Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels

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Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels
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Démarrage d'un cycliste[modifier | modifier le wikicode]

Démarrage d'un cycliste.png

     Un cycliste démarre sur une route horizontale définissant un référentiel terrestre supposé galiléen et le repère associé à ce référentiel est de base cartésienne orthonormée directe , étant dans la direction de la route choisi dans le sens du mouvement que le cycliste veut suivre, vertical ascendant et au plan contenant le cycliste et son vélocipède les deux étant considérés, pour simplifier, sans épaisseur et s'enfonçant dans ce plan ce vecteur définit l'orientation des angles algébrisés de ce plan ;

     ce cycliste est assimilé à un « solide » lié à sa bicyclette ce qui revient en fait à négliger la masse des jambes mobiles du cycliste les deux roues de la bicyclette, identiques, de rayon , ayant une masse négligeable, nous appellerons la masse du cycliste et de sa bicyclette et le centre de masse de l'ensemble « cycliste - bicyclette » sera repéré par les longueurs , et définies sur la figure ci-contre.

     Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme d'intensité ,

     le cœfficient de frottement des roues sur le sol nous négligerons tout autre frottement solide ainsi que tout frottement fluide est noté et

     le rapport du nombre de dents du pédalier à celui du pignon arrière est égal à .

     Déterminer quelle condition doit vérifier le moment scalaire du couple que doit exercer le cycliste sur le pédalier pour que les roues ne patinent pas sur le sol lors de son démarrage, en utilisant successivement

  • la traduction du roulement sans glissement de chaque roue sur la route en terme de vitesses [1],
  • le théorème du mouvement du C.D.I. [2] appliqué à l'ensemble « cycliste - bicyclette »,
  • la traduction énergétique de la transmission « pédalier - chaîne - pignon de roue arrière » l'ensemble « pédalier - chaîne - pignon de roue arrière » supposé de masse négligeable, constitue une transmission idéale [3],
  • le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à chaque roue relativement à son axe dans la version applicable à un solide en rotation autour d'un axe en translation dans le référentiel galiléen, l'axe passant par le C.D.I. [2] du solide [4] nous supposerons l'inertie de chaque roue négligeable,
  • le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à l'ensemble « cycliste - bicyclette » relativement à un axe passant par le C.D.I. [2] de l'ensemble et à celui de chaque roue ou du pédalier dans la version applicable à un système quand l'axe d'évaluation des moments est en translation dans le référentiel galiléen, l'axe passant par le C.D.I. [2] du système [4] et enfin
  • la condition de non glissement de chaque roue en utilisant les lois empiriques de Coulomb [5], [6].

Chien marchant transversalement sur un cylindre en contact sans puis avec frottement de glissement sur un plan horizontal, dans ce cas le cylindre roulant sans glisser sur le sol horizontal[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'un chien marchant transversalement sur un cylindre de révolution en contact sans ou avec frottement de glissement sur le plan horizontal, dans ce dernier cas le cylindre roulant sans glisser [1] sur le sol

     Un chien, modélisé par le point matériel «», de masse , « marche » transversalement sur un cylindre de révolution posé sur le sol horizontal ; le mouvement du chien dans le référentiel terrestre galiléen est tel qu'il maintient sa hauteur relativement au sol, « constante » voir schéma ci-contre.

     Le cylindre de révolution est de masse et de rayon et le champ de pesanteur terrestre uniforme d'intensité le moment d'inertie d'un cylindre de révolution homogène, de masse et de rayon par rapport à son axe vaut «».

     Nous nous proposons d'étudier le mouvement du cylindre dans les deux cas particuliers suivants en absence de vitesses initiales.

Cylindre de révolution en contact sans frottement avec le sol horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Nous nous plaçons dans le cas où le cylindre de révolution est en contact sans frottement avec le plan horizontal, le chien « marchant » transversalement sur le cylindre en maintenant sa hauteur « constante » relativement au sol ;

     étudier le mouvement du cylindre surchargé du chien à l'aide des théorèmes de la résultante cinétique, du moment cinétique scalaire et de la puissance mécanique dans le champ de pesanteur terrestre.

Cylindre de révolution roulant sans glisser sur le sol horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Nous nous plaçons maintenant dans le cas où le cylindre de révolution est en contact avec frottement de glissement sur le plan horizontal, le chien « marchant » transversalement sur le cylindre en maintenant sa hauteur « constante » relativement au sol et le cylindre roulant sans glissement [1] sur le sol ;

     étudier le mouvement du cylindre surchargé du chien à l'aide du théorème de la résultante cinétique, de la traduction du roulement sans glissement [1] du cylindre sur le sol en terme de vitesse, des théorèmes du moment cinétique scalaire et de la puissance mécanique dans le champ de pesanteur terrestre.

Oscillations d'un pendule complexe[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'un pendule complexe plan constitué d'une tige et d'un disque pouvant tourner autour de son centre en roulant sans glisser [1] sur un cylindre de révolution , fixe, d'axe passant par et au plan du pendule

     Soit à étudier les oscillations du pendule complexe plan voir schéma ci-contre constitué

  • d'une tige homogène , de masse , de longueur , de moment d'inertie par rapport à un axe passant par son extrémité «» nous admettrons que le moment d'inertie d'une tige , homogène, de masse et de longueur relativement à un axe passant par une de ses extrémités vaut pouvant tourner sans frottements dans un plan vertical fixe dans le référentiel d'étude galiléen, la rotation se faisant autour d'un pivot idéal [16] d'axe horizontal passant par