de l'air en fonction de l'altitude et réécriture en n'utilisant que des grandeurs d'échelle moléculaire[modifier | modifier le wikicode]

     Nous déterminons le champ de densité volumique moléculaire «» de l'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre galiléen à partir de celui de densité volumique molaire «» des molécules d'air dans le modèle de l'atmosphère précédemment considéré en utilisant le lien entre les deux densités volumiques à l'altitude «» ainsi qu'à l'altitude nulle «» dans lequel « est la constante d'Avogadro » [9] d'où le champ de densité volumique moléculaire des molécules d'air en multipliant de part et d'autre le champ de densité volumique molaire par ,

«» ;

     il reste à transformer l'argument de l'exponentielle «» de façon à remplacer les grandeurs molaires par des grandeurs moléculaires c.-à-d. remplacer

  • la « masse molaire moyenne de l'air » par la « masse moléculaire moyenne de l'air [10] [11] » mais aussi
  • la « constante molaire des G.P. [3] » par une constante d'échelle moléculaire appelée « constante de Boltzmann [12] égale à » [13] ;

     ainsi «» devient, en divisant haut et bas par , «» et permet de réécrire le champ de densité volumique moléculaire des molécules d'air selon

«» dans lequel,
  • «» représente l'« énergie potentielle de pesanteur d'une molécule d'air située à l'altitude » sa référence [14] étant choisie à l'altitude nulle et
  • « l'énergie d'échelle de la variation de la densité volumique moléculaire de l'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température » c.-à-d. la variation d'énergie potentielle de pesanteur d'une molécule d'air située à l'altitude pour laquelle la densité volumique moléculaire locale est divisée par la « constante de Neper [15] »,

     soit la réécriture du champ de densité volumique moléculaire des molécules d'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre galiléen selon

«»

     ce qui définit la répartition volumique statistique des molécules d'air de l'atmosphère terrestre quand elles sont en équilibre thermodynamique à la température fixée suivant leur « énergie potentielle de pesanteur individuelle ».

Notion de facteur de Boltzmann de l'atmosphère isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et interprétation[modifier | modifier le wikicode]

     Comme nous venons de l'établir précédemment « dans le modèle de l'atmosphère terrestre en équilibre isotherme à la température dans le champ de pesanteur uniforme, modèle de G.P. [3] composé de molécules identiques de masse , macroscopiquement immobiles dans le référentiel terrestre galiléen, pouvant occuper individuellement les niveaux d'énergie mécanique macroscopique quand elles sont à l'altitude », les molécules d'air se répartissent selon

une densité volumique moléculaire au facteur «»,
ce facteur étant appelé « facteur de Boltzmann [12] de l'atmosphère isotherme »,

     c.-à-d. le « facteur de Boltzmann [12] d’un système de molécules en équilibre thermodynamique à la température », « chaque molécule pouvant individuellement occuper les niveaux d'énergie ».

     Remarques : Le nombre de molécules présentes dans un « cylindre élémentaire de section droite d'aire à l'altitude et de hauteur » s'évalue selon « ou encore » soit, avec « représentant le nombre de molécules présentes dans un cylindre élémentaire de même volume mais situé au niveau du sol noté »,

«» d'où

           Remarques : l'expression du « nombre relatif de molécules situées à l'altitude par rapport à celui des molécules situées au niveau du sol »

«» c.-à-d.
une signification quantitative du facteur de Boltzmann [12] ;

           Remarques : le facteur de Boltzmann [12] traduit donc l'occupation relative des niveaux d’énergie, plus ce facteur est petit, plus faible est le nombre de molécules occupant le niveau d’énergie correspondant.

     Remarques : Supposant connu le nombre total de molécules présentes dans un « cylindre de section droite d'aire , de base au niveau du sol et de hauteur infinie » «[16] » soit, avec », «[16] » «[16] » d'où la réécriture du nombre de molécules présentes dans un « cylindre élémentaire de section droite d'aire à l'altitude et de hauteur »

«[16] » d'où
la proportion relative de molécules se trouvant à l'altitude à près [17]
«[16] »,

           Remarques : cette proportion traduisant aussi la « probabilité pour qu'une molécule du cylindre de section droite d'aire , de base au niveau du sol et de hauteur infinie soit à l'altitude à près »

«» avec
«[16]
la densité linéique de probabilité d'altitude » [18] ;

           Remarques : conséquence : de «[16] » nous déduisons que le facteur de Boltzmann [12] définit la « densité linéique de probabilité pour qu'une molécule ait l'énergie potentielle de pesanteur» au « facteur de normalisation [16] près » le facteur de normalisation étant nécessaire pour que la probabilité sur le cylindre complet, à savoir «», soit « égale à ».

Généralisation (admise) de la notion de facteur de Boltzmann à un système d'entités en équilibre à une température fixée[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Dans l'énoncé précédent, une entité peut être une molécule, un ion, un atome, une particule élémentaire ou tout assemblage microscopique individuel pouvant se retrouver à constituer un système macroscopique ou mésoscopique d'individualités en équilibre thermodynamique à une certaine température

1er autre exemple, molécules libres confinées dans une expansion tridimensionnelle rigide et en équilibre à une température donnée, répartition statistique de Maxwell-Boltzmann[modifier | modifier le wikicode]

Facteur de Boltzmann d'un système de molécules libres confinées dans une expansion tridimensionnelle rigide et en équilibre à une température donnée[modifier | modifier le wikicode]

     Considérons un système de molécules identiques, de masse individuelle , libres [19], macroscopiquement immobiles et confinées dans une expansion tridimensionnelle rigide [20] liée à un référentiel d'étude galiléen et
     sachant qu'une molécule quelconque de vecteur vitesse d'agitation thermique à un instant quelconque dans tel que [21] l'applicabilité de la cinétique classique [22], a, pour seule énergie non nulle, son « énergie cinétique microscopique d'agitation thermique » [23], nous admettons que

     les molécules de niveaux individuels d'énergie «», se répartissent, dès lors qu'elles constituent un système en équilibre thermodynamique à la température ,

proportionnellement au « facteur de Boltzmann [12] »
dans lequel « est la constante de Boltzmann » [12] et
« l'énergie d'échelle de variation de la densité volumique moléculaire du système en équilibre thermodynamique à la température ».

Interprétation du facteur de Boltzmann du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée[modifier | modifier le wikicode]

     Le facteur de Boltzmann permet de définir – à une constante multiplicative de normalisation près – la probabilité d’une molécule d’avoir un vecteur vitesse à « près » ;

Conséquence de l'« isotropie du facteur de Boltzmann du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée »[modifier | modifier le wikicode]

Commentaires[modifier | modifier le wikicode]

2ème autre exemple, molécules sous conformations différentes confinées dans un volume fixé et en équilibre à une température donnée, influence de la température sur la possibilité de conformation d'une molécule dans une expérience[modifier | modifier le wikicode]

3ème autre exemple, atomes sous niveaux d'énergie différents confinés dans un volume fixé et en équilibre à une température donnée, influence de la température sur la possibilité d'excitation thermique d'un atome dans une expérience[modifier | modifier le wikicode]

Approche documentaire, reconnaître un facteur de Boltzmann, comparer l’énergie d’échelle « kBT » dans un contexte général[modifier | modifier le wikicode]

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Voir le paragraphe « détermination du champ de pression dans l'atmosphère isotherme en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) ».
  2. En effet l'air sec de l'atmosphère terrestre est composée, en proportion moléculaire, de de diazote de masse molaire moléculaire , de de dioxygène de masse molaire moléculaire et de d'argon de masse molaire moléculaire , soit « en et finalement «.
  3. 3,0 3,1 3,2 et 3,3 Gaz Parfait(s).
  4. 4,0 4,1 et 4,2 La constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme est « la variation d'altitude au bout de laquelle la pression est divisée par la constante de Neper ».
       John Napier (1550 - 1617) est un physicien, astronome, mathématicien et théologien écossais à qui on doit essentiellement l'invention des logarithmes et la construction de tables de logarithmes
  5. Voir le paragraphe « constante d'altitude d du modèle de l'atmosphère isotherme à la température T0 en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et réécriture de son champ de pression en fonction de d » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) ».
  6. Le centre de la particule d'atmosphère est noté et non car cette dernière notation est réservée à la masse molaire moléculaire
  7. Voir la relation du paragraphe « modèle de l’atmosphère isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) ».
  8. Nous vérifions l'homogénéité de la formule à l'aide des unités « en », « en » et « en ».
  9. Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) est un physicien et chimiste du Piémont région actuelle de l'Italie à qui on doit essentiellement la loi d'Avogadro Ampère qu'il énonça en et proposée indépendamment par Ampère en , celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules » ;
       André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
  10. En effet, avec , «».
  11. L'« unité de masse atomique unifiée » de symbole «» est une unité de mesure standard remplaçant l'« unité de masse atomique » de symbole « uma » représentant « de la masse d'un atome de », unité devenue obsolète, utilisée pour exprimer la masse des atomes et des ions monoatomiques elle peut aussi l'être pour exprimer la masse des molécules et des ions polyatomiques mais les valeurs étant alors plus grandes, le faire est nettement moins intéressant ;
       «» étant définie comme « de la masse d'un atome de » et cette dernière se calculant à partir de la masse molaire atomique du «» par « » dans laquelle est la constante d'Avogadro décision de la Conférence Générale des Poids et Mesures ou CGPM valable à partir du d'où  ;
       l'atome de contenant nucléons protons et neutrons, les protons étant de masse voisine de celle des neutrons, nous en déduisons en négligeant le défaut de masse du noyau dans la masse de ce dernier que «» est approximativement la masse d'un nucléon et que la masse d'une particule contenant nucléons est approximativement «».
       Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) est un physicien et chimiste du Piémont région actuelle de l'Italie à qui on doit essentiellement la loi d'Avogadro Ampère qu'il énonça en et proposée indépendamment par Ampère en , celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules » ;
       André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
  12. 12,00 12,01 12,02 12,03 12,04 12,05 12,06 12,07 12,08 12,09 et 12,10 Ludwig Eduard Boltzmann (1844 - 1906) physicien et philosophe autrichien, il est l'un des fondateurs de la mécanique statistique qui explique les lois de la thermodynamique à l'aide des propriétés statistiques des grands ensembles des particules ;
       en mathématiques il est aussi, avec Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, l'un des fondateurs de l'analyse vectorielle.
  13. En effet, avec , «».
  14. C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.
  15. John Napier (1550 - 1617) est un physicien, astronome, mathématicien et théologien écossais à qui on doit essentiellement l'invention des logarithmes et la construction de tables de logarithmes
  16. 16,0 16,1 16,2 16,3 16,4 16,5 16,6 et 16,7 Voir le paragraphe « intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  17. Par rapport au nombre total de molécules du cylindre de section droite d'aire , de base au niveau du sol et de hauteur infinie.
  18. Ou « densité linéique de probabilité d'énergie potentielle de pesanteur individuelle ».
  19. Donc sans interaction entre molécules
  20. Ainsi les seules actions qu’une molécule peut subir sont celles que les parois de cette expansion tridimensionnelle rigide exercent quand elle les heurte, ces dernières renvoyant la molécule dans l'expansion la confinant.
  21. étant la célérité de la lumière.
  22. Ou newtonienne.
  23. Voir le paragraphe « définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point (condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».