Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique

Chute d'un arbre

     On assimile un arbre à une tige longue et homogène de « longueur $L$» et de « masse $m$» ;

     un bûcheron le coupe à sa base et l'arbre bascule dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen en tournant autour de son point d'appui au sol $($on suppose que son point d'appui reste fixe, ne glissant donc pas$)$ ; le champ de pesanteur terrestre $\overrightarrow{g}$ étant uniforme d'intensité $g$, on repère alors la position de l'arbre par l'« angle $\theta$ qu'il fait avec la verticale ascendante » ;

     à «$t=0$ l'arbre fait un angle ${\theta }_0=5\text{°}$ avec la verticale et est immobile » ;

     on rappelle le moment d'inertie d'une tige homogène, de longueur $𝑙$, de masse $m$, par rapport à un axe $\mathrm{\Delta }\perp$ à la tige et passant par une de ses extrémités «$J_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{3}m{𝑙}^2$».

Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en θ(t) du mouvement de basculement de l'arbre

     En appliquant le théorème du moment cinétique scalaire à l'arbre relativement à son axe de basculement dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen,

     déterminer l'équation différentielle en $\theta (t)$ du mouvement de chute de l'arbre et

     vérifier que cette équation n'admet pas de solutions analytiques.

Solution

Schéma descriptif du basculement dans le plan vertical $xOz$ d'un arbre par rapport à son contact $O$ avec le sol avec représentation des forces extérieures appliquées à l'arbre

     On étudie le mouvement de l'arbre en rotation autour de son point d'appui noté $O$ et supposé fixe, la position verticale de l'arbre en $O$ étant choisie comme axe $\overrightarrow{Oz}$ orienté dans le sens ascendant et le plan vertical d'inclinaison initiale choisie comme plan $xOz$, l'axe $\overrightarrow{Ox}$ étant horizontal orienté du côté de l'inclinaison initiale de l'arbre et l'axe $\overrightarrow{Oy}$ $\perp$ au plan vertical d'inclinaison initiale de sens tel que le trièdre $\{\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oy},\overrightarrow{Oz}\}$ soit direct, le sens du vecteur unitaire ${\overrightarrow{u}}_y$ orientant $\overrightarrow{Oy}$ définissant le sens $+$ des angles algébrisés du plan $xOz$ $($voir schéma ci-contre$)$ ;

     les seules forces extérieures appliquées à l'arbre sont « son poids $m\overrightarrow{g}=-mg{\overrightarrow{u}}_z$» et « la réaction du point d'appui $\overrightarrow{R}(t)$» $\{$le texte précisant que l'arbre bascule en tournant autour d'un axe de basculement passant par le point d'appui, axe de basculement évidemment $\perp$ au plan initial d'inclinaison, cela signifie que le C.D.I. $G$ de l'arbre a un mouvement de rotation autour de cet axe, mouvement contenu dans le plan d'inclinaison initiale $xOz$ $($l'axe de basculement de l'arbre étant l'axe $\overrightarrow{Oy})$, de plus l'accélération du C.D.I. $G$ de l'arbre étant nécessairement dans le plan de la trajectoire du point $G$, « la résultante dynamique $m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{R}(t)$ égale à $m{\overrightarrow{a}}_G(t)$ par application du théorème du mouvement du C.D.I. à l'arbre dans le référentiel ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen y est aussi » et par suite « la réaction du point d'appui $\overrightarrow{R}(t)=m{\overrightarrow{a}}_G(t)-m\overrightarrow{g}$ y demeure pour tout $t$» $($comme représenté ci-contre$\left)\right\}$ ;

     appliquant le théorème du moment cinétique scalaire à l'arbre en rotation relativement à son axe de basculement $Oy$ fixe dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen, on obtient «${ℳ}_{Oy}(m\overrightarrow{g},t)+{ℳ}_{Oy}[\overrightarrow{R}(t)]$ $=J_{Oy}\ddot{\theta }(t)$» dans lequel «$J_{Oy}=\frac{1}{3}m{L}^2$ est le moment d'inertie de l'arbre relativement à son axe de basculement » avec «${ℳ}_{Oy}[\overrightarrow{R}(t)]=0$ $($le bras de levier de $\overrightarrow{R}(t)$ étant nul$)$» et «${ℳ}_{Oy}(m\overrightarrow{g},t)=+mgb=mg\{\frac{L}{2}\sin [\theta (t)]\}$ $\{$le poids tendant à faire tourner l'arbre dans le sens $+$ et son bras de levier valant $b=\frac{L}{2}\sin [\theta (t)]\}$», soit encore «$\frac{1}{3}m{L}^2\ddot{\theta }(t)=mg\frac{L}{2}\sin [\theta (t)]$» ou, après simplification évidente et en normalisant, l'équation différentielle en $\theta (t)$ du mouvement de basculement de l'arbre «$\ddot{\theta }(t)-\frac{3g}{2L}\sin [\theta (t)]=0\text{:}\left(𝔞\right)$».

     L'équation différentielle $\left(𝔞\right)$ étant du 2^ème ordre non linéaire de la forme «$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}(x)+k\sin [f(x)]=0$» dans laquelle «$f(x)$ et $k$ sont respectivement $\theta (t)$ et $-\frac{3g}{2L}$» n'a effectivement pas de solution analytique comme cela a été admis dans le paragraphe « absence de solution analytique dans le cas général d'élongations non petites (de l'équation différentielle du mouvement d'un pendule pesant non amorti) » du chap.$8$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $\{$la seule différence entre l'équation $\left(𝔞\right)$ et celle d'un pendule pesant étant le signe de $k\}$.

     Additif : détermination du moment d'inertie d'une tige homogène relativement à un axe$\underset{\_}{\perp }$passant par une de ses extrémités : soit une tige $\left(𝒯\right)$ homogène, de masse linéique ${\lambda }_0$, de longueur $𝑙$ et de masse $m$, le moment d'inertie $J$ de $\left(𝒯\right)$ relativement à un axe $\left(\mathrm{\Delta }\right)\perp$ passant par une de ses extrémités choisie comme origine $O$ de repérage des points de la tige étant définie par «$J_{\mathrm{\Delta }}=\underset{M\in \left(𝒯\right)}{\int }{\lambda }_0|x_M{|}^{2}d{x}_M$» avec $x_M=\overline{OM}$ orienté vers l'autre extrémité, soit «$J_{\mathrm{\Delta }}={\lambda }_0{\int }_0^{+𝑙}{x}_M^{2}d{x}_M={\lambda }_0{\left[\frac{x_M^3}{3}\right]}_0^{+𝑙}$ $={\lambda }_0\frac{{𝑙}^3}{3}$» dans laquelle nous pouvons reconnaître la masse de la tige $\left(𝒯\right)$ «$m=\underset{M\in \left(𝒯\right)}{\int }{\lambda }_{0}d{x}_M$» égale à «$m=$ ${\lambda }_0𝑙$» d'où «$J_{\mathrm{\Delta }}=\frac{m{𝑙}^2}{3}$» C.Q.F.V.

 

Détermination d'une intégrale 1^re du mouvement de basculement de l'arbre

     À partir de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\theta (t)$ du mouvement de chute de l'arbre, intégrer une fois par rapport à $t$ pour en déduire une intégrale 1^re du mouvement de basculement de l'arbre $\{$on explicitera $\dot{\theta }(t)$ en fonction de $\theta (t)$ entre autres$\}$ ;

     retrouver cette intégrale 1^re du mouvement de basculement de l'arbre en utilisant le théorème de la variation de l'énergie mécanique de l'arbre dans le champ de pesanteur terrestre.

Solution

     Pour intégrer une 1^re fois l'équation $\left(𝔞\right)$ par rapport au temps $t$ on multiplie d'abord par $\dot{\theta }(t)$ de façon à reconnaître dans le membre de gauche une somme de dérivées temporelles soit,

• dans le 1^er terme du membre de gauche «$\ddot{\theta }(t)\dot{\theta }(t)=\frac{d[\frac{1}{2}{\dot{\theta }}^2(t)]}{dt}$» et
• dans le 2^nd terme du membre de gauche «$-\frac{3g}{2L}\sin [\theta (t)]\dot{\theta }(t)=\frac{d\{\frac{3g}{2L}\cos [\theta (t)]\}}{dt}$» d'où

     la forme de l'intégrale 1^re du mouvement de basculement de l'arbre «$\frac{1}{2}{\dot{\theta }}^2(t)+\frac{3g}{2L}\cos [\theta (t)]=cste$» dans laquelle «$cste$» se détermine par C.I. «$\{\theta (0)={\theta }_0=5\text{°},\dot{\theta }(0)=0\}$» $\Rightarrow$ «$cste=$ $\frac{3g}{2L}\cos \left({\theta }_0\right)$», ce qui permet de réécrire l'intégrale 1^re «$\frac{1}{2}{\dot{\theta }}^2(t)+\frac{3g}{2L}\cos [\theta (t)]=\frac{3g}{2L}\cos \left({\theta }_0\right)$ $\iff$ ${\dot{\theta }}^2(t)=\frac{3g}{L}\{\cos \left({\theta }_0\right)-\cos [\theta (t)]\}$» ou, le mouvement de rotation de l'arbre se faisant dans le sens $+$, l'expression finale de l'intégrale 1^re du mouvement de basculement de l'arbre «$\dot{\theta }(t)=\sqrt{\frac{3g}{L}}\sqrt{\cos \left({\theta }_0\right)-\cos [\theta (t)]}\text{:}\left(𝔟\right)$».

     Autre détermination de l'intégrale 1^re du mouvement de basculement de l'arbre : la « réaction du point d'appui $\overrightarrow{R}(t)$ ne travaillant pas » $($son point d'application $O$ étant fixe$)$, le « poids $m\overrightarrow{g}$ étant conservatif » et seules les forces extérieures pouvant travailler $($l'arbre étant un solide$)$, nous en déduisons que l'arbre en basculement est un système conservatif $\Rightarrow$ « son énergie mécanique $E_m=K+U_{\text{pes}}$ est conservée » ;

     Autre détermination de l'intégrale 1^re du mouvement de basculement de l'arbre : à l'instant $t$, l'énergie cinétique de rotation de l'arbre est «$K(t)=\frac{1}{2}{J}_{Oy}{\dot{\theta }}^2(t)=\frac{1}{6}m{L}^2{\dot{\theta }}^2(t)$» et son énergie potentielle de pesanteur $U_{\text{pes}}(t)=mg{z}_G(t)$ en prenant sa référence au niveau du sol soit encore, en explicitant $z_G$ en fonction de $\theta$, «$U_{\text{pes}}(t)=mg\frac{L}{2}\cos [\theta (t)]$» d'où l'expression de son énergie mécanique «$E_m(t)=$ $\frac{1}{6}m{L}^2{\dot{\theta }}^2(t)+mg\frac{L}{2}\cos [\theta (t)]$» ;

     Autre détermination de l'intégrale 1^re du mouvement de basculement de l'arbre : à l'instant initial, en absence de vitesse angulaire, cette énergie mécanique valant «$E_m(0)=mg\frac{L}{2}\cos \left({\theta }_0\right)$» et sa conservation donnant «$\frac{1}{6}m{L}^2{\dot{\theta }}^2(t)+mg\frac{L}{2}\cos [\theta (t)]=mg\frac{L}{2}\cos \left({\theta }_0\right)$» peut se réécrire, après simplification évidente «${\dot{\theta }}^2(t)=\frac{3g}{L}\{\cos \left({\theta }_0\right)-\cos [\theta (t)]\}$» soit encore, le mouvement se faisant dans le sens $+$, l'expression finale de l'intégrale 1^re du mouvement de basculement de l'arbre «$\dot{\theta }(t)=\sqrt{\frac{3g}{L}}\sqrt{\cos \left({\theta }_0\right)-\cos [\theta (t)]}\text{:}\left(𝔟\right)$».

 

Détermination de la durée de chute de l'arbre

     En intégrant une nouvelle fois l'intégrale 1^re du mouvement de basculement de l'arbre, déterminer la durée de chute «$\Delta t$» d'un arbre de ce type sous forme intégrale de l'inclinaison initiale jusqu'au sol puis

     la calculer numériquement pour une hauteur d'arbre «$L=30m$», sachant que «$g\simeq 9,8m\cdot s^{-2}$» et «${\int }_{{\theta }_0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\theta }{\sqrt{\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )}}\simeq 5,1$».

Solution

     L'intégrale 1^re du mouvement de basculement de l'arbre «$\left(𝔟\right)\text{:}\dot{\theta }(t)=\sqrt{\frac{3g}{L}}\sqrt{\cos \left({\theta }_0\right)-\cos [\theta (t)]}$» s'intègre en séparant les variables selon «$dt=\sqrt{\frac{L}{3g}}\frac{d\theta }{\sqrt{\cos \left({\theta }_0\right)-\cos \left(\theta \right)}}$» d'où l'expression intégrale de la durée $\Delta t$ de chute de l'arbre de l'inclinaison initiale jusqu'au sol «$\mathrm{\Delta }t=\sqrt{\frac{L}{3g}}{\int }_{{\theta }_0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\theta }{\sqrt{\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )}}$» ;

     numériquement, avec «${\theta }_0=5\text{°}=5\frac{\pi }{180}rad=\frac{\pi }{36}rad$» ainsi que «${\int }_{{\theta }_0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\theta }{\sqrt{\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )}}\simeq 5,1$ obtenu par intégration numérique », «$L=30m$» et «$g\simeq 9,8m\cdot s^{-2}$», nous obtenons «$\mathrm{\Delta }t\simeq$ $\sqrt{\frac{30}{3\times 9,8}}\times 5,1$ en $s$» soit finalement, une durée de chute de cet arbre estimée à «$\mathrm{\Delta }t\simeq 5,2s$».

     Additif : évaluation numérique de l'intégrale «${\int }_{{\theta }_0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\theta }{\sqrt{\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )}}$» par utilisation du logiciel de calcul « Scilab », les lignes de programme (en noir), les réponses de Scilab (en rouge) et mes commentaires entre parenthèses (en bleu) donnant :

                                                                  Additif : évaluation numérique de l'intégrale%theta0 = %pi/36 ;

                                                                  Additif : évaluation numérique de l'intégralefunction y = f(u) ; y = 1/sqrt(cos(%theta0)-cos(u)) ; endfunction

                                                                  Additif : évaluation numérique de l'intégrale%Delta = integrate('f(u)','u',%theta0,%pi/2)                                        %Delta = 5.1445633      (évaluation numérique de l'intégrale)

 

Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis énergétique

Schéma descriptif d'un demi-disque roulant sans glisser sur un plan horizontal

     Soit un demi-disque $𝒟$ homogène, de masse surfacique ${\sigma }_0$, de centre $C$, de centre de masse $($ou C.D.I.$)$ $G$, de rayon $R$ et de masse $m$ $($voir schéma ci-contre$)$ ;

     ce demi-disque $𝒟$ disposé verticalement sur un plan horizontal est en contact avec ce dernier par l'intermédiaire de sa tranche circulaire $($un dispositif non représenté forçant le demi-disque à rester dans le plan vertical initial sans faire intervenir un quelconque frottement solide$)$, $𝒟$ peut ainsi rouler sans glisser sur ce plan horizontal ;

     le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ dans lequel est étudié le mouvement de $𝒟$ est supposé galiléen pour son étude dynamique, il lui est associé un repère cartésien $\{O,{\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z\}$ orthonormé direct, ${\overrightarrow{u}}_z$ orientant la direction verticale dans le sens ascendant, ${\overrightarrow{u}}_y$ la direction horizontale le long de laquelle le demi-disque roule sans glisser et ${\overrightarrow{u}}_x$ la direction horizontale $\perp$ au plan vertical contenant $𝒟$ orientant les angles algébrisés de ce dernier dans le sens trigonométrique direct ;

     le champ de pesanteur terrestre est uniforme égal à $\overrightarrow{g}=-g{\overrightarrow{u}}_z$ avec $g$ intensité de la pesanteur ;

     désignant par $I$ le point de contact entre le sol et $𝒟$ à l'instant $t$, on repère la position du demi-disque par l'ordonnée «$y_C(t)$» de son centre $C$ et par l'angle algébrisé «$\alpha (t)=\widehat{\{\overrightarrow{CI}(t),\overrightarrow{CG}(t)\}}$».

     À l'instant initial, on lâche le demi-disque sans vitesse initiale dans la position repérée par ${\alpha }_0$, l'ordonnée du point de contact correspondant $I_0$ valant $y_0$.

     Nous supposerons connus la distance séparant le centre $C$ du demi-disque de son C.D.I. $G$ «$CG=\frac{4R}{3\pi }$ notée $b$» ainsi que
     Nous supposerons connus le moment d'inertie de $𝒟$ par rapport à un axe passant par $C$ et $\perp$ au plan contenant $𝒟$ «$J=\frac{1}{2}m{R}^2$».

Étude cinématique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal

     Remarque : cette question étant la 1^re de l'exercice « Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique » de la série d'exer.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » est rappelée pour mémoire, la différence entre ces deux exercices portant sur l'aspect utilisé pour résoudre le roulement sans glissement du demi-disque $\{$résolution par théorèmes de la dynamique de translation et rotation pour la 2^ème question de l'exercice précité, résolution par théorème énergétique pour la 2^ème question de l'exercice présent$\}$.

     Établir le lien traduisant le roulement sans glissement du demi-disque $𝒟$ sur le plan horizontal entre
     Établir le lien la composante horizontale du vecteur vitesse du centre $C$ du demi-disque dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{terr}}$ «${\dot{y}}_C(t)$» et
     Établir le lien sa vitesse angulaire «$\dot{\alpha }(t)$» de rotation autour de l'axe horizontal $\overrightarrow{Cx}$ dans le référentiel ${ℛ}_C$ lié à $C$ en translation relativement à ${ℛ}_{\text{terr}}$.

     En déduire les composantes cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération du centre de masse $($ou C.D.I.$)$ $G$ dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{terr}}$ en fonction de «$b=CG$», de «$\alpha (t)$» et de « ses dérivées temporelles d'ordre un et deux ».

Solution

     Remarque : cette question étant la 1^re de l'exercice « Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique » de la série d'exer.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », sa solution est rappelée ci-dessous pour mémoire.

     Le roulement sans glissement du demi-disque $𝒟$ sur le plan horizontal $\left(xOy\right)$ se traduit selon «${\overrightarrow{V}}_{I\in 𝒟}(t)={\overrightarrow{V}}_{I\in \left(xOy\right)}(t)$» avec

• «${\overrightarrow{V}}_{I\in \left(xOy\right)}(t)=\overrightarrow{0}$» $\{I\in \left(xOy\right)$ considéré à l'instant $t$ étant, par définition, immobile relativement au plan horizontal$\}$ et
• «${\overrightarrow{V}}_{I\in 𝒟}(t)=$ ${\overrightarrow{V}}_C(t)+{\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}_{𝒟/{ℛ}_C}(t)\wedge \overrightarrow{CI}={\dot{y}}_C(t){\overrightarrow{u}}_y+\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_x\wedge (-R{\overrightarrow{u}}_z)$» $\{$le mouvement de $I\in 𝒟$ dans ${ℛ}_{\text{terr}}$ résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation ${\overrightarrow{V}}_C(t)$ dans ${ℛ}_{\text{terr}}$ et d'une rotation de vecteur rotation instantanée ${\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}_{𝒟/{ℛ}_C}(t)$ autour de $\overrightarrow{Cx}$ dans ${ℛ}_C$ $($le référentiel lié à $C$ en translation relativement à ${ℛ}_{\text{terr}}\left)\right\}$ ou «${\overrightarrow{V}}_{I\in 𝒟}(t)=[{\dot{y}}_C(t)+R\dot{\alpha }(t)]{\overrightarrow{u}}_y$»,

     d'où le lien recherché traduisant le roulement sans glissement du demi-disque $𝒟$ sur le plan horizontal «${\dot{y}}_C(t)+R\dot{\alpha }(t)=0\mathrm{\forall }t$».

     Additif : détermination du C.D.I. du demi-disque $\underset{\_}{𝒟}$ : soit le demi-disque $𝒟$ homogène, de masse surfacique ${\sigma }_0$, de centre $C$, de rayon $R$ et de masse $m$ dans sa position d'équilibre ${𝒟}_{\text{éq}}$ $[$l'axe de symétrie de répartition de masse de ${𝒟}_{\text{éq}}$ est donc confondu avec $\overrightarrow{C{z}^{\prime }}$$]$, la position du C.D.I. $G$ de $𝒟$, repérée par rapport à $C$, étant définie par $\overrightarrow{CG}=\frac{{\iint }_{𝒟}\overrightarrow{CM}{\sigma }_{0}d{S}_M}{{\iint }_{𝒟}{\sigma }_{0}d{S}_M}$ ou, $\overrightarrow{C{z}^{\prime }}$ étant un axe de symétrie de répartition de masse de ${𝒟}_{\text{éq}}$ $\Rightarrow$ le C.D.I. de ${𝒟}_{\text{éq}}$ «$G\in C{z}^{\prime }$» et par suite sa détermination s'établit uniquement par l'évaluation de sa cote $z_G{}^{\prime }=\frac{{\iint }_{𝒟}{z}_M{}^{\prime }d{S}_M}{\frac{\pi R^2}{2}}$ $\{{\iint }_{𝒟}d{S}_M$ étant l'aire du demi-disque valant $\frac{\pi R^2}{2}\}$ ou, en repérage polaire de $M$ de pôle $C$ et d'axe polaire $\overrightarrow{C{z}^{\prime }}$, le plan de ${𝒟}_{\text{éq}}$ étant orienté dans le sens trigonométrique direct, $\left\{\begin{array}{c}{z}_M{}^{\prime }=\rho \cos (\theta )\\ d{S}_M=\rho d\rho d\theta \end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ «${\iint }_{𝒟}{z}_M{}^{\prime }d{S}_M=$ ${\int }_{\rho =0}^{\rho =R}{\rho }^2[{\int }_{\theta =-\frac{\pi }{2}}^{\theta =\frac{\pi }{2}}\cos (\theta )d\theta ]d\rho ={\int }_{\rho =0}^{\rho =R}{\rho }^2\left\{{[\sin (\theta )]}_{\theta =-\frac{\pi }{2}}^{\theta =\frac{\pi }{2}}\right\}d\rho =2\frac{R^3}{3}$» d'où «$z_G{}^{\prime }=\frac{2\frac{R^3}{3}}{\frac{\pi R^2}{2}}=\frac{4R}{3\pi }$» C.Q.F.V. ;

                    Additif : détermination du C.D.I. du demi-disque : ce résultat peut aussi être vérifié par utilisation du théorème de Guldin $($théorème hors programme de physique de P.C.S.I.$)$ dont l'énoncé est le suivant :

                    Additif : détermination du C.D.I. du demi-disque : théorème de Guldin relatif à une portion de surface : « La mesure du volume $𝒱$ de l'expansion tridimensionnelle engendrée par la révolution d'une portion de surface plane $𝒟$ autour d'un axe $(\mathrm{\Delta })$ de son plan, et ne coupant pas la portion de surface est égale au produit de l'aire de la portion de surface ${𝒜}_{𝒟}$ par la longueur de la circonférence décrite par son centre d'inertie $G$ soit $\alpha d(\Delta ,G)$ dans laquelle $d(\Delta ,G)$ est la distance orthogonale séparant le C.D.I. de la portion de surface plane à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ de révolution et $\alpha$ l'angle de rotation exprimé en $rad$ soit $𝒱={𝒜}_{𝒟}\times \alpha d(\mathrm{\Delta },G)$» ;                             Additif : détermination du C.D.I. du demi-disque : théorème de Guldin relatif à une portion de surface : application : prenant comme axe de rotation $(\mathrm{\Delta })$ d'application de ce théorème le diamètre limitant le demi-disque $𝒟$ et effectuant un tour complet de rotation autour de cet axe, l'expansion tridimensionnelle engendrée par la révolution de $𝒟$ autour de $(\mathrm{\Delta })$ étant la boule de centre $C$ et de rayon $R$ dont le volume est $𝒱=\frac{4}{3}\pi R^3$ et l'aire du demi-disque étant${𝒜}_{𝒟}=\frac{\pi R^2}{2}$, l'application du théorème de Guldin relatif à une portion de surface nous conduit à $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{\pi R^2}{2}\times \alpha d(\mathrm{\Delta },G)$ avec $\alpha =2\pi$ d'où «$d(\Delta ,G)=$ $\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{\pi R^2}{2}\left(2\pi \right)}=\frac{4R}{3\pi }$» C.Q.F.V.

     Explicitation des vecteurs vitesse et accélération du C.D.I.$\underset{\_}{G}$du demi-disque$\underset{\_}{𝒟}$ : le vecteur position du C.D.I. $G$ du demi-disque $𝒟$ s'évaluant par utilisation de la relation de Chasles selon «$\overrightarrow{OG}(t)=$ $\overrightarrow{OC}(t)+\overrightarrow{CG}(t)=\{y_C(t){\overrightarrow{u}}_y+R{\overrightarrow{u}}_z\}+\{b\sin [\alpha (t)]{\overrightarrow{u}}_y-b\cos [\alpha (t)]{\overrightarrow{u}}_z\}$» ou «$\overrightarrow{OG}(t)\left\{\begin{array}{cc}{y}_C(t)+b\sin [\alpha (t)]& \text{sur }{\overrightarrow{u}}_y\\ R-b\cos [\alpha (t)]& \text{sur }{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$» soit, en dérivant par rapport à $t$ une 1^re fois puis une 2^ème fois,

• les composantes cartésiennes du vecteur vitesse du C.D.I. $G$ du demi-disque $𝒟$ «${\overrightarrow{V}}_G(t)=\frac{d\overrightarrow{OG}}{dt}(t)\left\{\begin{array}{cc}{\dot{y}}_C(t)+b\cos [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)& \text{sur }{\overrightarrow{u}}_y\\ b\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)& \text{sur }{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$» ou encore, en utilisant l'expression traduisant le roulement sans glissement «${\dot{y}}_C(t)=-R\dot{\alpha }(t)$», «${\overrightarrow{V}}_G(t)\left\{\begin{array}{cc}\{-R+b\cos [\alpha (t)]\}\dot{\alpha }(t)& \text{sur }{\overrightarrow{u}}_y\\ b\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)& \text{sur }{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$» soit finalement «${\overrightarrow{V}}_G(t)=\{-R+b\cos [\alpha (t)]\}\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_y+b\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_z$» et
• les composantes cartésiennes du vecteur accélération du C.D.I. $G$ du demi-disque $𝒟$ «${\overrightarrow{a}}_G(t)=\frac{d{\overrightarrow{V}}_G}{dt}(t)\left\{\begin{array}{cc}{\ddot{y}}_C(t)-b\sin [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+b\cos [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)& \text{sur }{\overrightarrow{u}}_y\\ b\cos [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+b\sin [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)& \text{sur }{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$» ou encore, en utilisant l'expression dérivée temporellement traduisant le roulement sans glissement «${\ddot{y}}_C(t)=-R\ddot{\alpha }(t)$», «${\overrightarrow{a}}_G(t)\left\{\begin{array}{cc}\{-R+b\cos [\alpha (t)]\}\ddot{\alpha }(t)-b\sin [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)& \text{sur }{\overrightarrow{u}}_y\\ b\sin [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)+b\cos [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)& \text{sur }{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$» soit finalement «${\overrightarrow{a}}_G(t)=\{\{-R+b\cos [\alpha (t)]\}\ddot{\alpha }(t)-b\sin [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)\}{\overrightarrow{u}}_y+\{b\sin [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)+b\cos [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)\}{\overrightarrow{u}}_z$».

 

Étude énergétique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal

     En admettant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $($ou 2^ème théorème de Kœnig$)$ appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle où $\mu (M)$ est la masse volumique locale en $M$,

          En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle $\left(𝒱\right)$ «${\left\{M[dm=\mu (M)d𝒱]\right\}}_{M\in \left(𝒱\right)}$» évaluée à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ «$K(\text{syst},t)$» est la somme

• de l'énergie cinétique barycentrique du système «$K^{\ast }(\text{syst},t)$» évaluée à l'instant $t$ et
• de l'énergie cinétique du C.D.I. $G$ du système évaluée au même instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ $[$en attribuant au point fictif $G$ la masse $m_{\text{syst}}]$ «$K(G,t)=\frac{1}{2}{m}_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G^2(t)$»

          En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «$K(\text{syst},t)=K^{\ast }(\text{syst},t)+K(G,t)=K^{\ast }(\text{syst},t)+\frac{1}{2}{m}_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G^2(t)$»,

          En admettant le théorème de Kœnig évaluer, dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{terr}}$ et à l'instant $t$, l'énergie cinétique du demi-disque $𝒟$ roulant sans glisser sur le plan horizontal en fonction de «$m$, $R$, $b=CG$ et $\dot{\alpha }(t)$» $\{$pour résoudre cette question il est nécessaire de déterminer le moment d'inertie de $𝒟$ relativement à $\left(Gx\right)$ et pour cela on utilisera le théorème de Huygens liant les moments d'inertie d'un solide relativement à deux axes $\parallel$ dont l'un passe par le C.D.I. $G$ du solide «$J_{\mathrm{\Delta }}\left(𝒮\right)=J_{{\mathrm{\Delta }}_G}\left(𝒮\right)+m_{(𝒮)}{d}^2$ avec $d$ la distance séparant les deux axes »$\}$ ;

     exprimer l'énergie potentielle de pesanteur «$U_{\text{pes}}$» du demi-disque $𝒟$ roulant sans glisser sur le plan horizontal en fonction de «$m$, $R$, $b=CG$ et $\alpha (t)$» puis en déduire

     exprimer l'énergie mécanique dans le champ de pesanteur terrestre «$E_m$» du demi-disque $𝒟$ roulant sans glisser sur le plan horizontal dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ en fonction de «$m$, $R$, $b=CG$, $\alpha (t)$ et $\dot{\alpha }(t)$».

     Rappeler la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement pour un « cœfficient de frottement entre le sol et le demi-disque égal à $f$» $\{$on notera $\overline{R_{\tau }}(t)$ et $R_n(t)$ les composantes tangentielle et normale de la réaction du plan horizontal sur le demi-disque$\}$ puis,

     Rappeler l'expression de la puissance instantanée développée par la réaction du plan horizontal sur le demi-disque dans le cas où ce dernier roule sans glisser sur le 1^er dans le référentiel ${ℛ}_{\text{terr}}$, enfin

     déterminer une intégrale 1^re énergétique du demi-disque $𝒟$ roulant sans glisser sur le plan horizontal dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ ;

     justifier cette affirmation « cette intégrale 1^re énergétique est celle d'un oscillateur $($non harmonique$)$» $\{$on rappellera succinctement la méthode d'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique permettant d'aboutir à cette conclusion$\}$.

     Bien que ce ne soit pas en général simplificateur dans le cas d'un oscillateur non harmonique, déduire de l'intégrale 1^re énergétique, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\alpha (t)$ du mouvement de rotation de $𝒟$ dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{terr}}$.

Solution

Schéma descriptif d'un demi-disque roulant sans glisser sur un plan horizontal et représentation des forces extérieures s'exerçant sur le demi-disque

     Ci-contre le schéma descriptif du demi-disque $𝒟$ homogène, de masse surfacique ${\sigma }_0$, de centre $C$, de C.D.I. $G$, de rayon $R$ et de masse $m$, roulant sans glisser sur le plan horizontal $\left(xOy\right)$ dans le référentiel ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen, les forces extérieures s'exerçant sur $𝒟$ étant

• son poids vertical descendant $m\overrightarrow{g}=-mg{\overrightarrow{u}}_z$ appliqué au C.D.I. $G$ de $𝒟$ et
• la réaction du plan horizontal $\overrightarrow{R}(t)$ se décomposant en une composante tangentielle ${\overrightarrow{R}}_{\tau }(t)=\overline{R_{\tau }}(t){\overrightarrow{u}}_y$ $[{\overrightarrow{R}}_{\tau }(t)$ étant de sens contraire au vecteur vitesse de glissement hypothétique susceptible de se produire selon la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement$]$ et une composante normale ${\overrightarrow{R}}_n(t)=R_n(t){\overrightarrow{u}}_z$ $[$avec ${\overrightarrow{R}}_n(t)$ de sens contraire à la pénétration possible de $𝒟$ dans le plan horizontal $\Rightarrow$ $R_n(t)>0]$.

     Appliquant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $($ou 2^ème théorème de Kœnig$)$ au demi-disque $𝒟$ à l'instant $t$ dans le référentiel ${ℛ}_{\text{terr}}$, nous en déduisons que l'« énergie cinétique, à l'instant $t$ dans le référentiel ${ℛ}_{\text{terr}}$, du demi-disque $𝒟$ roulant sans glisser sur le plan horizontal $K(𝒟,t)$» est la somme de l'« énergie cinétique barycentrique, évaluée à l'instant $t$, du demi-disque $K^{\ast }(𝒟,t)=\frac{1}{2}{J}_{\left(Gx\right)}{\dot{\alpha }}^2(t)$» $\{J_{\left(Gx\right)}$, le moment d'inertie de $𝒟$ relativement à $\left(Gx\right)$, se déterminant à partir de $J=\frac{1}{2}m{R}^2$, le moment d'inertie de $𝒟$ relativement à $\left(Cx\right)$, et de $CG=b$, en utilisant le théorème de Huygens soit $J_{(Cx)}\left(𝒟\right)=J_{(Gx)}\left(𝒟\right)+m_{(𝒟)}{b}^2$ ou $\frac{1}{2}m{R}^2=J_{(Gx)}+m{b}^2$ $\Rightarrow$ «$J_{(Gx)}=m(\frac{R^2}{2}-b^2)$»$\}$ et de l'« énergie cinétique, évaluée dans le référentiel ${ℛ}_{\text{terr}}$ au même instant $t$, du C.D.I. $G$ du demi-disque $K(G,t)=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{V}}_G^2(t)$» avec «${\overrightarrow{V}}_G(t)=$ $\{-R+b\cos [\alpha (t)]\}\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_y+b\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_z$» $($voir solution de la question précédente « étude cinématique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal »$)$ $\Rightarrow$ $K(G,t)=$ $\frac{1}{2}m({\{-R+b\cos [\alpha (t)]\}}^2+b^2{\sin }^2[\alpha (t)]){\dot{\alpha }}^2(t)=\frac{1}{2}m\{R^2+b^2-2Rb\cos [\alpha (t)]\}{\dot{\alpha }}^2(t)$ d'où «$K(𝒟,t)=\frac{1}{2}m(\frac{R^2}{2}-b^2){\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{1}{2}m\{R^2+b^2-2Rb\cos [\alpha (t)]\}{\dot{\alpha }}^2(t)$» soit enfin «$K(𝒟,t)=\frac{1}{2}m\{\frac{3}{2}{R}^2-2Rb\cos [\alpha (t)]\}{\dot{\alpha }}^2(t)=\frac{3}{4}m{R}^2\{1-\frac{4}{3}\frac{b}{R}\cos [\alpha (t)]\}{\dot{\alpha }}^2(t)$» ;

     le poids du demi-disque $m\overrightarrow{g}=-mg{\overrightarrow{u}}_z$ appliqué au C.D.I. $G$ du demi-disque étant conservatif, il « dérive » de l'« énergie potentielle de pesanteur $U_{\text{pes}}(𝒟)=mg{z}_G$» $($avec choix de sa référence sur le plan horizontal $xOy)$ dans laquelle la cote de $G$ à l'instant $t$ vaut «$z_G(t)=R-b\cos [\alpha (t)]$» $($voir solution de la question précédente « étude cinématique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal »$)$ d'où l'expression, à l'instant $t$, de l'énergie potentielle de pesanteur du demi-disque $𝒟$ roulant sans glisser sur le plan horizontal «$U_{\text{pes}}(𝒟,t)=mg\{R-b\cos [\alpha (t)]\}$ avec référence sur $xOy$» ;

     nous en déduisons l'expression, à l'instant $t$, de l'énergie mécanique dans le champ de pesanteur terrestre du demi-disque $𝒟$ roulant sans glisser sur le plan horizontal dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ «$E_m(t)$ $=K(𝒟,t)+U_{\text{pes}}=\frac{3}{4}m{R}^2\{1-\frac{4}{3}\frac{b}{R}\cos [\alpha (t)]\}{\dot{\alpha }}^2(t)+mg\{R-b\cos [\alpha (t)]\}$» soit finalement «$E_m(t)=\frac{3}{4}m{R}^2(\{1-\frac{4}{3}\frac{b}{R}\cos [\alpha (t)]\}{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{4}{3}\frac{g}{R}\{1-\frac{b}{R}\cos [\alpha (t)]\})$».

     Pour que le roulement du demi-disque $𝒟$ sur le plan horizontal $xOy$ se fasse sans glissement il faut que les « composantes tangentielle et normale de la réaction du plan horizontal ${\overrightarrow{R}}_{\tau }(t)={\bar{R}}_{\tau }(t){\overrightarrow{u}}_y$ et $R_n(t)=R_n(t){\overrightarrow{u}}_z$» suivent la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de glissement $($le cœfficient de frottement entre le sol et le demi-disque étant égal à $f)$, à savoir

                    $\succ$« la composante tangentielle ${\overrightarrow{R}}_{\tau }$ est toujours de direction et de sens contraire au mouvement de glissement susceptible de se produire » et

                    $\succ$$|{\bar{R}}_{\tau }(t)|<f|R_n(t)|$ ou, $R_n(t)$ étant nécessairement $>0$, «$|{\bar{R}}_{\tau }(t)|<f{R}_n(t)$» ;

                    la puissance instantanée développée, à l'instant $t$, dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$, par la réaction $\overrightarrow{R}(t)={\overrightarrow{R}}_n(t)+{\overrightarrow{R}}_{\tau }(t)$ du plan horizontal $\left(xOy\right)$ sur le demi-disque $𝒟$ définie selon «$𝒫[\overrightarrow{R}(t)]=$ $\overrightarrow{R}(t)\cdot {\overrightarrow{V}}_{I\in 𝒟}(t)=\cancel{{\overrightarrow{R}}_n(t)\cdot {\overrightarrow{V}}_{I\in 𝒟}(t)+}{\overrightarrow{R}}_{\tau }(t)\cdot {\overrightarrow{V}}_{I\in 𝒟}(t)$» $\{{\overrightarrow{V}}_{I\in 𝒟}(t)\cdot {\overrightarrow{u}}_z$ étant nul même en cas de glissement$\}$ se réécrit, dans les conditions de roulement sans glissement de $𝒟$ sur le plan horizontal $\left(xOy\right)$ où ${\overrightarrow{V}}_{I\in 𝒟}(t)$ $={\overrightarrow{V}}_{I\in \left(xOy\right)}(t)$ $\Rightarrow$ «$𝒫[\overrightarrow{R}(t)]={\overrightarrow{R}}_{\tau }(t)\cdot {\overrightarrow{V}}_{I\in \left(xOy\right)}(t)$» soit finalement «$𝒫[\overrightarrow{R}(t)]=0$» car ${\overrightarrow{V}}_{I\in \left(xOy\right)}(t)=\overrightarrow{0}$ $\{\left(xOy\right)$ étant fixe dans ${ℛ}_{\text{terr}}\}$.

     La force extérieure non conservative appliquée au demi-disque $𝒟$, à savoir la réaction $\overrightarrow{R}(t)$ du plan horizontal $\left(xOy\right)$ sur $𝒟$, ne développant aucune puissance dans le cas d'un roulement sans glissement de $𝒟$ sur le plan horizontal $\left(xOy\right)$, nous en déduisons le caractère « conservatif » du demi-disque $𝒟$ roulant sans glisser sur le plan horizontal $\left(xOy\right)$ et par suite la conservation, dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen, de son énergie mécanique dans le champ de pesanteur terrestre dans le cas de roulement sans glissement sur le plan horizontal, cette conservation constituant l'intégrale 1^re énergétique du demi-disque $𝒟$ roulant sans glisser sur le plan horizontal du référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen «$E_m(t)=E_m(0)$» avec «$E_m(t)=\frac{3}{4}m{R}^2(\{1-\frac{4}{3}\frac{b}{R}\cos [\alpha (t)]\}{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{4}{3}\frac{g}{R}\{1-\frac{b}{R}\cos [\alpha (t)]\})$» ou, avec les C.I. $\{\alpha (0)={\alpha }_0,\dot{\alpha }(0)=0\}$ $\Rightarrow$ «$E_m(0)=\frac{3}{4}m{R}^2\left\{\frac{4}{3}\frac{g}{R}[1-\frac{b}{R}\cos \left({\alpha }_0\right)]\right\}$», l'explicitation de l'intégrale 1^re énergétique du demi-disque $𝒟$ roulant sans glisser sur le plan horizontal du référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen «$\frac{3}{4}m{R}^2(\{1-\frac{4}{3}\frac{b}{R}\cos [\alpha (t)]\}{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{4}{3}\frac{g}{R}\{1-\frac{b}{R}\cos [\alpha (t)]\})=\frac{3}{4}m{R}^2\left\{\frac{4}{3}\frac{g}{R}[1-\frac{b}{R}\cos \left({\alpha }_0\right)]\right\}$» donnant, après division de chaque membre par $\frac{3}{4}m{R}^2$, l'expression simplifiée suivante de l'intégrale 1^re énergétique du demi-disque $𝒟$ roulant sans glisser sur le plan horizontal dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen «$\{1-\frac{4}{3}\frac{b}{R}\cos [\alpha (t)]\}{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{4}{3}\frac{g}{R}\{1-\frac{b}{R}\cos [\alpha (t)]\}=\frac{4}{3}\frac{g}{R}[1-\frac{b}{R}\cos \left({\alpha }_0\right)]\text{:}\left(𝔞\right)$» ;      l'équation différentielle du 1^er ordre en $\alpha (t)$ «$\left(𝔞\right)$» dont le 2^nd membre est constant et dont le 1^er est la somme de deux termes, l'un $\propto$ à ${\dot{\alpha }}^2(t)$ avec un cœfficient de proportionnalité $>0$ correspondant au terme d'énergie cinétique $($à un facteur constant près$)$, l'autre indépendant de $\dot{\alpha }(t)$ correspondant au terme d'énergie potentielle $($au même facteur constant près$)$, caractérise effectivement un oscillateur car
          le diagramme d'énergie potentielle $($au facteur constant près$)$ en fonction du paramètre de position $\alpha (t)$ étant une « courbe sinusoïdale $($analogue au diagramme d'énergie potentielle d'un pendule pesant$)$ avec un minimum d'abscisse $\alpha =0$» et
          celui               d'énergie mécanique $($au même facteur constant près$)$ en fonction du même paramètre de position étant « au-dessus du précédent pour $\alpha \in ]-{\alpha }_0,+{\alpha }_0[$ dans la mesure où ${\alpha }_0$ est $>0$»,
          d'où l'existence de deux murs d'énergie potentielle $($au même facteur constant près$)$ repérés par $\pm {\alpha }_0$ entre lesquels les points génériques des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique $($au même facteur constant près$)$ restent localisés et par suite
          la nature oscillatoire du mouvement de roulement sans glissement du demi-disque $𝒟$ sur le plan horizontal $\left(xOy\right)$ mais le « diagramme d'énergie potentielle $($au même facteur constant près$)$ n'étant pas parabolique », les oscillations sont « non harmoniques ».      Détermination de l'équation différentielle du 2^ème ordre en$\underset{\_}{\alpha (t)}$du mouvement de rotation de$\underset{\_}{𝒟}$dans le référentiel d'étude$\underset{\_}{{ℛ}_{\text{terr}}}$galiléen à partir de l'intégrale 1^re énergétique $\left(𝔞\right)$ du mouvement de $𝒟$ dans ${ℛ}_{\text{terr}}$ : pour cela nous dérivons temporellement «$\left(𝔞\right)\text{:}\{1-\frac{4}{3}\frac{b}{R}\cos [\alpha (t)]\}{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{4}{3}\frac{g}{R}\{1-\frac{b}{R}\cos [\alpha (t)]\}=\frac{4}{3}\frac{g}{R}[1-\frac{b}{R}\cos \left({\alpha }_0\right)]$» d'où, le 1^erterme du membre de gauche étant un produit de deux facteurs et le membre de droite une constante, «$\{\frac{4}{3}\frac{b}{R}\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)\}{\dot{\alpha }}^2(t)+\{1-\frac{4}{3}\frac{b}{R}\cos [\alpha (t)]\}2\dot{\alpha }(t)\ddot{\alpha }(t)+\frac{4}{3}\frac{g}{R}\{\frac{b}{R}\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)\}=0$» soit, en simplifiant par $\dot{\alpha }(t)$ non identiquement nul et en multipliant par $\frac{3}{2}$, l'expression de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\alpha (t)$ du mouvement de rotation de $𝒟$ dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen «$\{3-\frac{4b}{R}\cos [\alpha (t)]\}\ddot{\alpha }(t)+\frac{2b}{R}\sin [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{2gb}{R^2}\sin [\alpha (t)]=0\text{:}\left(𝔟\right)$».

     Additif, démonstration du 2^ème théorème de Kœnig $($non demandé$)$ : voir le paragraphe « démonstration (du théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique - ou 2^ème théorème de Kœnig - appliqué à un système continu de matière) » du chap.$4$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points » $\dots$

 

Étude des petites oscillations rotatives du demi-disque dans son mouvement de roulement sans glissement sur le plan horizontal

     Remarque : cette question étant la 3^ème de l'exercice « Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique » de la série d'exer.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » est rappelée pour mémoire, la différence entre ces deux exercices portant sur l'aspect utilisé pour résoudre le roulement sans glissement du demi-disque $\{$résolution par théorèmes de la dynamique de translation et rotation pour la 2^ème question de l'exercice précité, résolution par théorème énergétique pour la 2^ème question de l'exercice présent$\}$.

     Considérant $|{\alpha }_0|$ petit, montrer que l'équation différentielle en $\alpha (t)$ du mouvement de rotation de $𝒟$ dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{terr}}$ peut être linéarisée et

          Considérant α₀ petit, exprimer le résultat de cette linéarisation ;

          Considérant α₀ petit, en déduire la loi horaire $\alpha (t)$ des petites élongations angulaires de $𝒟$ dans son mouvement de rotation autour de ${\Delta }_G$ ainsi que

          Considérant α₀ petit, en déduire sa période des petites élongations angulaires $T_0$ en fonction de $g$, $R$ et $b$ puis

                  Considérant α₀ petit, en déduire sa période des petites élongations angulaires T en fonction de $g$ et $R$.

Solution

     Remarque : cette question étant la 3^ème de l'exercice « Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique » de la série d'exer.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », sa solution est rappelée ci-dessous pour mémoire.

     Le demi-disque $𝒟$ étant lâché sans vitesse initiale dans une position où son centre $C$ est d'ordonnée $y_0$ et l'angle orienté $\alpha =\widehat{(\overrightarrow{CI},\overrightarrow{CG})}$ de valeur ${\alpha }_0$ telle que $|{\alpha }_0|\ll 1$,
     nous supposons $($ce qui devra être vérifié$)$ «$|\alpha (t)|\ll 1\mathrm{\forall }t$» et, considérant $\alpha (t)$ comme infiniment petit d'ordre un,
     nous faisons un D.L. de l'équation différentielle «$\left(𝔟\right)\{3-\frac{4b}{R}\cos [\alpha (t)]\}\ddot{\alpha }(t)+\frac{2b}{R}\sin [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{2gb}{R^2}\sin [\alpha (t)]=0$» à l'ordre un en $\alpha (t)$ et ses dérivées temporelles,
           nous faisons un D.L. en utilisant que le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un s'obtient en prenant le D.L. de l'autre facteur à l'ordre zéro $\{$dans le produit «$\cos [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)$» «$\ddot{\alpha }(t)$ étant un infiniment petit d'ordre un », il suffit de prendre $\cos [\alpha (t)]$ à l'ordre zéro soit «$\cos [\alpha (t)]\simeq 1$»$\}$,
           nous faisons un D.L. en utilisant qu'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre deux étant au moins d'ordre deux peut être éliminé à l'ordre un $\{$dans le produit «$\sin [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)$» «${\dot{\alpha }}^2(t)$ étant un infiniment petit d'ordre deux » $\Rightarrow$ son D.L. à l'ordre un est «$\sin [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)\simeq 0$»$\}$ et
           nous faisons un D.L. en utilisant que le D.L. à l'ordre un de $\sin [\alpha (t)]$ est «$\sin [\alpha (t)]\simeq \alpha (t)$»,
           nous faisons un D.L. d'où l'expression de l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle $\left(𝔟\right)$ traduisant l'effectivité de la linéarisation de $\left(𝔟\right)$ «$\{3-\frac{4b}{R}\}\ddot{\alpha }(t)+\frac{2gb}{R^2}\alpha (t)=0$» $\iff$ «$\{3R-4b\}\ddot{\alpha }(t)+\frac{2gb}{R}\alpha (t)=0$»
soit, après normalisation, «$\ddot{\alpha }(t)+\frac{2gb}{R(3R-4b)}\alpha (t)=0\left({𝔟}^{\prime }\right)$»
c'est-à-dire l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti ;      l'oscillateur harmonique dont l'équation différentielle est $\left({𝔟}^{\prime }\right)$ étant de pulsation propre «${\omega }_0=\sqrt{\frac{2gb}{R(3R-4b)}}$» nous en déduisons la forme de la loi horaire $\alpha (t)$ des petites élongations angulaires de $𝒟$ dans son mouvement de rotation autour de ${\Delta }_G$ «$\alpha (t)=A\cos ({\omega }_{0}t)+B\sin ({\omega }_{0}t)$ avec $A$ et $B$ constantes à déterminer à l'aide des C.I. $\{\alpha (0)={\alpha }_0,\dot{\alpha }(0)=0\}$» $\Downarrow ⋮$
«$\alpha (t)={\alpha }_0\cos ({\omega }_{0}t)$» ;

     la période des petites élongations angulaires de $𝒟$ dans son mouvement de rotation autour de ${\Delta }_G$ est «$T_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{R(3R-4b)}{2gb}}=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}\sqrt{\frac{3R}{2b}-2}$» ou
      la période des petites élongations angulaires de D dans son mouvement de rotation autour avec $b=\frac{4R}{3\pi }$, «$T_0=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}\sqrt{\frac{3R}{2\frac{4R}{3\pi }}-2}=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}\sqrt{\frac{9\pi }{8}-2}\simeq 2\pi \sqrt{\frac{1,534R}{g}}$».

 

Mouvement d'une barre appuyée contre un mur

Schéma descriptif d'une barre appuyée sans frottement solide contre un mur et reposant également sans frottement solide sur un sol horizontal

     Une barre $AB$, homogène, de longueur $2b$ et de C.D.I. $G$, milieu de $AB$, est posée sur le sol horizontal par son extrémité $A$ et repose, par son autre extrémité $B$, contre un mur vertical, le plan initial $\left(\Pi \right)$ contenant la barre étant vertical $\perp$ au mur ; les contacts sur le sol en $A$ et sur le mur en $B$ sont supposés sans frottement solide.

     Nous nous intéressons au mouvement de la barre dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen et pour cela nous choisissons un repère cartésien associé à ce référentiel avec $O$ le point d'intersection du mur, du sol et du plan vertical $\left(\Pi \right)$ contenant initialement la barre, ${\overrightarrow{u}}_x$ le vecteur unitaire horizontal $\perp$ au plan vertical $\left(\Pi \right)$ et pointant vers le lecteur, son sens orientant les angles algébrisés du plan $\left(\Pi \right)$ dans le sens anti-horaire, ${\overrightarrow{u}}_y$ le vecteur unitaire horizontal du plan $\left(\Pi \right)$ orientant le sol de ce plan en s'éloignant du mur et ${\overrightarrow{u}}_z$ le vecteur unitaire vertical ascendant, la base cartésienne $\{{\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z\}$ étant directe $($voir schéma ci-contre$)$.

     En supposant que la barre, en absence de vitesse initiale, a un mouvement restant localisé dans le plan vertical $\left(\Pi \right)$ contenant initialement la barre, nous repérons la position de celle-ci par l'angle algébrisé «$\alpha (t)=\widehat{[{\overrightarrow{u}}_y,\overrightarrow{OG}(t)]}$».

Justification de la nature plane du mouvement de la barre

     Établir que le mouvement de la barre s'effectue dans le plan vertical $\left(\Pi \right)$ contenant initialement la barre dans la mesure où la barre est lâchée sans vitesse initiale.

Solution

Schéma descriptif d'une barre appuyée sans frottement solide contre un mur et reposant également sans frottement solide sur un sol horizontal avec représentation des forces extérieures appliquées

     Les forces extérieures s'appliquant sur la barre $AB$ posée sur le sol horizontal par son extrémité $A$ et reposant, par son autre extrémité $B$, contre un mur vertical, sont :

• son poids «$m\overrightarrow{g}=-mg{\overrightarrow{u}}_z$» appliqué au C.D.I. $G$ de la barre, force conservative « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur «$U_{\text{pes}}=$ $mg{z}_G$» avec $z_G$ la cote de $G$ et choix de la référence en $z=0$,
• la réaction «${\overrightarrow{R}}_A(t)=R_A(t){\overrightarrow{u}}_z$» appliqué en l'extrémité $A$ de la barre au contact avec le sol $[{\overrightarrow{R}}_A(t)$ étant $\perp$ au plan $xOy$ par absence de frottement solide$]$, force non conservative et
• la réaction «${\overrightarrow{R}}_B(t)=R_B(t){\overrightarrow{u}}_y$» appliqué en l'extrémité $B$ de la barre au contact avec le mur $[{\overrightarrow{R}}_B(t)$ étant $\perp$ au plan $xOz$ par absence de frottement solide$]$, force non conservative ;

     l'application du théorème du mouvement du C.D.I. à la barre dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen s'écrivant «$m\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{R}}_A(t)+{\overrightarrow{R}}_B(t)=$ $m{\overrightarrow{a}}_G(t)$», sa projection sur ${\overrightarrow{u}}_x$ donne $0+0+0=m{a}_{G,x}(t)$ $\Rightarrow$ «$a_{G,x}(t)=0$» s'intégrant en «$V_{G,x}(t)=cste$» c'est-à-dire, en utilisant la « C.I. ${\overrightarrow{V}}_G(0)=0$», «$V_{G,x}(t)=0$» qui s'intègre en «$x_G(t)=cst{e}^{\prime }$» c'est-à-dire, en utilisant la « 2^ème C.I. $\overrightarrow{OG}(0)\in \left(yOz\right)$», «$x_G(t)=0$» prouvant que le mouvement éventuel de $G$ se fait dans le plan $\left(yOz\right)$ ;

     l'application du théorème du moment cinétique vectoriel à la barre dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen, les moments cinétique et de forces extérieures étant évalués relativement au C.D.I. $G$ de la barre s'écrivant «${\overrightarrow{ℳ}}_G[m\overrightarrow{g},t]+{\overrightarrow{ℳ}}_G[{\overrightarrow{R}}_A(t)]+{\overrightarrow{ℳ}}_G[{\overrightarrow{R}}_B(t)]=\frac{d{\overrightarrow{\sigma }}_G(AB)}{dt}(t)$» soit, avec «${\overrightarrow{ℳ}}_G[m\overrightarrow{g},t]=\overrightarrow{0}$» $\{$le bras de levier du poids étant nul$\}$ et «${\overrightarrow{ℳ}}_G[{\overrightarrow{R}}_A(t)]+{\overrightarrow{ℳ}}_G[{\overrightarrow{R}}_B(t)]=[\overrightarrow{GA}(t)\wedge {\overrightarrow{R}}_A(t)]+[\overrightarrow{GB}(t)\wedge {\overrightarrow{R}}_B(t)]$ $\parallel$ à ${\overrightarrow{u}}_x$», «$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\sigma }_{G,y}(AB)}{dt}(t)=0\\ \frac{d{\sigma }_{G,z}(AB)}{dt}(t)=0\end{array}\right\}$» dont nous déduisons «$\left\{\begin{array}{c}{\sigma }_{G,y}(AB,t)=cst{e}_y\\ {\sigma }_{G,z}(AB,t)=cst{e}_z\end{array}\right\}$» soit enfin, en utilisant l'absence de vitesse initiale «$\left\{\begin{array}{c}{\sigma }_{G,y}(AB,t)=0\\ {\sigma }_{G,z}(AB,t)=0\end{array}\right\}$» prouvant que le moment cinétique vectoriel éventuel de la barre évalué par rapport à son C.D.I. $G$ est colinéaire à ${\overrightarrow{u}}_x$ et par suite que le mouvement éventuel de la barre ne peut se faire que dans le plan $\left(yOz\right)$.

 

Établissement de l'intégrale 1^re énergétique du mouvement de la barre

     Exprimer l’intégrale 1^re énergétique du mouvement de la barre en supposant qu’à l’instant initial, celle-ci est immobile avec une inclinaison relativement à l'horizontale «$\widehat{[{\overrightarrow{u}}_y,\overrightarrow{OG}(t=0)]}={\alpha }_0$ $\ne$ de $0$ et $\frac{\pi }{2}$» $\{$nous admettrons que le moment d'inertie $J_{\Delta }$ d'une tige linéique homogène $\left(𝒯\right)$ de masse $m$ et de longueur $𝑙$ par rapport à une médiatrice $\mathrm{\Delta }$ vaut «$J_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{12}m{𝑙}^2$»$\}$ puis

     vérifier que l'inclinaison $\alpha (t)$ de la barre relativement au sol est une fonction $\searrow$ du temps $t$.

Solution

     Les seules forces extérieures non conservatives, à savoir les réactions «${\overrightarrow{R}}_A(t)$ et ${\overrightarrow{R}}_B(t)$» du sol et du mur sur la barre, ne travaillant pas, la barre est un système conservatif $\Rightarrow$ l'énergie mécanique de cette dernière dans le champ de pesanteur terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen «$E_m(t)=K(t)+U_{\text{pes}}(t)$» est conservée dans laquelle $K(t)$ et $U_{\text{pes}}(t)$ sont respectivement les énergies cinétique et potentielle de pesanteur de la barre à expliciter ;

     la 1^re se détermine en utilisant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $($ou 2^ème théorème de Kœnig$)$ appliqué à un solide «$K(t)=K^{\ast }(t)+\frac{1}{2}m{\overrightarrow{V}}_G^2(t)$» dans laquelle «$K^{\ast }(t)$ est l'énergie cinétique barycentrique de la barre » et «${\overrightarrow{V}}_G(t)$ le vecteur vitesse du C.D.I. $G$ de la barre » ;

     la 1^re la barre ayant, dans le référentiel barycentrique ${ℛ}^{\ast }$ un mouvement de rotation autour de l'axe $\left(Gx\right)$ fixe de ${ℛ}^{\ast }$ à la vitesse angulaire $\dot{\alpha }(t)$ nous en déduisons «$K^{\ast }(t)=\frac{1}{2}{J}_{(Gx)}{\dot{\alpha }}^2(t)$» avec $J_{(Gx)}$ le moment d'inertie de la barre par rapport à la médiatrice $\left(Gx\right)$ lequel se réécrit, avec $2b$ pour longueur de barre, «$J_{(Gx)}=\frac{1}{12}m{\left(2b\right)}^2=\frac{1}{3}m{b}^2$» soit finalement «$K^{\ast }(t)=\frac{1}{6}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)$» ;

     la 1^re la barre étant homogène, son C.D.I. $G$ est au milieu de $AB$ et le triangle $AOB$ étant rectangle en $O$ les trois points $(A,O,B)$ sont sur un même cercle de diamètre $AB$ donc de centre $G$ dont nous déduisons «$OG=b$» et par suite «$\overrightarrow{OG}(t)=b\cos [\alpha (t)]{\overrightarrow{u}}_y+b\sin [\alpha (t)]{\overrightarrow{u}}_z$» soit, en dérivant temporellement, «${\overrightarrow{V}}_G(t)=-b\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_y+b\cos [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_z$» $\Rightarrow$ «${\overrightarrow{V}}_G^2(t)=b^2{\dot{\alpha }}^2(t)$» conduisant finalement à «$\frac{1}{2}m{\overrightarrow{V}}_G^2(t)=\frac{1}{2}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)$» ;

     la 1^re l'expression de l'énergie cinétique de la barre dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ à l'instant $t$ est donc «$K(t)=\frac{1}{6}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{1}{2}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)$» soit finalement «$K(t)=\frac{2}{3}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)$» ;

     la 2^nde est «$U_{\text{pes}}(t)=mg{z}_G(t)$» avec «$z_G(t)$ la cote de $G$ à l'instant $t$ à savoir $z_G(t)=b\sin [\alpha (t)]$», la référence de l'énergie potentielle de la barre ayant été choisie au niveau du sol, soit «$U_{\text{pes}}(t)=$ $mgb\sin [\alpha (t)]$» ;

     finalement l'expression, à l'instant $t$, de l'énergie mécanique de la barre soumis au champ de pesanteur terrestre dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen est «$E_m(t)=K(t)+U_{\text{pes}}(t)=\frac{2}{3}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)+mgb\sin [\alpha (t)]$» ;      cette dernière étant conservée et sa valeur initiale étant «$E_{m,0}=K(0)+U_{\text{pes}}(0)=mgb\sin \left({\alpha }_0\right)$» $\{$absence de vitesse initiale et $\widehat{[{\overrightarrow{u}}_y,\overrightarrow{OG}(t=0)]}={\alpha }_0\}$, l'intégrale 1^re énergétique de la barre dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen est «$E_m(t)=E_{m,0}$ soit $\frac{2}{3}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)+mgb\sin [\alpha (t)]=mgb\sin \left({\alpha }_0\right)$» ou
après simplification «$\frac{2}{3}b{\dot{\alpha }}^2(t)+g\sin [\alpha (t)]=g\sin \left({\alpha }_0\right)\text{:}\left(𝔞\right)$».

     Vérification de la décroissance de α(t) : De la relation $\left(𝔞\right)$ nous déduisons «$\sin [\alpha (t)]-\sin \left({\alpha }_0\right)=-\frac{2b}{3g}{\dot{\alpha }}^2(t)⩽0$» soit, sur $]0,\frac{\pi }{2}[$, «$\alpha (t)⩽{\alpha }_0$» ;

     Vérification de la décroissance de α(t) : si, en utilisant la relation $\left(𝔞\right)$, nous traçons le diagramme d'énergies potentielle et mécanique $($à un facteur multiplicatif près$)$, la courbe d'énergie potentielle $\left({{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}_u\right)$, $($au facteur multiplicatif près$)$, c'est-à-dire le quart de motif sinusoïdal sur $]0,\frac{\pi }{2}[$, est $\nearrow$ et la courbe d'énergie mécanique $\left({{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}_m\right)$, $($au même facteur multiplicatif près$)$, c'est-à-dire la droite $\parallel$ à l'axe des $\alpha$ d'ordonnée $g\sin \left({\alpha }_0\right)$ étant située au-dessous de $\left({{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}_u\right)$ pour $\alpha >{\alpha }_0$, nous observons l'existence d'un mur d'énergie potentielle $($au même facteur multiplicatif près$)$ en $\alpha ={\alpha }_0$ rendant l'intervalle «$]{\alpha }_0,\frac{\pi }{2}[$ interdit » d'où, ${\alpha }_0$ n'étant pas une position d'équilibre $[$car la pente de $\left({{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}_u\right)$ en ${\alpha }_0$ n'est pas nulle$]$, $\alpha \searrow$ $\Rightarrow$ l'énergie cinétique de la barre $\nearrow$ jusqu'en $\alpha =0$.

     Additif : détermination du moment d'inertie d'une tige homogène relativement à une médiatrice : soit une tige $\left(𝒯\right)$ homogène, de masse linéique ${\lambda }_0$, de longueur $𝑙$, de C.D.I. $G$ et de masse $m$, le moment d'inertie $J$ de $\left(𝒯\right)$ relativement à une médiatrice $\left(\mathrm{\Delta }\right)$ étant définie par «$J_{\mathrm{\Delta }}=\underset{M\in \left(𝒯\right)}{\int }{\lambda }_0|x_M{|}^{2}d{x}_M$» avec $x_M=\overline{GM}$ orienté dans n'importe quel sens, soit «$J_{\mathrm{\Delta }}={\lambda }_0{\int }_{-\frac{𝑙}{2}}^{+\frac{𝑙}{2}}{x}_M^{2}d{x}_M={\lambda }_0{\left[\frac{x_M^3}{3}\right]}_{-\frac{𝑙}{2}}^{+\frac{𝑙}{2}}$ $=2{\lambda }_0\frac{{𝑙}^3}{24}={\lambda }_0\frac{{𝑙}^3}{12}$» dans laquelle nous pouvons reconnaître la masse de la tige $\left(𝒯\right)$ «$m=\underset{M\in \left(𝒯\right)}{\int }{\lambda }_{0}d{x}_M$» égale à «$m={\lambda }_0{\int }_{-\frac{𝑙}{2}}^{+\frac{𝑙}{2}}d{x}_M={\lambda }_0𝑙$» d'où «$J_{\mathrm{\Delta }}=\frac{m{𝑙}^2}{12}$» C.Q.F.V.

 

Détermination de l'inclinaison de la barre relativement au sol à partir de laquelle celle-ci quitte le mur

     Évaluer la réaction ${\overrightarrow{R}}_B(t)$ du mur sur la barre et

     en déduire pour quelle inclinaison «$\widehat{[{\overrightarrow{u}}_y,\overrightarrow{OG}(t_1)]}={\alpha }_1$» relativement à l'horizontale la barre quitte le mur.

Solution

     Le théorème du mouvement du C.D.I. appliqué à la barre dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen «$m\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{R}}_A(t)+{\overrightarrow{R}}_B(t)=m{\overrightarrow{a}}_G(t)$» se projette sur ${\overrightarrow{u}}_y$ selon «$0+0+R_B(t)=m{a}_{G,y}(t)$» avec ${\overrightarrow{a}}_G(t)=\frac{d{\overrightarrow{V}}_G}{dt}(t)$ dans lequel ${\overrightarrow{V}}_G(t)=-b\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_y+b\cos [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_z$ $\Rightarrow$ «${\overrightarrow{a}}_G(t)=\{-b\cos [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)-b\sin [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)\}{\overrightarrow{u}}_y+\{-b\sin [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+b\cos [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)\}{\overrightarrow{u}}_z$» d'où l'expression de la réaction du mur sur la barre «${\overrightarrow{R}}_B(t)=R_B(t){\overrightarrow{u}}_y$ avec $R_B(t)=-mb\{\cos [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+\sin [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)\}\text{:}\left(𝔟\right)$» ;

     à partir de la relation «$\left(𝔞\right)\text{:}\frac{2}{3}b{\dot{\alpha }}^2(t)+g\sin [\alpha (t)]=g\sin \left({\alpha }_0\right)$» on tire «${\dot{\alpha }}^2(t)=\frac{3g}{2b}\{\sin \left({\alpha }_0\right)-\sin [\alpha (t)]\}\text{:}\left({𝔞}^{\prime }\right)$» d'une part et

     en la dérivant temporellement «${\dot{\alpha }}^2(t)=\frac{3g}{2b}\{\sin \left({\alpha }_0\right)-\sin [\alpha (t)]\}$» on tire«$2\dot{\alpha }(t)\ddot{\alpha }(t)=\frac{3g}{2b}\{-\cos [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)\}$» ou «$\ddot{\alpha }(t)=-\frac{3g}{4b}\cos [\alpha (t)]\text{:}\left({𝔞}^{″}\right)$» d'autre part,

     le report des relations $\left({𝔞}^{\prime }\right)$ et $\left({𝔞}^{″}\right)$ dans la relation $\left(𝔟\right)$ conduisant à «$\frac{R_B(t)}{-mb}=\cos [\alpha (t)]\frac{3g}{2b}\{\sin \left({\alpha }_0\right)-\sin [\alpha (t)]\}+\sin [\alpha (t)]\{-\frac{3g}{4b}\cos [\alpha (t)]\}=-\frac{3g}{4b}\cos [\alpha (t)]\{3\sin [\alpha (t)]-2\sin \left({\alpha }_0\right)\}$» soit finalement l'expression de la réaction du mur sur la barre «${\overrightarrow{R}}_B(t)=R_B(t){\overrightarrow{u}}_y$ avec $R_B(t)=\frac{3}{4}mg\cos [\alpha (t)]\{3\sin [\alpha (t)]-2\sin \left({\alpha }_0\right)\}$».

     La condition pour que la barre ne quitte pas le mur étant «$R_B(t)>0$» nous vérifions que celle-ci est validée à l'instant initial car «$R_B(0)=\frac{3}{4}mg\cos \left({\alpha }_0\right)\sin \left({\alpha }_0\right)=\frac{3}{8}mg\sin \left(2{\alpha }_0\right)>0$» et

                La condition pour que la barre ne quitte pas le mur étant RB(t) > 0 nous vérifions qu'elle cesse d'être validée quand l'inclinaison de la barre relativement au sol vérifie «$3\sin [\alpha (t)]<2\sin \left({\alpha }_0\right)$» soit finalement,

     l'expression de l'inclinaison «$\widehat{[{\overrightarrow{u}}_y,\overrightarrow{OG}(t_1)]}={\alpha }_1$» relativement à l'horizontale à partir de laquelle la barre quitte le mur «${\alpha }_1=\arcsin [\frac{2}{3}\sin \left({\alpha }_0\right)]$».

 

Fermeture d'une portière de voiture lors d'un démarrage

Schéma descriptif, en vue de dessus, d'une voiture démarrant, portière avant gauche ouverte, sur une route horizontale

     Une voiture démarre sur une route horizontale avec un vecteur accélération ${\overrightarrow{a}}_{\text{voit}}$ égal à $\overrightarrow{a}$ constant relativement au référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen $($voir le schéma en vue de dessus ci-contre$)$ ;

     initialement la portière avant gauche est grande ouverte $($avec un axe de rotation $\mathrm{\Delta }$ vertical orienté par le vecteur unitaire ${\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}$ descendant$)$, faisant un angle ${\alpha }_0=90\text{°}$ avec le châssis de la voiture $($les angles algébrisés des plans horizontaux étant orientés par ${\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}$ c'est-à-dire, sur le schéma ci-contre, dans le sens horaire$)$, la liaison entre la portière et l'axe de ses gonds étant du type liaison pivot idéale.

     Nous nous proposons de déterminer, de deux façons différentes, le mouvement de fermeture de la portière initialement restée ouverte lors du démarrage de la voiture en l'étudiant d'une part dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen et d'autre part dans le référentiel lié à la voiture ${ℛ}_{\text{voit}}$ non galiléen $({ℛ}_{\text{voit}}$ en translation rectiligne non uniforme relativement à ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen n'étant donc pas galiléen$)$.

     Pour cette étude le champ de pesanteur terrestre $\overrightarrow{g}$ est uniforme d'intensité $g$ et nous supposons que la liaison de la portière sur ses gonds est parfaite ;

     la portière, de masse $m$, de C.D.I. $G$, de moment d’inertie $J_{\Delta }$ relativement à l’axe $\mathrm{\Delta }$ de ses gonds est modélisée par un parallélépipède rectangle homogène de largeur $b$, de hauteur $h$ et d’épaisseur faible par rapport aux deux autres dimensions $[$soit encore, une modélisation surfacique par un rectangle homogène de largeur $b$ et de hauteur $h]$, on admettra que $J_{\Delta }$ s'évalue selon «$J_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{3}m{b}^2$».

Étude du mouvement de fermeture de la portière dans le référentiel terrestre galiléen

     Appliquer le théorème de la puissance cinétique à la portière dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen lors du démarrage de la voiture $\{$l'énergie cinétique de la portière dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen lors du démarrage de la voiture étant explicitée en admettant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $($ou 2^ème théorème de Kœnig$)$ appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique à savoir,

          dans le cas d'une expansion surfacique où $\sigma (M)$ est la masse surfacique locale en $M$, l'énergie cinétique du système continu d'expansion surfacique $\left(𝒮\right)$ «${\left\{M(dm=\sigma (M)dS)\right\}}_{M\in \left(𝒮\right)}$» évaluée à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ «$K(\text{syst},t)$» est la somme

• de l'énergie cinétique barycentrique du système «$K^{\ast }(\text{syst},t)$» évaluée à l'instant $t$ $[$on admettra le théorème de Huygens liant les moments d'inertie d'un solide relativement à deux axes $\parallel$ dont l'un passe par le C.D.I. $G$ du solide «$J_{\mathrm{\Delta }}\left(\text{sol}\right)=J_{{\mathrm{\Delta }}_G}\left(\text{sol}\right)+m_{(\text{sol})}{d}^2$ avec $d$ la distance séparant les deux axes »$]$ et
• de l'énergie cinétique du C.D.I. $G$ du système évaluée au même instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ $[$en attribuant au point fictif $G$ la masse $m_{\text{syst}}]$ «$K(G,t)=\frac{1}{2}{m}_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G^2(t)$»

          soit, mathématiquement «$K(\text{syst},t)=K^{\ast }(\text{syst},t)+K(G,t)=K^{\ast }(\text{syst},t)+\frac{1}{2}{m}_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G^2(t)$»$\}$ et

     en intégrant une fois relativement au temps, déterminer l'intégrale 1^re énergétique du mouvement de la portière dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen puis

     en déduire la vitesse angulaire de rotation $\dot{\alpha }(t)$ de la portière autour de ses gonds à l'instant $t$ en fonction, entre autres, de son angle d'ouverture $\alpha (t)$ et

     en déduire la durée $\mathrm{\Delta }{t}_{\text{ferm}}$, sous forme intégrale, nécessaire pour que la portière se referme $[$c'est-à-dire déterminer l'instant $t_{\text{ferm}}$ à partir duquel $\alpha (t_{\text{ferm}})=0]$.

Solution

     Pour étudier le mouvement de la portière dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen, nous lui associons un repère cartésien «$\{O,({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)\}$ avec «$O$ un point fixe de la route » sur laquelle la voiture démarre, «$({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ une base orthonormée directe » où «${\overrightarrow{u}}_y$ est le vecteur unitaire porté par la route horizontale dans le sens du vecteur accélération ${\overrightarrow{a}}_{\text{voit}}=\overrightarrow{a}$ de la voiture », «${\overrightarrow{u}}_z={\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}$ le vecteur unitaire vertical descendant » et «${\overrightarrow{u}}_x={\overrightarrow{u}}_y\wedge {\overrightarrow{u}}_z$ le vecteur unitaire horizontal $\perp$ à la route dirigé vers le côté où la portière est restée ouverte ».

     La portière étant un solide, les forces intérieures appliquées à cette dernière développent des puissances se compensant deux à deux, seules les forces extérieures s'exerçant sur elle sont à prendre en compte c'est-à-dire

• le poids de la portière «$m\overrightarrow{g}=mg{\overrightarrow{u}}_z$» appliqué au C.D.I. $G$ de cette dernière développant, dans ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen, une puissance «$𝒫[m\overrightarrow{g},t]=m\overrightarrow{g}\cdot {\overrightarrow{V}}_{G/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)=0$» $\{$le mouvement de $G$ dans ${ℛ}_{\text{terr}}$ résultant de la composition du mouvement rectiligne uniformément accéléré de la voiture le long de la route $($donc $\perp$ à $m\overrightarrow{g})$ $[$ou de $O_{\mathrm{\Delta }}$ le point fixe de l'axe de rotation $\mathrm{\Delta }$ de la portière choisi dans le plan horizontal passant par $G]$, et du mouvement de rotation de la portière autour de son axe de rotation $\mathrm{\Delta }$ de vecteur rotation instantanée «$\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}$» $($donc également $\perp$ à $m\overrightarrow{g}\left)\right\}$ et
• les actions de l'axe des gonds sur la portière modélisées en une « résultante $\overrightarrow{R}(t)$ appliquée en $O_{\mathrm{\Delta }}$» et un « couple de moment vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}(t)$ de direction $\perp$ à $\mathrm{\Delta }$ dans la mesure où la liaison pivot est idéale », ces actions développant, dans ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen, une puissance «$𝒫[\overrightarrow{R}(t)]+𝒫[\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }},t]=\overrightarrow{R}(t)\cdot {\overrightarrow{V}}_{O_{\mathrm{\Delta }}/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)+\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}\cdot \dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}$» dans laquelle
  les actions «$𝒫[\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }},t]=0$ $\{\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}$ étant $\perp$ à ${\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}\}$» mais
  les actions «$𝒫[\overrightarrow{R}(t)]\ne 0$ dans la mesure où $\overrightarrow{R}(t)$ doit avoir une composante horizontale pour que la portière reste attachée à la voiture » en effet
            les actions l'application du théorème du mouvement du C.D.I. à la portière dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen s'écrivant «$m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{R}(t)=m{\overrightarrow{a}}_{G/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)\text{:}\left(𝔞\right)$» où le « vecteur accélération du C.D.I. ${\overrightarrow{a}}_{G/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)$» étant la dérivée temporelle du « vecteur vitesse correspondant ${\overrightarrow{V}}_{G/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)=$ ${\overrightarrow{V}}_{O_{\mathrm{\Delta }}/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)+\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}\wedge \overrightarrow{O_{\mathrm{\Delta }}G}(t)$» $\{$le mouvement de $G$ dans ${ℛ}_{\text{terr}}$ résultant de la composition du mouvement rectiligne uniformément accéléré de la voiture le long de la route $[$ou de $O_{\mathrm{\Delta }}$ le point fixe de l'axe de rotation $\mathrm{\Delta }$ de la portière choisi dans le plan horizontal passant par $G]$, et du mouvement de rotation de la portière autour de son axe de rotation $\mathrm{\Delta }$ de vecteur rotation instantanée «$\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}$»$\}$ soit «${\overrightarrow{V}}_{G/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)=at{\overrightarrow{u}}_y+\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_z\wedge \{-\frac{b}{2}\cos [\alpha (t)]{\overrightarrow{u}}_y+\frac{b}{2}\sin [\alpha (t)]{\overrightarrow{u}}_x\}$ ou, en développant, ${\overrightarrow{V}}_{G/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)$ $=\frac{b}{2}\cos [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_x+\{at+\frac{b}{2}\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)\}{\overrightarrow{u}}_y$» $\Rightarrow$ «${\overrightarrow{a}}_{G/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)=\frac{b}{2}\{-\sin [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+\cos [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)\}{\overrightarrow{u}}_x+\{a+\frac{b}{2}\cos [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{b}{2}\sin [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)\}{\overrightarrow{u}}_y$» conduisant finalement, en projetant la relation $\left(𝔞\right)$ sur ${\overrightarrow{u}}_x$, ${\overrightarrow{u}}_y$ et ${\overrightarrow{u}}_z$ $\left\{\begin{array}{ccc}0+R_x(t)& =& m\frac{b}{2}\{-\sin [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+\cos [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)\}\\ 0+R_y(t)& =& m\{a+\frac{b}{2}\cos [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{b}{2}\sin [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)\}\\ mg+R_z(t)& =& 0\end{array}\right\}$ dont nous déduisons l'expression de la résultante des actions des gonds sur la portière «$\overrightarrow{R}(t)=m\frac{b}{2}\{-\sin [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+\cos [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)\}{\overrightarrow{u}}_x+m\{a+\frac{b}{2}\cos [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{b}{2}\sin [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)\}{\overrightarrow{u}}_y-mg{\overrightarrow{u}}_z$» et par suite,
            les actions la puissance développée par cette résultante, dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$, «$𝒫[\overrightarrow{R}(t)]=\overrightarrow{R}(t)\cdot {\overrightarrow{V}}_{O_{\mathrm{\Delta }}/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)=$ $m\{a+\frac{b}{2}\cos [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{b}{2}\sin [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)\}at$» ;

     pour déterminer l'énergie cinétique de la portière dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen «$K_{\text{port}/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)$», nous appliquons à la portière, lors du démarrage de la voiture, le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $($ou 2^ème théorème de Kœnig$)$ soit «$K_{\text{port}/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)=K^{\ast }(\text{port},t)+\frac{1}{2}m{\overrightarrow{V}}_{G/{ℛ}_{\text{terr}}}^2(t)$» avec
     pour déterminer l'énergie cinétique «$K^{\ast }(\text{port},t)=\frac{1}{2}{J}_{{\mathrm{\Delta }}_G}{\dot{\alpha }}^2(t)$» l'énergie cinétique barycentrique de la portière à l'instant $t$ $\{$«$J_{{\mathrm{\Delta }}_G}$» étant le moment d'inertie de la portière relativement à l'axe ${\Delta }_G$ passant par $G$ et $\parallel$ à l'axe des gonds $\mathrm{\Delta }$ lié au moment d'inertie «$J_{\Delta }$» de cette dernière relativement à l'axe des gonds selon le théorème de Huygens «$J_{\mathrm{\Delta }}=J_{{\mathrm{\Delta }}_G}+m{\left(\frac{b}{2}\right)}^2$ $\Rightarrow$ $J_{{\mathrm{\Delta }}_G}=J_{\mathrm{\Delta }}-m\frac{b^2}{4}$» soit encore, avec «$J_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{3}m{b}^2$», «$J_{{\mathrm{\Delta }}_G}=\frac{1}{3}m{b}^2-\frac{1}{4}m{b}^2=\frac{1}{12}m{b}^2$»$\}$ $\Rightarrow$ «$K^{\ast }(\text{port},t)=\frac{1}{24}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)$» et
     pour déterminer l'énergie cinétique «$K(G,t)=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{V}}_{G/{ℛ}_{\text{terr}}}^2(t)$» l'énergie cinétique du C.D.I. $G$ de la portière évaluée au même instant $t$ dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ dans laquelle «${\overrightarrow{V}}_{G/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)=$ $\frac{b}{2}\cos [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_x+\{at+\frac{b}{2}\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)\}{\overrightarrow{u}}_y$» soit «$K(G,t)=\frac{1}{2}m{[\frac{b}{2}\cos [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_x+\{at+\frac{b}{2}\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)\}{\overrightarrow{u}}_y]}^2$» ou, en développant le carré scalaire puis le carré du 2^ème terme, «$K(G,t)$ $=\frac{1}{2}m[\frac{b^2}{4}{\cos }^2[\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+{\{at+\frac{b}{2}\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)\}}^2]=\frac{1}{2}m[\frac{b^2}{4}{\cos }^2[\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+\{a^2{t}^2+\frac{b^2}{4}{\sin }^2[\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+atb\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)\}]$» soit, après simplification évidente, «$K(G,t)$ $=\frac{1}{2}m[\frac{b^2}{4}{\dot{\alpha }}^2(t)+a^2{t}^2+atb\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)]$» dont nous déduisons
     pour déterminer l'énergie cinétique «$K_{\text{port}/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)=K^{\ast }(\text{port},t)+K(G,t)=\frac{1}{24}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{1}{2}m[\frac{b^2}{4}{\dot{\alpha }}^2(t)+a^2{t}^2+atb\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)]$» soit finalement «$K_{\text{port}/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)=\frac{1}{6}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{1}{2}m{a}^2{t}^2+\frac{1}{2}matb\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)$» ;

     l'application du théorème de la puissance cinétique à la portière dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen lors du démarrage de la voiture «${\dot{K}}_{\text{port}/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)=𝒫[m\overrightarrow{g},t]+𝒫[\overrightarrow{R}(t)]+𝒫[\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }},t]$» s'explicite, en réinjectant les expressions des puissances des actions précédemment trouvées, selon «$\frac{d{K}_{\text{port}/{ℛ}_{\text{terr}}}}{dt}(t)=m\{a+\frac{b}{2}\cos [\alpha (t)]{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{b}{2}\sin [\alpha (t)]\ddot{\alpha }(t)\}at\text{:}\left(𝔟\right)$».

     Intégrant l'équation $\left(𝔟\right)$ entre les instants initial et quelconque $t$ $\{$ce qui revient à appliquer le théorème de l'énergie cinétique à la portière dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen sur l'intervalle $[0,t]$ du démarrage de la voiture$\}$, nous obtenons «$K_{\text{port}/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)\cancel{-K_{\text{port}/{ℛ}_{\text{terr}}}(0)}=ma{\int }_0^t\{a{t}^{\prime }+\frac{b}{2}{t}^{\prime }\cos [\alpha (t^{\prime })]{\dot{\alpha }}^2(t^{\prime })+\frac{b}{2}{t}^{\prime }\sin [\alpha (t^{\prime })]\ddot{\alpha }(t^{\prime })\}d{t}^{\prime }=ma{\int }_0^t\{a{t}^{\prime }+\frac{b}{2}{t}^{\prime }\frac{d[\sin \left(\alpha \right)\dot{\alpha }]}{d{t}^{\prime }}(t^{\prime })\}d{t}^{\prime }=$ $m{a}^2\frac{t^2}{2}+ma\frac{b}{2}{\int }_0^t{t}^{\prime }\frac{d[\sin \left(\alpha \right)\dot{\alpha }]}{d{t}^{\prime }}(t^{\prime })d{t}^{\prime }$», cette dernière intégrale se calculant par I.p.p. selon «${\int }_0^t{t}^{\prime }\frac{d[\sin \left(\alpha \right)\dot{\alpha }]}{d{t}^{\prime }}(t^{\prime })d{t}^{\prime }={\left[t^{\prime }\{\sin [\alpha (t^{\prime })]\dot{\alpha }(t^{\prime })\}\right]}_0^t-{\int }_0^t\sin [\alpha (t^{\prime })]\dot{\alpha }(t^{\prime })d{t}^{\prime }$» soit encore «${\int }_0^t{t}^{\prime }\frac{d[\sin \left(\alpha \right)\dot{\alpha }]}{d{t}^{\prime }}(t^{\prime })d{t}^{\prime }$ $=t\{\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)\}+{\int }_0^t\frac{d\cos \left(\alpha \right)}{d{t}^{\prime }}(t^{\prime })d{t}^{\prime }=\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)t+[\cos [\alpha (t^{\prime })]{]}_0^t=\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)t+\cos [\alpha (t)]$» $[$car $\alpha (0)=\frac{\pi }{2}]$ d'où l'évaluation du membre de droite de l'application du théorème de l'énergie cinétique $\{$c'est-à-dire du travail des forces extérieures s'exerçant sur la portière$\}$ «$W_{\text{ext},[0,t]}=m{a}^2\frac{t^2}{2}+ma\frac{b}{2}\{\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)t+\cos [\alpha (t)]\}$» et, en utilisant l'explication précédente de l'énergie cinétique de la portière «$K_{\text{port}/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)=\frac{1}{6}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{1}{2}m{a}^2{t}^2+\frac{1}{2}matb\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)$», l'expression de l'intégrale 1^re énergétique du mouvement de la portière dans le référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen lors du démarrage de la voiture «$\frac{1}{6}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)+\frac{1}{2}m{a}^2{t}^2+\frac{1}{2}matb\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)=m{a}^2\frac{t^2}{2}+ma\frac{b}{2}\{\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)t+\cos [\alpha (t)]\}$» ou
après simplification évidente «$\frac{1}{6}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)=ma\frac{b}{2}\cos [\alpha (t)]\text{:}\left(𝔠\right)$»
ou encore «$\frac{1}{3}b{\dot{\alpha }}^2(t)=a\cos [\alpha (t)]\text{:}\left({𝔠}^{\prime }\right)$».

     De la relation $\left({𝔠}^{\prime }\right)$ nous déduisons la vitesse angulaire de rotation $\dot{\alpha }(t)$ de la portière autour de ses gonds à l'instant $t$ «$\dot{\alpha }(t)=-\sqrt{\frac{3a\cos [\alpha (t)]}{b}}$» $\{$la fonction $\alpha (t)$ étant $\searrow \}$.

     Pour intégrer «$\frac{d\alpha }{dt}(t)=-\sqrt{\frac{3a\cos [\alpha (t)]}{b}}$» nous séparons les variables soit «$\frac{d\alpha }{\sqrt{\cos \left(\alpha \right)}}=-\sqrt{\frac{3a}{b}}dt$» $\Rightarrow$ «$dt=-\sqrt{\frac{b}{3a}}\frac{d\alpha }{\sqrt{\cos \left(\alpha \right)}}$» dont nous déduisons la durée $\mathrm{\Delta }{t}_{\text{ferm}}$ nécessaire pour que la portière se referme «$\mathrm{\Delta }{t}_{\text{ferm}}={\int }_{\frac{\pi }{2}}^0-\sqrt{\frac{b}{3a}}\frac{d\alpha }{\sqrt{\cos \left(\alpha \right)}}$» soit finalement l'expression sous forme intégrale de la durée de fermeture de la portière «$\mathrm{\Delta }{t}_{\text{ferm}}=\sqrt{\frac{b}{3a}}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\alpha }{\sqrt{\cos \left(\alpha \right)}}$».

     Additif : évaluation numérique de l'intégrale «${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\alpha }{\sqrt{\cos (\alpha )}}$» par utilisation du logiciel de calcul « Scilab », les lignes de programme (en noir), les réponses de Scilab (en rouge) et mes commentaires entre parenthèses (en bleu) donnant :

                                                   Additif : évaluation numérique de l'intégralefunction y = f(u) ; y = 1/sqrt(cos(u)) ; endfunction

                                                   Additif : évaluation numérique de l'intégrale%Delta = integrate('f(u)','u',0,%pi/2)                                        %Delta = 2.6220576      (évaluation numérique de l'intégrale)

d'où «$\mathrm{\Delta }{t}_{\text{ferm}}\simeq \sqrt{\frac{b}{3a}}\times 2,622\simeq 1,514\sqrt{\frac{b}{a}}$» par exeemple,
si $b=80cm$ et $a=3m\cdot s^{-2}$, «$\mathrm{\Delta }{t}_{\text{ferm}}\simeq 1,514\sqrt{\frac{0,80}{3,0}}\simeq 0,78s$».

     Additif, démonstration du 2^ème théorème de Kœnig $($non demandé$)$ : voir le paragraphe « démonstration (du théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique - ou 2^ème théorème de Kœnig - appliqué à un système continu de matière) » du chap.$4$ de la leçon « Mécanique des systèmes de points » $\dots$

     Additif : détermination du moment d'inertie d'une plaque homogène rectangulaire relativement à un côté : soit une plaque $\left(𝒫\right)$ homogène, de masse surfacique ${\sigma }_0$, de hauteur $h$, de largeur $𝑙$ et de masse $m$, le moment d'inertie $J$ de $\left(𝒫\right)$ relativement à un de ses côtés $AB$ de hauteur $h$ étant définie par «$J_{AB}=\underset{M\in \left(𝒫\right)}{\iint }{\sigma }_{0}H{M}^{2}d{S}_M$» avec «$H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $AB$» et «$d{S}_M$ l'aire de la surface élémentaire de centre $M$», soit en repérage cartésien, avec «$O$ le milieu de $AB$», «$\overrightarrow{Oy}$ choisi sur $AB$ de $A$ vers $B$» et «$\overrightarrow{Ox}$ $\perp$ à $AB$ choisi sur la surface de $\left(𝒫\right)$ dirigé vers le côté opposé à $AB$», «$d{S}_M$ $=d{x}_{M}d{y}_M$» et «$HM=x_M$», «$J_{AB}={\sigma }_0{\int }_0^{𝑙}{x}_M^2\left[{\int }_{-\frac{h}{2}}^{+\frac{h}{2}}d{y}_M\right]d{x}_M={\sigma }_{0}h{\left[\frac{x_M^3}{3}\right]}_0^{𝑙}={\sigma }_{0}h\frac{{𝑙}^3}{3}$» dans laquelle nous pouvons reconnaître la masse de la plaque $\left(𝒫\right)$ «$m={\sigma }_{0}h𝑙$» d'où «$J_{AB}=$ $\frac{m{𝑙}^2}{3}$» C.Q.F.V.

 

Étude du mouvement de fermeture de la portière dans le référentiel voiture non galiléen

     En admettant que les théorèmes de la dynamique des systèmes continus fermés de matière s'appliquent encore dans un référentiel non galiléen $ℛ$ en translation relativement à un référentiel galiléen ${ℛ}_{\text{gal}}$ à condition d'ajouter aux forces extérieures appliquées en chaque pseudo-point $M\left(dm\right)$ du système, les « pseudo-forces d'inertie d'entraînement $d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)=-dm{\overrightarrow{a}}_{ℛ/{ℛ}_{\text{gal}}}(t)$» dans lesquelles «${\overrightarrow{a}}_{ℛ/{ℛ}_{\text{gal}}}(t)$ est le vecteur accélération, à l'instant $t$, du référentiel non galiléen relativement au référentiel galiléen »,

     écrire l'intégrale 1^re énergétique du mouvement de la portière dans le référentiel voiture ${ℛ}_{\text{voit}}$ non galiléen lors du démarrage de celle-ci dans le référentiel terrestre puis

     en déduire la vitesse angulaire de rotation $\dot{\alpha }(t)$ de la portière autour de ses gonds à l'instant $t$ en fonction, entre autres, de son angle d'ouverture $\alpha (t)$ et

     en déduire la durée $\mathrm{\Delta }{t}_{\text{ferm}}$, sous forme intégrale, nécessaire pour que la portière se referme $[$c'est-à-dire déterminer l'instant $t_{\text{ferm}}$ à partir duquel $\alpha (t_{\text{ferm}})=0]$.

Solution

étude du mouvement relatif, en vue de dessus, de la portière avant gauche d'une voiture démarrant sur une route horizontale avec représentation des « pseudo-forces d'inertie d'entraînement $d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)$» agissant sur la portière dans le référentiel voiture ${ℛ}_{\text{voit}}$ non galiléen

     Nous nous proposons de reprendre l'étude de la fermeture de la portière en travaillant dans le référentiel ${ℛ}_{\text{voit}}$ non galiléen $($ce référentiel étant en translation rectiligne non uniforme relativement au référentiel terrestre ${ℛ}_{\text{terr}}$ galiléen$)$ en admettant l'applicabilité du théorème de la puissance cinétique aux solides dans un référentiel $ℛ$ non galiléen en translation relativement à un référentiel galiléen ${ℛ}_{\text{gal}}$ à condition d'ajouter aux « vraies » forces extérieures, les « pseudo-forces d'inertie d'entraînement $d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)=-dm{\overrightarrow{a}}_{ℛ/{ℛ}_{\text{gal}}}(t)$» agissant sur chaque pseudo-point $M\left(dm\right)$ du solide.

     Au référentiel voiture ${ℛ}_{\text{voit}}$ non galiléen, nous associons un repère cartésien «$\{O_{\mathrm{\Delta }},({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)\}$ avec «$O_{\mathrm{\Delta }}$ le point fixe de $\mathrm{\Delta }$ $($l'axe des gonds de la portière$)$ dans le même plan horizontal que le C.D.I. $G$ de cette dernière », «$({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ une base orthonormée directe » où «${\overrightarrow{u}}_y$ est le vecteur unitaire porté par la route horizontale dans le sens du vecteur accélération ${\overrightarrow{a}}_{\text{voit}}=\overrightarrow{a}$ de la voiture », «${\overrightarrow{u}}_z={\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}$ le vecteur unitaire vertical descendant » et «${\overrightarrow{u}}_x={\overrightarrow{u}}_y\wedge {\overrightarrow{u}}_z$ le vecteur unitaire horizontal $\perp$ à la route dirigé vers le côté où la portière est restée ouverte ».

     La portière étant un solide, les forces intérieures appliquées à cette dernière développent, dans ${ℛ}_{\text{voit}}$, des puissances se compensant deux à deux, seules les forces extérieures $($en plus des « pseudo-forces d'inertie d'entraînement $d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)=-dm{\overrightarrow{a}}_{{ℛ}_{\text{voit}}/{ℛ}_{\text{terr}}}(t)=-dm\overrightarrow{a}$» conséquence du caractère non galiléen en translation du référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{voit}})$ s'exerçant sur la portière sont à prendre en compte c'est-à-dire

• le poids de la portière «$m\overrightarrow{g}=mg{\overrightarrow{u}}_z$» appliqué au C.D.I. $G$ de cette dernière développant, dans ${ℛ}_{\text{voit}}$ non galiléen, une puissance «$𝒫[m\overrightarrow{g},t]=m\overrightarrow{g}\cdot {\overrightarrow{V}}_{G/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)=0$» $\{$le mouvement de $G$ dans ${ℛ}_{\text{voit}}$ étant un mouvement de rotation autour de son axe des gonds $\mathrm{\Delta }$ de vecteur rotation instantanée «$\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}$» $($donc $\perp$ à $m\overrightarrow{g}\left)\right\}$ et
• les actions de l'axe des gonds sur la portière modélisées en une « résultante $\overrightarrow{R}(t)$ appliquée en $O_{\mathrm{\Delta }}$» et un « couple de moment vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}(t)$ de direction $\perp$ à $\mathrm{\Delta }$ dans la mesure où la liaison pivot est idéale », ces actions développant, dans ${ℛ}_{\text{voit}}$ non galiléen, une puissance «$𝒫[\overrightarrow{R}(t)]+𝒫[\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }},t]=\overrightarrow{R}(t)\cdot {\overrightarrow{V}}_{O_{\mathrm{\Delta }}/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)+\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}\cdot \dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}$» dans laquelle d'une part «$𝒫[\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }},t]=0$ $\{\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}$ étant $\perp$ à ${\overrightarrow{u}}_{\mathrm{\Delta }}\}$» et d'autre part «$𝒫[\overrightarrow{R}(t)]=0$ $\{$car ${\overrightarrow{V}}_{O_{\mathrm{\Delta }}/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)=\overrightarrow{0}$, $O_{\mathrm{\Delta }}$ étant un point fixe du référentiel ${ℛ}_{\text{voit}}\}$» soit «$𝒫[\overrightarrow{R}(t)]+𝒫[\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }},t]=0$» ;

     finalement aucune force extérieure s'exerçant sur la portière ne développant de puissance dans le référentiel voiture ${ℛ}_{\text{voit}}$ non galiléen, seules les « pseudo-forces d'inertie d'entraînement $d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)=-dm\overrightarrow{a}$» représentées sur le schéma ci-dessus en développent selon «${𝒫}_{\text{in. e}}(t)=\underset{M\in \left(\text{port}\right)}{\iint }d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot {\overrightarrow{V}}_{M/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)$» dans laquelle «${\overrightarrow{V}}_{M/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)=\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_z\wedge \overrightarrow{O_{\mathrm{\Delta }}M}(t)$» $\Rightarrow$ «$d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot {\overrightarrow{V}}_{M/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)=$ $d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot [\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_z\wedge \overrightarrow{O_{\mathrm{\Delta }}M}(t)]=\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_z\cdot [\overrightarrow{O_{\mathrm{\Delta }}M}(t)\wedge d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)]$» en utilisant l'invariance d'un produit mixte de trois vecteurs par permutation circulaire ou encore «$d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot {\overrightarrow{V}}_{M/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)=$ $\dot{\alpha }(t){\overrightarrow{u}}_z\cdot {\overrightarrow{ℳ}}_{O_{\mathrm{\Delta }}}[d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M),t]$» avec ${\overrightarrow{ℳ}}_{O_{\mathrm{\Delta }}}[d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M),t]$ le moment vectoriel relativement à $O_{\mathrm{\Delta }}$ de la « pseudo-force d'inertie d'entraînement $d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)$» appliquée en $M$, ce qui s'écrit finalement «$d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot {\overrightarrow{V}}_{M/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)$ $=\dot{\alpha }(t)\{{\overrightarrow{ℳ}}_{O_{\mathrm{\Delta }}}[d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M),t]\cdot {\overrightarrow{u}}_z\}=\dot{\alpha }(t){ℳ}_{\mathrm{\Delta }}[d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M),t]$» avec ${ℳ}_{\mathrm{\Delta }}[d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M),t]$ le moment scalaire relativement à $\mathrm{\Delta }$ de la « pseudo-force d'inertie d'entraînement $d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)$» appliquée en $M$, moment scalaire s'évaluant selon «${ℳ}_{\mathrm{\Delta }}[d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M),t]=-\Vert d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)\Vert \{HM\sin [\alpha (t)]\}=-dmaHM\sin [\alpha (t)]$» $\{d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)$ tendant à faire tourner $M$ dans le sens $-$ avec un bras de levier égal à $HM\sin [\alpha (t)]\}$ d'où «$d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot {\overrightarrow{V}}_{M/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)=-dmaHM\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)>0$» et par suite «${𝒫}_{\text{in. e}}(t)=\underset{M\in \left(\text{port}\right)}{\iint }d{\overrightarrow{f}}_{\text{in. e}}(M)\cdot {\overrightarrow{V}}_{M/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)$» se réécrit, en sortant de l'intégration les grandeurs indépendantes de $M$, «${𝒫}_{\text{in. e}}(t)=-a\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)\underset{M\in \left(\text{port}\right)}{\iint }dmHM$» ou «${𝒫}_{\text{in. e}}(t)=-a\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t){\sigma }_0{\int }_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\left[{\int }_0^{b}HMd\left(HM\right)\right]d{z}_M$» $\{$en utilisant $dm=$ ${\sigma }_{0}d{S}_M$ avec $d{S}_M=d{z}_{M}d\left(HM\right)\}$ soit «${𝒫}_{\text{in. e}}(t)=-a\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t){\sigma }_{0}h{\left[\frac{H{M}^2}{2}\right]}_0^b=-a\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t){\sigma }_{0}h\frac{b^2}{2}$» et finalement, en reconnaissant «${\sigma }_{0}hb=m$ la masse de la portière » «${𝒫}_{\text{in. e}}(t)=-ma\frac{b}{2}\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)>0$» dans la mesure où $\dot{\alpha }(t)$ est $<0$.      La portière ayant, dans le référentiel voiture ${ℛ}_{\text{voit}}$ non galiléen, un mouvement de rotation autour de l'axe $\mathrm{\Delta }$ fixe dans ${ℛ}_{\text{voit}}$ à la vitesse angulaire de rotation $\dot{\alpha }(t)$ à l'instant $t$, l'énergie cinétique de la portière, au même instant $t$ dans ${ℛ}_{\text{voit}}$ s'écrit «$K_{\text{port}/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)=\frac{1}{2}{J}_{\mathrm{\Delta }}{\dot{\alpha }}^2(t)$» avec «$J_{\Delta }$» le moment d'inertie de la portière relativement à l'axe de ses gonds $\mathrm{\Delta }$ soit encore, avec «$J_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{3}m{b}^2$», «$K_{\text{port}/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)=\frac{1}{6}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)$».

     L'application du théorème de la puissance cinétique à la portière dans le référentiel voiture ${ℛ}_{\text{voit}}$ non galiléen lors du démarrage de la voiture «${\dot{K}}_{\text{port}/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)=𝒫[m\overrightarrow{g},t]+𝒫[\overrightarrow{R}(t)]+𝒫[\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }},t]+{𝒫}_{\text{in. e}}(t)$» s'explicite, en réinjectant les expressions des puissances des actions et des « pseudo-forces d'inertie d'entraînement » précédemment trouvées, selon «$\frac{d{K}_{\text{port}/{ℛ}_{\text{voit}}}}{dt}(t)=-ma\frac{b}{2}\sin [\alpha (t)]\dot{\alpha }(t)\text{:}\left({𝔟}^{\prime }\right)$».

     Intégrant l'équation $\left({𝔟}^{\prime }\right)$ entre les instants initial et quelconque $t$ $\{$ce qui revient à appliquer le théorème de l'énergie cinétique à la portière dans le référentiel voiture ${ℛ}_{\text{voit}}$ non galiléen sur l'intervalle $[0,t]$ du démarrage de la voiture en tenant compte du travail des « pseudo-forces d'inertie d'entraînement »$\}$, nous obtenons «$K_{\text{port}/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)\cancel{-K_{\text{port}/{ℛ}_{\text{voit}}}(0)}=-ma\frac{b}{2}{\int }_0^t\sin [\alpha (t^{\prime })]\dot{\alpha }(t^{\prime })d{t}^{\prime }$» ou encore, «$K_{\text{port}/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)$ $=ma\frac{b}{2}{\int }_{\alpha =\frac{\pi }{2}}^{\alpha =\alpha (t)}d[\cos \left(\alpha \right)]=ma\frac{b}{2}\cos [\alpha (t)]$» $\{$cette dernière expression représentant le travail des « pseudo-forces d'inertie d'entraînement » s'exerçant sur la portière sur $[0,t]$ dans ${ℛ}_{\text{voit}}$ soit $W_{\text{in. e},[0,t]}\}$ et, en utilisant l'explication précédente de l'énergie cinétique de la portière «$K_{\text{port}/{ℛ}_{\text{voit}}}(t)=\frac{1}{6}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)$», l'expression de l'intégrale 1^re énergétique du mouvement de la portière dans le référentiel voiture ${ℛ}_{\text{voit}}$ non galiléen lors du démarrage de la voiture «$\frac{1}{6}m{b}^2{\dot{\alpha }}^2(t)=ma\frac{b}{2}\cos [\alpha (t)]\text{:}\left(𝔠\right)$» ou
après simplification évidente «$\frac{1}{3}b{\dot{\alpha }}^2(t)=a\cos [\alpha (t)]\text{:}\left({𝔠}^{\prime }\right)$».      La fin est exactement la même que celle de la question précédente $($voir solution de l'« étude du mouvement de fermeture de la portière dans le référentiel terrestre galiléen » plus haut dans cet exercice$)$ d'où la vitesse angulaire de rotation $\dot{\alpha }(t)$ de la portière autour de ses gonds à l'instant $t$ «$\dot{\alpha }(t)=-\sqrt{\frac{3a\cos [\alpha (t)]}{b}}$» $\{$la fonction $\alpha (t)$ étant $\searrow \}$ et
la durée de fermeture de la portière sous forme intégrale «$\mathrm{\Delta }{t}_{\text{ferm}}=\sqrt{\frac{b}{3a}}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\alpha }{\sqrt{\cos \left(\alpha \right)}}$».

 

Oscillations d'un cylindre dans une gouttière

Schéma descriptif d'un cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ de rayon $a$ roulant sans glisser dans une gouttière cylindrique de section circulaire, de rayon $b>a$

     On considère un cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ homogène, de C.D.I. $G$, de masse $m$, de rayon $a$ et de moment d’inertie $J=\frac{1}{2}m{a}^2$ par rapport à son axe de révolution ;

     ce cylindre $\left(𝒞\right)$ roule sans glisser à l’intérieur d’un tuyau cylindrique de révolution, fixe dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$ galiléen, d'axe horizontal $\mathrm{\Delta }$ et de rayon $b>a$ $[$le roulement du cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ à l'intérieur du tuyau cylindrique également de révolution a pour conséquence que les axes de $\left(𝒞\right)$ et du tuyau sont $\parallel ]$ ;

     pour étudier le mouvement de $\left(𝒞\right)$ dans ${ℛ}_{\text{lab}}$ plongé dans un champ de pesanteur terrestre uniforme $\overrightarrow{g}$ d'intensité $g$, on associe, au référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$, le repère cartésien $\left\{O({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)\right\}$, $O$ étant un point fixe de $\mathrm{\Delta }$, ${\overrightarrow{u}}_z$ le vecteur unitaire vertical descendant, ${\overrightarrow{u}}_y$ le vecteur unitaire horizontal orientant les axes de révolution $[$pointant vers le lecteur sur le schéma ci-contre $\Rightarrow$ le sens $+$ de rotation dans le plan vertical $\perp$ aux axes de révolution est anti-horaire$]$ et ${\overrightarrow{u}}_x$ le vecteur unitaire horizontal tel que la base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ soit directe $\Rightarrow$ ${\overrightarrow{u}}_x={\overrightarrow{u}}_y\wedge {\overrightarrow{u}}_z$.

     On repère la position de $\left(𝒞\right)$ dans ${ℛ}_{\text{lab}}$ $($voir le schéma ci-contre$)$ par

• celle de son C.D.I. $G$ en définissant l'abscisse angulaire de ce dernier $\theta (t)=\widehat{\{\overrightarrow{Oz},\overrightarrow{OG}(t)\}}$ et
• celle de $\left(𝒞\right)$ dans le référentiel barycentrique ${ℛ}^{\ast }$ de ce dernier par l'abscisse angulaire $\phi (t)=\widehat{\{\overrightarrow{Gz},\overrightarrow{GA}(t)\}}$, $A$ étant un point lié à la périphérie de $\left(𝒞\right)$ choisi dans le plan $zOx$ $\{$l'angle $\phi (t)$ n'est pas représenté sur le schéma ci-contre, seule la vitesse angulaire de rotation de $\left(𝒞\right)$ autour de son axe $Gy$ à savoir «$\omega (t)=\dot{\phi }(t)$» y est représentée$\}$.

Établissement de la condition de roulement sans glissement du cylindre de révolution dans la gouttière cylindrique de section circulaire

     Établir la relation $\left(𝔞\right)$ entre $\dot{\theta }(t)$, $\dot{\phi }(t)=\omega (t)$, $a$ et $b$ traduisant la condition de roulement sans glissement du cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section droite circulaire.

Solution

Schéma descriptif d'un cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ de rayon $a$ roulant sans glisser dans une gouttière cylindrique de section circulaire, de rayon $b>a$ avec représentation des forces extérieures appliquées à $\left(𝒞\right)$

     La position de $\left(𝒞\right)$ dans ${ℛ}_{\text{lab}}$ étant repérée par

• celle de son C.D.I. $G$ en définissant l'abscisse angulaire de ce dernier $\theta (t)=\widehat{\{\overrightarrow{Oz},\overrightarrow{OG}(t)\}}$ et
• celle de $\left(𝒞\right)$ dans le référentiel barycentrique ${ℛ}^{\ast }$ de ce dernier par l'abscisse angulaire $\phi (t)=\widehat{\{\overrightarrow{Gz},\overrightarrow{GA}(t)\}}$, $A$ étant un point lié à la périphérie de $\left(𝒞\right)$ choisi dans le plan $zOx$ $\{$l'angle $\phi (t)$ n'est pas représenté sur le schéma ci-contre, seule la vitesse angulaire de rotation de $\left(𝒞\right)$ autour de son axe $Gy$ à savoir «$\omega (t)=\dot{\phi }(t)$» y est représentée$\}$,

     $I$ étant le point de contact de $\left(𝒞\right)$ sur l’intérieur du tuyau cylindrique de révolution $𝒯c$, fixe dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$, d'axe horizontal $\mathrm{\Delta }$ et de rayon $b>a$, la condition de roulement sans glissement de $\left(𝒞\right)$ à l'intérieur de $𝒯c$ s'écrit «${\overrightarrow{V}}_{I\in \left(𝒞\right)}(t)={\overrightarrow{V}}_{I\in 𝒯c}(t)\mathrm{\forall }t$» avec

• «${\overrightarrow{V}}_{I\in 𝒯c}(t)=\overrightarrow{0}$» $\{𝒯c$ étant fixe dans ${ℛ}_{\text{lab}}\}$ et
• «${\overrightarrow{V}}_{I\in \left(𝒞\right)}(t)={\overrightarrow{V}}_G(t)+\omega (t){\overrightarrow{u}}_y\wedge \overrightarrow{GI}(t)$» $\{$le mouvement de $I\in \left(𝒞\right)$ dans ${ℛ}_{\text{lab}}$ résultant de la composition d'une translation du C.D.I. $G$ de $\left(𝒞\right)$ et d'une rotation autour de $\left(Gy\right)\}$ dans lequel
       $\succ$ «${\overrightarrow{V}}_G(t)=\dot{\theta }(t){\overrightarrow{u}}_y\wedge \overrightarrow{OG}(t)=\dot{\theta }(t){\overrightarrow{u}}_y\wedge [(b-a){\overrightarrow{u}}_r(t)]=(b-a)\dot{\theta }(t){\overrightarrow{u}}_{\theta }(t)$» $\{$en repérant $G$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $O$ et d'axe $\overrightarrow{Oy}$, la base cylindro-polaire liée à $G$ étant $[{\overrightarrow{u}}_r,{\overrightarrow{u}}_{\theta },{\overrightarrow{u}}_y]$, $G$ décrivant un cercle d'axe $\left(Oy\right)$, de rayon $OG=$ $b-a$ avec une vitesse angulaire $\dot{\theta }(t)\}$ et
       $\succ$ «$\omega (t){\overrightarrow{u}}_y\wedge \overrightarrow{GI}(t)=\dot{\phi }(t){\overrightarrow{u}}_y\wedge [a{\overrightarrow{u}}_r(t)]=a\dot{\phi }(t){\overrightarrow{u}}_{\theta }(t)$» $\{$en utilisant la même base cylindro-polaire d'axe $\overrightarrow{Oy}$ liée à $G$ à savoir $[{\overrightarrow{u}}_r,{\overrightarrow{u}}_{\theta },{\overrightarrow{u}}_y]\}$
  soit, en composant les deux, «${\overrightarrow{V}}_{I\in \left(𝒞\right)}(t)=[(b-a)\dot{\theta }(t)+a\dot{\phi }(t)]{\overrightarrow{u}}_{\theta }(t)=[(b-a)\dot{\theta }(t)+a\omega (t)]{\overrightarrow{u}}_{\theta }(t)$»,

     la condition de roulement sans glissement de $\left(𝒞\right)$ à l'intérieur de $𝒯c$ s'écrivant finalement «$[(b-a)\dot{\theta }(t)+a\dot{\phi }(t)]{\overrightarrow{u}}_{\theta }(t)=\overrightarrow{0}$» ou «$[(b-a)\dot{\theta }(t)+a\omega (t)]{\overrightarrow{u}}_{\theta }(t)=\overrightarrow{0}$» c'est-à-dire encore «$(b-a)\dot{\theta }(t)+a\dot{\phi }(t)=0,\mathrm{\forall }t$» ou
«$(b-a)\dot{\theta }(t)+a\omega (t)=0,\mathrm{\forall }t\text{:}\left(𝔞\right)$».

 

Expression de l'énergie cinétique du cylindre de révolution

     En admettant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $($ou 2^ème théorème de Kœnig$)$ appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle où $\mu (M)$ est la masse volumique locale en $M$,

          En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle $\left(𝒱\right)$ «${\left\{M[dm=\mu (M)d𝒱]\right\}}_{M\in \left(𝒱\right)}$» évaluée à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ «$K(\text{syst},t)$» est la somme

• de l'énergie cinétique barycentrique du système «$K^{\ast }(\text{syst},t)$» évaluée à l'instant $t$ et
• de l'énergie cinétique du C.D.I. $G$ du système évaluée au même instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ $[$en attribuant au point fictif $G$ la masse $m_{\text{syst}}]$ «$K(G,t)=\frac{1}{2}{m}_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G^2(t)$»

          En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «$K(\text{syst},t)=K^{\ast }(\text{syst},t)+K(G,t)=K^{\ast }(\text{syst},t)+\frac{1}{2}{m}_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G^2(t)$»,

          En admettant le théorème de Kœnig évaluer l'énergie cinétique du cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ roulant sans glisser à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section droite circulaire en fonction de $m$, $a$, $b$ et $\dot{\theta }(t)$ $\{$nous admettrons que le moment d'inertie d'un cylindre de révolution homogène, de masse $m$, de rayon $R$, relativement à son axe $\mathrm{\Delta }$ de révolution vaut «$J_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}m{R}^2$»$\}$.

Solution

     Appliquant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $($ou 2^ème théorème de Kœnig$)$ au cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$, nous en déduisons que l'« énergie cinétique, à l'instant $t$ dans le référentiel ${ℛ}_{\text{lab}}$, du cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ roulant sans glisser à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section droite circulaire $K(𝒞,t)$» est la somme de

• l'« énergie cinétique barycentrique, évaluée à l'instant $t$, du cylindre de révolution $K^{\ast }(𝒞,t)=\frac{1}{2}{J}_{\left(Gy\right)}{\omega }^2(t)$» $\{$le moment d'inertie du cylindre de révolution $𝒞$ homogène, de masse $m$, de rayon $a$ relativement à son axe de révolution $\left(Gy\right)$, valant «$J_{\left(Gy\right)}=\frac{1}{2}m{a}^2$»$\}$ d'où «$K^{\ast }(𝒞,t)=\frac{1}{4}m{a}^2{\omega }^2(t)$» et de
• l'« énergie cinétique, évaluée dans le référentiel ${ℛ}_{\text{lab}}$ au même instant $t$, du C.D.I. $G$ du cylindre de révolution $K(G,t)=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{V}}_G^2(t)$» avec «${\overrightarrow{V}}_G(t)=(b-a)\dot{\theta }(t){\overrightarrow{u}}_{\theta }(t)$» $($voir solution de la question précédente « établissement de la condition de roulement sans glissement du cylindre de révolution dans la gouttière cylindrique de section circulaire »$)$ $\Rightarrow$ «$K(G,t)=\frac{1}{2}m{(b-a)}^2{\dot{\theta }}^2(t)$» d'où

          Appliquant le théorème de Kœnig «$K(𝒞,t)=\frac{1}{4}m{a}^2{\omega }^2(t)+\frac{1}{2}m{(b-a)}^2{\dot{\theta }}^2(t)$» ou, en éliminant $\omega (t)$ par utilisation de la relation «$\left(𝔞\right)\text{:}(b-a)\dot{\theta }(t)+a\omega (t)=0,\mathrm{\forall }t$», «$K(𝒞,t)=$ $\frac{1}{4}m{\{-(b-a)\dot{\theta }(t)\}}^2+\frac{1}{2}m{(b-a)}^2{\dot{\theta }}^2(t)$» soit finalement «$K(𝒞,t)=\frac{3}{4}m{(b-a)}^2{\dot{\theta }}^2(t)$».

 

Établissement de l'intégrale 1^re énergétique du mouvement de roulement sans glissement du cylindre de révolution dans la gouttière cylindrique de section circulaire

     Établir l'expression de l'énergie mécanique du cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ dans le champ de pesanteur terrestre et

     montrer que cette dernière est conservée ;

     notant ${\theta }_m$ la valeur positive maximale de l'abscisse angulaire du C.D.I. $G$ du cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ $($nous supposons ${\theta }_m<\frac{\pi }{2})$, expliciter l'intégrale 1^re énergétique $\left(𝔟\right)$ du mouvement de roulement sans glissement du cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ dans la gouttière cylindrique de section circulaire en fonction de $m$, $a$, $b$, $g$, ${\theta }_m$, $\theta (t)$ et $\dot{\theta }(t)$.

     Justifier l'affirmation « cette intégrale 1^re énergétique est celle d'un oscillateur $($non harmonique$)$» $\{$on rappellera succinctement la méthode d'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique permettant d'aboutir à cette conclusion$\}$.

Solution

     Parmi les forces extérieures s'exerçant sur le cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$, le poids $m\overrightarrow{g}$ de ce dernier est une force conservative, nous définissons alors l'énergie potentielle de pesanteur de $\left(𝒞\right)$ dont « dérive » le poids de ce dernier, «$U_{\text{pes}}=-mg{z}_G+cste$» $[$avec le signe $-$ car l'orientation de l'axe des cotes est descendant$]$, la constante dépendant de la référence de $U_{\text{pes}}$ choisie en $z_G=b-a$ $[$c'est-à-dire le niveau le plus bas de l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire ou $\theta =0]$ d'où $0=-mg(b-a)+cste$ $\Rightarrow$ $cste=mg(b-a)$ et par suite «$U_{\text{pes}}\left(𝒞\right)=mg[(b-a)-z_G]=mg(b-a)[1-\cos (\theta )]$».      Nous en déduisons l'expression de l'énergie mécanique du cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ dans le champ de pesanteur terrestre définie selon «$E_m(t)=K(𝒞,t)+U_{\text{pes}}(𝒞,t)$» soit finalement «$E_m(t)=\frac{3}{4}m{(b-a)}^2{\dot{\theta }}^2(t)+mg(b-a)\{1-\cos [\theta (t)]\}$».

     Parmi les forces extérieures non conservatives s'exerçant sur le cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$, la réaction de la gouttière cylindrique de section circulaire sur le cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ à savoir «${\overrightarrow{R}}_n(t)+{\overrightarrow{R}}_{\tau }(t)$» appliquée au point de contact $I$ développe une puissance «$𝒫[{\overrightarrow{R}}_n(t)+{\overrightarrow{R}}_{\tau }(t)]=[{\overrightarrow{R}}_n(t)+{\overrightarrow{R}}_{\tau }(t)]\cdot {\overrightarrow{V}}_{I\in \left(𝒞\right)}(t)=0$» dans la mesure où le roulement de $\left(𝒞\right)$ à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire se fait sans glissement c'est-à-dire tel que «${\overrightarrow{V}}_{I\in \left(𝒞\right)}(t)={\overrightarrow{V}}_{I\in 𝒯c}(t)=\overrightarrow{0}$» ;

     les forces extérieures non conservatives ne développant aucune puissance nous en déduisons que le cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ roulant sans glisser à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire est un système « conservatif » et par suite que son énergie mécanique est conservée c'est-à-dire
     «$E_m(t)=cste$», la valeur de $cste$ étant déterminée par «$\underset{t>0}{max}[\theta (t)]={\theta }_m$» obtenue aux instants ${\left\{t_{max,k}\right\}}_{k\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ tels que «$\dot{\theta }(t_{max,k})=0$» $\{$la fonction $\theta (t)$ étant au moins de « classe $C^2$», de plus «$\ddot{\theta }(t_{max,k})$ y est $<0$», $\theta (t_{max,k})$ étant maximale$\}$ $\Rightarrow$ «$cste=mg(b-a)[1-\cos \left({\theta }_m\right)]$» d'où
     l'intégrale 1^re énergétique $\left(𝔟\right)$ du mouvement de roulement sans glissement du cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ dans la gouttière cylindrique de section circulaire «$\frac{3}{4}m{(b-a)}^2{\dot{\theta }}^2(t)+mg(b-a)\{1-\cos [\theta (t)]\}=mg(b-a)[1-\cos \left({\theta }_m\right)]\text{:}\left(𝔟\right)$».      l'équation différentielle du 1^er ordre en $\theta (t)$ «$\left(𝔟\right)$» dont le 2^nd membre est constant et dont le 1^er est la somme de deux termes, l'un $\propto$ à ${\dot{\theta }}^2(t)$ avec un cœfficient de proportionnalité $>0$ correspondant au terme d'énergie cinétique, l'autre indépendant de $\dot{\theta }(t)$ correspondant au terme d'énergie potentielle, caractérise effectivement un oscillateur car
          le diagramme d'énergie potentielle en fonction du paramètre de position $\theta (t)$ étant une « courbe sinusoïdale $($analogue au diagramme d'énergie potentielle d'un pendule pesant$)$ avec un minimum d'abscisse $\theta =0$» et
          celui               d'énergie mécanique en fonction du même paramètre de position étant « au-dessus du précédent pour $\theta \in ]-{\theta }_m,+{\theta }_m[$ dans la mesure où ${\theta }_m$ est $>0$»,
          d'où l'existence de deux murs d'énergie potentielle repérés par $\pm {\theta }_m$ entre lesquels les points génériques des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique restent localisés et par suite
          la nature oscillatoire du mouvement de roulement sans glissement du cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire mais le « diagramme d'énergie potentielle n'étant pas parabolique », les oscillations sont « non harmoniques ».

 

Étude des petites oscillations de roulement sans glissement du cylindre de révolution dans la gouttière cylindrique de section circulaire

     Bien que ce ne soit pas en général simplificateur dans le cas d'un oscillateur non harmonique, déduire de l'intégrale 1^re énergétique, l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\theta (t)$ du mouvement de roulement sans glissement du cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire relativement au référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$.

     Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires c'est-à-dire «${\theta }_m\ll 1$», montrer que l'équation différentielle en $\theta (t)$ du mouvement de roulement sans glissement de $\left(𝒞\right)$ à l'intérieur de la gouttière cylindrique dans ${ℛ}_{\text{lab}}$ peut être linéarisée et

          Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires exprimer le résultat de cette linéarisation ;

          Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires en déduire la loi horaire $\theta (t)$ des petites élongations angulaires de $\left(𝒞\right)$ dans son mouvement de roulement sans glissement ainsi que

          Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires sa période des petites élongations angulaires $T_0$ puis

          Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires l'évaluer numériquement avec $m=2,0kg$, $g=9,8m\cdot s^{-2}$, $a=5,0cm$ et $b=20cm$.

Solution

     Pour établir l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\theta (t)$ du mouvement de roulement sans glissement de $\left(𝒞\right)$ à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$ galiléen, nous dérivons temporellement «$\left(𝔟\right)\text{:}\frac{3}{4}m{(b-a)}^2{\dot{\theta }}^2(t)+mg(b-a)\{1-\cos [\theta (t)]\}=mg(b-a)[1-\cos \left({\theta }_m\right)]$» d'où «$\frac{3}{4}m{(b-a)}^{2}2\dot{\theta }(t)\ddot{\theta }(t)+mg(b-a)\sin [\theta (t)]\dot{\theta }(t)=0$» soit, en simplifiant par $m(b-a)\dot{\theta }(t)$ non identiquement nul et en multipliant par $\frac{2}{3(b-a)}$, l'expression de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\theta (t)$ $($écrite sous forme normalisée$)$ du mouvement de roulement sans glissement de $\left(𝒞\right)$ à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$ galiléen «$\ddot{\theta }(t)+\frac{2g}{3(b-a)}\sin [\theta (t)]=0\text{:}\left(𝔠\right)$»,
équation différentielle identique à celle d'un P.P.N.A..      L'amplitude des oscillations ${\theta }_m$ étant petite c'est-à-dire «${\theta }_m\ll 1$», cela a pour conséquence «$|\theta (t)|\ll 1\mathrm{\forall }t$» $\{$car l'étude par diagrammes d'énergies potentielle et mécanique $\Rightarrow$ $\theta (t)\in [-{\theta }_m,+{\theta }_m]\}$,
     nous considérons alors $\theta (t)$ comme infiniment petit d'ordre un et
     nous faisons un D.L. de l'équation différentielle «$\left(𝔠\right)\ddot{\theta }(t)+\frac{2g}{3(b-a)}\sin [\theta (t)]=0$» à l'ordre un en $\theta (t)$,
           nous faisons un D.L. en utilisant que le D.L. à l'ordre un de $\sin [\theta (t)]$ est «$\sin [\theta (t)]\simeq \theta (t)$»,
           nous faisons un D.L. d'où l'expression de l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle $\left(𝔠\right)$ traduisant l'effectivité de la linéarisation de $\left(𝔠\right)$ «$\ddot{\theta }(t)+\frac{2g}{3(b-a)}\theta (t)=0\text{:}\left({𝔠}^{\prime }\right)$» c'est-à-dire l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti ;      l'oscillateur harmonique dont l'équation différentielle est $\left({𝔠}^{\prime }\right)$ étant de pulsation propre «${\omega }_0=\sqrt{\frac{2g}{3(b-a)}}$» nous en déduisons la forme de la loi horaire $\theta (t)$ des petites élongations angulaires de $\left(𝒞\right)$ dans son mouvement de roulement sans glissement à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire «$\theta (t)=A\cos ({\omega }_{0}t)+B\sin ({\omega }_{0}t)$ avec $A$ et $B$ constantes à déterminer à l'aide des C.I. choisies $\{\theta (0)={\theta }_m,\dot{\theta }(0)=0\}$» $\Downarrow ⋮$
«$\theta (t)={\theta }_m\cos ({\omega }_{0}t)$» ;

     la période des petites élongations angulaires de $\left(𝒞\right)$ dans son mouvement de roulement sans glissement est «$T_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{3(b-a)}{2g}}$» ou numériquement,
                     la période des petites élongations angulaires de C avec $g=9,8m\cdot s^{-2}$, $a=5,0cm$ et $b=20cm$, «$T_0=2\pi \sqrt{\frac{3\times (0,20-0,05)}{2\times 9,8}}\simeq 0,95s$».

 

Valeur limite du cœfficient de frottement solide pour que le roulement du cylindre de révolution à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire se fasse sans glissement

     Nous plaçant de nouveau dans les conditions d'amplitude d'oscillations non petite c'est-à-dire «${\theta }_m$ a priori $\cancel{\ll }1$»,

     déterminer les expressions des composantes « normale $R_n(t)$» et « tangentielle $R_{\tau }(t)$» de la réaction $\overrightarrow{R}(t)$ de la gouttière cylindrique de section circulaire sur le cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ s'exerçant en $I$ $\{$pour cela on utilisera le repérage cylindro-polaire lié au C.D.I. $G$ de $\left(𝒞\right)$ de pôle $O$ et d'axe $Oy$, la base associée étant «$[{\overrightarrow{u}}_r=\frac{\overrightarrow{OG}}{OG},{\overrightarrow{u}}_{\theta }={\overrightarrow{u}}_y\wedge {\overrightarrow{u}}_r]$» et les composantes normale et tangentielle de $\overrightarrow{R}(t)$ étant définies selon «$\left[\begin{array}{c}{R}_n(t)=\overrightarrow{R}(t)\cdot {\overrightarrow{u}}_r\\ R_{\tau }(t)=\overrightarrow{R}(t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\theta }\end{array}\right]$»$\}$ puis

     déterminer leur variation respective avec $\theta (t)$.

     Après avoir rappelé la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement pour un « cœfficient de frottement entre la gouttière cylindrique de section circulaire et le cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ égal à $f$», montrer que, pour qu’il y ait effectivement toujours roulement sans glissement, le coefficient de frottement de glissement $f$ doit être supérieur à une certaine valeur fonction de ${\theta }_m$ que l’on précisera.

Solution

     Pour déterminer les composantes « normale $R_n(t)=\overrightarrow{R}(t)\cdot {\overrightarrow{u}}_r(t)$» et « tangentielle $R_{\tau }(t)=\overrightarrow{R}(t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\theta }(t)$» de la réaction $\overrightarrow{R}(t)$ de la gouttière cylindrique de section circulaire sur le cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ s'exerçant en $I$, nous projetons le théorème du mouvement du C.D.I. appliqué à $\left(𝒞\right)$ sur les vecteurs unitaires radial ${\overrightarrow{u}}_r(t)$ et orthoradial ${\overrightarrow{u}}_{\theta }(t)$ de la base cylindro-polaire lié au C.D.I. $G$ du cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ «$m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{R}(t)=m{\overrightarrow{a}}_G(t)$» dans lequel ${\overrightarrow{a}}_G(t)$ est le vecteur accélération de $G$ à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$ galiléen soit «$\left\{\begin{array}{c}mg\cos [\theta (t)]+R_n(t)=m{a}_{G,r}(t)\\ -mg\sin [\theta (t)]+R_{\tau }(t)=m{a}_{G,\theta }(t)\end{array}\right\}$» ou, $G$ ayant un mouvement circulaire d'axe $\left(Oy\right)$, de rayon $OG=b-a$ avec une vitesse angulaire $\dot{\theta }(t)$ $\Rightarrow$ «$\left\{\begin{array}{c}{a}_{G,r}(t)=-(b-a){\dot{\theta }}^2(t)\\ a_{G,\theta }(t)=(b-a)\ddot{\theta }(t)\end{array}\right\}$» d'où «$\left\{\begin{array}{c}{R}_n(t)=-m\{(b-a){\dot{\theta }}^2(t)+g\cos [\theta (t)]\}\\ R_{\tau }(t)=m\{(b-a)\ddot{\theta }(t)+g\sin [\theta (t)]\}\end{array}\right\}$» ou,
     en éliminant ${\dot{\theta }}^2(t)$ à l'aide de l'intégrale 1^re énergétique «$\left(𝔟\right)\text{:}\frac{3}{4}m{(b-a)}^2{\dot{\theta }}^2(t)+mg(b-a)\{1-\cos [\theta (t)]\}=mg(b-a)[1-\cos \left({\theta }_m\right)]$ $\Rightarrow$ ${\dot{\theta }}^2(t)=\frac{4}{3}\frac{g}{b-a}\{\cos [\theta (t)]-\cos \left({\theta }_m\right)\}$» et
     en éliminant $\ddot{\theta }(t)$ à l'aide de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\theta (t)$ «$\left(𝔠\right)\text{:}\ddot{\theta }(t)+\frac{2g}{3(b-a)}\sin [\theta (t)]=0$ $\Rightarrow$ $\ddot{\theta }(t)=-\frac{2g}{3(b-a)}\sin [\theta (t)]$»,
     les composantes « normale $R_n(t)=\overrightarrow{R}(t)\cdot {\overrightarrow{u}}_r(t)$» et « tangentielle $R_{\tau }(t)=\overrightarrow{R}(t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\theta }(t)$» de la réaction $\overrightarrow{R}(t)$ de la gouttière cylindrique de section circulaire sur le cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ s'exerçant en $I$ se réécrivent selon «$\left\{\begin{array}{c}{R}_n(t)=-m\{(b-a)\frac{4}{3}\frac{g}{b-a}\{\cos [\theta (t)]-\cos \left({\theta }_m\right)\}+g\cos [\theta (t)]\}\\ R_{\tau }(t)=m\{(b-a)\frac{-2g}{3(b-a)}\sin [\theta (t)]+g\sin [\theta (t)]\}\end{array}\right\}$» soit, après simplification évidente «$\left\{\begin{array}{c}{R}_n(t)=-\frac{mg}{3}\{7\cos [\theta (t)]-4\cos \left({\theta }_m\right)\}\\ R_{\tau }(t)=\frac{mg}{3}\sin [\theta (t)]\end{array}\right\}$»,

     dont nous déduisons la variation avec $\theta$ sur l'intervalle $[0,+{\theta }_m]$ :

• «$R_n=-\frac{mg}{3}[7\cos \left(\theta \right)-4\cos \left({\theta }_m\right)]\nearrow$» car la fonction $\cos (\theta )$ y est $\searrow$, «$R_n\nearrow$ de $-\frac{mg}{3}[7-4\cos \left({\theta }_m\right)]<0$ à $-\frac{mg}{3}[3\cos \left({\theta }_m\right)]=-mg\cos ({\theta }_m)<0$» d'où «$|R_n|\searrow$ sur $[0,+{\theta }_m]$ de $\frac{mg}{3}[7-4\cos \left({\theta }_m\right)]$ à $mg\cos ({\theta }_m)$» ;
• «$R_{\tau }=\frac{mg}{3}\sin \left(\theta \right)\nearrow$» car la fonction $\sin (\theta )$ y est $\nearrow$, «$R_{\tau }\nearrow$ de $0$ à $\frac{mg}{3}\sin \left({\theta }_m\right)>0$».

     Pour que le roulement du cylindre de révolution $\left(𝒞\right)$ à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire se fasse sans glissement il faut que les « composantes tangentielle et normale de la réaction de la gouttière cylindrique ${\overrightarrow{R}}_{\tau }(t)=R_{\tau }(t){\overrightarrow{u}}_{\theta }(t)$ et $R_n(t)=R_n(t){\overrightarrow{u}}_r(t)$» suivent la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de glissement $($le cœfficient de frottement de glissement entre l'intérieur de la gouttière cylindrique et le cylindre de révolution étant égal à $f)$, à savoir

                    $\succ$« la composante tangentielle ${\overrightarrow{R}}_{\tau }$ est toujours de direction et de sens contraire au mouvement de glissement susceptible de se produire » et

                    $\succ$«$|R_{\tau }(t)|<f|R_n(t)|\mathrm{\forall }t$» ;

     or sur $[0,{\theta }_m]$, $R_{\tau }$ étant $\nearrow$ et $|R_n|\searrow$, la condition de non glissement «$|R_{\tau }(t)|<f|R_n(t)|$» sera vérifiée pour tout $\theta$ si elle est vérifiée pour ${\theta }_m$ c'est-à-dire si «$\frac{mg}{3}\sin \left({\theta }_m\right)$ est $<$ à $fmg\cos ({\theta }_m)$» d'où la nécessite que le cœfficient de frottement de glissement entre l'intérieur de la gouttière cylindrique et le cylindre de révolution pour que ce dernier ne glisse pas à l'intérieur du premier vérifie «$f>\frac{1}{3}\tan ({\theta }_m)$».

 

Mouvement d'une bille dans une gouttière cycloïdale

     Préliminaire : cet exercice a déjà été partiellement traité, en ce qui concerne la 1^re question considérant la bille comme ponctuelle, dans « Pendule cycloïdal par traitement énergétique » de la série d'exer.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », la différence dans cet exercice porte sur la 2^ème question où la bille $($non ponctuelle$)$ roule sans glisser dans la rainure cycloïdale.

Mouvement d'une bille ponctuelle dans une rainure cycloïdale

     Remarque : cette question étant l'exercice complet « Pendule cycloïdal par traitement énergétique » de la série d'exer.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $($mis à part la liaison qui était bilatérale dans l'exercice complet ci-rappelé et qui est unilatérale dans la question ci-dessous, ce changement n'ayant aucune conséquence dans les conditions de l'exercice$)$ est rappelée pour mémoire ainsi que sa solution.

Schéma d'un pendule cycloïdal constitué d'un point matériel M en liaison unilatérale sans frottement sur une cycloïde droite inversée lâché de M₀ sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme

     Un point matériel $M$ de masse $m$ est assujetti à se déplacer dans le plan vertical $xOy$ sur la portion de cycloïde dont les équations paramétriques sont : $\left\{\begin{array}{ccc}x& =& R[\theta -\sin (\theta )]\\ y& =& -R[1-\cos (\theta )]\end{array}\right\}$ avec $\theta \in [0,2\pi ]$ $($voir ci-contre$)$.

     À la date $t=0$, on lâche $M$ de $M_0$, de paramètre angulaire ${\theta }_0\in ]0,+\pi [$ sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur $\overrightarrow{g}$ uniforme et se déplace en liaison unilatérale sans frottement sur la portion de cycloïde.

Intégrale 1^re énergétique du mouvement du point matériel M

     Après avoir vérifié que le point matériel $M$ est bien « à mouvement conservatif » expliciter l'intégrale 1^re énergétique du mouvement de ce point en fonction, entre autres, de $\theta (t)$ et de sa dérivée temporelle.

Solution

Schéma d'un pendule cycloïdal constitué d'un point matériel M en liaison unilatérale sans frottement sur une cycloïde droite inversée lâché de M₀ sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme avec représentation des forces appliquées

     Les forces appliquées à $M$ étant

• son poids $m\overrightarrow{g}$, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $U_{\text{pes}}(M)=mgy+cste$, la constante dépendant du choix de la référence et
• la réaction $\overrightarrow{R}(t)$ de la cycloïde sur le point $M$, force non conservative ne développant aucun travail en absence de frottement car $\overrightarrow{R}(t)$ est $\perp$ au vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{dM}$ le long de la cycloïde,

     on vérifie effectivement que le mouvement du point $M$ est « conservatif » ;

     on peut alors appliquer, comme intégrale 1^re énergétique, la conservation de l'énergie mécanique du point $M$ en définissant celle-ci à l'instant $t$ par $E_m(t)=K_M(t)+U_{\text{pes},M}(t)=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{V}}_M^2(t)+U_{\text{pes},M}(t)$ avec

• $U_{\text{pes},M}(t)=mg\{y[\theta (t)]+2R\}$ en prenant comme référence $y_{\text{min}}=-2R$ soit encore, en y reportant $y(\theta )=$ $-R[1-\cos (\theta )]$ et après simplification, $U_{\text{pes},M}(t)=mgR\{1+\cos [\theta (t)]\}$ et
• ${\overrightarrow{V}}_M(t)=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}(t)\text{:}\left\{\begin{array}{c}\dot{x}(t)=R\{1-\cos [\theta (t)]\}\dot{\theta }(t)\\ \dot{y}(t)=-R\sin [\theta (t)]\dot{\theta }(t)\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ ${\overrightarrow{V}}_M^2(t)={\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)=R^2{\dot{\theta }}^2(t)[{\{1-\cos [\theta (t)]\}}^2+{\sin }^2[\theta (t)]]$ soit, après simplification évidente, ${\overrightarrow{V}}_M^2(t)=2R^2{\dot{\theta }}^2(t)\{1-\cos [\theta (t)]\}$ d'où $K_M(t)=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{V}}_M^2(t)=m{R}^2{\dot{\theta }}^2(t)\{1-\cos [\theta (t)]\}$ soit finalement

$E_m(t)=m{R}^2{\dot{\theta }}^2(t)\{1-\cos [\theta (t)]\}+mgR\{1+\cos [\theta (t)]\}$,      l'énergie mécanique initiale valant $E_{m,0}=\cancel{K_M(0^{+})+}{U}_{\text{pes}}({\theta }_0^{+})=mgR[1+\cos ({\theta }_0)]$, l'intégrale 1^re énergétique du pendule cycloïdal $E_m(t)=E_{m,0}$ se réécrit $m{R}^2{\dot{\theta }}^2(t)\{1-\cos [\theta (t)]\}+mgR\{1+\cos [\theta (t)]\}=mgR[1+\cos ({\theta }_0)]$ ou
${\dot{\theta }}^2(t)\{1-\cos [\theta (t)]\}=\frac{g}{R}\{\cos ({\theta }_0)-\cos [\theta (t)]\}$.

 

Établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel M, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de ce dernier et évaluation de sa période ainsi que de la longueur du pendule pesant simple synchrone

     Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel $M$ et en déduire :

• la nature oscillatoire du mouvement de ce dernier ainsi que
• sa nature périodique ;

     expliciter la période ${𝒯}_{\text{ponct}}$ du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale puis

     la calculer et

     vérifier qu'il y a « isochronisme des oscillations » du pendule cycloïdal.

     Préciser la longueur du pendule pesant simple à « petites oscillations » qui lui est synchrone.

Solution

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule cycloïdal constitué d'un point matériel M en liaison bilatérale sans frottement sur une cycloïde droite inversée et lâché, sans vitesse initiale, de la position M₀ repérée par θ₀, avec représentation des deux murs d'énergie potentielle

     Tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique : voir ci-contre $\{$la courbe d'énergie potentielle $({\Gamma }_u)$ est en noir, c'est une portion de sinusoïde définie sur $[0,2\pi ]$ et celle d'énergie mécanique $({\Gamma }_m)$ en rouge, c'est un segment de droite $\parallel$ à l'axe des $\theta$ d'ordonnée $E_{m,0}\}$.

     Établissement de la nature oscillatoire du mouvement du pendule cycloïdal : la nature oscillatoire du mouvement de $M$ découle de l'existence d'un puits d'énergie potentielle $[$c'est-à-dire deux murs d'énergie potentielle en regard$]$ dans lequel les points génériques $P_u$ et $P_m$ de $({\Gamma }_u)$ et $({\Gamma }_m)$ ne peuvent sortir :

• tout d'abord les points $P_u$ et $P_m$ sont sur l'intersection de $({\Gamma }_u)$ et $({\Gamma }_m)$ c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de gauche d'abscisse ${\theta }_0$, l'énergie cinétique y étant nulle, le point $M$ est en situation de repos mais n'y reste pas car ce n'est pas une position d'équilibre, $P_u$ et $P_m$ se déplacent vers la droite $[$seule possibilité en accord avec $\overline{P_u{P}_m}\widehat{=}K(M)>0$$]$ et ceci jusqu'à l'autre intersection de $({\Gamma }_u)$ et $({\Gamma }_m)$ c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de droite d'abscisse $2\pi -{\theta }_0$ $[$symétrique du mur d'énergie potentielle de gauche par rapport à l'axe de symétrie de la portion de cycloïde à savoir $\theta =\pi ]$ où l'énergie cinétique est redevenue nulle, mais
• le point $M$ temporairement en situation de repos n'y reste pas car ce n'est pas une position d'équilibre, $P_u$ et $P_m$ se déplacent vers la gauche $[$seule possibilité en accord avec $\overline{P_u{P}_m}\widehat{=}K(M)>0$$]$ et ceci jusqu'à la 1^re intersection de $({\Gamma }_u)$ et $({\Gamma }_m)$ c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de gauche d'abscisse ${\theta }_0$ où l'énergie cinétique est de nouveau nulle, $\dots$
• nous avons donc une succession de déplacements de $P_u$ et $P_m$ vers la droite puis vers la gauche correspondant à des oscillations de $M$ autour de la position repérée par ${\theta }_{\text{éq}}=\pi$, cette position étant en fait la position $($unique$)$ d'équilibre $M_{\text{éq}}$ car c'est le seul endroit où le poids de $M$ étant $\perp$ à la cycloïde peut être compensé par la réaction $\overrightarrow{R}$ de celle-ci sur $M$.

     Établissement de la nature périodique du mouvement du pendule cycloïdal : pour cela on évalue la durée du n^ème aller-retour de $P_u$ et $P_m$ dans la cuvette d'énergie potentielle et on montre qu'elle ne dépend pas de $n$ soit :

• durée du n^ème aller : $\Delta t_{{\theta }_0\stackrel{n}{\to }2\pi -{\theta }_0}={\int }_{{\theta }_0}^{2\pi -{\theta }_0}dt(\theta )$ avec $|\frac{d\theta }{dt}(t)|=\sqrt{\frac{g\{\cos ({\theta }_0)-\cos [\theta (t)]\}}{R\{1-\cos [\theta (t)]\}}}$ obtenu par intégrale 1^re énergétique d'où, $\dot{\theta }(t)$ étant $⩾0$ dans cette phase, $dt=\sqrt{\frac{R[1-\cos (\theta )]}{g[\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )]}}d\theta$ et par suite $\mathrm{\Delta }{t}_{{\theta }_0\stackrel{n}{\to }2\pi -{\theta }_0}={\int }_{{\theta }_0}^{2\pi -{\theta }_0}\sqrt{\frac{R[1-\cos (\theta )]}{g[\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )]}}d\theta$,
• durée du n^ème retour : $\Delta t_{2\pi -{\theta }_0\stackrel{n}{\to }{\theta }_0}={\int }_{2\pi -{\theta }_0}^{{\theta }_0}dt(\theta )$ avec la même expression de $|\frac{d\theta }{dt}(t)|=\sqrt{\frac{g\{\cos ({\theta }_0)-\cos [\theta (t)]\}}{R\{1-\cos [\theta (t)]\}}}$ d'où, $\dot{\theta }(t)$ étant $⩽0$ dans cette phase, $dt=-\sqrt{\frac{R[1-\cos (\theta )]}{g[\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )]}}d\theta$ et par suite $\Delta t_{2\pi -{\theta }_0\stackrel{n}{\to }{\theta }_0}={\int }_{2\pi -{\theta }_0}^{{\theta }_0}-\sqrt{\frac{R[1-\cos (\theta )]}{g[\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )]}}d\theta$ égale à la durée du n^ème aller $\mathrm{\Delta }{t}_{{\theta }_0\stackrel{n}{\to }2\pi -{\theta }_0}$,
• finalement la durée du n^ème aller-retour $\Delta t_n=\Delta t_{{\theta }_0\stackrel{n}{\to }2\pi -{\theta }_0}+\Delta t_{2\pi -{\theta }_0\stackrel{n}{\to }{\theta }_0}=2{\int }_{{\theta }_0}^{2\pi -{\theta }_0}\sqrt{\frac{R[1-\cos (\theta )]}{g[\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )]}}d\theta$ est effectivement indépendante de n ce qui montre la nature périodique du mouvement du pendule cycloïdal.

     Expression de la période du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale : la période ${𝒯}_{\text{ponct}}$ étant la durée d'un aller-retour nous en déduisons ${𝒯}_{\text{ponct}}=2{\int }_{{\theta }_0}^{2\pi -{\theta }_0}\sqrt{\frac{R[1-\cos (\theta )]}{g[\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )]}}d\theta =4{\int }_{{\theta }_0}^{\pi }\sqrt{\frac{R[1-\cos (\theta )]}{g[\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )]}}d\theta$      Évaluation de la période du mouvement du pendule cycloïdal : il est intéressant de passer en angle moitié pour calculer cette intégrale en utilisant $\sqrt{1-\cos (\theta )}=$ $\sqrt{2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}=\sqrt{2}\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$ d'une part, et d'autre part, $\sqrt{\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )}=\sqrt{[1+\cos ({\theta }_0)]-[1+\cos (\theta )]}=\sqrt{2[{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)]}$ soit $\sqrt{\frac{1-\cos (\theta )}{\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )}}d\theta =2\frac{\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)d\left(\frac{\theta }{2}\right)}{\sqrt{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}}=$ $-2\frac{d[\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)]}{\sqrt{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}}$ et par suite, en reportant dans l'expression de ${𝒯}_{\text{ponct}}$ sous forme intégrale, ${𝒯}_{\text{ponct}}=-8\sqrt{\frac{R}{g}}{\int }_{\theta ={\theta }_0}^{\theta =\pi }\frac{d[\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)]}{\sqrt{{\cos }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}}$ soit, avec la nouvelle variable $u=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$ variant de $\cos \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)=u_0$ à $\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$, la réécriture de la période sous ${𝒯}_{\text{ponct}}=-8\sqrt{\frac{R}{g}}{\int }_{u_0}^0\frac{du}{\sqrt{u_0^2-u^2}}=8\sqrt{\frac{R}{g}}{\int }_0^{u_0}\frac{du}{\sqrt{u_0^2-u^2}}=8\sqrt{\frac{R}{g}}{\int }_{\frac{u}{u_0}=0}^{\frac{u}{u_0}=1}\frac{d\left(\frac{u}{u_0}\right)}{\sqrt{1-{\left(\frac{u}{u_0}\right)}^2}}=8\sqrt{\frac{R}{g}}{[\arcsin \left(\frac{u}{u_0}\right)]}_{\frac{u}{u_0}=0}^{\frac{u}{u_0}=1}$ $\Rightarrow$ ${𝒯}_{\text{ponct}}=$ $8\sqrt{\frac{R}{g}}[\arcsin (1)\cancel{-\arcsin (0)}]=8\sqrt{\frac{R}{g}}\frac{\pi }{2}$ soit finalement ${𝒯}_{\text{ponct}}=4\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ indépendant de ${\theta }_0$ d'où « isochronisme des oscillations ».      La période des petites oscillations d'un pendule pesant simple (P.P.S.) de longueur $l$ dans un champ de pesanteur terrestre uniforme d'intensité de la pesanteur $g$ valant ${𝒯}_{P.P.S.}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ et la période du pendule cycloïdal pouvant s'écrire ${𝒯}_{\text{ponct}}=2\pi \sqrt{\frac{4R}{g}}$, nous en déduisons la longueur du P.P.S. à « petites oscillations » synchrone du pendule cycloïdal : $l_{\text{synch. du P.Cycl.}}=4R$.

 

Mouvement d'une bille (non ponctuelle) roulant sans glisser dans une gouttière cycloïdale

     Le point matériel $M$ de masse $m$ étant remplacé par une bille homogène $ℬ$ de même masse $m$, de C.D.I. $G$ et de rayon $a$ assujetti à rouler sans glisser sur la gouttière cycloïdale $($surface cylindrique à section droite cycloïdale$)$ dont les équations paramétriques de la section droite du plan vertical $xOy$ sont celles de la portion de cycloïde de la question précédente, le point de contact de la bille $ℬ$ sur la gouttière cycloïdale étant noté $I$ ; dans tout ce qui suit nous supposons «$a<4R$».

     À la date $t=0$, on lâche la bille $ℬ$ dans la position où $I$ est en $I_0$, de paramètre angulaire ${\theta }_0\in ]0,+\pi [$ sans vitesse initiale ; elle est soumise au champ de pesanteur $\overrightarrow{g}$ uniforme et roule en liaison unilatérale sur la gouttière cycloïdale sans glisser.

Intégrale 1^re énergétique du mouvement de la bille roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale

     Préliminaire : déterminer, en fonction du « paramètre angulaire ${\theta }_I$ repérant le point $I$ sur la portion de cycloïde », l'« angle orienté ${\beta }_I$ que fait la tangente à la portion cycloïdale en $I$ avec l'axe horizontal $\overrightarrow{Ox}$» à savoir «${\beta }_I=\widehat{({\overrightarrow{u}}_x,\overrightarrow{dI})}$» où $\overrightarrow{dI}$ est le vecteur déplacement élémentaire de $I$ le long de la portion de cycloïde.

     Déterminer les coordonnées cartésiennes du C.D.I. $G$ de la bille puis

     Déterminer les composantes cartésiennes de son vecteur vitesse ${\overrightarrow{V}}_G(t)$ ;

     expliciter la condition de non glissement $\left(𝔞\right)$ du roulement de la bille $ℬ$ sur la gouttière cycloïdale $\{$la bille tournant autour de l'axe ${\Delta }_G$ passant par $G$ et $\perp$ au plan vertical $xOy$ à la vitesse angulaire $\omega (t)\}$ en fonction de $\omega (t)$, $R$, $a$, ${\theta }_I(t)$ et ${\dot{\theta }}_I(t)$.

     En admettant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $($ou 2^ème théorème de Kœnig$)$ appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle où $\mu (M)$ est la masse volumique locale en $M$,

          En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle $\left(𝒱\right)$ «${\left\{M[dm=\mu (M)d𝒱]\right\}}_{M\in \left(𝒱\right)}$» évaluée à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ «$K(\text{syst},t)$» est la somme

• de l'énergie cinétique barycentrique du système «$K^{\ast }(\text{syst},t)$» évaluée à l'instant $t$ et
• de l'énergie cinétique du C.D.I. $G$ du système évaluée au même instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ $[$en attribuant au point fictif $G$ la masse $m_{\text{syst}}]$ «$K(G,t)=\frac{1}{2}{m}_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G^2(t)$»

          En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «$K(\text{syst},t)=K^{\ast }(\text{syst},t)+K(G,t)=K^{\ast }(\text{syst},t)+\frac{1}{2}{m}_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G^2(t)$»,

          En admettant le théorème de Kœnig évaluer, dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$ et à l'instant $t$, l'énergie cinétique de la bille $ℬ$ roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale en fonction de «$m$, $R$, $a$, ${\theta }_I(t)$ et ${\dot{\theta }}_I(t)$» $\{$on admettra que le moment d'inertie d'une bille homogène, de masse $m$, de rayon $a$, par rapport à un axe ${\Delta }_G$ passant par son C.D.I. $G$ vaut «$J_{{\mathrm{\Delta }}_G}=\frac{2}{5}m{a}^2$»$\}$.

     Après avoir vérifié que la bille $ℬ$ est bien « à mouvement conservatif » expliciter l'intégrale 1^re énergétique du mouvement de roulement sans glissement de la bille $ℬ$ sur la gouttière cycloïdale en fonction, entre autres, de ${\theta }_I(t)$ et de sa dérivée temporelle.

Solution

Schéma d'un pendule cycloïdal constitué d'une bille $ℬ$ roulant sans glisser sur une cycloïde droite inversée et soumise à un champ de pesanteur uniforme avec représentation des forces extérieures appliquées

     Préliminaire, détermination de $\underset{\_}{{\beta }_I=\widehat{({\overrightarrow{u}}_x,\overrightarrow{dI})}}$ avec $\underset{\_}{\overrightarrow{dI}}$ le vecteur déplacement élémentaire de $\underset{\_}{I}$ le long de la portion de cycloïde : pour obtenir les composantes cartésiennes de $\overrightarrow{dI}$, différencions les « coordonnées cartésiennes de $I\left\{\begin{array}{c}{x}_I=R[{\theta }_I-\sin ({\theta }_I)]\\ y_I=-R[1-\cos ({\theta }_I)]\end{array}\right\}$» $\Rightarrow$ «$\overrightarrow{dI}\{\begin{array}{c}d{x}_I\\ d{y}_I\end{array}$ $\begin{array}{c}=R[1-\cos ({\theta }_I)]d{\theta }_I\\ =-R[\sin ({\theta }_I)]d{\theta }_I\end{array}\}$» soit $\tan ({\beta }_I)=\frac{d{y}_I}{d{x}_I}=\frac{-\sin ({\theta }_I)}{1-\cos ({\theta }_I)}=-\frac{2\sin \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)\cos \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)}{2{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)}=-\cot \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)=\tan (\frac{{\theta }_I}{2}-\frac{\pi }{2})$ soit, le domaine de définition de ${\beta }_I$ étant «$]-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2}[$» et celui de ${\theta }_I$ «$[0,2\pi ]$» $\Rightarrow$ «$\frac{{\theta }_I}{2}-\frac{\pi }{2}\in [-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2}]$», la relation définissant ${\beta }_I$ en fonction de ${\theta }_I\in ]0,2\pi [$ de validité étendue aux valeurs extrêmes $($les tangentes en ces points étant $\parallel$ à l'axe des $y$, c'est-à-dire ${\beta }_I=\mp \frac{\pi }{2})$ «${\beta }_I=\frac{{\theta }_I}{2}-\frac{\pi }{2}$».

     Le vecteur position du C.D.I. $G$ de la bille $ℬ$ s'écrivant «$\overrightarrow{OG}(t)=\overrightarrow{OI}(t)+\overrightarrow{IG}(t)$ avec $\overrightarrow{OI}(t)=x_I(t){\overrightarrow{u}}_x+y_I(t){\overrightarrow{u}}_y$ et $\overrightarrow{IG}(t)=$ $-a\sin [{\beta }_I(t)]{\overrightarrow{u}}_x+a\cos [{\beta }_I(t)]{\overrightarrow{u}}_y$» nous en déduisons
     $\succ$les « coordonnées cartésiennes de $G\left\{\begin{array}{c}{x}_G(t)=x_I(t)-a\sin [{\beta }_I(t)]=R\{{\theta }_I(t)-\sin [{\theta }_I(t)]\}-a\sin [\frac{{\theta }_I(t)}{2}-\frac{\pi }{2}]=R\{{\theta }_I(t)-\sin [{\theta }_I(t)]\}+a\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]\\ y_G(t)=y_I(t)+a\cos [{\beta }_I(t)]=-R\{1-\cos [{\theta }_I(t)]\}+a\cos [\frac{{\theta }_I(t)}{2}-\frac{\pi }{2}]=-R\{1-\cos [{\theta }_I(t)]\}+a\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]\end{array}\right\}$» $($voir préliminaire$)$ et
     $\succ$les « composantes cartésiennes du vecteur vitesse de $G$, ${\overrightarrow{V}}_G(t)=\frac{d\overrightarrow{OG}}{dt}(t)\left\{\begin{array}{c}{V}_{G,x}(t)=R\{1-\cos [{\theta }_I(t)]\}{\dot{\theta }}_I(t)-a\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]\frac{{\dot{\theta }}_I(t)}{2}\\ V_{G,y}(t)=-R\{\sin [{\theta }_I(t)]\}{\dot{\theta }}_I(t)+a\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]\frac{{\dot{\theta }}_I(t)}{2}\end{array}\right\}$» ou, en utilisant $\left\{\begin{array}{c}1-\cos (\alpha )=2{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)\\ \sin (\alpha )=2\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\end{array}\right\}$ et en factorisant, «${\overrightarrow{V}}_G(t)\left\{\begin{array}{c}{V}_{G,x}(t)=\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\dot{\theta }}_I(t)\\ V_{G,y}(t)=-\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\dot{\theta }}_I(t)\end{array}\right\}$» $\Rightarrow$ «${\overrightarrow{V}}_G(t)=V_{G,x}(t){\overrightarrow{u}}_x+V_{G,y}(t){\overrightarrow{u}}_y=\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}{\dot{\theta }}_I(t)\{\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_x-\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_y\}$» après factorisation par $\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}{\dot{\theta }}_I(t)$ $\Rightarrow$ $V_G(t)$ est colinéaire au vecteur $($unitaire$)$ «$\{\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_x-\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_y\}$».

     Le roulement sans glissement de la bille $ℬ$ sur la gouttière cycloïdale $\left(𝒞\right)$ se traduit selon «${\overrightarrow{V}}_{I\in ℬ}(t)={\overrightarrow{V}}_{I\in \left(𝒞\right)}(t)$» avec

• «${\overrightarrow{V}}_{I\in \left(𝒞\right)}(t)=\overrightarrow{0}$» $\{I\in \left(𝒞\right)$ considéré à l'instant $t$ étant, par définition, immobile relativement à la cycloïde$\}$ et
• «${\overrightarrow{V}}_{I\in ℬ}(t)={\overrightarrow{V}}_G(t)+{\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}_{ℬ/{ℛ}^{\ast }}(t)\wedge \overrightarrow{GI}(t)$» $\{$le mouvement de $I\in ℬ$ dans ${ℛ}_{\text{lab}}$ résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation ${\overrightarrow{V}}_G(t)$ dans ${ℛ}_{\text{lab}}$ et d'une rotation de vecteur rotation instantanée ${\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}_{ℬ/{ℛ}^{\ast }}(t)$ autour de $\overrightarrow{Gz}$ dans ${ℛ}^{\ast }$ $($le référentiel barycentrique de la bille$)$, ${\overrightarrow{u}}_z$ étant le vecteur unitaire $\perp$ au plan $\left(xOy\right)$ de sens sortant de ce plan et orientant les angles algébrisés de ce dernier dans le sens anti-horaire$\}$ dans lequel
  $\succ$«${\overrightarrow{V}}_G(t)=\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}{\dot{\theta }}_I(t)\{\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_x-\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_y\}$» et
  $\succ$«${\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}_{ℬ/{ℛ}^{\ast }}(t)\wedge \overrightarrow{GI}(t)=\omega (t){\overrightarrow{u}}_z\wedge \{a\sin [{\beta }_I(t)]{\overrightarrow{u}}_x-a\cos [{\beta }_I(t)]{\overrightarrow{u}}_y\}=a\omega (t)\{\sin [{\beta }_I(t)]{\overrightarrow{u}}_y+\cos [{\beta }_I(t)]{\overrightarrow{u}}_x\}=a\omega (t)\{\sin [\frac{{\theta }_I(t)}{2}-\frac{\pi }{2}]{\overrightarrow{u}}_y+\cos [\frac{{\theta }_I(t)}{2}-\frac{\pi }{2}]{\overrightarrow{u}}_x\}$» $($voir préliminaire$)$ soit enfin «${\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}_{ℬ/{ℛ}^{\ast }}(t)\wedge \overrightarrow{GI}(t)=a\omega (t)\{\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_x-\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_y\}$» d'où, en ajoutant ces deux contributions et en factorisant par $\{\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_x-\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_y\}$,
  $\succ$«${\overrightarrow{V}}_{I\in ℬ}(t)={\overrightarrow{V}}_G(t)+{\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}_{ℬ/{ℛ}^{\ast }}(t)\wedge \overrightarrow{GI}(t)=[\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}{\dot{\theta }}_I(t)+a\omega (t)]\{\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_x-\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_y\}$» ;
• nous en déduisons le lien recherché traduisant le roulement sans glissement de la bille $ℬ$ sur la gouttière cycloïdale $\left(𝒞\right)$ «$\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}{\dot{\theta }}_I(t)+a\omega (t)=0\mathrm{\forall }t\text{:}\left(𝔞\right)$».

     Appliquant le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique $($ou 2^ème théorème de Kœnig$)$ à la bille $ℬ$ à l'instant $t$ dans le référentiel ${ℛ}_{\text{lab}}$, nous en déduisons que l'« énergie cinétique, à l'instant $t$ dans le référentiel ${ℛ}_{\text{lab}}$, de la bille $ℬ$ roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale $\left(𝒞\right)$ $K(ℬ,t)$» est la somme de l'« énergie cinétique barycentrique, évaluée à l'instant $t$, de la bille $K^{\ast }(ℬ,t)=\frac{1}{2}{J}_{\left(Gz\right)}{\omega }^2(t)$» $\{J_{\left(Gz\right)}$ étant le moment d'inertie de $ℬ$ relativement au diamètre $\left(Gz\right)$, soit $J_{\left(Gz\right)}=\frac{2}{5}m{a}^2\}$ ou «$K^{\ast }(ℬ,t)=\frac{1}{5}m{a}^2{\omega }^2(t)$» et de l'« énergie cinétique, évaluée dans le référentiel ${ℛ}_{\text{lab}}$ au même instant $t$, du C.D.I. $G$ de la bille $K(G,t)=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{V}}_G^2(t)$» avec «${\overrightarrow{V}}_G(t)=$ $\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}{\dot{\theta }}_I(t)\{\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_x-\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\overrightarrow{u}}_y\}$» $($voir plus haut dans la solution de la question précédente$)$ $\Rightarrow$ $K(G,t)$ $=\frac{1}{2}m{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I^2(t)$ d'où «$K(ℬ,t)=\frac{1}{5}m{a}^2{\omega }^2(t)+\frac{1}{2}m{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I^2(t)$» ou, en utilisant la relation $\left(𝔞\right)$ $\Rightarrow$ $a\omega (t)=-\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}{\dot{\theta }}_I(t)$, «$K(ℬ,t)$ $=\frac{1}{5}m[-\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}{\dot{\theta }}_I(t){]}^2+\frac{1}{2}m{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I^2(t)$» puis en factorisant «$K(ℬ,t)=\frac{7}{10}m{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I^2(t)$».

     La puissance instantanée développée, à l'instant $t$, dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$, par la réaction $\overrightarrow{R}(t)={\overrightarrow{R}}_n(t)+{\overrightarrow{R}}_{\tau }(t)$ de la gouttière cycloïdale $\left(𝒞\right)$ sur la bille $ℬ$ définie selon «$𝒫[\overrightarrow{R}(t)]=\overrightarrow{R}(t)\cdot {\overrightarrow{V}}_{I\in ℬ}(t)$ $=\cancel{{\overrightarrow{R}}_n(t)\cdot {\overrightarrow{V}}_{I\in ℬ}(t)+}{\overrightarrow{R}}_{\tau }(t)\cdot {\overrightarrow{V}}_{I\in ℬ}(t)$» $\{{\overrightarrow{V}}_{I\in ℬ}(t)\cdot \overrightarrow{n}$ étant nul même en cas de glissement$\}$ se réécrit, dans les conditions de roulement sans glissement de $ℬ$ sur la gouttière cycloïdale $\left(𝒞\right)$ où ${\overrightarrow{V}}_{I\in ℬ}(t)$ $={\overrightarrow{V}}_{I\in \left(𝒱\right)}(t)$ $\Rightarrow$ «$𝒫[\overrightarrow{R}(t)]={\overrightarrow{R}}_{\tau }(t)\cdot {\overrightarrow{V}}_{I\in \left(𝒞\right)}(t)$» soit finalement «$𝒫[\overrightarrow{R}(t)]=0$» car ${\overrightarrow{V}}_{I\in \left(𝒞\right)}(t)=\overrightarrow{0}$ $\{\left(𝒞\right)$ étant fixe dans ${ℛ}_{\text{lab}}\}$ ;

     ainsi la seule force extérieure non conservative appliquée à la bille $ℬ$, à savoir la réaction $\overrightarrow{R}(t)$ de la gouttière cycloïdale $\left(𝒞\right)$ sur $ℬ$ $\{$l'autre force extérieure étant le poids $mg$ de la bille, force conservative « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de la bille «$U_{\text{pes}}(G)=mg{y}_G$ en prenant pour référence $y=0$»$\}$, ne développant aucune puissance dans le cas d'un roulement sans glissement de $ℬ$ sur la gouttière cycloïdale $\left(𝒞\right)$, nous en déduisons le caractère « conservatif » de la bille $ℬ$ dans ces conditions de roulement sans glissement et par suite la conservation, dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$ galiléen, de son énergie mécanique dans le champ de pesanteur terrestre dans le cas d'un roulement sans glissement sur la gouttière cycloïdale, cette conservation constituant l'intégrale 1^re énergétique de la bille $ℬ$ dans ces conditions de roulement sans glissement sur la gouttière cycloïdale du référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$ galiléen «$E_m(t)=E_m(0)$» dans laquelle «$E_m(t)=\frac{7}{10}m{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I^2(t)+mg{y}_G(t)$» se réécrit selon $E_m(t)=\frac{7}{10}m{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I^2(t)-mg\{R\{1-\cos [{\theta }_I(t)]\}-a\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]\}=\frac{7}{10}m{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I^2(t)-mg\{2R{\sin }^2\left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-a\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]\}$ après passage en angle moitié ou encore, après factorisation, «$E_m(t)=m(\frac{7}{10}{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I^2(t)-g\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right])$» ou, avec les C.I. $\{{\theta }_I(0)={\theta }_0,{\dot{\theta }}_I(0)=0\}$ $\Rightarrow$ «$E_m(0)=$ $-mg\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]$», l'explicitation de l'intégrale 1^re énergétique de la bille $ℬ$ roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale du référentiel ${ℛ}_{\text{lab}}$ galiléen «$m(\frac{7}{10}{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I^2(t)-g\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right])=-mg\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]$»
donnant, après division de chaque membre par $m$, l'expression simplifiée de l'intégrale 1^re énergétique de la bille
«$\frac{7}{10}{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I^2(t)-g\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]=-g\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]\text{:}\left(𝔟\right)$».

 

Établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique de la bille, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de cette dernière avec évaluation de sa période sous forme intégrale

     Rappeler la méthode d'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique de la bille $ℬ$ roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale pour en déduire :

• la nature oscillatoire du mouvement de cette dernière ainsi que
• sa nature périodique ;

     expliciter la période $𝒯$ du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale $\{$que l'on ne cherchera pas à calculer$\}$,

     puis comparer la limite de $𝒯$ quand $a\to 0$ à la période ${𝒯}_{\text{ponct}}$ du mouvement du « pendule cycloïdal ponctuel » déterminée à la question « établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel M, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de ce dernier et évaluation de sa période ainsi que de la longueur du pendule pesant simple synchrone » plus haut dans l'exercice et

     puis justifier l'écart observé.

Solution

     Le diagramme d'énergie potentielle massique en fonction du paramètre de position ${\theta }_I$ étant une « courbe bornée $\{$en effet $u_{\text{pes}}({\theta }_I)=-g[2R\sin \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)-a]\sin \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)$ étant de période $2\pi$, de dérivée $\frac{d{u}_{\text{pes}}}{d({\theta }_I/2)}({\theta }_I)=-g[2R\sin \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)-a]\cos \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)-g[2R\cos \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)]\sin \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)$ soit $\frac{d{u}_{\text{pes}}}{d({\theta }_I/2)}({\theta }_I)=-g\cos \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)[4R\sin \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)-a]$ s'annulant pour ${\theta }_{I,\text{max},1}=2\arcsin \left[\frac{a}{4R}\right]$ et ${\theta }_{I,\text{max},2}=$ $2\pi -2\arcsin \left[\frac{a}{4R}\right]$ donnant une même valeur maximale $u_{\text{pes, max}}$ ainsi que ${\theta }_{I,\text{min}}=\pi$ correspondant à une valeur minimale $u_{\text{pes min}}=-g(2R-a)$, $u_{\text{pes}}$ étant $\nearrow$ sur $[0,{\theta }_{I,\text{max},1}]$ de $0$ à $u_{\text{pes max}}$ puis $\searrow$ sur $[{\theta }_{I,\text{max},1},\pi ]$ de $u_{\text{pes max}}$ à $u_{\text{pes min}}$, $\nearrow$ sur $[\pi ,{\theta }_{I,\text{max},2}]$ de $u_{\text{pes min}}$ à $u_{\text{pes max}}$ et $\searrow$ sur $[{\theta }_{I,\text{max},2},2\pi ]$ de $u_{\text{pes max}}$ à $0\}$» et
     celui               d'énergie mécanique massique en fonction du même paramètre de position étant « au-dessus du précédent pour ${\theta }_I\in ]-{\theta }_0,2\pi -{\theta }_0[$ dans la mesure où ${\theta }_0\in [{\theta }_{I,\text{max},1},\pi ]$,
     d'où l'existence de deux murs d'énergie potentielle massique repérés par ${\theta }_0$ et $2\pi -{\theta }_0$ entre lesquels les points génériques des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique massiques restent localisés $\Rightarrow$
     la nature oscillatoire du mouvement de roulement sans glissement de la bille $ℬ$ sur la gouttière cycloïdale autour de ${\theta }_{I,\text{min}}=\pi$ dans la mesure où ${\theta }_0\in [{\theta }_{I,\text{max},1},\pi ]$ mais le « diagramme d'énergie potentielle massique n'étant pas parabolique », les oscillations sont « non harmoniques ».

     Toujours en supposant ${\theta }_0\in [{\theta }_{I,\text{max},1},\pi ]$, nous établissons la nature périodique du mouvement de $ℬ$ en vérifiant que la durée du n^ème aller-retour $(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ est indépendant de $n$ et pour cela évaluons

• la durée du n^ème aller $\mathrm{\Delta }{t}_{{\theta }_0\stackrel{n}{\to }2\pi -{\theta }_0}={\int }_{{\theta }_0}^{2\pi -{\theta }_0}\frac{dt}{d\theta }d\theta$ avec «$\left(𝔟\right)\frac{7}{10}{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I^2(t)-g\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]=-g\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]$» $\Rightarrow$ ${\dot{\theta }}_I(t)$ $=\sqrt{\frac{10g}{7}}\frac{\sqrt{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]}}{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}}$ d'où $\frac{dt}{d\theta }=\sqrt{\frac{7}{10g}}\frac{2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-\frac{a}{2}}{\sqrt{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-a]\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-[2R\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-a]\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)}}$ dont nous déduisons la durée du n^ème aller sous forme intégrale «$\mathrm{\Delta }{t}_{{\theta }_0\stackrel{n}{\to }2\pi -{\theta }_0}={\int }_{{\theta }_0}^{2\pi -{\theta }_0}\sqrt{\frac{7}{10g}}\frac{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-\frac{a}{2}]d\theta }{\sqrt{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-a]\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-[2R\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-a]\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)}}$» puis
• la durée du n^ème retour $\mathrm{\Delta }{t}_{{\theta }_0\stackrel{n}{\leftarrow }2\pi -{\theta }_0}={\int }_{2\pi -{\theta }_0}^{{\theta }_0}\frac{dt}{d\theta }d\theta$ avec «$\left(𝔟\right)\frac{7}{10}{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I^2(t)-g\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]=-g\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]$» $\Rightarrow$ ${\dot{\theta }}_I(t)$ $=-\sqrt{\frac{10g}{7}}\frac{\sqrt{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]}}{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}}$ d'où $\frac{dt}{d\theta }=-\sqrt{\frac{7}{10g}}\frac{2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-\frac{a}{2}}{\sqrt{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-a]\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-[2R\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-a]\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)}}$ dont nous déduisons la durée du n^ème retour sous forme intégrale «$\mathrm{\Delta }{t}_{{\theta }_0\stackrel{n}{\leftarrow }2\pi -{\theta }_0}={\int }_{2\pi -{\theta }_0}^{{\theta }_0}-\sqrt{\frac{7}{10g}}\frac{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-\frac{a}{2}]d\theta }{\sqrt{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-a]\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-[2R\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-a]\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)}}$» s'écrivant encore
  «$\mathrm{\Delta }{t}_{{\theta }_0\stackrel{n}{\leftarrow }2\pi -{\theta }_0}={\int }_{{\theta }_0}^{2\pi -{\theta }_0}\sqrt{\frac{7}{10g}}\frac{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-\frac{a}{2}]d\theta }{\sqrt{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-a]\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-[2R\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-a]\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)}}=\mathrm{\Delta }{t}_{{\theta }_0\stackrel{n}{\to }2\pi -{\theta }_0}$» d'où

     la durée du n^ème aller-retour $(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ «${\mathrm{\Delta }}_n=2\mathrm{\Delta }{t}_{{\theta }_0\stackrel{n}{\to }2\pi -{\theta }_0}=\sqrt{\frac{14}{5g}}{\int }_{{\theta }_0}^{2\pi -{\theta }_0}\frac{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-\frac{a}{2}]d\theta }{\sqrt{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-a]\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-[2R\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-a]\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)}}$» étant effectivement indépendante de $n$ $($ni les bornes ni la fonction à intégrer ne le faisant apparaître$)$ nous en déduisons la nature périodique du mouvement de $ℬ$, sa période s'écrivant «$𝒯=\sqrt{\frac{14}{5g}}{\int }_{{\theta }_0}^{2\pi -{\theta }_0}\frac{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-\frac{a}{2}]d\theta }{\sqrt{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-a]\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-[2R\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)-a]\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)}}$» ;      formons «$\underset{a\to 0}{lim}𝒯=\sqrt{\frac{14}{5g}}{\int }_{{\theta }_0}^{2\pi -{\theta }_0}\frac{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)]d\theta }{\sqrt{[2R\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)]\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-[2R\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)]\sin \left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)}}=2\sqrt{\frac{14R}{5g}}{\int }_{{\theta }_0}^{2\pi -{\theta }_0}\frac{\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)d\theta }{\sqrt{2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)-2{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)}}$» ou, la fonction de la variable $\frac{\theta }{2}$ à intégrer étant invariante par changement de $\frac{\theta }{2}$ en $\pi -\frac{\theta }{2}$, «$\underset{a\to 0}{lim}𝒯=4\sqrt{\frac{14R}{5g}}{\int }_{{\theta }_0}^{\pi }\frac{\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)d\theta }{\sqrt{2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)-2{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)}}=4\sqrt{\frac{7R}{5g}}{\int }_{{\theta }_0}^{\pi }\frac{\sqrt{2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)}d\theta }{\sqrt{2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)-2{\sin }^2\left(\frac{{\theta }_0}{2}\right)}}=4\sqrt{\frac{7R}{5g}}{\int }_{{\theta }_0}^{\pi }\frac{\sqrt{1-\cos \left(\theta \right)}d\theta }{\sqrt{\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )}}$» et comparant le résultat à la période du mouvement du « pendule cycloïdal ponctuel » «${𝒯}_{\text{ponct}}=4{\int }_{{\theta }_0}^{\pi }\sqrt{\frac{R[1-\cos (\theta )]}{g[\cos ({\theta }_0)-\cos (\theta )]}}d\theta$» nous en déduisons «$\underset{a\to 0}{lim}𝒯=\sqrt{\frac{7}{5}}{𝒯}_{\text{ponct}}$»,

     la raison de ces comportements différents étant qu'il n'y a aucune rotation propre du point matériel $M$ dans le cas du « pendule cycloïdal ponctuel »

     la raison de ces comportements différents alors que, si la limite $a\to 0$ transforme effectivement la bille $ℬ$ en un point matériel, celle de la condition de roulement sans glissement $\underset{a\to 0}{lim}\left(𝔞\right)$ dans laquelle «$\left(𝔞\right)\text{:}$ $\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}{\dot{\theta }}_I(t)+a\omega (t)=0$» ayant pour limite «$2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\dot{\theta }}_I(t)+\underset{a\to 0}{lim}[a\omega (t)]=0$» avec un 1^er terme fini non nul nécessitant, pour que la somme soit nulle, un 2^ème terme fini non nul opposé au 1^er terme, ce qui n'est possible qu'avec $\omega (t)\to \mathrm{\infty }$, c'est-à-dire une rotation propre de vitesse angulaire infinie,

     la limite de rayon nul pour une bille roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale est donc un point matériel glissant sur la gouttière cycloïdale en tournant sur lui-même à vitesse angulaire infinie $($limite totalement hypothétique car non réalisable physiquement$)$, ce n'est donc pas un « pendule cycloïdal ponctuel ».

 

Étude du mouvement des petites oscillations de la bille roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdal et comparaison de sa période des petites oscillations avec celle du pendule cycloïdal ponctuel

     Déduire de l'intégrale 1^re énergétique, l'équation différentielle du 2^ème ordre en ${\theta }_I(t)$ du mouvement de roulement sans glissement de $ℬ$ sur la gouttière cycloïdale du référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$.

     Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations de la bille $ℬ$ roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale c'est-à-dire «$\pi -{\theta }_0\ll 1$», vérifier que l'oscillateur est linéarisable puis

          Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations donner l'expression de la période des petites oscillations ${𝒯}_0$ du roulement sans glissement de $ℬ$ sur la gouttière cycloïdale et enfin

          Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations former le rapport «$\frac{{𝒯}_0}{{𝒯}_{\text{ponct}}}$» de la période des petites oscillations de la bille roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale relativement à celle du « pendule cycloïdal ponctuel ».

Solution

     Préliminaire : pour établir l'équation différentielle du 2^ème ordre en ${\theta }_I(t)$ du mouvement de roulement sans glissement de la bille $ℬ$ sur la gouttière cycloïdale dans le référentiel d'étude ${ℛ}_{\text{lab}}$ galiléen, il suffit de dériver temporellement la relation «$\left(𝔟\right)\frac{7}{10}{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I^2(t)-g\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]=-g\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]-a\}\sin \left[\frac{{\theta }_0}{2}\right]$» ce qui donne

     «$\frac{7}{10}\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}R\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\dot{\theta }}_I^3(t)+\frac{7}{5}{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\dot{\theta }}_I(t){\ddot{\theta }}_I(t)-gR\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\dot{\theta }}_I(t)\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-g\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-a\}\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]\frac{{\dot{\theta }}_I(t)}{2}=0$» soit, après simplification, «$\frac{7}{5}{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\ddot{\theta }}_I(t)+\frac{7}{10}\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}R\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\dot{\theta }}_I^2(t)-g\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}=0\text{:}\left(𝔠\right)$».      La bille $ℬ$ étant lâchée sans vitesse initiale dans une position où son point de contact $I$ est d'ordonnée $y({\theta }_I)$ telle que ${\theta }_I(0)={\theta }_0=\pi +{\epsilon }_0$ avec «${\epsilon }_0<0$ et $|\epsilon |\ll 1$»,
     nous supposons $($ce qui devra être vérifié$)$ que $\epsilon (t)={\theta }_I(t)-\pi$ est telle que «$|\epsilon (t)|\ll 1\mathrm{\forall }t$» et, considérant $\epsilon (t)$ comme infiniment petit d'ordre un,
     nous faisons un D.L. de l'équation différentielle «$\left(𝔠\right)\frac{7}{5}{\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2{\ddot{\theta }}_I(t)+\frac{7}{10}\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}R\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]{\dot{\theta }}_I^2(t)-g\cos \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]\{2R\sin \left[\frac{{\theta }_I(t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}=0$» à l'ordre un en $\epsilon (t)$ et ses dérivées temporelles à partir de «$\left(𝔠\right)\frac{7}{5}{\{2R\cos \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2\ddot{\epsilon }(t)-\frac{7}{10}\{2R\cos \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}R\sin \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]{\dot{\epsilon }}^2(t)+g\sin \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]\{2R\cos \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}=0$»,
           nous faisons un D.L. en utilisant que le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un s'obtient en prenant le D.L. de l'autre facteur à l'ordre zéro $[$dans le produit «${\{2R\cos \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2\ddot{\epsilon }(t)$» «$\ddot{\epsilon }(t)$ étant un infiniment petit d'ordre un », il suffit de prendre ${\{2R\cos \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2$ à l'ordre zéro soit «${\{2R\cos \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}}^2\simeq {\{2R-\frac{a}{2}\}}^2$»$]$,
           nous faisons un D.L. en utilisant qu'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre deux étant au moins d'ordre deux peut être éliminé à l'ordre un $[$c'est le cas dans le produit du 2^ème terme de $\left(𝔠\right)$ «$\{2R\cos \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}R\sin \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]{\dot{\epsilon }}^2(t)$» «${\dot{\epsilon }}^2(t)$ étant un infiniment petit d'ordre deux » $\Rightarrow$ son D.L. à l'ordre un est «$\{2R\cos \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}R\sin \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]{\dot{\epsilon }}^2(t)\simeq 0$»$]$ et
           nous faisons un D.L. en utilisant que le D.L. à l'ordre un de $\sin \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]$ est «$\sin \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]\simeq \frac{\epsilon (t)}{2}$» d'une part et d'autre part que le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un s'obtient en prenant le D.L. de l'autre facteur à l'ordre zéro $[$dans le produit «$\sin \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]\{2R\cos \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}$» «$\sin \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]$ étant un infiniment petit d'ordre un », il suffit de prendre $\{2R\cos \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}$ à l'ordre zéro soit «$\{2R\cos \left[\frac{\epsilon (t)}{2}\right]-\frac{a}{2}\}\simeq \{2R-\frac{a}{2}\}$»$]$,
           nous faisons un D.L. d'où l'expression de l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle $\left(𝔠\right)$ traduisant l'effectivité de la linéarisation de $\left(𝔠\right)$ «$\frac{7}{5}{\{2R-\frac{a}{2}\}}^2\ddot{\epsilon }(t)+g\frac{\epsilon (t)}{2}\{2R-\frac{a}{2}\}=0$» $\iff$ «$\frac{7}{20}{(4R-a)}^2\ddot{\epsilon }(t)+\frac{g}{4}(4R-a)\epsilon (t)=0$»
soit, après simplification et normalisation, «$\ddot{\epsilon }(t)+\frac{5}{7}\frac{g}{4R-a}\epsilon (t)=0\left({𝔠}^{\prime }\right)$»
c'est-à-dire l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti pour «$a<4R$»
de pulsation propre des petites oscillations «${\omega }_0=\sqrt{\frac{5g}{7(4R-a)}}$»,

     dont nous déduisons l'expression de la période des petites oscillations ${𝒯}_0$ du roulement sans glissement de $ℬ$ sur la gouttière cycloïdale «${𝒯}_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{7(4R-a)}{5g}}$» soit encore,

     avec «${𝒯}_{\text{ponct}}=4\pi \sqrt{\frac{R}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{4R}{g}}$ la période du pendule cycloïdal ponctuel », l'expression du rapport de la période des petites oscillations de la bille roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale relativement à celle du « pendule cycloïdal ponctuel » «$\frac{{𝒯}_0}{{𝒯}_{\text{ponct}}}=\sqrt{\frac{7}{5}}\sqrt{1-\frac{a}{4R}}$» $($tendant effectivement vers «$\sqrt{\frac{7}{5}}$» si $a\to 0)$.

     Remarques : Si $a$ est $>$ à $4R$, l'expression de l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle $\left(𝔠\right)$ «$\ddot{\epsilon }(t)+\frac{5}{7}\frac{g}{4R-a}\epsilon (t)=0\left({𝔠}^{\prime }\right)$» n'est pas celle d'un oscillateur harmonique non amorti $[$le cœfficient de $\epsilon (t)$ c'est-à-dire «$\frac{5}{7}\frac{g}{4R-a}$» étant $<0]$ $($ni celle d'un oscillateur$)$ en accord avec le fait que la courbe d'énergie potentielle massique d'équation «$u_{\text{pes}}({\theta }_I)=-g[2R\sin \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)-a]\sin \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)$» de dérivée «$\frac{d{u}_{\text{pes}}}{d({\theta }_I/2)}({\theta }_I)=-g\cos \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)[4R\sin \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)-a]$» ne s'annulant que pour ${\theta }_I=\pi$ en étant $>0$ pour ${\theta }_I<\pi$ et $<0$ pour ${\theta }_I>\pi$ ce qui fait de ${\theta }_I=\pi$ l'abscisse d'un maximum de la courbe d'énergie potentielle massique c'est-à-dire que la bille en ${\theta }_I=\pi$ est en équilibre instable.

     Remarques : Si $a$ est $=$ à $4R$, l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle $\left(𝔠\right)$ s'écrivant «$(4R-a)\ddot{\epsilon }(t)+\frac{5g}{7}\epsilon (t)=0$» avec un 1^er membre de 1^er terme identiquement nul si $\ddot{\epsilon }(t)$ reste fini et un 2^ème terme non identiquement nul ne peut jamais être égal à $0$ sauf dans le cas où le 1^er terme est une forme indéterminée c'est-à-dire si $\ddot{\epsilon }(t)$ est infini rendant $|\ddot{\epsilon }(t)|\cancel{\ll }1$ et l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle $\left(𝔠\right)$ sans signification physique $($il en serait de même à n'importe quel ordre$)$ ;
         Remarques : Si a est égal à 4 R, ceci est en accord avec le fait que la courbe d'énergie potentielle massique d'équation «$u_{\text{pes}}({\theta }_I)=-2gR[\sin \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)-2]\sin \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)$» de dérivée «$\frac{d{u}_{\text{pes}}}{d({\theta }_I/2)}({\theta }_I)=$ $-4gR\cos \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)[\sin \left(\frac{{\theta }_I}{2}\right)-1]$» de zéro double ${\theta }_I=\pi$ en étant $>0$ pour ${\theta }_I<\pi$ et $<0$ pour ${\theta }_I>\pi$ ce qui fait de ${\theta }_I=\pi$ l'abscisse d'un maximum de la courbe d'énergie potentielle massique c'est-à-dire que la bille en ${\theta }_I=\pi$ est en équilibre instable.