Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels

Démarrage d'un cycliste

     Un cycliste démarre sur une route horizontale définissant un référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen et le repère associé à ce référentiel est de base cartésienne orthonormée directe $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace$, $\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant dans la direction de la route choisi dans le sens du mouvement que le cycliste veut suivre, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vertical ascendant et $\;{\vec {u}}_{y}$ $\;\perp \;$ au plan contenant le cycliste et son vélocipède $\;{\big (}$les deux étant considérés, pour simplifier, sans épaisseur${\big )}\;$ et s'enfonçant dans ce plan $\;{\big (}$ce vecteur définit l'orientation des angles algébrisés de ce plan${\big )}$ ;

     ce cycliste est assimilé à un « solide » lié à sa bicyclette $\;{\big (}$ce qui revient en fait à négliger la masse des jambes mobiles du cycliste${\big )}\;$ les deux roues de la bicyclette, identiques, de rayon $\;R$, ayant une masse négligeable, nous appellerons $\;m\;$ la masse du cycliste et de sa bicyclette et le centre de masse $\;G\;$ de l'ensemble « cycliste - bicyclette » sera repéré par les longueurs $\;a$, $\;b\;$ et $\;h\;$ définies sur la figure ci-contre.

     Le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ est supposé uniforme d'intensité $\;g\;$,

     le cœfficient de frottement des roues sur le sol $\;{\big (}$nous négligerons tout autre frottement solide ainsi que tout frottement fluide${\big )}\;$ est noté $\;f\;$ et

     le rapport du nombre de dents du pédalier à celui du pignon arrière est égal à $\;n\,\in \,\mathbb {Q} ^{*,\,+}\!$.

     Déterminer quelle condition doit vérifier le moment scalaire $\;\Gamma \;$ du couple que doit exercer le cycliste sur le pédalier pour que les roues ne patinent pas sur le sol lors de son démarrage, en utilisant successivement

• la traduction du roulement sans glissement de chaque roue sur la route en termes de vitesses,
• le théorème du mouvement du C.D.I. appliqué à l'ensemble « cycliste - bicyclette »,
• la traduction énergétique de la transmission « pédalier - chaîne - pignon de roue arrière » $\;{\big (}$l'ensemble « pédalier - chaîne - pignon de roue arrière » supposé de masse négligeable, constitue une transmission idéale${\big )}$,
• le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à chaque roue relativement à son axe dans la version applicable à un solide en rotation autour d'un axe en translation dans le référentiel galiléen, l'axe passant par le C.D.I. du solide $\;{\big [}$nous supposerons l'inertie de chaque roue négligeable${\big ]}$,
• le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à l'ensemble « cycliste - bicyclette » relativement à un axe passant par le C.D.I. $\;G\;$ de l'ensemble et $\;\parallel \;$ à celui de chaque roue ou du pédalier dans la version applicable à un système quand l'axe d'évaluation des moments est en translation dans le référentiel galiléen, l'axe passant par le C.D.I. du système et enfin
• la condition de non glissement de chaque roue en utilisant les lois empiriques de Coulomb.

Solution

     Traduction du roulement sans glissement de chaque roue sur la route en termes de vitesses : notant $\;{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ le vecteur vitesse du cycliste dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ et $\;\omega _{k}(t)\;$ la vitesse angulaire de la roue $\;k\;$ avec $\;k=1\;$ pour la roue avant et $\;k=2\;$ pour la roue arrière ; si la roue $\;k\;$ roule sans glisser sur le sol, on aura, en appelant $\;I_{k}\;$ le point de contact de la roue $\;k\;$ avec le sol, «$\;{\vec {V}}_{I_{k}\,\in \,{\text{roue}}\,k}(t)={\vec {V}}_{I_{k}\,\in \,{\text{sol}}}(t)\;\;\forall \;t\;$» avec $\;{\vec {V}}_{I_{k}\,\in \,{\text{sol}}}(t)={\vec {0}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{I_{k}\,\in \,{\text{roue}}\,k}(t)={\vec {V}}_{C_{k}}(t)+\omega _{k}(t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\overrightarrow {C_{k}I_{k}}}\;$ où $\;C_{k}\;$ est le centre de la roue $\;k$ $\;{\Big (}$tout point périphérique lié à une roue ayant un mouvement composé d'une translation de son centre et d'une rotation autour de son axe${\big )}$, ou encore $\;{\vec {V}}_{I_{k}\,\in \,{\text{roue}}\,k}(t)={\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+\omega _{k}(t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge \left(-R\;{\vec {u}}_{z}\right)=\left[{\dot {x}}(t)-R\;\omega _{k}(t)\right]\,{\vec {u}}_{x}\;$ soit finalement «$\;{\vec {V}}_{I_{k}\,\in \,{\text{roue}}\,k}(t)={\vec {V}}_{I_{k}\,\in \,{\text{sol}}}(t)\;\;\forall \;t\;$» se réécrivant «$\;{\dot {x}}(t)-R\;\omega _{k}(t)=0\;\;\forall \;t\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» ou
«$\;\omega _{k}(t)={\dfrac {{\dot {x}}(t)}{R}}\;\;\forall \;t\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$» indépendante de la roue,
la valeur commune étant simplement notée $\;\omega$.

Schéma descriptif d'un cycliste sur son vélocipède au démarrage avec forces extérieures appliquées à l'ensemble « cycliste - bicyclette » ainsi que les couples intérieurs de transmission entre le pédalier et le pignon de la roue arrière

     Application du théorème du mouvement du C.D.I. à l'ensemble « cycliste - bicyclette » : notant «$\;{\vec {R}}_{k}=R_{k,\,z}\;{\vec {u}}_{z}+{\overline {R}}_{k,\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ la réaction du sol sur la roue $\;k\;$» $\;{\big (}k=1\;$ pour la roue avant et $\;k=2\;$ pour la roue arrière${\big )}\;$ avec $\;R_{k,\,z}>0\;$ et $\;{\overline {R}}_{k,\,x}\;$ algébrique, le bilan des forces extérieures appliquées à l'ensemble « cycliste - bicyclette » étant ces deux réactions et le « poids de l'ensemble $\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$», nous en déduisons, dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, $\;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}+m\;{\vec {g}}=m\;a_{G}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c c}R_{1,\,z}+R_{2,\,z}-m\;g\!\!&=&\!\!0\!\!&{\text{:}}&\!\!\left({\mathfrak {b}}_{z}\right)\\{\overline {R}}_{1,\,x}+{\overline {R}}_{2,\,x}\!\!&=&\!\!m\;{\ddot {x}}(t)\!\!&{\text{:}}&\!\!\left({\mathfrak {b}}_{x}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Traduction énergétique de la transmission « pédalier - chaîne - pignon de roue arrière » : l'ensemble « pédalier - chaîne - pignon de roue arrière », noté $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, de masse négligeable, définissant une transmission idéale, nous déduisons, d'après le théorème de la puissance cinétique appliqué à $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, que la somme des puissances développées par les actions extérieures appliquées à $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ est égale à la puissance cinétique de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ laquelle est nulle quelles que soient les vitesses en absence d'inertie de chacun des composants $\;{\big (}$en effet la masse de chacun des composants étant négligeable il en est de même de leur énergie cinétique${\big )}$ ; les actions extérieures appliquées à $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant le « couple que doit exercer le cycliste sur le pédalier de moment scalaire $\;\Gamma (t)\;$» et le « couple réactif que la roue arrière exerce sur le pignon de moment scalaire $\;\Gamma _{{\text{pignon}}\,\leftarrow \,{\text{roue}}\,2}(t)\;$» avec «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }}(t)\right]=\Gamma (t)\;\omega _{\text{pédalier}}(t)\;$» $\;{\big [}\omega _{\text{pédalier}}(t)$ : vitesse angulaire de rotation du pédalier${\big ]}$, «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }}_{{\text{pignon}}\,\leftarrow \,{\text{roue}}\,2}(t)\right]=\Gamma _{{\text{pignon}}\,\leftarrow \,{\text{roue}}\,2}(t)\;\omega (t)\;$» d'où la traduction énergétique de la transmission « pédalier - chaîne - pignon de roue arrière » «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }}(t)\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {\Gamma }}_{{\text{pignon}}\,\leftarrow \,{\text{roue}}\,2}(t)\right]=0\;$» se réécrivant «$\;\Gamma (t)\;\omega _{\text{pédalier}}(t)+\Gamma _{{\text{pignon}}\,\leftarrow \,{\text{roue}}\,2}(t)\;\omega (t)=0\;$» dans laquelle $\;{\dfrac {\omega _{\text{pédalier}}(t)}{\omega (t)}}=$ ${\dfrac {n_{\text{pignon arrière}}}{n_{\text{pédalier}}}}={\dfrac {1}{n}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\omega _{\text{pédalier}}={\dfrac {\omega (t)}{n}}\;$» d'où la réécriture de la traduction énergétique de la transmission «$\;\Gamma (t)\;{\dfrac {\omega (t)}{n}}+\Gamma _{{\text{pignon}}\,\leftarrow \,{\text{roue}}\,2}(t)\;\omega (t)=0\;$» soit «$\;\Gamma _{{\text{pignon}}\,\leftarrow \,{\text{roue}}\,2}(t)=-{\dfrac {\Gamma (t)}{n}}\;$» et, d'après le principe des actions réciproques, le « couple que le pignon de la roue arrière exerce sur cette dernière » est de moment scalaire «$\;\Gamma _{{\text{pignon}}\,\rightarrow \,{\text{roue}}\,2}(t)=-\Gamma _{{\text{pignon}}\,\leftarrow \,{\text{roue}}\,2}(t)={\dfrac {\Gamma (t)}{n}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$».      Application du théorème du moment cinétique scalaire à chaque roue relativement à l'axe de chacune : la roue arrière $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;2{\big )}\;$ soumise aux actions extérieures, le « couple que le pignon de la roue arrière exerce sur celle-ci de moment scalaire $\;\Gamma _{{\text{pignon}}\,\rightarrow \,{\text{roue}}\,2}(t)\;$ relativement à l'axe de la roue » et la « réaction du sol $\;{\vec {R}}_{2}=R_{2,\,z}\;{\vec {u}}_{z}+{\overline {R}}_{2,\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ de moment scalaire relativement à l'axe de la roue $\;{\mathcal {M}}_{C_{2}y}\!\left[{\vec {R}}_{2}(t)\right]=-{\overline {R}}_{2,\,x}\;R\;$» $\;{\big [}R_{2,\,z}\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant de bras de levier nul et $\;{\overline {R}}_{2,\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ tendant à faire tourner la roue dans le sens $\;-\;$ avec un bras de levier $\;R{\big ]}\;$ soit «$\;{\mathcal {M}}_{C_{2}y,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{roue}}\,2,\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{C_{2}y,\,{\text{roue}}\,2}}{dt}}(t)\;$» ou, l'inertie de la roue étant négligeable $\Rightarrow$ $\;\sigma _{C_{2}y,\,{\text{roue}}\,2}(t)=0\;$ quelle que soit la vitesse de rotation, la réécriture du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à la roue arrière relativement à l'axe de cette dernière «$\;{\dfrac {\Gamma (t)}{n}}-{\overline {R}}_{2,\,x}\;R=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {d}}_{2}\right)\;$» ;           Application du théorème du moment cinétique scalaire à chaque roue relativement à l'axe de chacune : la roue avant $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;1{\big )}\;$ soumise à une seule action extérieure, la « réaction du sol sur la roue avant $\;{\vec {R}}_{1}=$ $R_{1,\,z}\;{\vec {u}}_{z}+{\overline {R}}_{1,\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ de moment scalaire relativement à l'axe de la roue $\;{\mathcal {M}}_{C_{1}y}\!\left[{\vec {R}}_{1}(t)\right]=-{\overline {R}}_{1,\,x}\;R\;$» $\;{\big [}R_{1,\,z}\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant de bras de levier nul et $\;{\overline {R}}_{1,\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ tendant à faire tourner la roue dans le sens $\;-\;$ avec un bras de levier $\;R{\big ]}\;$ soit «$\;{\mathcal {M}}_{C_{1}y,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{roue}}\,1,\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{C_{1}y,\,{\text{roue}}\,1}}{dt}}(t)\;$» ou, l'inertie de la roue étant négligeable $\Rightarrow$ $\;\sigma _{C_{1}y,\,{\text{roue}}\,1}(t)=0\;$ quelle que soit la vitesse de rotation, la réécriture du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à la roue avant relativement à l'axe de cette dernière «$\;-{\overline {R}}_{1,\,x}\;R=0\;$ $\Leftrightarrow \;$ $\;{\overline {R}}_{1,\,x}=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {d}}_{1}\right)\;$».      Application du théorème du moment cinétique scalaire à l'ensemble « cycliste - bicyclette » relativement à un axe parallèle à l'axe des roues ou du pédalier passant par le C.D.I.${\underline {\;G\;}}$de l'ensemble : l'ensemble « cycliste - bicyclette » dont les parties en rotation sont d'inertie négligeable peut être considéré comme un système en translation rectiligne soumis aux actions extérieures, le « poids de l'ensemble $\;m\;{\vec {g}}\;$ appliqué en $\;G\;$», la « réaction du sol sur la roue arrière $\;{\vec {R}}_{2}=R_{2,\,z}\;{\vec {u}}_{z}+{\overline {R}}_{2,\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ appliquée en $\;I_{2}\;$» et la « réaction du sol sur la roue avant $\;{\vec {R}}_{1}=R_{1,\,z}\;{\vec {u}}_{z}+{\overline {R}}_{1,\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ appliquée en $\;I_{1}\;$», les moments scalaires relativement à l'axe $\;Gy\;$ étant «$\;{\mathcal {M}}_{Gy}\!\left[m\;{\vec {g}}\,,\,t\right]=0\;$» $\;{\big [}-m\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant de bras de levier nul${\big ]}$, «$\;{\mathcal {M}}_{Gy}\!\left[{\vec {R}}_{2}(t)\right]=R_{2,\,z}\;b-{\overline {R}}_{2,\,x}\;h\;$» $\;{\big [}R_{2,\,z}\;{\vec {u}}_{z}\;$ tendant à faire tourner l'ensemble dans le sens $\;+\;$ avec un bras de levier $\;b\;$ et $\;{\overline {R}}_{2,\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ tendant à faire tourner la roue dans le sens $\;-\;$ avec un bras de levier $\;h{\big ]}$, «$\;{\mathcal {M}}_{Gy}\!\left[{\vec {R}}_{1}(t)\right]=-R_{1,\,z}\;a-{\overline {R}}_{1,\,x}\;h\;$» $\;{\big [}R_{1,\,z}\;{\vec {u}}_{z}\;$ tendant à faire tourner l'ensemble dans le sens $\;-\;$ avec un bras de levier $\;a\;$ et $\;{\overline {R}}_{1,\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ tendant à faire tourner la roue dans le sens $\;-\;$ avec un bras de levier $\;h{\big ]}\;$ et le moment cinétique scalaire d'un ensemble en translation $\;{\big (}$rectiligne${\big )}\;$ étant nul, l'application, à l'ensemble « cycliste - bicyclette », du théorème du moment cinétique scalaire relativement à l'axe $\;Gy\;$ s'écrit «$\;R_{2,\,z}\;b-{\overline {R}}_{2,\,x}\;h-R_{1,\,z}\;a-{\overline {R}}_{1,\,x}\;h=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {e}}\right)\;$».

     Utilisation des lois empiriques de frottement de glissement de Coulomb : pour que le roulement de la roue $\;k$ $\;{\big (}k=1\;$ pour la roue avant et $\;k=2\;$ pour la roue arrière${\big )}\;$ sur le sol se fasse sans glissement il faut que les « composantes tangentielle et normale de la réaction du sol $\;{\vec {R}}_{k,\,x}(t)={\overline {R}}_{k,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;R_{k,\,z}(t)=R_{k,\,z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» suivent la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de glissement $\;{\big (}$le cœfficient de frottement entre le sol et la roue étant égal à $\;f{\big )}$, à savoir

                    $\;\succ \;$« la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{k,\,x}(t)\;$ est toujours de direction et de sens contraire au mouvement de glissement susceptible de se produire » et

                    $\;\succ \;$$\;\vert {\overline {R}}_{k,\,x}(t)\vert <f\;\vert R_{k,\,z}(t)\vert \;$ ou, $\;R_{k,\,z}(t)\;$ étant nécessairement $\;>0$, «$\;\vert {\overline {R}}_{k,\,x}(t)\vert <f\;R_{k,\,z}(t)\;$» ;

               Utilisation des lois empiriques de frottement de glissement de Coulomb : pour la roue avant $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;1{\big )}$, «$\;\left({\mathfrak {d}}_{1}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overline {R}}_{1,\,x}=0\;$», comme «$\;\vert {\overline {R}}_{1,\,x}(t)\vert <f\;R_{1,\,z}(t)\;$» se réécrit «$\;0<f\;R_{1,\,z}(t)\;$», la condition de non glissement de la roue avant sur le sol est réalisée car $\;R_{1,\,z}(t)\;$ est toujours $\;>0$ ;

               Utilisation des lois empiriques de frottement de glissement de Coulomb : pour la roue arrière $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;2{\big )}$, «$\;\left({\mathfrak {d}}_{2}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overline {R}}_{2,\,x}={\dfrac {\Gamma (t)}{n\;R}}\;$» $\;{\Big [}{\overline {R}}_{2,\,x}>0\;$ correspond à un glissement de la roue arrière sur le sol susceptible de se produire dans le sens contraire de $\;{\vec {u}}_{x}$, c'est-à-dire au fait que la distance parcourue par $\;I_{2}\;$ sur le sol serait $\;<\;$ à celle parcourue par $\;I_{2}\;$ sur la périphérie de la roue, la roue patinant sur le sol${\Big ]}$, la condition de non glissement de la roue arrière sur le sol «$\;\vert {\overline {R}}_{2,\,x}(t)\vert <f\;R_{2,\,z}(t)\;$» nécessite de déterminer $\;R_{2,\,z}(t)\;$ en utilisant les relations $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c l c c}\left({\mathfrak {b}}_{z}\right)\!\!&{\text{:}}&\!\!R_{2,\,z}+R_{1,\,z}-m\;g\!\!&=&\!\!0\\\left({\mathfrak {e}}\right)\!\!&{\text{:}}&\!\!R_{2,\,z}\;b-{\overline {R}}_{2,\,x}\;h-R_{1,\,z}\;a\;{\cancel {-\;{\overline {R}}_{1,\,x}\;h}}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, avec $\;{\overline {R}}_{2,\,x}={\dfrac {\Gamma (t)}{n\;R}}$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c r}R_{2,\,z}+R_{1,\,z}\!\!&=&\!\!m\;g\!\!&{\text{:}}\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\R_{2,\,z}\;b-R_{1,\,z}\;a\!\!&=&\!\!{\dfrac {\Gamma (t)}{n\;R}}\;h\!\!&{\text{:}}\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, en formant «$\;a\;\left({\mathfrak {1}}\right)+\left({\mathfrak {2}}\right)\;$», «$\;R_{2,\,z}={\dfrac {m\;g\;a+{\dfrac {\Gamma (t)}{n\;R}}\;h}{a+b}}\;$» $\Rightarrow$ la condition de non glissement de la roue arrière sur le sol «$\;{\dfrac {\Gamma (t)}{n\;R}}<f\;{\dfrac {m\;g\;a+{\dfrac {\Gamma (t)}{n\;R}}\;h}{a+b}}\;$» soit encore $\;{\dfrac {\Gamma (t)}{n\;R}}\,\left(1-f\;{\dfrac {h}{a+b}}\right)<f\;{\dfrac {m\;g\;a}{a+b}}\;$ se réécrivant «$\;\Gamma (t)<f\;m\;g\;n\;R\;{\dfrac {a}{a+b-f\;h}}\;$» ou «$\;\Gamma (t)<\Gamma _{\text{max}}\;$ avec $\;\Gamma _{\text{max}}=f\;m\;g\;n\;R\;{\dfrac {a}{a+b-f\;h}}\;$»,
«$\;\Gamma _{\text{max}}\;$» étant la valeur maximale du moment scalaire du couple que doit exercer le cycliste sur le pédalier pour que la roue arrière ne patine pas sur le sol lors de son démarrage${\big )}$.

               Utilisation des lois empiriques de frottement de glissement de Coulomb : retour sur la roue avant $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;1{\big )}$ : en formant «$\;b\;\left({\mathfrak {1}}\right)-\left({\mathfrak {2}}\right)\;$», nous trouvons «$\;R_{1,\,z}={\dfrac {m\;g\;b-{\dfrac {\Gamma (t)}{n\;R}}\;h}{a+b}}\;$» établissant une valeur maximale de $\;\Gamma (t)\;$ pour que la roue avant reste en contact avec le sol $\;{\big (}$c'est-à-dire $\;R_{1,\,z}(t)>0{\big )}$ «$\;\Gamma (t)<m\;g\;n\;R\;{\dfrac {b}{h}}\;$».

     Commentaire : La disposition géométrique de l'ensemble « cycliste - bicyclette » pour qu'il existe des valeurs du moment scalaire du couple que doit exercer le cycliste sur le pédalier pour que la roue arrière ne patine pas sur le sol lors de son démarrage pour un sol de cœfficient de frottement de glissement donné est $\;a+b-f\;h>0\;$ ou «$\;{\dfrac {a+b}{h}}>f\;$».

 

Chien marchant transversalement sur un cylindre en contact sans puis avec frottement de glissement sur un plan horizontal, dans ce cas le cylindre roulant sans glisser sur le sol horizontal

Schéma descriptif d'un chien $\;C\;$ marchant transversalement sur un cylindre de révolution en contact sans ou avec frottement de glissement sur le plan horizontal, dans ce dernier cas le cylindre roulant sans glisser sur le sol

     Un chien, modélisé par le point matériel «$\;C\;$», de masse $\;m$, « marche » transversalement sur un cylindre de révolution posé sur le sol horizontal ; le mouvement du chien dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen est tel qu'il maintient sa hauteur $\;h\;$ relativement au sol, « constante » $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$.

     Le cylindre de révolution est de masse $\;M\;$ et de rayon $\;a\;$ et le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme d'intensité $\;g$ $\;{\bigg \{}$le moment d'inertie d'un cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ homogène, de masse $\;m_{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ et de rayon $\;R_{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ par rapport à son axe $\;\Delta \;$ vaut «$\;J_{\Delta }={\dfrac {1}{2}}\;m_{\left({\mathcal {C}}\right)}\;R_{\left({\mathcal {C}}\right)}^{\,2}\;$»${\bigg \}}$.

     Nous nous proposons d'étudier le mouvement du cylindre dans les deux cas particuliers suivants en absence de vitesses initiales.

Cylindre de révolution en contact sans frottement avec le sol horizontal

     Nous nous plaçons dans le cas où le cylindre de révolution est en contact sans frottement avec le plan horizontal, le chien $\;C\;$ « marchant » transversalement sur le cylindre en maintenant sa hauteur $\;h\;$ « constante » relativement au sol ;

     étudier le mouvement du cylindre surchargé du chien $\;C\;$ à l'aide des théorèmes de la résultante cinétique, du moment cinétique scalaire et de la puissance mécanique dans le champ de pesanteur terrestre.

Solution

Schéma descriptif d'un chien $\;C\;$ marchant transversalement sur un cylindre de révolution en contact sans frottement de glissement sur le plan horizontal avec forces extérieures appliquées au système « cylindre - chien »

     Pour étudier le mouvement du système « cylindre - chien » dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen nous associons à ce dernier un repère d'origine $\;O\;$ choisie sur le sol à la verticale de la position initiale du centre $\;O'\;$ de la section droite contenant le chien et de base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ orthonormée directe, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant vertical ascendant, $\;{\vec {u}}_{y}\;$ horizontal $\;\parallel \;$ à l'axe du cylindre de révolution et s'enfonçant dans la section droite $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ son sens définissant le sens $\;+\;$ de rotation éventuelle du cylindre $\;{\big (}$c'est-à-dire le sens horaire de la section droite${\big )}\;$ et $\;{\vec {u}}_{x}\;$ horizontal $\;\perp \;$ à l'axe du cylindre de révolution tel que $\;{\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}$.

     Les forces extérieures appliquées au système « cylindre - chien » étant

• le poids du chien $\;C\;$ «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliqué en $\;C$,
• le poids du cylindre de révolution «$\;M\;{\vec {g}}=-M\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliqué en $\;O'\;$ et
• la réaction du sol sur le cylindre de révolution $\;\perp \;$ au sol en absence de frottement solide et de sens ascendant car s'opposant à la pénétration du cylindre dans le sol soit «$\;{\vec {R}}=R\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;R>0\;$»,

     le théorème de la résultante cinétique appliqué au système « cylindre - chien » dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen donne «$\;\left(M+m\right)\,{\vec {g}}+{\vec {R}}$ $={\dfrac {d\left(M\;{\dot {x}}_{O'}\;{\vec {u}}_{x}+m\;{\vec {V}}_{C}\right)}{dt}}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{C}(t)={\dot {x}}_{O'}(t)\;{\vec {u}}_{x}+\left[\omega (t)+{\dot {\varphi }}(t)\right]\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\overrightarrow {O'C}}\;$» le vecteur vitesse du chien dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ dans lequel $\;\omega (t)\;$ est la vitesse angulaire de rotation propre éventuelle du cylindre autour de son axe et $\;{\dot {\varphi }}(t)\;$ la vitesse angulaire de $\;C\;$ correspondant à la marche transversale du chien sur le cylindre, vitesse définie relativement à la surface périphérique du cylindre $\;{\big \{}$le mouvement du chien dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ étant le composé du mouvement de translation du cylindre et des mouvements de rotation du cylindre par rapport au référentiel barycentrique de ce dernier $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ et de rotation de $\;C\;$ par rapport au référentiel lié au cylindre $\;{\mathcal {R}}_{\text{cyl}}\;$${\big \}}$ ; comme le chien maintient sa hauteur constante par rapport au sol $\;{\bigg \{}$correspondant à $\;\theta =cste$, la valeur de $\;cste\;$ obéissant à $\;h=a\,\left[1+\sin(\theta )\right]\;$ $\Rightarrow$ «$\;\theta =\arcsin \!\left({\dfrac {h-a}{a}}\right)\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0\;$» ${\bigg [}$et à $\;h=a\,\left[1-\sin(\theta )\right]\;$ $\Rightarrow$ «$\;\theta =-\arcsin \!\left({\dfrac {h-a}{a}}\right)\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0\;$»${\bigg ]}{\bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ la vitesse angulaire de sa « marche transversale » sur le cylindre doit compenser celle de rotation propre de ce dernier c'est-à-dire «$\;\omega (t)+{\dot {\varphi }}(t)$ $=0\;\;\forall \;t\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{C}(t)={\dot {x}}_{O'}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$» d'où la réécriture du théorème de la résultante cinétique appliqué au système « cylindre - chien » «$\;\left[-\left(M+m\right)\,g+R\right]\,{\vec {u}}_{z}$ $=\left(M+m\right){\ddot {x}}_{O'}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$»
     dont nous déduisons «$\;R=\left(M+m\right)\,g\;$»,
     dont nous déduisons «$\;{\ddot {x}}_{O'}(t)=0\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dot {x}}_{O'}(t)=cste\;$ soit, « en absence de vitesse initiale, $\;{\dot {x}}_{O'}(t)=0\;$» et
     dont nous déduisons «$\;{\dot {x}}_{O'}(t)=0\;$» $\Rightarrow$ $\;x_{O'}(t)=cste'\;$ soit, « avec $\;O\;$ choisie sur le sol à la verticale de la position initiale du centre $\;O'$, $\;x_{O'}(t)=0\;$» ;
     ainsi la position du système « cylindre - chien » dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen ne change pas au cours du temps.

     L'application du théorème du moment cinétique scalaire au système « cylindre - chien » relativement à l'axe $\;O'y\;$ fixe dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen donne, en tenant compte de l'immobilité rotative de $\;C\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, «$\;{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[M\;{\vec {g}}\,,t\right]+{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[m\;{\vec {g}}\,,t\right]+{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[{\vec {R}}\,,t\right]={\dfrac {d\left(\sigma _{O'y,\,{\text{cyl}}}\;{\cancel {+\;\sigma _{O'y,\,C}}}\right)}{dt}}(t)\;$» ou, avec «$\;\sigma _{O'y,\,{\text{cyl}}}(t)=J_{O'y}\;\omega (t)={\dfrac {1}{2}}\;M\;a^{2}\;\omega (t)\;$», «$\;{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[M\;{\vec {g}}\,,t\right]=0\;$ ainsi que $\;{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[{\vec {R}}\,,t\right]=0\;$» $\;{\big \{}$le bras de levier de $\;M\;{\vec {g}}\;$ et celui de $\;{\vec {R}}\;$ étant nuls${\big \}}\;$ et «$\;{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[m\;{\vec {g}}\,,t\right]=m\;g\;a\;\sin(\theta )\;$» $\;{\Big \{}m\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire tourner le cylindre dans le sens $\;+\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$et dans le sens $\;-\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big )}$, le bras de levier de $\;m\;{\vec {g}}\;$ étant $\;a\;\vert \sin(\theta )\vert =a\;\sin(\theta )\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big [}$ou $\;a\;\vert \sin(\theta )\vert =-a\;\sin(\theta )\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big ]}{\Big \}}\;$ «$\;m\;g\;a\;\sin(\theta )={\dfrac {1}{2}}\;M\;a^{2}\;{\dot {\omega }}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dot {\omega }}(t)={\dfrac {2\;m\;g}{M\;a}}\;\sin(\theta )=cste\;$ du signe de $\;\theta \;$»      soit un mouvement du cylindre de révolution autour de son axe uniformément accéléré dans le sens $\;+\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$et dans le sens $\;-\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big )}$, s'intégrant temporellement, avec un cylindre initialement immobile dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, pour donner une vitesse angulaire de rotation du cylindre de révolution autour de son axe, à l'instant $\;t$, égale à «$\;\omega (t)={\dfrac {2\;m\;g}{M\;a}}\;\sin(\theta )\;t\;$ en absence de vitesse initiale »,      simultanément le chien doit « marcher » dans le sens $\;-\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$et dans le sens $\;+\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big )}$ pour maintenir sa hauteur $\;h\;$ relativement au sol à la vitesse linéaire «$\;v_{C}(t)=a\;{\dot {\varphi }}(t)=-{\dfrac {2\;m\;g}{M}}\;\sin(\theta )\;t\;$ en absence de vitesses initiales »
$\;{\big [}{\dot {\varphi }}(t)=-\omega (t)$, la vitesse angulaire de la « marche » de $\;C\;$ sur le cylindre devant compenser celle de rotation propre de ce dernier${\big ]}$,

     l'augmentation linéaire de $\;\vert v_{C}(t)\vert \;$ aura pour résultat qu'à un certain moment le chien ne pourra plus imposer ce mouvement et il tombera sur le sol à droite du cylindre dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$et à gauche du cylindre si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big )}$.

     Nous nous proposons de retrouver le mouvement du système « cylindre - chien » par utilisation du théorème de la puissance mécanique dans le champ de pesanteur du référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen connaissant l'absence de mouvement de translation du système établie par application du théorème de la résultante cinétique à ce dernier, l'énergie mécanique du système dans le champ de pesanteur terrestre étant définie selon «$\;E_{m}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;J_{O'y}\;\omega ^{2}(t)+M\;g\;a+m\;g\;h={\dfrac {1}{4}}\;M\;a^{2}\;\omega ^{2}(t)+M\;g\;a+m\;g\;h\;$» $\;{\big (}$la référence de l'énergie potentielle de pesanteur étant choisie au niveau du sol${\big )}$, la « puissance mécanique du système $\;{\dot {E}}_{m}(t)\;$ est égale à $\;{\mathcal {P}}_{\text{ext, non cons.}}(t)+{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$» où «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext, non cons.}}(t)={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {V}}_{I}(t)=0\;$» $\;{\big (}$le point de contact $\;I\;$ du cylindre sur le sol étant immobile${\big )}\;$ et «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{C\,\leftarrow \,{\text{cyl}}}(t)\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{cyl}}\,\leftarrow \,C}(t)\right]=$ ${\cancel {{\vec {F}}_{C\,\leftarrow \,{\text{cyl}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{C}(t)\;+}}\;{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{cyl}}\,\leftarrow \,C}(t)\right]\,\omega (t)\;$» $\;{\big (}$la 1^re puissance étant nulle par immobilité de $\;C$, la 2^nde s'écrivant ainsi que le cylindre est en rotation autour d'un axe immobile${\big )}\;$ avec $\;{\vec {F}}_{C\,\leftarrow \,{\text{cyl}}}(t)+m\;{\vec {g}}={\vec {0}}\;$ résultant de l'équilibre de $\;C\;$ et $\;{\vec {F}}_{{\text{cyl}}\,\leftarrow \,C}(t)=-{\vec {F}}_{C\,\leftarrow \,{\text{cyl}}}(t)\;$ par principe des actions réciproques d'où $\;{\vec {F}}_{{\text{cyl}}\,\leftarrow \,C}(t)=m\;{\vec {g}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{cyl}}\,\leftarrow \,C}\right]=m\;g\;a\;\sin(\theta )\;$» $\;{\Big \{}{\vec {F}}_{{\text{cyl}}\,\leftarrow \,C}\;$ tendant à faire tourner le cylindre dans le sens $\;+\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$et dans le sens $\;-\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big )}$, le bras de levier de $\;{\vec {F}}_{{\text{cyl}}\,\leftarrow \,C}\;$ étant $\;a\;\vert \sin(\theta )\vert =a\;\sin(\theta )\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big [}$ou $\;a\;\vert \sin(\theta )\vert =-a\;\sin(\theta )\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big ]}{\Big \}}\;$ soit finalement, la réécriture du théorème de la puissance mécanique dans le champ de pesanteur terrestre appliqué au système « cylindre - chien » dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen «$\;{\dot {E}}_{m}(t)=m\;g\;a\;\sin(\theta )\;\omega (t)\;$ avec $\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{4}}\;M\;a^{2}\;\omega ^{2}(t)+M\;g\;a+m\;g\;h\;$»
$\;\Downarrow \;$ après dérivation temporelle de $\;E_{m}(t)\;$
«$\;{\dfrac {1}{2}}\;M\;a^{2}\;\omega (t)\;{\dot {\omega }}(t)=m\;g\;a\;\sin(\theta )\;\omega (t)\;$» et
après simplification «$\;{\dfrac {1}{2}}\;M\;a\;{\dot {\omega }}(t)=m\;g\;\sin(\theta )\;$»
$\Rightarrow$ «$\;{\dot {\omega }}(t)={\dfrac {2\;m\;g}{M\;a}}\;\sin(\theta )\;$» $\;\ldots$

 

Cylindre de révolution roulant sans glisser sur le sol horizontal

     Nous nous plaçons maintenant dans le cas où le cylindre de révolution est en contact avec frottement de glissement sur le plan horizontal, le chien $\;C\;$ « marchant » transversalement sur le cylindre en maintenant sa hauteur $\;h\;$ « constante » relativement au sol et le cylindre roulant sans glissement sur le sol ;

     étudier le mouvement du cylindre surchargé du chien $\;C\;$ à l'aide du théorème de la résultante cinétique, de la traduction du roulement sans glissement du cylindre sur le sol en termes de vitesse, des théorèmes du moment cinétique scalaire et de la puissance mécanique dans le champ de pesanteur terrestre.

Solution

Schéma descriptif d'un chien $\;C\;$ marchant transversalement sur un cylindre de révolution en contact avec frottement de glissement sur le plan horizontal $\;{\big (}$le cylindre roulant sans glisser sur le sol${\big )}\;$ avec forces extérieures appliquées au système « cylindre - chien »

     Pour étudier le mouvement du système « cylindre - chien » dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen nous associons à ce dernier le même repère d'origine $\;O\;$ choisie sur le sol à la verticale de la position initiale du centre $\;O'\;$ de la section droite contenant le chien et de même base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ orthonormée directe que celle choisie dans la solution de la question précédente.

     Les forces extérieures appliquées au système « cylindre - chien » étant

• le poids du chien $\;C\;$ «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliqué en $\;C$,
• le poids du cylindre de révolution «$\;M\;{\vec {g}}=-M\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» appliqué en $\;O'\;$ et
• la réaction du sol sur le cylindre de révolution «$\;{\vec {R}}={\vec {N}}+{\vec {T}}\;$» dans laquelle «$\;{\vec {N}}=N\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;N>0\;$» et «$\;{\vec {T}}={\overline {T}}\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;{\overline {T}}\;$ algébrique obéissant aux lois empiriques de Coulomb de frottement de glissement » à savoir, en absence de glissement $\;{\big (}$le cœfficient de frottement entre le sol et le cylindre étant égal à $\;f{\big )}$ «$\;{\vec {T}}\;$ toujours de direction et de sens contraire au mouvement de glissement susceptible de se produire » et $\;\vert {\overline {T}}\vert <f\;N\;$» ;

     le théorème de la résultante cinétique appliqué au système « cylindre - chien » dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen donne «$\;\left(M+m\right)\,{\vec {g}}+{\vec {R}}$ $={\dfrac {d\left(M\;{\dot {x}}_{O'}\;{\vec {u}}_{x}+m\;{\vec {V}}_{C}\right)}{dt}}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{C}(t)={\dot {x}}_{O'}(t)\;{\vec {u}}_{x}+\left[\omega (t)+{\dot {\varphi }}(t)\right]\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\overrightarrow {O'C}}\;$» le vecteur vitesse du chien dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ dans lequel $\;\omega (t)\;$ est la vitesse angulaire de rotation propre éventuelle du cylindre autour de son axe et $\;{\dot {\varphi }}(t)\;$ la vitesse angulaire de $\;C\;$ correspondant à la marche transversale du chien sur le cylindre, vitesse définie relativement à la surface périphérique du cylindre $\;{\big \{}$le mouvement du chien dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ étant le composé du mouvement de translation du cylindre et des mouvements de rotation du cylindre par rapport au référentiel barycentrique de ce dernier $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ et de rotation de $\;C\;$ par rapport au référentiel lié au cylindre $\;{\mathcal {R}}_{\text{cyl}}\;$${\big \}}$ ; comme le chien maintient sa hauteur constante par rapport au sol $\;{\bigg \{}$correspondant à $\;\theta =cste$, la valeur de $\;cste\;$ obéissant à $\;h=a\,\left[1+\sin(\theta )\right]\;$ $\Rightarrow$ «$\;\theta =\arcsin \!\left({\dfrac {h-a}{a}}\right)\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0\;$» ${\bigg [}$et à $\;h=a\,\left[1-\sin(\theta )\right]\;$ $\Rightarrow$ «$\;\theta =-\arcsin \!\left({\dfrac {h-a}{a}}\right)\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0\;$»${\bigg ]}{\bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ la vitesse angulaire de sa « marche transversale » sur le cylindre doit compenser celle de rotation propre de ce dernier c'est-à-dire «$\;\omega (t)+{\dot {\varphi }}(t)$ $=0\;\;\forall \;t\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{C}(t)={\dot {x}}_{O'}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$» d'où la réécriture du théorème de la résultante cinétique appliqué au système « cylindre - chien » «$\;\left[-\left(M+m\right)\,g+N(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}+{\overline {T}}(t)\;{\vec {u}}_{x}=\left(M+m\right){\ddot {x}}_{O'}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$» dont nous déduisons «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}N(t)=\left(M+m\right)\,g\;\;\qquad {\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}_{z}\right)\\{\overline {T}}(t)=\left(M+m\right)\,{\ddot {x}}_{O'}(t)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}_{x}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Le roulement sans glissement du cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ sur le plan horizontal $\;\left(xOy\right)\;$ se traduit selon «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {C}}}(t)={\vec {V}}_{I\,\in \,\left(xOy\right)}(t)\;$» avec

• «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,\left(xOy\right)}(t)={\vec {0}}\;$» $\;{\big \{}I\;\in \;\left(xOy\right)\;$ considéré à l'instant $\;t\;$ étant, par définition, immobile relativement au plan horizontal${\big \}}\;$ et
• «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,({\mathcal {C}})}(t)={\vec {V}}_{O'}(t)+\omega (t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\overrightarrow {O'I}}={\dot {x}}_{O'}(t)\;{\vec {u}}_{x}+\omega (t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge \left(-a\;{\vec {u}}_{z}\right)\;$» ${\big \{}$le mouvement de $\;I\;\in \;({\mathcal {C}})\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation $\;{\vec {V}}_{O'}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ et d'une rotation de vecteur rotation instantanée $\;\omega (t)\;{\vec {u}}_{y}\;$ autour de $\;{\overrightarrow {O'y}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{O'}$ $\;{\big (}$le référentiel lié à $\;O'\;$ en translation relativement à $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}{\big )}{\big \}}\;$ ou «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,({\mathcal {C}})}(t)=\left[{\dot {x}}_{O'}(t)-a\;\omega (t)\right]\,{\vec {u}}_{x}\;$»,

     d'où le lien recherché traduisant le roulement sans glissement du cylindre de révolution $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ sur le plan horizontal «$\;{\dot {x}}_{O'}(t)-a\;\omega (t)=0\;\;\forall \;t\;$» se réécrivant «$\;{\dot {x}}_{O'}(t)=a\;\omega (t)\;\;\forall \;t\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».      L'application du théorème du moment cinétique scalaire au système « cylindre - chien » relativement à l'axe $\;O'y\;$ en translation dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen $\;{\big (}$version du théorème du moment cinétique scalaire applicable à un système par rapport à un axe en translation dans un référentiel galiléen${\big )}\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[M\;{\vec {g}}\,,t\right]+{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[m\;{\vec {g}}\,,t\right]+{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[{\vec {R}}\,,t\right]={\dfrac {d\left(\sigma _{O'y,\,\left({\mathcal {C}}\right)}+\sigma _{O'y,\,C}\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {V}}_{O'}(t)\right]\cdot {\vec {P}}_{({\mathcal {C}})\,\cup \,C}(t)\;$» ou, avec «$\;\sigma _{O'y,\,C}(t)=\left\lbrace {\overrightarrow {O'C}}\wedge \left[m\;{\dot {x}}_{O'}(t)\;{\vec {u}}_{x}\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{y}=m\;a\;\cos(\theta )\;{\dot {x}}_{O'}(t)\;$» $\;{\Big \{}$le sens de $\;m\;{\dot {x}}_{O'}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ correspondant au sens $\;+\;$ dans la mesure où $\;{\dot {x}}_{O'}(t)\;$ est $\;>0$ ou encore $\;\theta >0$ $\;{\big (}$et au sens $\;-\;$ si $\;{\dot {x}}_{O'}(t)\;$ est $\;<0\;$ c'est-à-dire $\;\theta <0{\big )}$, le bras de levier de $\;m\;{\dot {x}}_{O'}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant $\;a\;\cos(\theta )\;$ que $\;\theta \;$ soit $\;>0$ $\;{\big [}$ou $\;<0{\big ]}{\Big \}}$, «$\;\sigma _{O'y,\,\left({\mathcal {C}}\right)}(t)=J_{O'y}\;\omega (t)={\dfrac {1}{2}}\;M\;a^{2}\;\omega (t)\;$», «$\;{\vec {P}}_{({\mathcal {C}})\,\cup \,C}(t)=\left(M+m\right)\,{\dot {x}}_{O'}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {V}}_{O'}(t)\right]\cdot {\vec {P}}_{({\mathcal {C}})\,\cup \,C}(t)=0\;$» par nullité d'un produit mixte de trois vecteurs dont deux sont colinéaires, «$\;{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[M\;{\vec {g}}\,,t\right]=0\;$» $\;{\big \{}$le bras de levier de $\;M\;{\vec {g}}\;$ étant nul${\big \}}$, «$\;{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[{\vec {R}}\,,t\right]=-{\overline {T}}(t)\;a\;$» $\;{\big \{}$le bras de levier de $\;{\vec {N}}(t)\;$ étant nul, ${\vec {T}}\;$ tendant à faire tourner le cylindre dans le sens $\;-\;$ si $\;{\overline {T}}(t)\;$ est $\;>0$ $\;{\big [}$ et dans le sens $\;+\;$ si $\;{\overline {T}}(t)\;$ est $\;<0{\big ]}\;$ avec un bras de levier égal à $\;a{\big \}}\;$ et «$\;{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[m\;{\vec {g}}\,,t\right]=m\;g\;a\;\sin(\theta )\;$» $\;{\Big \{}m\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire tourner le cylindre dans le sens $\;+\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$et dans le sens $\;-\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big )}$, le bras de levier de $\;m\;{\vec {g}}\;$ étant $\;a\;\vert \sin(\theta )\vert =a\;\sin(\theta )\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big [}$ou $\;a\;\vert \sin(\theta )\vert =-a\;\sin(\theta )\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big ]}{\Big \}}$, «$\;m\;g\;a\;\sin(\theta )-{\overline {T}}(t)\;a={\dfrac {1}{2}}\;M\;a^{2}\;{\dot {\omega }}(t)+m\;a\;\cos(\theta )\;{\ddot {x}}_{O'}(t)\;$» se simplifiant en «$\;m\;g\;\sin(\theta )-{\overline {T}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;M\;a\;{\dot {\omega }}(t)+m\;\cos(\theta )\;{\ddot {x}}_{O'}(t)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$» ;      de la relation «$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;{\text{:}}\;{\dot {x}}_{O'}(t)=a\;\omega (t)\;$» nous déduisons, par dérivation temporelle, «$\;{\ddot {x}}_{O'}(t)=a\;{\dot {\omega }}(t)\;$» que nous reportons dans la relation «$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;{\text{:}}\;m\;g\;\sin(\theta )-{\overline {T}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;M\;a\;{\dot {\omega }}(t)+m\;\cos(\theta )\;{\ddot {x}}_{O'}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;m\;g\;\sin(\theta )-{\overline {T}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;M\;a\;{\dot {\omega }}(t)+m\;a\;\cos(\theta )\;{\dot {\omega }}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;m\;g\;\sin(\theta )-{\overline {T}}(t)={\dfrac {M+2\;m\;\cos(\theta )}{2}}\;a\;{\dot {\omega }}(t)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$» puis dans la relation «$\;\left({\mathfrak {a}}_{x}\right)\;{\text{:}}\;{\overline {T}}(t)=\left(M+m\right)\,{\ddot {x}}_{O'}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overline {T}}(t)=$ $\left(M+m\right)\,a\;{\dot {\omega }}(t)\;$», cette dernière expression injectée dans la relation «$\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;{\text{:}}\;m\;g\;\sin(\theta )-{\overline {T}}(t)={\dfrac {M+2\;m\;\cos(\theta )}{2}}\;a\;{\dot {\omega }}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;m\;g\;\sin(\theta )-\left(M+m\right)\,a\;{\dot {\omega }}(t)={\dfrac {M+2\;m\;\cos(\theta )}{2}}\;a\;{\dot {\omega }}(t)\;$» soit finalement «$\;m\;g\;\sin(\theta )={\dfrac {3\;M+2\;m\,\left[1+\cos(\theta )\right]}{2}}\;a\;{\dot {\omega }}(t)\;$» dont nous déduisons l'accélération angulaire de rotation du cylindre de révolution «$\;{\dot {\omega }}(t)={\dfrac {2\;m\;\sin(\theta )}{3\;M+2\;m\,\left[1+\cos(\theta )\right]}}\;{\dfrac {g}{a}}=cste\;$ du signe de $\;\theta \;$»      soit un mouvement du cylindre de révolution autour de son axe uniformément accéléré dans le sens $\;+\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$et dans le sens $\;-\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big )}$, s'intégrant temporellement, avec un cylindre initialement immobile dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, pour donner une vitesse angulaire de rotation du cylindre de révolution autour de son axe, à l'instant $\;t$, égale à «$\;\omega (t)={\dfrac {2\;m\;\sin(\theta )}{3\;M+2\;m\,\left[1+\cos(\theta )\right]}}\;{\dfrac {g}{a}}\;t\;$ en absence de vitesse initiale »,      le cylindre de révolution se déplaçant d'un mouvement de translation rectiligne uniformément varié dans le sens $\;+\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$et dans le sens $\;-\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big )}$ à la vitesse instantanée égale à «$\;{\dot {x}}_{O'}(t)={\dfrac {2\;m\;\sin(\theta )}{3\;M+2\;m\,\left[1+\cos(\theta )\right]}}\;g\;t\;$ en absence de vitesse initiale »,      pendant ce temps le chien doit « marcher » dans le sens $\;-\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$et dans le sens $\;+\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big )}$ pour maintenir sa hauteur $\;h\;$ relativement au sol à la vitesse linéaire définie dans le référentiel lié au cylindre $\;{\mathcal {R}}_{\text{cyl}}\;$«$\;v_{C,\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{cyl}}}(t)=a\;{\dot {\varphi }}(t)=-{\dfrac {2\;m\;\sin(\theta )}{3\;M+2\;m\,\left[1+\cos(\theta )\right]}}\;g\;t\;$ en absence de vitesses initiales »
$\;{\big [}{\dot {\varphi }}(t)=-\omega (t)$, la vitesse angulaire de la « marche » de $\;C\;$ sur le cylindre devant compenser celle de rotation propre de ce dernier${\big ]}$,

     l'augmentation linéaire de $\;\vert v_{C,\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{cyl}}}(t)\vert \;$ aura pour résultat qu'à un certain moment le chien ne pourra plus imposer ce mouvement et il tombera sur le sol à droite du cylindre dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$et à gauche du cylindre si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big )}$ avec le risque de se faire écraser par le cylindre $\;\ldots$

     Nous nous proposons de retrouver le mouvement du système « cylindre - chien » par utilisation du théorème de la puissance mécanique dans le champ de pesanteur du référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen connaissant la relation du roulement sans glissement du cylindre en termes de vitesse «$\;{\dot {x}}_{O'}(t)=a\;\omega (t)\;\;\forall \;t\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» et celle déterminant le mouvement de translation du système établie par application du théorème de la résultante cinétique à ce dernier «$\;{\overline {T}}(t)=\left(M+m\right)\,{\ddot {x}}_{O'}(t)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}_{x}\right)\;$», l'énergie mécanique du système dans le champ de pesanteur terrestre étant «$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\,\left(M+m\right)\,{\dot {x}}_{O'}^{\,2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;J_{O'y}\;\omega ^{2}(t)+M\;g\;a+m\;g\;h=$ ${\dfrac {1}{2}}\,\left(M+m\right)\,a^{2}\;\omega ^{2}(t)+{\dfrac {1}{4}}\;M\;a^{2}\;\omega ^{2}(t)+M\;g\;a+m\;g\;h={\dfrac {1}{4}}\,\left(3\;M+2\;m\right)\,a^{2}\;\omega ^{2}(t)+M\;g\;a+m\;g\;h\;$» $\;{\big (}$la référence de l'énergie potentielle de pesanteur étant choisie au niveau du sol${\big )}$, la « puissance mécanique du système $\;{\dot {E}}_{m}(t)\;$ est égale à $\;{\mathcal {P}}_{\text{ext, non cons.}}(t)+{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$» où «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext, non cons.}}(t)={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {V}}_{I\,\in \,({\mathcal {C}})}(t)=0\;$» $\;{\big \{}$le point de contact $\;I\;$ du cylindre $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ roulant sans glissement sur le sol étant de vitesse nulle${\big \}}\;$ et «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{C\,\leftarrow \,({\mathcal {C}})}(t)\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{({\mathcal {C}})\,\leftarrow \,C}(t)\right]={\vec {F}}_{C\,\leftarrow \,({\mathcal {C}})}(t)\cdot {\vec {V}}_{C}(t)+\left\lbrace {\vec {F}}_{({\mathcal {C}})\,\leftarrow \,C}(t)\cdot {\vec {V}}_{O'}(t)+{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[{\vec {F}}_{({\mathcal {C}})\,\leftarrow \,C}(t)\right]\,\omega (t)\right\rbrace ={\cancel {\left[{\vec {F}}_{C\,\leftarrow \,({\mathcal {C}})}(t)+{\vec {F}}_{({\mathcal {C}})\,\leftarrow \,C}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{O'}(t)\;+}}\;{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[{\vec {F}}_{({\mathcal {C}})\,\leftarrow \,C}(t)\right]\,\omega (t)\;$» $\;{\Big \{}{\vec {V}}_{C}(t)={\vec {V}}_{O'}(t)\;$ ayant permis une factorisation scalaire entre les deux 1^ers termes du 2^nd membre avec «$\;{\vec {F}}_{C\,\leftarrow \,({\mathcal {C}})}(t)+{\vec {F}}_{({\mathcal {C}})\,\leftarrow \,C}(t)={\vec {0}}\;$» $\;{\big (}$principe des actions réciproques${\big )}{\Big \}}\;$ avec $\;{\vec {F}}_{C\,\leftarrow \,({\mathcal {C}})}(t)+m\;{\vec {g}}=$ $\;m\;{\ddot {x}}_{C}(t)\;$ résultant de la r.f.d.n. appliquée à $\;C\;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}_{C\,\leftarrow \,({\mathcal {C}})}(t)=-m\;{\vec {g}}+m\;{\ddot {x}}_{O'}(t)\;{\vec {u}}_{x}=-m\;{\vec {g}}+m\;a\;{\dot {\omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;{\vec {F}}_{({\mathcal {C}})\,\leftarrow \,C}(t)=-{\vec {F}}_{C\,\leftarrow \,({\mathcal {C}})}(t)\;$ par principe des actions réciproques d'où «$\;{\vec {F}}_{({\mathcal {C}})\,\leftarrow \,C}(t)=m\;{\vec {g}}-m\;a\;{\dot {\omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{O'y}\!\left[{\vec {F}}_{({\mathcal {C}})\,\leftarrow \,C}\right]=m\;g\;a\;\sin(\theta )-m\;a^{2}\;\cos(\theta )\;{\dot {\omega }}(t)\;$» $\;{\Big \{}m\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire tourner le cylindre dans le sens $\;+\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$et dans le sens $\;-\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big )}$, le bras de levier de $\;m\;{\vec {g}}\;$ étant $\;a\;\vert \sin(\theta )\vert =a\;\sin(\theta )\;$ dans la mesure où $\;\theta \;$ est $\;>0$ $\;{\big [}$ou $\;a\;\vert \sin(\theta )\vert =-a\;\sin(\theta )\;$ si $\;\theta \;$ est $\;<0{\big ]}\;$ et $\;-m\;a\;{\dot {\omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ tendant à faire tourner le cylindre dans le sens $\;-\;$ si $\;{\dot {\omega }}(t)\;$ est $\;>0$ $\;{\big (}$et dans le sens $\;+\;$ si $\;{\dot {\omega }}(t)\;$ est $\;<0{\big )}$, le bras de levier de $\;-m\;a\;{\dot {\omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant $\;a\;\cos(\theta ){\Big \}}\;$ soit finalement, la réécriture du théorème de la puissance mécanique dans le champ de pesanteur terrestre appliqué au système « cylindre - chien » dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen «$\;{\dot {E}}_{m}(t)=m\;g\;a\;\sin(\theta )\;\omega (t)-m\;a^{2}\;\cos(\theta )\;{\dot {\omega }}(t)\;\omega (t)\;$ avec
$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{4}}\,\left(3\;M+2\;m\right)\,a^{2}\;\omega ^{2}(t)+M\;g\;a+m\;g\;h\;$»
$\;\Downarrow \;$ après dérivation temporelle de $\;E_{m}(t)\;$
«$\;{\dfrac {1}{2}}\,\left(3\;M+2\;m\right)\,a^{2}\;\omega (t)\;{\dot {\omega }}(t)=m\;g\;a\;\sin(\theta )\;\omega (t)-m\;a^{2}\;\cos(\theta )\;{\dot {\omega }}(t)\;\omega (t)\;$» et
après simplification «$\;{\dfrac {1}{2}}\,\left\lbrace 3\;M+2\;m\,\left[1+\cos(\theta )\right]\right\rbrace \;a\;{\dot {\omega }}(t)=m\;g\;\sin(\theta )\;$»
$\Rightarrow$ «$\;{\dot {\omega }}(t)={\dfrac {2\;m\;\sin(\theta )}{3\;M+2\;m\,\left[1+\cos(\theta )\right]}}\;{\dfrac {g}{a}}=cste\;$ du signe de $\;\theta \;$» $\;\ldots$

 

Oscillations d'un pendule complexe

Schéma descriptif d'un pendule complexe plan constitué d'une tige $\;OC\;$ et d'un disque $\;{\mathcal {D}}\;$ pouvant tourner autour de son centre $\;C\;$ en roulant sans glisser sur un cylindre de révolution $\;{\mathcal {A}}$, fixe, d'axe passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ au plan du pendule

     Soit à étudier les oscillations du pendule complexe $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ plan $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ constitué

• d'une tige homogène $\;OC$, de masse $\;m$, de longueur $\;2\;R$, de moment d'inertie par rapport à un axe $\;\Delta _{O}\perp \;$ passant par son extrémité $\;O\;$ «$\;J_{\Delta _{O}}\;$» $\;{\bigg [}$nous admettrons que le moment d'inertie d'une tige $\;{\mathcal {T}}$, homogène, de masse $\;m_{\mathcal {T}}\;$ et de longueur $\;{\mathit {l}}_{\mathcal {T}}\;$ relativement à un axe $\;\perp \;$ passant par une de ses extrémités vaut $\;{\dfrac {1}{3}}\;m_{\mathcal {T}}\;{\mathit {l}}_{\mathcal {T}}^{\,2}{\bigg ]}\;$ pouvant tourner sans frottements dans un plan vertical fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen, la rotation se faisant autour d'un pivot idéal d'axe horizontal passant par $\;O\;$ et orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{y}$, la base cartésienne du repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ «$\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$» étant orthonormée directe avec $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vecteur vertical descendant et $\;{\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}\;$ vecteur horizontal du plan vertical du mouvement de la tige et
• d’un disque $\;{\mathcal {D}}$, homogène, de même masse $\;m\;$ que la tige, de centre $\;C$, de rayon $\;R$, de moment d’inertie par rapport à son axe $\;\Delta _{C}\;$ «$\;I_{\Delta _{C}}\;$» $\;{\bigg [}$nous admettrons que le moment d'inertie d'un disque $\;{\mathcal {D}}$, homogène, de masse $\;m_{\mathcal {D}}\;$ et de rayon $\;R_{\mathcal {D}}\;$ relativement à son axe vaut $\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{\mathcal {D}}\;R_{\mathcal {D}}^{\,2}{\bigg ]}$, articulé en $\;C$, sur la tige $\;OC$, par une liaison pivot idéale maintenant $\;{\mathcal {D}}$ dans le plan vertical $\;zOx\;$ du mouvement de la tige, l'axe du pivot étant $\;Cy$.

     Au cours du mouvement de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, $\;{\mathcal {D}}\;$ roule sans glisser sur un cylindre de révolution $\;{\mathcal {A}}$, fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, d’axe $\;\left(Oy\right)\;$ et de rayon $\;R$ ; de plus nous supposons le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}=g\;{\vec {u}}_{z}\;$ uniforme $\;{\big (}g\;$ étant l'intensité de la pesanteur${\big )}$.

     Pour étudier le mouvement de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, nous repérons la tige $\;OC\;$ relativement à l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ vertical descendant dans le plan $\;zOx\;$ de son mouvement, par l'angle algébrisé $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,,\,{\overrightarrow {OC}}\right)}}\;$ orienté dans le sens anti-horaire du plan $\;zOx$ $\;{\big (}$le sens $\;+\;$ étant en accord avec celui du vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{y}\perp \;$ au plan${\big )}$.

Détermination de l'intégrale 1^re énergétique en θ(t) du mouvement du pendule complexe

     Établir le lien $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ traduisant le roulement sans glissement du disque $\;{\mathcal {D}}\;$ sur le cylindre de révolution $\;{\mathcal {A}}$ $\;{\big (}$fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}{\big )}\;$ entre
        Établir le lien (a) la composante orthoradiale du vecteur vitesse du centre $\;C\;$ du disque dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ «$\;V_{C}(t)={\vec {V}}_{C}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» $\;{\Big \{}\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$ étant la base polaire lié à $\;C\;$ dans le repérage polaire de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ du plan $\;zOx{\Big \}}\;$ et
        Établir le lien (a) sa vitesse angulaire «$\;\omega (t)\;$» de rotation propre autour de l'axe horizontal $\;{\overrightarrow {Cy}}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{C}\;$ lié à $\;C\;$ en translation relativement à $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$.

     Exprimer l'énergie cinétique du disque $\;{\mathcal {D}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ en admettant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $\;{\big (}$ou 2^ème théorème de Kœnig${\big )}\;$ appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique à savoir
     ${\bigg \{}$l'énergie cinétique du système continu de matière évaluée à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;K({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme
       $\;\succ \;$de l'énergie cinétique barycentrique du système «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évaluée à l'instant $\;t\;$ et
       $\;\succ \;$de l'énergie cinétique du C.D.I. $\;G\;$ du système évaluée au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ $\;{\big [}$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»
        soit, mathématiquement «$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$»${\bigg \}}$,

     exprimer l'énergie cinétique du pendule complexe $\;{\mathcal {S}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ en fonction de «$\;m$, $\;R\;$ et $\;{\dot {\theta }}(t)\;$»,

     exprimer l'énergie potentielle de pesanteur «$\;U_{\text{pes}}(t)\;$» du pendule complexe $\;{\mathcal {S}}\;$ en fonction de «$\;m$, $\;g$, $\;R\;$ et $\;\theta (t)\;$» puis

     exprimer l'énergie mécanique dans le champ de pesanteur terrestre «$\;E_{m}(t)\;$» du pendule complexe $\;{\mathcal {S}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ en fonction de «$\;m$, $\;g$, $\;R$, $\;\theta (t)\;$ et $\;{\dot {\theta }}(t)\;$».

     Montrer que le pendule complexe $\;{\mathcal {S}}\;$ est un système « à mouvement conservatif » et expliciter l'intégrale 1^re énergétique $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ en $\;\theta (t)\;$ qui en découle avec les C.I. «$\;\left\lbrace \theta (0)=\theta _{0}\,,\,{\dot {\theta }}(0)=0\right\rbrace \;$».

     Vérifier que le pendule complexe $\;{\mathcal {S}}\;$ est effectivement un oscillateur $\;{\big (}$on rappellera la méthode d'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique expliquant la nature oscillatoire du pendule${\big )}$.

Solution

     Le roulement sans glissement du disque $\;{\mathcal {D}}\;$ sur le cylindre de révolution $\;{\mathcal {A}}\;$ se traduit selon «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)={\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {A}}}(t)\;$» avec

• «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {A}}}(t)={\vec {0}}\;$» $\;{\big \{}I\;\in \;{\mathcal {A}}\;$ considéré à l'instant $\;t\;$ étant, par définition, immobile relativement au référentiel d'étude ${\mathcal {R}}_{\text{lab}}{\big \}}\;$ et
• «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)={\vec {V}}_{C}(t)+\omega (t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\overrightarrow {CI}}=V_{C}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+\omega (t)\;{\vec {u}}_{y}\wedge \left(-R\;{\vec {u}}_{r}\right)\;$» ${\big \{}$le mouvement de $\;I\;\in \;{\mathcal {D}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ résultant de la composition d'une translation circulaire de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{C}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ et d'une rotation de vecteur rotation instantanée $\;\omega (t)\;{\vec {u}}_{y}\;$ autour de $\;{\overrightarrow {Cy}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$ $\;{\big (}$le référentiel barycentrique du disque $\;{\mathcal {D}}\;$${\big )}{\big \}}\;$ ou «$\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)=\left[V_{C}(t)-R\;\omega (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }\;$»,

     d'où le lien recherché traduisant le roulement sans glissement du disque $\;{\mathcal {D}}\;$ sur le cylindre de révolution $\;{\mathcal {A}}\;$ «$\;V_{C}(t)(t)-R\;\omega (t)=0\;\;\forall \;t\;$» se réécrivant «$\;V_{C}(t)=R\;\omega (t)\;\;\forall \;t\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$», ou
avec «$\;V_{C}(t)=2\;R\;{\dot {\theta }}(t)\;$» traduisant la nature circulaire de rayon $\;OC=2\;R$, de vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ de $\;C$,
«$\;2\;R\;{\dot {\theta }}(t)-R\;\omega (t)=0\;\;\forall \;t\;$ $\Leftrightarrow$ $\;2\;{\dot {\theta }}(t)=\omega (t)\;\;\forall \;t\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$».

     L'énergie cinétique du pendule complexe $\;{\mathcal {S}}$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ «$\;K_{\mathcal {S}}(t)\;$» est la somme de

• l'énergie cinétique de la tige homogène $\;OC\;$ en rotation autour de l'axe $\;Oy=\Delta _{O}\;$ à la vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ «$\;K_{OC}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta _{O}}={\dfrac {1}{3}}\;m\,\left(2\;R\right)^{2}={\dfrac {4}{3}}\;m\;R^{2}\;$ le moment d'inertie de la tige homogène $\;OC\;$ relativement à l'axe $\;\Delta _{O}\perp \;$ à la tige et passant par une de ses extrémités $\;O\;$» soit encore «$\;K_{OC}(t)={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» et de
• l'énergie cinétique du disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ roulant sans glisser sur le cylindre de révolution $\;{\mathcal {A}}\;$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ «$\;K_{\mathcal {D}}(t)=K_{\mathcal {D}}^{\,*}(t)+K\!(C,\,t)=K_{\mathcal {D}}^{\,*}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{C}^{\,2}(t)\;$» par application du 2^ème théorème de Kœnig dans laquelle
  $\;\succ \;$«$\;K_{\mathcal {D}}^{\,*}(t)={\dfrac {1}{2}}\;I_{\Delta _{C}}\;\omega ^{2}(t)\;$ est l'énergie cinétique barycentrique de $\;{\mathcal {D}}\;$ en rotation à la vitesse angulaire $\;\omega (t)\;$ autour de $\;Cy=\Delta _{C}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel barycentrique du disque $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ » avec «$\;I_{\Delta _{C}}$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$ le moment d'inertie du disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à son axe $\;\Delta _{C}\;$» soit encore, avec la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;{\text{:}}\;\omega (t)=2\;{\dot {\theta }}(t)\;\;\forall \;t$, «$\;K_{\mathcal {D}}^{\,*}(t)=m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» et
  $\;\succ \;$«$\;K\!(C,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{C}^{\,2}(t)\;$ l'énergie cinétique du C.D.I. $\;C\;$ de $\;{\mathcal {D}}\;$ en mouvement circulaire à la vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ autour de $\;Oy=\Delta _{O}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ » avec «$\;{\vec {V}}_{C}(t)=$ $\left(2\;R\right)\,{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» soit, «$\;K\!(C,\,t)=2\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$»
  $\;\succ \;$d'où «$\;K_{\mathcal {D}}(t)=K_{\mathcal {D}}^{\,*}(t)+K\!(C,\,t)=m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)+2\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)=3\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$»,

     $\Rightarrow$ l'énergie cinétique du pendule complexe $\;{\mathcal {S}}$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ s'évalue selon «$\;K_{\mathcal {S}}(t)=K_{OC}(t)+K_{\mathcal {D}}(t)={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)+3\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» soit finalement «$\;K_{\mathcal {S}}(t)={\dfrac {11}{3}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$».

     L'énergie potentielle de pesanteur du pendule complexe $\;{\mathcal {S}}$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ «$\;U_{{\text{pes}}\,{\mathcal {S}}}(t)\;$» est la somme de

• l'énergie potentielle de pesanteur de la tige homogène $\;OC\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ «$\;U_{{\text{pes}}\,OC}(t)=-m\;g\;z_{G_{OC}}(t)+cste\;$» où «$\;z_{G_{OC}}(t)=R\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$ est la cote du C.D.I. $\;G_{OC}\;$ de la tige homogène $\;OC$, milieu de cette dernière » soit encore «$\;U_{{\text{pes}}\,OC}(t)=m\;g\;R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ en prenant la position $\;\theta =0\;$ comme référence » et de
• l'énergie potentielle de pesanteur du disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ «$\;U_{{\text{pes}}\,{\mathcal {D}}}(t)=-m\;g\;z_{C}(t)+cste\;$» où «$\;z_{C}(t)=2\;R\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$ est la cote du C.D.I. $\;C\;$ du disque homogène $\;{\mathcal {D}}$, centre de ce dernier » soit encore «$\;U_{{\text{pes}}\,{\mathcal {D}}}(t)=2\;m\;g\;R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ en prenant encore la position $\;\theta =0\;$ comme référence »

     $\Rightarrow$ l'énergie potentielle de pesanteur du pendule complexe $\;{\mathcal {S}}$, à l'instant $\;t$, dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ s'évalue selon «$\;U_{{\text{pes}}\,{\mathcal {S}}}(t)=U_{{\text{pes}}\,OC}(t)+U_{{\text{pes}}\,{\mathcal {D}}}(t)=m\;g\;R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +2\;m\;g\;R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» avec «$\;\theta =0\;$ comme référence » soit finalement «$\;U_{{\text{pes}}\,{\mathcal {S}}}(t)=3\;m\;g\;R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» avec «$\;\theta =0\;$ comme référence ».      Nous en déduisons l'énergie mécanique du pendule complexe $\;{\mathcal {S}}$, à l'instant $\;t$, dans le champ de pesanteur terrestre du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ «$\;E_{m}(t)=K_{\mathcal {S}}(t)+U_{{\text{pes}}\,{\mathcal {S}}}(t)\;$» soit finalement «$\;E_{m}(t)={\dfrac {11}{3}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\ +3\;m\;g\;R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» avec
«$\;\theta =0\;$ comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur ».

     Les seules actions extérieures non conservatives s'exerçant sur le pendule complexe $\;{\mathcal {S}}\;$ étant celles du pivot idéal se réduisant en $\;O\;$ en une « résultante $\;{\vec {R}}(t)\;$ et un couple de moment vectoriel $\;{\vec {\Gamma }}(t)\perp \;$ à $\;Oy\;$» développant une puissance «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\,,\,{\vec {\Gamma }}(t)\right]={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {V}}_{O}(t)+{\vec {\Gamma }}(t)\cdot {\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}=0\;$» $\;{\Big [}O\;$ étant immobile et $\;{\vec {\Gamma }}(t)\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{y}{\Big ]}\;$ ainsi que

        Les seules actions extérieures non conservatives s'exerçant sur le pendule complexe S étant celle que la réaction $\;{\vec {R}}'(t)\;$ du cylindre de révolution $\;{\mathcal {A}}\;$ exerce sur $\;{\mathcal {S}}\;$ lors du roulement sans glissement de $\;{\mathcal {D}}\;$ sur $\;{\mathcal {A}}\;$ développant une puissance «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}'(t)\right]={\vec {R}}'(t)\cdot {\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)=0\;$» $\;{\Big [}$car $\;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {D}}}(t)={\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {A}}}(t)={\vec {0}}$, $\;{\mathcal {A}}\;$ étant fixe dans ${\mathcal {R}}_{\text{lab}}{\Big ]}\;$ et

     les seules actions intérieures non conservatives s'exerçant entre la tige $\;OC\;$ et le disque $\;{\mathcal {D}}\;$ étant celles que le pivot idéal fixé sur $\;OC\;$ exerce sur $\;{\mathcal {D}}$, actions se réduisant en $\;C\;$ en une « résultante $\;{\vec {R}}''(t)=$ $-R''(t)\,{\vec {u}}_{r}\;$ et un couple de moment vectoriel $\;{\vec {\Gamma }}''\perp \;$ à $\;Cy\;$» développant une puissance «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}''(t)\,,\,{\vec {\Gamma }}''(t)\right]={\vec {R}}''(t)\cdot {\vec {V}}_{C}(t)+{\vec {\Gamma }}''(t)\cdot \left[\omega (t)-{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{y}=0\;$» $\;{\Big [}{\vec {V}}_{C}(t)\;$ étant orthoradial et $\;{\vec {\Gamma }}''(t)\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{y}$, $\;\omega (t)-{\dot {\theta }}(t)\;$ étant la vitesse angulaire de rotation de $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement au pivot${\Big ]}\;$ ainsi que

           les seules actions intérieures non conservatives s'exerçant entre la tige OC et le disque D étant celles que le disque $\;{\mathcal {D}}\;$ exerce sur le pivot idéal fixé sur $\;OC$, se réduisant en $\;C$, par principe des actions réciproques, en une « résultante $\;-{\vec {R}}''(t)=R''(t)\,{\vec {u}}_{r}\;$ et un couple de moment vectoriel $\;-{\vec {\Gamma }}''\perp \;$ à $\;Cy\;$» développant une puissance «$\;{\mathcal {P}}\!\left[-{\vec {R}}''(t)\,,\,-{\vec {\Gamma }}''(t)\right]=-{\vec {R}}''(t)\cdot {\vec {V}}_{C}(t)+-{\vec {\Gamma }}''(t)\cdot \left[{\dot {\theta }}(t)-\omega (t)\right]\,{\vec {u}}_{y}=$ $0\;$» $\;{\Big [}{\dot {\theta }}(t)-\omega (t)\;$ étant la vitesse angulaire de rotation du pivot relativement à $\;{\mathcal {D}}{\Big ]}$,

     nous vérifions que le pendule complexe $\;{\mathcal {S}}\;$ a effectivement un « mouvement conservatif » et par suite que son énergie mécanique est conservée au cours du temps d'où l'intégrale 1^re énergétique «$\;E_{m}(t)=$ $E_{m}(0)\;$» du pendule complexe $\;{\mathcal {S}}\;$ en $\;\theta (t)\;$ qui en découle avec les C.I. «$\;\left\lbrace \theta (0)=\theta _{0}\,,\,{\dot {\theta }}(0)=0\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;E_{m}(0)={\dfrac {11}{3}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(0)\ +3\;m\;g\;R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (0)\right]\right\rbrace =3\;m\;g\;R\,\left[1-\cos \!\left(\theta _{0}\right)\right]\;$» soit «$\;E_{m}(t)={\dfrac {11}{3}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\ +3\;m\;g\;R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =3\;m\;g\;R\,\left[1-\cos \!\left(\theta _{0}\right)\right]=E_{m,\,0}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$»
ou, après normalisation, «$\;{\dot {\theta }}^{2}(t)+{\dfrac {9}{11}}\;{\dfrac {g}{R}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ={\dfrac {9}{11}}\;{\dfrac {g}{R}}\,\left[1-\cos \!\left(\theta _{0}\right)\right]\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$».      L'équation différentielle du 1^er ordre en $\;\theta (t)$ «$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;{\text{:}}\;{\dfrac {11}{3}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\ +3\;m\;g\;R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =3\;m\;g\;R\,\left[1-\cos \!\left(\theta _{0}\right)\right]\;$» dont le 2^nd membre est constant et dont le 1^er est la somme de deux termes, l'un $\;\propto \;$ à $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ correspondant au terme d'énergie cinétique, l'autre indépendant de $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ correspondant au terme d'énergie potentielle, caractérise effectivement un oscillateur car
          le diagramme d'énergie potentielle en fonction du paramètre de position $\;\theta (t)\;$ étant une « courbe sinusoïdale $\;{\big (}$analogue au diagramme d'énergie potentielle d'un pendule pesant${\big )}\;$ avec un minimum d'abscisse $\;\theta =0\;$» et
          celui               d'énergie mécanique en fonction du même paramètre de position étant « au-dessus du précédent pour $\;\theta \,\in \,\left]-\theta _{0}\,,\,+\theta _{0}\right[\;$ dans la mesure où $\;\theta _{0}\;$ est $\;>0\;$»,
          d'où l'existence de deux murs d'énergie potentielle repérés par $\;\pm \theta _{0}\;$ entre lesquels les points génériques des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique restent localisés et par suite
          la nature oscillatoire du mouvement du pendule complexe $\;{\mathcal {S}}\;$ en $\;\theta (t)\;$ mais le « diagramme d'énergie potentielle n'étant pas parabolique », les oscillations sont « non harmoniques ».

     Additif : détermination du moment d'inertie d'une tige homogène relativement à un axe${\underline {\;\perp \;}}$passant par une de ses extrémités : soit une tige $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ homogène, de masse linéique $\;\lambda _{0}$, de longueur $\;{\mathit {l}}\;$ et de masse $\;m$, le moment d'inertie $\;J\;$ de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ relativement à un axe $\;\left(\Delta \right)\;\perp \;$ passant par une de ses extrémités choisie comme origine $\;O\;$ de repérage des points de la tige étant définie par «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;\vert x_{M}\vert ^{2}\;dx_{M}\;$» avec $\;x_{M}={\overline {OM}}\;$ orienté vers l'autre extrémité, soit «$\;J_{\Delta }=\lambda _{0}\;\displaystyle \int _{0}^{+{\mathit {l}}}x_{M}^{\,2}\;dx_{M}=\lambda _{0}\,\left[{\dfrac {x_{M}^{\,3}}{3}}\right]_{0}^{+{\mathit {l}}}$ $=\lambda _{0}\;{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,3}}{3}}\;$» dans laquelle nous pouvons reconnaître la masse de la tige $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ «$\;m=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;dx_{M}\;$» égale à «$\;m=$ $\lambda _{0}\;{\mathit {l}}\;$» d'où «$\;J_{\Delta }={\dfrac {m\;{\mathit {l}}^{\,2}}{3}}\;$» C.Q.F.V.

     Additif : détermination du moment d'inertie d'un disque ${\underline {{\mathcal {D}}\;}}$relativement à son axe${\underline {\;\Delta }}\;$ : soit un disque $\;{\mathcal {D}}\;$ homogène, de masse surfacique $\;\sigma _{0}$, de centre $\;C$, de rayon $\;R\;$ et de masse $\;m$, son moment d'inertie par rapport à son axe $\;\Delta \;$ défini selon «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}\sigma _{0}\;\rho ^{2}\;dS_{M}\;$» soit encore «$\;J_{\Delta }=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{\rho \,=\,0}^{\rho \,=\,R}\rho ^{3}\left[\displaystyle \int _{\theta \,=\,-\pi }^{\theta \,=\,\pi }d\theta \right]\,d\rho =\sigma _{0}\;2\;\pi \;{\dfrac {R^{4}}{4}}=\sigma _{0}\;\pi \;{\dfrac {R^{4}}{2}}\;$» et finalement, la masse de $\;{\mathcal {D}}\;$ étant égale à $\;m=$ $\sigma _{0}\;\pi \;R^{2}$, «$\;J_{\Delta }=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$» C.Q.F.V.

 

Étude des petites oscillations du pendule complexe

     Bien que ce ne soit pas en général simplificateur dans le cas d'un oscillateur non harmonique, déduire de l'intégrale 1^re énergétique, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ du mouvement du pendule complexe $\;{\mathcal {S}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen dans les conditions précédentes de lancement.

     Nous plaçant maintenant dans les conditions de lancement des petites élongations angulaires à savoir «$\;\vert \theta _{0}\vert \ll 1\;$» $\;{\big [}{\dot {\theta }}(0)\;$ étant nulle${\big ]}$,

           Nous plaçant maintenant dans les conditions de lancement des petites élongations angulaires vérifier que l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ du mouvement du pendule complexe $\;{\mathcal {S}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ peut être linéarisée et

           Nous plaçant maintenant dans les conditions de lancement des petites élongations angulaires exprimer le résultat de cette linéarisation ;

           Nous plaçant maintenant dans les conditions de lancement des petites élongations angulaires en déduire la loi horaire $\;\theta (t)\;$ des petites élongations angulaires de $\;{\mathcal {S}}\;$ ainsi que

           Nous plaçant maintenant dans les conditions de lancement des petites élongations angulaires en déduire sa période des petites élongations angulaires $\;T_{0}\;$ en fonction de $\;g\;$ et $\;R$.

Solution

     Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en${\underline {\;\theta (t)\;}}$du mouvement du pendule complexe${\underline {\;{\mathcal {S}}\;}}$dans le référentiel d'étude${\underline {\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;}}$galiléen à partir de l'intégrale 1^re énergétique $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ du mouvement de $\;{\mathcal {S}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$ : pour cela nous dérivons temporellement «$\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;{\text{:}}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)+{\dfrac {9}{11}}\;{\dfrac {g}{R}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ={\dfrac {9}{11}}\;{\dfrac {g}{R}}\,\left[1-\cos \!\left(\theta _{0}\right)\right]\;$» d'où, le membre de droite étant une constante, «$\;2\;{\dot {\theta }}(t)\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {9}{11}}\;{\dfrac {g}{R}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)=0\;$» soit, en simplifiant par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ non identiquement nul et en multipliant par $\;{\dfrac {1}{2}}$, l'expression de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ du mouvement d'oscillation de $\;{\mathcal {S}}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {9}{22}}\;{\dfrac {g}{R}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$».      Le pendule complexe $\;{\mathcal {S}}\;$ étant lâché sans vitesse initiale dans une position où l'angle orienté $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,,\,{\overrightarrow {OC}}\right)}}\;$ est de valeur $\;\theta _{0}\;$ telle que $\;\vert \theta _{0}\vert \ll 1$,
        Le pendule complexe S de nature oscillatrice établie par diagramme d'énergies potentielle et mécanique $\Rightarrow$ «$\;\vert \theta (t)\vert \leqslant \vert \theta _{0}\vert \;\;\forall \;t\;$»,
        Le pendule complexe S nous en déduisons $\;\vert \theta (t)\vert \ll 1\;\;\forall \;t\;$» et, considérant $\;\theta (t)\;$ comme infiniment petit d'ordre un,
        Le pendule complexe S nous faisons un D.L. de l'équation différentielle «$\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {9}{22}}\;{\dfrac {g}{R}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$» à l'ordre un en $\;\theta (t)\;$ et ses dérivées temporelles,
             Le pendule complexe S nous faisons un D.L. en utilisant que le D.L. à l'ordre un de $\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$ est «$\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\simeq \theta (t)\;$»,
             Le pendule complexe S nous faisons un D.L. d'où l'expression de l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ traduisant l'effectivité de la linéarisation de $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {9\;g}{22\;R}}\;\theta (t)=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$»
c'est-à-dire l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti ;      l'oscillateur harmonique dont l'équation différentielle est $\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$ étant de pulsation propre «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {9\;g}{22\;R}}}\;$» nous en déduisons la forme de la loi horaire $\;\theta (t)\;$ des petites élongations angulaires de $\;{\mathcal {S}}\;$ dans son mouvement oscillatoire autour de $\;\Delta _{O}\;$ «$\;\theta (t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$ avec $\;A\;$ et $\;B\;$ constantes à déterminer à l'aide des C.I. $\;\left\lbrace \theta (0)=\theta _{0}\,,\,{\dot {\theta }}(0)=0\right\rbrace \;$» $\Downarrow {\scriptscriptstyle \vdots }$
«$\;\theta (t)=\theta _{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$» ;

     la période des petites élongations angulaires de $\;{\mathcal {S}}\;$ dans son mouvement oscillatoire autour de $\;\Delta _{O}\;$ est «$\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {22\;R}{9\;g}}}\simeq 2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {2,444\;R}{g}}}\;$».

 

Chute de cheminée

Schéma descriptif de la modélisation d'une cheminée de base $\;O\;$ et de sommet $\;C\;$ en basculement autour de $\;O$

     Une cheminée est modélisée par un cylindre homogène de hauteur «$\;H\;$», de rayon $\;\ll \;$ devant $\;H\;$ et de masse «$\;M\;$» ;

     l'équilibre de la cheminée est détruit et elle amorce une rotation autour de sa base «$\;O\;$» dans le plan vertical «$\;xOz\;$» où règne un champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;

     pour l'étude de ce basculement on note «$\;\theta \;$» l'angle algébrisé de la cheminée $\;OC\;$ avec la verticale ascendante plus précisément $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,,\,{\overrightarrow {OC}}\right)}}$, $\;{\big (}C\;$ étant le sommet de la cheminée et le plan vertical $\;xOz\;$ étant orienté par le vecteur unitaire horizontal $\;{\vec {u}}_{y}{\big )}$, le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ étant supposé galiléen.

Étude de la chute de la cheminée dans l'hypothèse où cette dernière reste en un seul bloc

     Dans cette partie la cheminée ne se rompt pas, elle reste un « bloc incassable » $\;{\big (}$c'est-à-dire un solide au sens de la mécanique${\big )}$.

Étude du mouvement du centre d'inertie de la cheminée et déduction de la réaction du sol sur la base de celle-ci

     Préciser la nature de la trajectoire du C.D.I. $\;G\;$ de la cheminée tant que celle-ci reste entière ;

     en déduire sa résultante cinétique $\;{\vec {P}}(t)\;$ en fonction de «$\;M$, $\;H\;$ et $\;{\dot {\theta }}(t)\;$» dans la base polaire du plan $\;zOx\;$ de pôle $\;O\;$ liée à $\;G\;$ «$\;\left({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$» puis

     en déduire la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$ appliquée à la cheminée en appliquant à celle-ci le théorème de la résultante cinétique dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et enfin

     en déduire les composantes $\;\left\lbrace R_{\rho }(t)\,,\,R_{\theta }(t)\,,\,R_{y}(t)\right\rbrace \;$ de la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ du sol appliquée en $\;O\;$ sur la cheminée dans la même base locale, en fonction de «$\;M$, $\;H$, $\;g\;{\big (}$intensité de la pesanteur${\big )}$, $\;\theta (t)$, $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$».

Solution

Schéma descriptif de la modélisation d'une cheminée de base $\;O\;$ et de sommet $\;C\;$ en basculement autour de $\;O\;$ avec représentation des forces extérieures appliquées

     Le C.D.I. $\;G\;$ de la cheminée a, lors du basculement de cette dernière en un seul bloc, une « trajectoire circulaire », dans le plan vertical $\;zOx$, « de centre $\;O\;$» et « de rayon $\;OG=$ ${\dfrac {H}{2}}\;$» $\;{\big (}$le cylindre « cheminée « étant homogène, son C.D.I. se trouve localisé à mi-hauteur${\big )}$ ;

     sa résultante cinétique s'évalue selon «$\;{\vec {P}}(t)=M\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}(G)=M\,\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {OG}}(t)\right]\;$» avec «$\;{\vec {\Omega }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» le vecteur rotation instantanée de la cheminée et «$\;{\overrightarrow {OG}}(t)=$ ${\dfrac {H}{2}}\;{\vec {u}}_{\rho }(t)\;$» le vecteur position de $\;G\;$ à l'instant $\;t\;$ d'où, en tenant compte de «$\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{\rho }(t)={\vec {u}}_{\theta }(t)\;$», l'expression suivante de la résultante cinétique de la cheminée «$\;{\vec {P}}(t)=M\;{\dfrac {H}{2}}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$».      Par définition, la « résultante dynamique d'un système est la résultante des forces extérieures appliquées à ce système notée $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$» et « le théorème de la résultante cinétique nous dit qu’elle est égale, dans un référentiel galiléen, à la dérivée temporelle de la résultante cinétique » d’où l’expression de la résultante dynamique de la cheminée à l'instant $\;t\;$ obtenue par «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)$ $={\dfrac {d{\vec {P}}}{dt}}(t)\;$» avec «$\;{\dfrac {d{\vec {P}}}{dt}}(t)=M\;{\dfrac {H}{2}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+M\;{\dfrac {H}{2}}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)\;$» ou encore, avec «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}={\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\;{\dfrac {d\theta }{dt}}\;$» et «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }\;$», l'expression de la résultante dynamique appliquée à la cheminée à l'instant $\;t\;$ «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\dfrac {d{\vec {P}}}{dt}}(t)=-M\;{\dfrac {H}{2}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+M\;{\dfrac {H}{2}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$».

     les forces extérieures appliquées à la cheminée étant

• son poids «$\;M\;{\vec {g}}=-M\;g\;{\vec {u}}_{z}=-M\;g\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }(t)-\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace \;$» appliqué en $\;G\;$ et
• la réaction du sol «$\;{\vec {R}}(t)=R_{\rho }(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+R_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+R_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» appliquée en $\;O$,

     nous déduisons, en projetant «$\;M\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}\;$» sur chaque vecteur de base cylindro-polaire liée à $\;G\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}-M\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\!\!&+&\!\!R_{\rho }(t)\!\!&=&\!\!-M\;{\dfrac {H}{2}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\\M\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\!\!&+&\!\!R_{\theta }(t)\!\!&=&\!\!M\;{\dfrac {H}{2}}\;{\ddot {\theta }}(t)\\0\!\!&+&\!\!R_{y}(t)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où

• la composante radiale de la réaction du sol sur la cheminée ortho«$\;R_{\rho }(t)=M\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-M\;{\dfrac {H}{2}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}_{\rho }\right)\;$»,
• la composante orthoradiale de la réaction du sol sur la cheminée «$\;R_{\theta }(t)=-M\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+M\;{\dfrac {H}{2}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}_{\theta }\right)\;$» et
• la composante axiale de la réaction du sol sur la cheminée           «$\;R_{y}(t)=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}_{y}\right)\;$».

 

Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en θ(t) du mouvement de basculement de la cheminée

     Par application du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à la cheminée relativement à $\;Oy\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, établir l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ du mouvement de basculement de la cheminée $\;{\bigg [}$on admet que le moment d'inertie d'une tige $\;{\mathcal {T}}\;$ homogène, de masse $\;m_{\mathcal {T}}$, de longueur $\;{\mathit {l}}_{\mathcal {T}}$, relativement à un axe $\;\Delta \;\perp \;$ à la tige en une de ses extrémités vaut $\;J_{\Delta }={\dfrac {1}{3}}\;m_{\mathcal {T}}\;{\mathit {l}}_{\mathcal {T}}^{\,2}{\bigg ]}\;$ puis

     en déduire «$\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ en fonction de $\;\theta (t)\;$» entre autres.

Solution

     L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « cheminée » par rapport à l'axe de rotation $\;Oy=\Delta _{O}\;$ fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen donne

• «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O},\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta _{O}}}{dt}}(t)\;$» avec «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O},\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}\!\left[M\;{\vec {g}}\,,\,t\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]\;$ le moment dynamique scalaire de la cheminée à l'instant $\;t\;$ relativement à $\;\Delta _{O}\;$» et «$\;\sigma _{\Delta _{O}}(t)\;$ le moment cinétique scalaire de la cheminée au même instant $\;t\;$ relativement au même $\;\Delta _{O}\;$» ou encore
• «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O},\,{\text{ext}}}(t)=J_{\Delta _{O}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta _{O}}\;$ le moment d'inertie de la cheminée relativement à $\;\Delta _{O}\;$», soit

     le moment scalaire du poids de la cheminée s'explicitant en «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}\!\left[M\;{\vec {g}}\,,\,t\right]=M\;g\;{\dfrac {H}{2}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$» $\;{\bigg \{}M\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire tourner la cheminée dans le sens $\;+\;$ avec un bras de levier égal à «$\;OG\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=$ ${\dfrac {H}{2}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$»${\bigg \}}$,

     le moment scalaire de la réaction du sol sur la cheminée étant «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]=0\;$» $\;{\big \{}{\vec {R}}(t)\;$ étant de bras de levier nul${\big \}}\;$ et

     le moment d'inertie de la cheminée de masse $\;M$, de hauteur $\;H\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta _{O}\perp \;$ à l'axe de révolution de la cheminée passant par la base de cette dernière, $\;{\big (}$le rayon des sections droites de la cheminée étant $\;\ll H$, la cheminée est modélisable en tige homogène${\big )}\;$ valant «$\;J_{\Delta _{O}}={\dfrac {1}{3}}\;M\;H^{2}\;$»,

     l'application du théorème du moment cinétique scalaire à la cheminée par rapport à son axe de basculement se réécrit «$\;M\;g\;{\dfrac {H}{2}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+0={\dfrac {1}{3}}\;M\;H^{2}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» soit finalement, après normalisation, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ du mouvement de basculement de la cheminée «$\;{\ddot {\theta }}(t)={\dfrac {3\;g}{2\;H}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».

     Additif : détermination du moment d'inertie d'une tige homogène relativement à un axe${\underline {\;\perp \;}}$passant par une de ses extrémités : soit une tige $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ homogène, de masse linéique $\;\lambda _{0}$, de longueur $\;{\mathit {l}}\;$ et de masse $\;m$, le moment d'inertie $\;J\;$ de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ relativement à un axe $\;\left(\Delta \right)\;\perp \;$ passant par une de ses extrémités choisie comme origine $\;O\;$ de repérage des points de la tige étant définie par «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;\vert x_{M}\vert ^{2}\;dx_{M}\;$» avec $\;x_{M}={\overline {OM}}\;$ orienté vers l'autre extrémité, soit «$\;J_{\Delta }=\lambda _{0}\;\displaystyle \int _{0}^{+{\mathit {l}}}x_{M}^{\,2}\;dx_{M}=\lambda _{0}\,\left[{\dfrac {x_{M}^{\,3}}{3}}\right]_{0}^{+{\mathit {l}}}$ $=\lambda _{0}\;{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,3}}{3}}\;$» dans laquelle nous pouvons reconnaître la masse de la tige $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ «$\;m=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;dx_{M}\;$» égale à «$\;m=$ $\lambda _{0}\;{\mathit {l}}\;$» d'où «$\;J_{\Delta }={\dfrac {m\;{\mathit {l}}^{\,2}}{3}}\;$» C.Q.F.V.

 

Détermination d'une intégrale 1^re énergétique du mouvement de basculement de la cheminée

     Vérifier que la cheminée constitue bien un système « à mouvement conservatif » et

     expliciter l'intégrale 1^re énergétique du mouvement de basculement de la cheminée sachant que la cheminée dans sa position initiale, c'est-à-dire verticale, n'a pas de vitesse angulaire $\;{\big (}$on précisera la référence de l'énergie potentielle de pesanteur de la cheminée${\big )}\;$ puis

     en déduire «$\;{\dot {\theta }}(t)\;$ en fonction de $\;\theta (t)\;$» entre autres.

Solution

     Le solide « cheminée » n'étant soumise qu'à deux actions extérieures dont l'une « le poids $\;M\;{\vec {g}}\;$ de la cheminée est conservative » et l'autre « la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ du sol sur la cheminée est non conservative mais ne travaille pas » $\;{\big (}$les actions intérieures développant une puissance globalement nulle dans la mesure où la cheminée est un solide${\big )}$, le système « cheminée » a donc bien un « mouvement conservatif » et
     il y a « conservation de l'énergie mécanique de la cheminée » à savoir «$\;E_{m}(t)=E_{m}(0)\;$» avec «$\;E_{m}(t)=K(t)+U_{\text{pes}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{O}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+M\;g\;z_{G}(t)\;$» $\;{\big (}$la référence de l'énergie potentielle de pesanteur de la cheminée étant choisie en $\;z_{G}=0{\big )}\;$ et «$\;E_{m}(0)=M\;g\;{\dfrac {H}{2}}\;$» $\;{\big (}$en absence de vitesse angulaire initiale, la cheminée étant initialement verticale${\big )}$ ;

     sachant que «$\;z_{G}(t)={\dfrac {H}{2}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$» et «$\;J_{\Delta _{O}}={\dfrac {1}{3}}\;M\;H^{2}\;$» nous en déduisons l'énergie mécanique de la cheminée à l'instant $\;t\;$ «$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{6}}\;M\;H^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)+M\;g\;{\dfrac {H}{2}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$» et par suite l'intégrale 1^re énergétique de la cheminée se réécrit selon «$\;{\dfrac {1}{6}}\;M\;H^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+M\;g\;{\dfrac {H}{2}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=M\;g\;{\dfrac {H}{2}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$» ou,
après normalisation, «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+{\dfrac {3\;g}{H}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=3\;{\dfrac {g}{H}}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}'\right)\;$»,
dont nous tirons «$\;{\dot {\theta }}(t)={\sqrt {{\dfrac {3\;g}{H}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}''\right)\;$».

 

Détermination de l'angle d'inclinaison de la cheminée à partir duquel celle-ci décolle du sol lors de son basculement en un seul bloc

     Réécrire les composantes $\;\left\lbrace R_{\rho }(t)\,,\,R_{\theta }(t)\right\rbrace \;$ de la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ du sol appliquée en $\;O\;$ sur la cheminée dans la base polaire du plan $\;zOx\;$ de pôle $\;O\;$ liée à $\;G\;$ «$\;\left({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$» en fonction de «$\;M$, $\;H$, $\;g$ et $\;\theta (t)\;$» puis

     en déduire la composante verticale $\;R_{z}(t)={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {u}}_{z}\;$ de cette réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ du sol appliquée en $\;O\;$ sur la cheminée ;

     sachant que le contact avec le sol cesse lorsque la composante normale $\;R_{z}(t)\;$ de la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ du sol appliquée en $\;O\;$ s'annule, déterminer la valeur $\;\theta _{1}\;$ de l'angle d'inclinaison $\;\theta \;$ de la cheminée à partir de laquelle la cheminée décolle du sol.

Solution

     En reportant la relation «$\;\left({\mathfrak {c}}''\right)\;{\text{:}}\;\;{\dot {\theta }}(t)={\sqrt {{\dfrac {3\;g}{H}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }}\;$» dans l'expression «$\;\left({\mathfrak {a}}_{\rho }\right)\;$ de la composante radiale de la réaction du sol sur la cheminée $\;R_{\rho }(t)=M\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-M\;{\dfrac {H}{2}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» nous obtenons «$\;R_{\rho }(t)=$ $M\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-M\;{\dfrac {H}{2}}\;{\dfrac {3\;g}{H}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» soit, après simplification évidente, «$\;R_{\rho }(t)={\dfrac {M\;g}{2}}\,\left\lbrace 5\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-3\right\rbrace \;$» ;      en reportant la relation «$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\ddot {\theta }}(t)={\dfrac {3\;g}{2\;H}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$» dans l'expression «$\;\left({\mathfrak {a}}_{\theta }\right)\;$ de la composante orthoradiale de la réaction du sol sur la cheminée $\;R_{\theta }(t)=-M\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+M\;{\dfrac {H}{2}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» nous obtenons «$\;R_{\theta }(t)=$ $-M\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+M\;{\dfrac {H}{2}}\;{\dfrac {3\;g}{2\;H}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$» soit, après simplification évidente, «$\;R_{\theta }(t)=-{\dfrac {M\;g}{4}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$» ;      nous en déduisons la réaction du sol sur la cheminée «$\;{\vec {R}}(t)=R_{\rho }(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+R_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» et par suite sa composante verticale «$\;R_{z}(t)={\vec {R}}(t)\cdot {\vec {u}}_{z}=R_{\rho }(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)\cdot {\vec {u}}_{z}+R_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\cdot {\vec {u}}_{z}\;$» après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {u}}_{z}=\cos(\theta )\\{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {u}}_{z}=-\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace$, «$\;R_{z}(t)=R_{\rho }(t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-R_{\theta }(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$» ou, en y reportant les expressions précédemment établies de $\;R_{\rho }(t)\;$ et $\;R_{\theta }(t)$, «$\;R_{z}(t)={\dfrac {M\;g}{2}}\,\left\lbrace 5\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-3\right\rbrace \,\cos \!\left[\theta (t)\right]+{\dfrac {M\;g}{4}}\;\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {M\;g}{4}}\,\left\lbrace 10\;\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]-6\;\cos \!\left[\theta (t)\right]+\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» soit finalement la réécriture de la composante verticale de la réaction du sol sur la cheminée tant que cette dernière bascule en un seul bloc en restant en contact avec le sol en $\;O$, «$\;R_{z}(t)={\dfrac {M\;g}{4}}\,\left\lbrace 9\;\cos ^{2}\!\left[\theta (t)\right]-6\;\cos \!\left[\theta (t)\right]+1\right\rbrace \;$».

     Le contact de la cheminée avec le sol en $\;O\;$ est maintenu pour les valeurs de $\;\theta \,\in \,\left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ vérifiant «$\;9\;\cos ^{2}(\theta )-6\;\cos(\theta )+1>0\;$»,
     or ce trinôme du 2^ème degré en $\;\cos(\theta )\;$ de discriminant réduit $\;\Delta '=(-3)^{2}-9\times 1=0\;$ se réécrivant «$\;9\;\cos ^{2}(\theta )-6\;\cos(\theta )+1=\left[3\;\cos(\theta )-1\right]^{2}\;$ est $\;>0\;$ pour $\;\theta \,\in \,\left[0\,,\,\theta _{1}\right[\;$», «$\;\theta _{1}\;$ étant la valeur de $\;\theta \,\in \,\left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ annulant le trinôme c'est-à-dire telle que $\;3\;\cos(\theta _{1})-1=0\;$» d'où

     la valeur $\;\theta _{1}\;$ de l'angle d'inclinaison $\;\theta \;$ de la cheminée à partir de laquelle cette dernière décolle du sol lors de son basculement en $\;O\;$ en restant en un seul bloc est «$\;\theta _{1}=\arccos \left({\dfrac {1}{3}}\right)\simeq 70,5\;{\text{°}}\;$».

 

Étude de la chute de la cheminée dans l'hypothèse où cette dernière se brise

Schéma descriptif de la modélisation d'une cheminée de base $\;O\;$ et de sommet $\;C\;$ en basculement autour de $\;O\;$ avec rupture envisagée en un point $\;P\;$ de la cheminée

     Dans cette partie nous envisageons que la cheminée puisse se rompre lors de son basculement, l'étude ci-après précisera les contraintes qu'elle subit lors de cette chute.

     Nous supposerons que toute base de cheminée de « longueur $\;OP=\rho \;$» subit

• l'action du sol en $\;O$,
• l'action de son poids et
• l'action du reste de la cheminée de « longueur $\;PC=H-\rho \;$» sur elle-même, action se réduisant au point $\;P\;$
  $\succ \;$en une force «$\;{\vec {S}}\;$» appliquée en $\;P\;$ de composantes locales $\;\left\lbrace S_{\rho }(t)\,,\,S_{\theta }(t)\,,\,S_{y}(t)\right\rbrace \;$ utilisant la base polaire du plan vertical $\;zOx\;$ de pôle $\;O\;$ liée à $\;P\;$ et
  $\succ \;$en un « couple de moment vectoriel $\;{\vec {C}}=C\;{\vec {u}}_{y}\;$»  ${\big (}$voir l'effet de loupe du schéma ci-contre reproduit à droite${\big )}$.

Détermination de l'effort de cisaillement S_θ en un point quelconque P de la cheminée puis de l'endroit de celle-ci où le risque d'effritement est maximal

     Préliminaire : Dans ce qui suit, nous supposons d'abord que la cheminée bascule en restant en un seul bloc, aussi pouvons nous utiliser tous les résultats de la partie précédente tant que celle-ci reste entière.

     Par application, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, du théorème de la résultante cinétique à la partie $\;OP\;$ de la cheminée, exprimer les composantes locales de l'action $\;{\vec {S}}\;$ du reste de la cheminée $\;PC\;$ sur sa base $\;OP\;$ «$\;\left\lbrace S_{\rho }(t)\,,\,S_{\theta }(t)\,,\,S_{y}(t)\right\rbrace \;$» utilisant la base polaire du plan $\;zOx\;$ de pôle $\;O\;$ liée à $\;P\;$, en fonction de «$\;M$, $\;H$, $\;\rho$, $\;g$, $\;R_{\rho }(t)$, $\;R_{\theta }(t)$, $\;\theta (t)$, $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» ;

     déduire, du mouvement de la partie $\;OP\;$ de la cheminée et des questions précédentes, la composante orthoradiale $\;S_{\theta }(t)\;$ de l'action du reste de la cheminée $\;PC\;$ sur sa base $\;OP\;$ en fonction de «$\;M$, $\;H$, $\;\rho$, $\;g\;$ et $\;\theta (t)\;$», «$\;S_{\theta }(t)\;$» définissant l'« effort de cisaillement de la cheminée en $\;P\;$» ;

     sachant que plus l'effort de cisaillement est grand en valeur absolue en un point $\;P\;$ fixé, plus la cheminée perdra de sa rigidité en ce point $\;P\;$ et plus le risque d'effritement de cette dernière en ce point est important, préciser en quel point la cheminée aura « tendance à s'effriter »  $\;{\big [}$dans l'hypothèse où l'effort de cisaillement maximal en valeur absolue à ne pas dépasser pour qu'il n'y ait pas effritement est le cinquième du poids de la cheminée, indiquer à partir de quelle inclinaison relativement à la verticale la cheminée risque de s'effriter au point précédemment déterminé${\big ]}$.

Solution

Schéma descriptif de la modélisation d'une cheminée de base $\;O\;$ et de sommet $\;C\;$ en basculement autour de $\;O\;$ avec rupture envisagée en un point $\;P\;$ de la cheminée, représentation des actions extérieures appliquées sur la partie inférieure $\;OP\;$ de la cheminée

     Appliquant le théorème de la résultante cinétique à la partie $\;OP\;$ de la cheminée dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, avec pour actions extérieures agissant sur la partie $\;OP\;$ de la cheminée

• son poids «$\;M_{P}\;{\vec {g}}=-M_{P}\;g\;{\vec {u}}_{z}=-M_{P}\;g\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }(t)-\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace \;$» appliqué en $\;G_{P}\;$ le C.D.I. de la partie $\;OP\;$ avec $\;M_{P}=M\;{\dfrac {\rho }{H}}\;$ la masse de cette partie de cheminée de hauteur $\;OP=\rho$,
• la réaction du sol «$\;{\vec {R}}(t)=R_{\rho }(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+R_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+R_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» appliquée en $\;O$, dont l'expression a été déterminée dans la « solution de la question détermination de l'angle d'inclinaison de la cheminée à partir duquel celle-ci décolle du sol lors de son basculement en un seul bloc » à savoir «$\;{\vec {R}}(t)=$ ${\dfrac {M\;g}{4}}\,{\Big \{}\left\lbrace 10\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-6\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }(t)-\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t){\Big \}}\;$» et
• l'action du reste de la cheminée de « longueur $\;PC=H-\rho \;$» sur la partie $\;OP$, action se réduisant au point $\;P\;$ en
  $\succ \;$une force appliquée en $\;P\;$ «$\;{\vec {S}}(t)=S_{\rho }(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+S_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+S_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» utilisant la base polaire du plan vertical $\;zOx\;$ de pôle $\;O\;$ liée à $\;P\;$ et
  $\succ \;$un « couple de moment vectoriel $\;{\vec {C}}=C\;{\vec {u}}_{y}\;$»  $\;{\big (}$voir l'effet de loupe du schéma ci-contre reproduit à droite${\big )}$,

     nous obtenons «$\;M_{P}\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)+{\vec {S}}(t)={\dfrac {d{\vec {P}}_{P}}{dt}}(t)\;$» où «$\;{\vec {P}}_{P}(t)\;$ est la résultante cinétique de la partie $\;OP\;$ de la cheminée à l'instant $\;t\;$», soit encore «$\;{\vec {P}}_{P}(t)=M_{P}\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}(G_{P})=M_{P}\,\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {OG_{P}}}(t)\right]\;$» avec «$\;{\vec {\Omega }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» le vecteur rotation instantanée de la cheminée et «$\;{\overrightarrow {OG_{P}}}(t)=$ ${\dfrac {\rho }{2}}\;{\vec {u}}_{\rho }(t)\;$» le vecteur position de $\;G_{P}\;$ à l'instant $\;t\;$ d'où, en tenant compte de «$\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{\rho }(t)={\vec {u}}_{\theta }(t)\;$», «$\;{\vec {P}}_{P}(t)=$ $M_{P}\;{\dfrac {\rho }{2}}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{P}}{dt}}(t)=M_{P}\;{\dfrac {\rho }{2}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+M_{P}\;{\dfrac {\rho }{2}}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)\;$» ou encore, avec «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}={\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\;{\dfrac {d\theta }{dt}}\;$» et «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }\;$», «$\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{P}}{dt}}(t)=-M_{P}\;{\dfrac {\rho }{2}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+M_{P}\;{\dfrac {\rho }{2}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» ou, en remplaçant «$\;M_{P}\;$ par $\;M\;{\dfrac {\rho }{H}}\;$», la réécriture du théorème de la résultante cinétique appliqué à $\;OP\;$ sous la forme «$\;M\;{\dfrac {\rho }{H}}\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)+{\vec {S}}(t)=-M\;{\dfrac {\rho ^{2}}{2\;H}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+M\;{\dfrac {\rho ^{2}}{2\;H}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» dont

     nous déduisons la « résultante de l'action du reste de la cheminée de $\;PC\;$ sur la partie $\;OP\;$ de cette dernière » «$\;{\vec {S}}(t)=-M\;{\dfrac {\rho }{H}}\;{\vec {g}}-{\vec {R}}(t)-M\;{\dfrac {\rho ^{2}}{2\;H}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+M\;{\dfrac {\rho ^{2}}{2\;H}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» ou encore «$\;{\vec {S}}(t)=$ $M\;{\dfrac {\rho }{H}}\;g\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }(t)-\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace -{\dfrac {M\;g}{4}}\,{\Big \{}\left\lbrace 10\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-6\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }(t)-\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }(t){\Big \}}-M\;{\dfrac {\rho ^{2}}{2\;H}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+M\;{\dfrac {\rho ^{2}}{2\;H}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» soit finalement «$\;{\vec {S}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}S_{\rho }(t)={\dfrac {M}{2}}\,{\Bigg [}g\,\left\lbrace \left[{\dfrac {2\;\rho }{H}}-5\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]+3\right\rbrace -{\dfrac {\rho ^{2}}{H}}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t){\Bigg ]}\\S_{\theta }(t)={\dfrac {M}{4}}\,{\Bigg [}g\,\left\lbrace \left[-{\dfrac {4\;\rho }{H}}+1\right]\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +{\dfrac {2\;\rho ^{2}}{H}}\;{\ddot {\theta }}(t){\Bigg ]}\\S_{y}(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» ;      le mouvement de la cheminée restant le même tant que celle-ci bascule en un seul bloc nous pouvons reporter «$\;{\ddot {\theta }}(t)={\dfrac {3\;g}{2\;H}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» ainsi que «$\;{\dot {\theta }}(t)={\sqrt {{\dfrac {3\;g}{H}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {c}}''\right)\;$» d'où la réécriture des composantes cylindro-polaires de la « résultante de l'action du reste de la cheminée de $\;PC\;$ sur la partie $\;OP\;$ de cette dernière » selon «$\;{\vec {S}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}S_{\rho }(t)={\dfrac {M}{2}}\,{\Bigg [}g\,\left\lbrace \left[{\dfrac {2\;\rho }{H}}-5\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]+3\right\rbrace -{\dfrac {\rho ^{2}}{H}}\;{\dfrac {3\;g}{H}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace {\Bigg ]}\\S_{\theta }(t)={\dfrac {M}{4}}\,{\Bigg [}g\,\left\lbrace \left[-{\dfrac {4\;\rho }{H}}+1\right]\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +{\dfrac {2\;\rho ^{2}}{H}}\;{\dfrac {3\;g}{2\;H}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]{\Bigg ]}\\S_{y}(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$»
ou, après simplification,
«$\;{\vec {S}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}S_{\rho }(t)={\dfrac {M\;g}{2}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {3\;\rho ^{2}}{H^{2}}}+{\dfrac {2\;\rho }{H}}-5\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]+3-{\dfrac {3\;\rho ^{2}}{H^{2}}}\right\rbrace \\S_{\theta }(t)={\dfrac {M\;g}{4}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {3\;\rho ^{2}}{H^{2}}}-{\dfrac {4\;\rho }{H}}+1\right]\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \\S_{y}(t)=0\end{array}}\right\rbrace \;$».

     L'effort de cisaillement de la cheminée inclinée d'un angle $\;\theta \;$ étant défini en chacun de ses points est une fonction des deux variables $\;\left(\theta \,,\,\rho \right)\;$ selon «$\;S_{\theta }\!\left(\theta \,,\,\rho \right)={\dfrac {M\;g}{4}}\,\left[{\dfrac {3\;\rho ^{2}}{H^{2}}}-{\dfrac {4\;\rho }{H}}+1\right]\,\sin \!\left(\theta \right)\;$» ;

     son signe pour $\;\theta \;$ choisi $\;\in \,\left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ dépend de l'endroit où l'effort de cisaillement est défini, plus exactement dépend du « signe de $\;3\,\left({\dfrac {\rho }{H}}\right)^{\!2}-4\;{\dfrac {\rho }{H}}+1\;$» $\;{\Bigg \{}$le trinôme $\;3\;\chi ^{2}-4\;\chi +1\;$ étant de discriminant réduit $\;\Delta '=2^{2}-3=1\;$ a deux zéros $\;\chi _{1}={\dfrac {2-1}{3}}={\dfrac {1}{3}}\;$ et $\;\chi _{1}={\dfrac {2+1}{3}}=1\;$ $\Rightarrow$ $\;3\;\chi ^{2}-4\;\chi +1\;$ est $\;>0\;$ sur $\;\left[0\,,\,{\dfrac {1}{3}}\right[\;$ et $\;<0\;$ sur $\;\left]{\dfrac {1}{3}}\,,\,1\right[{\Bigg \}}\;$ d'où
     $\;\succ \;$l'effort de cisaillement est $\;>0\;$ pour $\;\rho \,\in \,\left[0\,,\,{\dfrac {H}{3}}\right[\;$ et
     $\;\succ \;$l'effort de cisaillement est $\;<0\;$ pour $\;\rho \,\in \,\left]{\dfrac {H}{3}}\,,\,H\right[\;$ ;

     notant qu'à $\;\rho \;$ fixé, la valeur absolue de l'effort de cisaillement est d'autant plus grande que $\;\theta \;$ l'est et

     notant qu'à $\;\theta \;$ fixé, l'effort de cisaillement est mathématiquement extrémal pour «$\;\left\lbrace {\dfrac {\partial S_{\theta }}{\partial \left({\dfrac {\rho }{H}}\right)}}\right\rbrace _{\!\theta }=0\;$ avec $\;\left\lbrace {\dfrac {\partial S_{\theta }}{\partial \left({\dfrac {\rho }{H}}\right)}}\right\rbrace _{\!\theta }={\dfrac {M\;g}{4}}\,\left[6\;{\dfrac {\rho }{H}}-4\right]\,\sin \!\left(\theta \right)={\dfrac {M\;g}{2}}\,\left[3\;{\dfrac {\rho }{H}}-2\right]\,\sin \!\left(\theta \right)\;$ s'annulant pour $\;{\dfrac {\rho }{H}}={\dfrac {2}{3}}\;$» correspondant à «$\;S_{\theta ,\,{\text{math. extr.}}}={\dfrac {M\;g}{4}}\,\left[3\times \left({\dfrac {2}{3}}\right)^{\!2}-4\times {\dfrac {2}{3}}+1\right]\,\sin \!\left(\theta \right)=-{\dfrac {M\;g\;\sin(\theta )}{12}}\;$» alors que les valeurs de l'effort de cisaillement pour les bornes de l'intervalle physique de $\;\rho \;$ sont «$\;S_{\theta ,\,\rho \,=\,0}=$ ${\dfrac {M\;g\;\sin(\theta )}{4}}\;$» et «$\;S_{\theta ,\,\rho \,=\,H}=0\;$», nous en déduisons que « la valeur absolue de l'effort de cisaillement est physiquement maximale, à $\;\theta \;$ fixé, pour $\;\rho =0\;$».

     En conclusion la cheminée aura « tendance à s'effriter en sa base $\;O\;$», le risque étant d'autant plus grand que la cheminée est inclinée relativement à la verticale ;

     En conclusion si la valeur absolue de l'effort de cisaillement à partir de laquelle l'effritement de la cheminée risque de se produire est le cinquième du poids de cette dernière, le risque apparaîtra en sa base à partir d'une inclinaison $\;\theta _{\text{effrit}}\;$ relativement à la verticale telle que «$\;S_{\theta _{\text{effrit}},\,\rho \,=\,0}={\dfrac {M\;g\;\sin(\theta _{\text{effrit}})}{4}}={\dfrac {M\;g}{5}}\;$» soit «$\;\theta _{\text{effrit}}=\arcsin \!\left({\dfrac {4}{5}}\right)\simeq 53\;{\text{°}}\;$».

 

Détermination du moment cinétique scalaire de la base OP de la cheminée évalué par rapport à l'axe Py

     Exprimer le moment cinétique vectoriel $\;{{\vec {\sigma }}'}_{\!G_{P}}\;$ de la partie $\;OP\;$ de la cheminée par rapport au C.D.I. $\;G_{P}\;$ de la partie $\;OP\;$ de cheminée, en fonction de «$\;M$, $\;H$, $\;\rho$, $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et des vecteurs $\;\left({\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)\;$ de base cylindro-polaire de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ liée à $\;G_{P}\;$» $\;{\bigg \{}$pour déterminer le moment d'inertie d'une tige $\;{\mathcal {T}}\;$ homogène, de masse $\;m_{\mathcal {T}}$, de longueur $\;{\mathit {l}}_{\mathcal {T}}$, relativement à un axe $\;\Delta _{G}\;\perp \;$ à la tige en son C.D.I. à partir du moment d'inertie de cette tige relativement à un axe $\;\Delta \;\parallel \;$ à $\;\Delta _{G}\;$ passant par une de ses extrémités $\;J_{\Delta }={\dfrac {1}{3}}\;m_{\mathcal {T}}\;{\mathit {l}}_{\mathcal {T}}^{\,2}$, on utilisera le théorème de Huygens liant les moments d'inertie d'un solide relativement à deux axes $\;\parallel \;$ dont l'un passe par le C.D.I. $\;G\;$ du solide «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {S}}\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {S}}\right)+m_{({\mathcal {S}})}\;d^{2}\;$ où $\;d\;$ est la distance séparant les deux axes »${\bigg \}}$ ;

     en déduire le moment cinétique vectoriel $\;{{\vec {\sigma }}'}_{\!P}\;$ de la partie $\;OP\;$ de la cheminée par rapport à l'extrémité $\;P\;$ de la partie $\;OP\;$ de cheminée puis

     en déduire le moment cinétique scalaire $\;{\sigma '}_{\!\Delta _{P}}\;$ de cette même partie $\;OP\;$ de cheminée par rapport à l'axe $\;\Delta _{P}\;$ passant par $\;P\;$ et $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {Oy}}$.

Solution

     Le moment cinétique vectoriel de la partie $\;OP\;$ de la cheminée relativement au C.D.I. $\;G_{P}\;$ de $\;OP\;$ s'écrivant, dans le référentiel barycentrique de $\;OP\;$ «$\;{{\vec {\sigma }}'}_{\!G_{P}}(OP,\,t)=J_{G_{P}y}(OP)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» $\;{\Big [}$la partie $\;OP\;$ étant un solide en rotation autour $\;{\overrightarrow {G_{P}y}}$, un de ses axes de symétrie, fixe dans le référentiel barycentrique de $\;OP\;$, de vecteur rotation instantanée $\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$${\Big ]}$, «$\;J_{G_{P}y}\;$ étant le moment d'inertie de la partie $\;OP\;$ de la cheminée relativement à son axe $\;G_{P}y\;$» dont la détermination à partir de la connaissance du moment d'inertie du même solide relativement à l'axe $\;Oy\;\parallel \;$ à $\;G_{P}y\;$ à savoir «$\;J_{Oy}(OP)={\dfrac {1}{3}}\;M_{P}\;\rho ^{2}\;$» est faite par utilisation du théorème de Huygens liant les moments d'inertie d'un solide relativement à deux axes $\;\parallel \;$ dont l'un passe par le C.D.I. $\;G\;$ du solide «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {S}}\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {S}}\right)+m_{({\mathcal {S}})}\;d^{2}\;$ où $\;d\;$ est la distance séparant les deux axes » soit ici «$\;J_{Oy}(OP)=J_{G_{P}y}(OP)+M_{P}\,\left({\dfrac {\rho }{2}}\right)^{\!2}\;$ $\Rightarrow$ $\;J_{G_{P}y}(OP)=J_{Oy}(OP)-M_{P}\;{\dfrac {\rho ^{2}}{4}}=M_{P}\;\rho ^{2}\left({\dfrac {1}{3}}-{\dfrac {1}{4}}\right)={\dfrac {1}{12}}\;M_{P}\;\rho ^{2}\;\;$» soit, avec $\;M_{P}=M\;{\dfrac {\rho }{H}}$, «$\;J_{G_{P}y}(OP)={\dfrac {1}{12}}\;M\;{\dfrac {\rho ^{3}}{H}}\;\;$» d'où la réécriture du moment cinétique vectoriel de la partie $\;OP\;$ de la cheminée relativement au C.D.I. $\;G_{P}\;$ de $\;OP$, dans le référentiel barycentrique de $\;OP\;$ mais aussi dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{{\vec {\sigma }}'}_{\!G_{P}}(OP,\,t)={\dfrac {1}{12}}\;M\;{\dfrac {\rho ^{3}}{H}}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$».      Pour exprimer le moment cinétique vectoriel de la partie $\;OP\;$ de la cheminée relativement au point $\;P\;$ à partir du moment cinétique vectoriel de la même partie $\;OP\;$ de cheminée relativement au C.D.I. $\;G_{P}\;$ de $\;OP$, nous utilisons la formule de changement d'origine pour les moments cinétiques «$\;{{\vec {\sigma }}'}_{\!P}(OP,\,t)={{\vec {\sigma }}'}_{\!G_{P}}(OP,\,t)+{\overrightarrow {PG_{P}}}(t)\wedge {\vec {P}}_{OP}(t)\;$» où «$\;{\vec {P}}_{OP}(t)=M_{P}\;{\vec {V}}_{G_{P}}(t)=M_{P}\;{\dfrac {\rho }{2}}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)=M\;{\dfrac {\rho ^{2}}{2\;H}}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ est la résultante cinétique de la partie $\;OP\;$ à l'instant $\;t\;$» soit encore «$\;{{\vec {\sigma }}'}_{\!P}(OP,\,t)={\dfrac {1}{12}}\;M\;{\dfrac {\rho ^{3}}{H}}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}+\left[-{\dfrac {\rho }{2}}\;{\vec {u}}_{\rho }(t)\right]\wedge M\;{\dfrac {\rho ^{2}}{2\;H}}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)={\dfrac {1}{12}}\;M\;{\dfrac {\rho ^{3}}{H}}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}-{\dfrac {1}{4}}\;M\;{\dfrac {\rho ^{3}}{H}}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» d'où l'expression finale du moment cinétique vectoriel de la partie $\;OP\;$ de la cheminée relativement au point $\;P\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$ «$\;{{\vec {\sigma }}'}_{\!P}(OP,\,t)=-{\dfrac {1}{6}}\;M\;{\dfrac {\rho ^{3}}{H}}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$».      Nous en déduisons le moment cinétique scalaire de la partie $\;OP\;$ de la cheminée relativement à l'axe $\;\Delta _{P}=Py\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\sigma '}_{\!\Delta _{P}}(OP,\,t)={{\vec {\sigma }}'}_{\!P}(OP,\,t)\cdot {\vec {u}}_{y}=-{\dfrac {1}{6}}\;M\;{\dfrac {\rho ^{3}}{H}}\;{\dot {\theta }}(t)\;$».

 

Détermination du moment scalaire du couple que le reste de la cheminée PC exerce que la base OP, moment évalué relativement à la direction Oy

     En admettant le théorème du moment cinétique scalaire dans sa version applicable à un solide en rotation autour d'un axe en translation dans un référentiel galiléen et
     en l'appliquant à la partie $\;OP\;$ de la cheminée relativement à l'axe $\;\Delta _{P}\;$ passant par $\;P\;$ et $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {Oy}}$, déterminer
     le moment scalaire «$\;C={\vec {C}}\cdot {\vec {u}}_{y}\;$» du couple que le reste de la cheminée $\;PC\;$ exerce sur la partie $\;OP\;$ de cheminée

• en fonction de «$\;M$, $\;H$, $\;\rho$, $\;g$, $\;R_{\theta }(t)$, $\;\theta (t)\;$ et $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$>» puis
• en fonction de «$\;M$, $\;H$, $\;\rho$, $\;g\;$ et $\;\theta (t)\;$».

Solution

     Le théorème du moment cinétique scalaire dans sa version applicable à un solide en rotation autour d'un axe en translation dans un référentiel galiléen appliqué à la partie $\;OP\;$ de la cheminée relativement à l'axe $\;\Delta _{P}\;$ passant par $\;P\;$ et $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {Oy}}$, s'écrit selon «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{P},\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\sigma '}_{\!\Delta _{P}}\!\left(OP\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {V}}_{P}(t)\right]\cdot {\vec {P}}_{OP}(t)\;$» dans lequel
     $\;\succ \;$«$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{P},\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta _{P}}\!\left[M_{P}\;{\vec {g}},\,t\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta _{P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta _{P}}\!\left[{\vec {S}}(t)\right]+{\vec {C}}\cdot {\vec {u}}_{y}\;$ est le moment résultant dynamique scalaire de la partie $\;OP\;$ de la cheminée à l'instant $\;t\;$ relativement à l'axe $\;\Delta _{P}\;$» avec «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{P}}\!\left[M_{P}\;{\vec {g}},\,t\right]=$ $-M_{P}\;g\;{\dfrac {\rho }{2}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=-M\;g\;{\dfrac {\rho ^{2}}{2\;H}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$» $\;{\bigg \{}M_{P}\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire tourner la cheminée autour de $\;\Delta _{P}\;$ dans le sens $\;-$, son bras de levier étant $\;PG_{P}\;\sin(\theta )={\dfrac {\rho }{2}}\;\sin(\theta ){\bigg \}}$, «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{P}}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]=$ $\left[{\overrightarrow {PO}}(t)\wedge {\vec {R}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{y}=\left\lbrace -\rho \;{\vec {u}}_{\rho }(t)\wedge \left[R_{\rho }(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+R_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{y}=-R_{\theta }(t)\;\rho \;$», «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{P}}\!\left[{\vec {S}}(t)\right]=0\;$» $\;{\Big \{}$le bras de levier de $\;{\vec {S}}(t)\;$ étant nul${\Big \}}$,
     $\;\succ \;$«$\;{\sigma '}_{\!\Delta _{P}}(OP,\,t)=-{\dfrac {1}{6}}\;M\;{\dfrac {\rho ^{3}}{H}}\;{\dot {\theta }}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d\,{\sigma '}_{\!\Delta _{P}}\!\left(OP\right)}{dt}}(t)=-{\dfrac {1}{6}}\;M\;{\dfrac {\rho ^{3}}{H}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$», «$\;{\vec {V}}_{P}(t)=\rho \;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)<math>\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {V}}_{P}(t)=-\rho \;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)\;$» et «$\;{\vec {P}}_{OP}(t)=M_{P}\;{\vec {V}}_{G_{P}}(t)=M_{P}\;{\dfrac {\rho }{2}}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {V}}_{P}(t)\right]\cdot {\vec {P}}_{OP}(t)=0\;$» d'où

     la réécriture du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à la partie $\;OP\;$ de la cheminée relativement à l'axe mobile $\;\Delta _{P}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen «$\;-M\;g\;{\dfrac {\rho ^{2}}{2\;H}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]-R_{\theta }(t)\;\rho +C=$ $-{\dfrac {1}{6}}\;M\;{\dfrac {\rho ^{3}}{H}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» dont nous déduisons l'expression du moment scalaire $\;C={\vec {C}}\cdot {\vec {u}}_{y}\;$ du couple que le reste de la cheminée $\;PC\;$ exerce sur la partie $\;OP\;$ de cheminée «$\;C=M\;g\;{\dfrac {\rho ^{2}}{2\;H}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+R_{\theta }(t)\;\rho -{\dfrac {1}{6}}\;M\;{\dfrac {\rho ^{3}}{H}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» ;      En reportant, dans l'expression ci-dessus, l'accélération angulaire de la cheminée lors de son basculement en un seul bloc «$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;{\text{:}}\;{\ddot {\theta }}(t)={\dfrac {3\;g}{2\;H}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$» ainsi que la composante orthoradiale de la réaction du sol sur la cheminée «$\;R_{\theta }(t)$ $\;{\big \{}$établie à l'aide de l'injection de la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ dans $\;\left({\mathfrak {a}}_{\theta }\right){\big \}}$ $\;R_{\theta }(t)=-{\dfrac {M\;g}{4}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$», nous obtenons une nouvelle expression du moment scalaire $\;C={\vec {C}}\cdot {\vec {u}}_{y}\;$ du couple que le reste de la cheminée $\;PC\;$ exerce sur la partie $\;OP\;$ de cheminée «$\;C=M\;g\;{\dfrac {\rho ^{2}}{2\;H}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {M\;g}{4}}\;\rho \;\sin \!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {1}{6}}\;M\;{\dfrac {\rho ^{3}}{H}}\;{\dfrac {3\;g}{2\;H}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=-{\dfrac {M\;g\;\rho }{4}}\,\left[-2\;{\dfrac {\rho }{H}}+1+{\dfrac {\rho ^{2}}{H^{2}}}\right]\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$», soit finalement «$\;C=-{\dfrac {M\;g\;H}{4}}\;{\dfrac {\rho }{H}}\,\left[1-{\dfrac {\rho }{H}}\right]^{2}\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$».

 

Détermination de l'endroit de la cheminée où le risque de brisure est maximal lors du basculement de celle-ci

     Si le moment scalaire «$\;C={\vec {C}}\;{\vec {u}}_{y}\;$» du couple que le reste de la cheminée $\;PC\;$ exerce sur la partie $\;OP\;$ de cheminée dépasse en valeur absolue une certaine valeur maximale $\;C_{\text{max}}\;$ caractérisant la cohésion de la cheminée, celle-ci se brise ;

     si tel est le cas, à quelle distance à partir de $\;O\;$ la brisure de la cheminée se fera-t-elle ?

     Dans le cas où la cheminée se brise à l'endroit prévu, préciser, en fonction de $\;C_{\text{max}}$, $\;M$, $\;g\;$ et $\;H$, l'angle d'inclinaison $\;\theta _{\text{bris}}\;$ de la cheminée relativement à la verticale pour lequel la brisure se produit.

Solution

     Le moment scalaire «$\;C={\vec {C}}\;{\vec {u}}_{y}=-{\dfrac {M\;g\;H}{4}}\;{\dfrac {\rho }{H}}\,\left[1-{\dfrac {\rho }{H}}\right]^{2}\,\sin \!\left(\theta \right)\;$» du couple que le reste de la cheminée $\;PC\;$ exerce sur la partie $\;OP\;$ de cette dernière sera, pour $\;\theta \;$ figé, maximal en valeur absolue pour «$\;\chi ={\dfrac {\rho }{H}}\,\in \,\left[0\,,\,1\right[\;$ rendant maximal $\;P(\chi )=\chi \,\left(1-\chi \right)^{2}\;$» ; pour cela nous calculons $\;{\dfrac {dP}{d\chi }}(\chi )=\left(1-\chi \right)^{2}-\chi \;2\,\left(1-\chi \right)=\left(1-\chi \right)\,\left(1-3\;\chi \right)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}>0\;{\text{pour }}\chi \,\in \,\left[0\,,\,{\dfrac {1}{3}}\right[\\<0\;{\text{pour }}\chi \,\in \,\left]{\dfrac {1}{3}}\,,\,1\right[\end{array}}\right\rbrace \;$ et déduisons

• $\;P(\chi )\;\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;{\dfrac {4}{27}}\;$ pour $\;\chi \;\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;{\dfrac {1}{3}}$,
• $\;P(\chi )\;\searrow \;$ de $\;{\dfrac {4}{27}}\;$ à $\;0\;$ pour $\;\chi \;\nearrow \;$ de $\;{\dfrac {1}{3}}\;$ à $\;1$,

     soit finalement un maximum de $\;P(\chi )=\chi \,\left(1-\chi \right)^{2}\;$ pour $\;\chi ={\dfrac {1}{3}}\;$ avec une valeur maximale $\;P_{\text{max}}={\dfrac {4}{27}}$ ;

     en conclusion le moment scalaire «$\;C={\vec {C}}\;{\vec {u}}_{y}=-{\dfrac {M\;g\;H}{4}}\;{\dfrac {\rho }{H}}\,\left[1-{\dfrac {\rho }{H}}\right]^{2}\,\sin \!\left(\theta \right)\;$» du couple que le reste de la cheminée $\;PC\;$ exerce sur la partie $\;OP\;$ de cette dernière étant, pour $\;\theta \;$ figé, « maximal en valeur absolue pour $\;\rho ={\dfrac {H}{3}}\;$ avec $\;\vert C\vert ={\dfrac {M\;g\;H}{27}}\;\sin \!\left(\theta \right)\;$»,
     en conclusion la brisure éventuelle de la cheminée se fera « au tiers de la hauteur à partir de la base » et
     en conclusion elle sera effective pour une « inclinaison de la cheminée $\;\theta _{\text{bris}}\;$ relativement à la verticale telle que $\;{\dfrac {M\;g\;H}{27}}\;\sin \!\left(\theta _{\text{bris}}\right)=C_{\text{max}}\;$ caractérisant la cohésion de la cheminée » soit «$\;\theta _{\text{bris}}=\arcsin \!\left({\dfrac {27\;C_{\text{max}}}{M\;g\;H}}\right)\;$».