Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique

Leçons de niveau 14
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Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique
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Chute d'un arbre[modifier | modifier le wikicode]

     On assimile un arbre à une tige longue et homogène de « longueur » et de « masse » ;

     un bûcheron le coupe à sa base et l'arbre bascule dans le référentiel terrestre galiléen en tournant autour de son point d'appui au sol on suppose que son point d'appui reste fixe, ne glissant donc pas ; le champ de pesanteur terrestre étant uniforme d'intensité , on repère alors la position de l'arbre par l'« angle qu'il fait avec la verticale ascendante » ;

     à « l'arbre fait un angle avec la verticale et est immobile » ;

     on rappelle le moment d'inertie d'une tige homogène, de longueur , de masse , par rapport à un axe à la tige et passant par une de ses extrémités «».

Détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre en θ(t) du mouvement de basculement de l'arbre[modifier | modifier le wikicode]

     En appliquant le théorème du moment cinétique scalaire à l'arbre relativement à son axe de basculement dans le référentiel terrestre galiléen,

     déterminer l'équation différentielle en du mouvement de chute de l'arbre et

     vérifier que cette équation n'admet pas de solutions analytiques[1].

Détermination d'une intégrale 1re du mouvement de basculement de l'arbre[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement de chute de l'arbre, intégrer une fois par rapport à pour en déduire une intégrale 1re du mouvement de basculement de l'arbre on explicitera en fonction de entre autres ;

     retrouver cette intégrale 1re du mouvement de basculement de l'arbre en utilisant le théorème de la variation de l'énergie mécanique de l'arbre dans le champ de pesanteur terrestre.

Détermination de la durée de chute de l'arbre[modifier | modifier le wikicode]

     En intégrant une nouvelle fois l'intégrale 1re du mouvement de basculement de l'arbre, déterminer la durée de chute «» d'un arbre de ce type sous forme intégrale de l'inclinaison initiale jusqu'au sol puis

     la calculer numériquement pour une hauteur d'arbre «», sachant que «» et «»[8].

Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis énergétique[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'un demi-disque roulant sans glisser sur un plan horizontal[10]

     Soit un demi-disque homogène, de masse surfacique , de centre [11], de centre de masse ou C.D.I[2]. , de rayon et de masse voir schéma ci-contre ;

     ce demi-disque disposé verticalement sur un plan horizontal est en contact avec ce dernier par l'intermédiaire de sa tranche circulaire un dispositif non représenté forçant le demi-disque à rester dans le plan vertical initial sans faire intervenir un quelconque frottement solide, peut ainsi rouler sans glisser sur ce plan horizontal[10] ;

     le référentiel terrestre dans lequel est étudié le mouvement de est supposé galiléen pour son étude dynamique, il lui est associé un repère cartésien orthonormé direct, orientant la direction verticale dans le sens ascendant, la direction horizontale le long de laquelle le demi-disque roule sans glisser[10] et la direction horizontale au plan vertical contenant orientant les angles algébrisés de ce dernier dans le sens trigonométrique direct ;

     le champ de pesanteur terrestre est uniforme égal à avec intensité de la pesanteur ;

     désignant par le point de contact entre le sol et à l'instant , on repère la position du demi-disque par l'ordonnée «» de son centre [11] et par l'angle algébrisé «».

     À l'instant initial, on lâche le demi-disque sans vitesse initiale dans la position repérée par , l'ordonnée du point de contact correspondant valant .

     Nous supposerons connus la distance séparant le centre [11] du demi-disque de son C.D.I. [2] « notée » ainsi que
     Nous supposerons connus le moment d'inertie de par rapport à un axe passant par et au plan contenant «».

Étude cinématique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : cette question étant la 1re de l'exercice « Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique » de la série d'exer. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » est rappelée pour mémoire, la différence entre ces deux exercices portant sur l'aspect utilisé pour résoudre le roulement sans glissement du demi-disque résolution par théorèmes de la dynamique de translation et rotation pour la 2ème question de l'exercice précité, résolution par théorème énergétique pour la 2ème question de l'exercice présent.

     Établir le lien traduisant le roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal[10] entre
     Établir le lien la composante horizontale du vecteur vitesse du centre [11] du demi-disque dans le référentiel d'étude «» et
     Établir le lien sa vitesse angulaire «» de rotation autour de l'axe horizontal dans le référentiel lié à en translation relativement à .

     En déduire les composantes cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération du centre de masse ou C.D.I[2]. dans le référentiel d'étude en fonction de «», de «» et de « ses dérivées temporelles d'ordre un et deux ».

Étude énergétique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     En admettant le théorème de Kœnig[18] relatif à l'énergie cinétique ou 2ème théorème de Kœnig[18] appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique[19] à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle où est la masse volumique locale en ,

          En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle «» évaluée à l'instant dans le référentiel d'étude «» est la somme

  • de l'énergie cinétique barycentrique[20] du système «» évaluée à l'instant et
  • de l'énergie cinétique du C.D.I[2]. du système évaluée au même instant dans le référentiel d'étude en attribuant au point fictif la masse «»

          En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «»,

          En admettant le théorème de Kœnig évaluer, dans le référentiel d'étude et à l'instant , l'énergie cinétique du demi-disque roulant sans glisser[10] sur le plan horizontal en fonction de «, , et » pour résoudre cette question il est nécessaire de déterminer le moment d'inertie de relativement à et pour cela on utilisera le théorème de Huygens[21],[22] liant les moments d'inertie d'un solide relativement à deux axes dont l'un passe par le C.D.I[2]. du solide « avec la distance séparant les deux axes » ;

     exprimer l'énergie potentielle de pesanteur «» du demi-disque roulant sans glisser[10] sur le plan horizontal en fonction de «, , et » puis en déduire

     exprimer l'énergie mécanique dans le champ de pesanteur terrestre «» du demi-disque roulant sans glisser[10] sur le plan horizontal dans le référentiel terrestre en fonction de «, , , et ».

     Rappeler la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement[23] pour un « cœfficient de frottement entre le sol et le demi-disque égal à » on notera et les composantes tangentielle et normale de la réaction du plan horizontal sur le demi-disque puis,

     Rappeler l'expression de la puissance instantanée développée par la réaction du plan horizontal sur le demi-disque dans le cas où ce dernier roule sans glisser[10] sur le 1er dans le référentiel , enfin

     déterminer une intégrale 1re énergétique du demi-disque roulant sans glisser[10] sur le plan horizontal dans le référentiel terrestre  ;

     justifier cette affirmation « cette intégrale 1re énergétique est celle d'un oscillateur non harmonique» on rappellera succinctement la méthode d'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique permettant d'aboutir à cette conclusion.

     Bien que ce ne soit pas en général simplificateur dans le cas d'un oscillateur non harmonique, déduire de l'intégrale 1re énergétique, l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement de rotation de dans le référentiel d'étude .

Étude des petites oscillations rotatives du demi-disque dans son mouvement de roulement sans glissement sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : cette question étant la 3ème de l'exercice « Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique » de la série d'exer. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » est rappelée pour mémoire, la différence entre ces deux exercices portant sur l'aspect utilisé pour résoudre le roulement sans glissement du demi-disque résolution par théorèmes de la dynamique de translation et rotation pour la 2ème question de l'exercice précité, résolution par théorème énergétique pour la 2ème question de l'exercice présent.

     Considérant petit, montrer que l'équation différentielle en du mouvement de rotation de dans le référentiel d'étude peut être linéarisée et

          Considérant α0 petit, exprimer le résultat de cette linéarisation ;

          Considérant α0 petit, en déduire la loi horaire des petites élongations angulaires[27] de dans son mouvement de rotation autour de ainsi que

          Considérant α0 petit, en déduire sa période des petites élongations angulaires[27] en fonction de , et puis

                  Considérant α0 petit, en déduire sa période des petites élongations angulaires T en fonction de et .

Mouvement d'une barre appuyée contre un mur[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'une barre appuyée sans frottement solide contre un mur et reposant également sans frottement solide sur un sol horizontal

     Une barre , homogène, de longueur et de C.D.I[2]. , milieu de , est posée sur le sol horizontal par son extrémité et repose, par son autre extrémité , contre un mur vertical, le plan initial contenant la barre étant vertical au mur ; les contacts sur le sol en et sur le mur en sont supposés sans frottement solide.

     Nous nous intéressons au mouvement de la barre dans le référentiel terrestre galiléen et pour cela nous choisissons un repère cartésien associé à ce référentiel avec le point d'intersection du mur, du sol et du plan vertical contenant initialement la barre, le vecteur unitaire horizontal au plan vertical et pointant vers le lecteur, son sens orientant les angles algébrisés du plan dans le sens anti-horaire, le vecteur unitaire horizontal du plan orientant le sol de ce plan en s'éloignant du mur et le vecteur unitaire vertical ascendant, la base cartésienne étant directe voir schéma ci-contre.

     En supposant que la barre, en absence de vitesse initiale, a un mouvement restant localisé dans le plan vertical contenant initialement la barre, nous repérons la position de celle-ci par l'angle algébrisé «».

Justification de la nature plane du mouvement de la barre[modifier | modifier le wikicode]

     Établir que le mouvement de la barre s'effectue dans le plan vertical contenant initialement la barre dans la mesure où la barre est lâchée sans vitesse initiale.

Établissement de l'intégrale 1re énergétique du mouvement de la barre[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer l’intégrale 1re énergétique du mouvement de la barre en supposant qu’à l’instant initial, celle-ci est immobile avec une inclinaison relativement à l'horizontale « de et » nous admettrons que le moment d'inertie d'une tige linéique homogène de masse et de longueur par rapport à une médiatrice vaut «» puis

     vérifier que l'inclinaison de la barre relativement au sol est une fonction du temps .

Détermination de l'inclinaison de la barre relativement au sol à partir de laquelle celle-ci quitte le mur[modifier | modifier le wikicode]

     Évaluer la réaction du mur sur la barre et

     en déduire pour quelle inclinaison «» relativement à l'horizontale la barre quitte le mur.

Fermeture d'une portière de voiture lors d'un démarrage[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif, en vue de dessus, d'une voiture démarrant, portière avant gauche ouverte, sur une route horizontale

     Une voiture démarre sur une route horizontale avec un vecteur accélération égal à constant relativement au référentiel terrestre galiléen voir le schéma en vue de dessus ci-contre ;

     initialement la portière avant gauche est grande ouverte avec un axe de rotation vertical orienté par le vecteur unitaire descendant, faisant un angle avec le châssis de la voiture les angles algébrisés des plans horizontaux étant orientés par c'est-à-dire, sur le schéma ci-contre, dans le sens horaire, la liaison entre la portière et l'axe de ses gonds étant du type liaison pivot idéale[38].

     Nous nous proposons de déterminer, de deux façons différentes, le mouvement de fermeture de la portière initialement restée ouverte lors du démarrage de la voiture en l'étudiant d'une part dans le référentiel terrestre galiléen et d'autre part dans le référentiel lié à la voiture non galiléen en translation rectiligne non uniforme relativement à galiléen n'étant donc pas galiléen.

     Pour cette étude le champ de pesanteur terrestre est uniforme d'intensité et nous supposons que la liaison de la portière sur ses gonds est parfaite ;

     la portière, de masse , de C.D.I[2]. , de moment d’inertie relativement à l’axe de ses gonds est modélisée par un parallélépipède rectangle homogène de largeur , de hauteur et d’épaisseur faible par rapport aux deux autres dimensions soit encore, une modélisation surfacique par un rectangle homogène de largeur et de hauteur , on admettra que s'évalue selon «».

Étude du mouvement de fermeture de la portière dans le référentiel terrestre galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Appliquer le théorème de la puissance cinétique à la portière dans le référentiel terrestre galiléen lors du démarrage de la voiture l'énergie cinétique de la portière dans le référentiel terrestre galiléen lors du démarrage de la voiture étant explicitée en admettant le théorème de Kœnig[18] relatif à l'énergie cinétique ou 2ème théorème de Kœnig[18] appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique[19] à savoir,

          dans le cas d'une expansion surfacique où est la masse surfacique locale en , l'énergie cinétique du système continu d'expansion surfacique «» évaluée à l'instant dans le référentiel d'étude «» est la somme

  • de l'énergie cinétique barycentrique[20] du système «» évaluée à l'instant on admettra le théorème de Huygens[21],[22] liant les moments d'inertie d'un solide relativement à deux axes dont l'un passe par le C.D.I[2]. du solide « avec la distance séparant les deux axes » et
  • de l'énergie cinétique du C.D.I[2]. du système évaluée au même instant dans le référentiel d'étude en attribuant au point fictif la masse «»

          soit, mathématiquement «» et

     en intégrant une fois relativement au temps, déterminer l'intégrale 1re énergétique du mouvement de la portière dans le référentiel terrestre galiléen puis

     en déduire la vitesse angulaire de rotation de la portière autour de ses gonds à l'instant en fonction, entre autres, de son angle d'ouverture et

     en déduire la durée , sous forme intégrale, nécessaire pour que la portière se referme c'est-à-dire déterminer l'instant à partir duquel .

Étude du mouvement de fermeture de la portière dans le référentiel voiture non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     En admettant que les théorèmes de la dynamique des systèmes continus fermés de matière s'appliquent encore dans un référentiel non galiléen en translation relativement à un référentiel galiléen à condition d'ajouter aux forces extérieures appliquées en chaque pseudo-point du système, les « pseudo-forces d'inertie d'entraînement » dans lesquelles « est le vecteur accélération, à l'instant , du référentiel non galiléen relativement au référentiel galiléen »[43],

     écrire l'intégrale 1re énergétique du mouvement de la portière dans le référentiel voiture non galiléen lors du démarrage de celle-ci dans le référentiel terrestre puis

     en déduire la vitesse angulaire de rotation de la portière autour de ses gonds à l'instant en fonction, entre autres, de son angle d'ouverture et

     en déduire la durée , sous forme intégrale, nécessaire pour que la portière se referme c'est-à-dire déterminer l'instant à partir duquel .

Oscillations d'un cylindre dans une gouttière[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'un cylindre de révolution de rayon roulant sans glisser[10] dans une gouttière cylindrique de section circulaire, de rayon

     On considère un cylindre de révolution homogène, de C.D.I[2]. , de masse , de rayon et de moment d’inertie par rapport à son axe de révolution ;

     ce cylindre roule sans glisser[10] à l’intérieur d’un tuyau cylindrique de révolution, fixe dans le référentiel d'étude galiléen, d'axe horizontal et de rayon le roulement du cylindre de révolution à l'intérieur du tuyau cylindrique également de révolution a pour conséquence que les axes de et du tuyau sont  ;

     pour étudier le mouvement de dans plongé dans un champ de pesanteur terrestre uniforme d'intensité , on associe, au référentiel d'étude , le repère cartésien , étant un point fixe de , le vecteur unitaire vertical descendant, le vecteur unitaire horizontal orientant les axes de révolution pointant vers le lecteur sur le schéma ci-contre le sens de rotation dans le plan vertical aux axes de révolution est anti-horaire et le vecteur unitaire horizontal tel que la base soit directe .

     On repère la position de dans voir le schéma ci-contre par

  • celle de son C.D.I[2]. en définissant l'abscisse angulaire de ce dernier et
  • celle de dans le référentiel barycentrique de ce dernier[36] par l'abscisse angulaire , étant un point lié à la périphérie de choisi dans le plan l'angle n'est pas représenté sur le schéma ci-contre, seule la vitesse angulaire de rotation de autour de son axe à savoir «» y est représentée.

Établissement de la condition de roulement sans glissement du cylindre de révolution dans la gouttière cylindrique de section circulaire[modifier | modifier le wikicode]

     Établir la relation entre , , et traduisant la condition de roulement sans glissement[10] du cylindre de révolution à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section droite circulaire.

Expression de l'énergie cinétique du cylindre de révolution[modifier | modifier le wikicode]

     En admettant le théorème de Kœnig[18] relatif à l'énergie cinétique ou 2ème théorème de Kœnig[18] appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique[19] à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle où est la masse volumique locale en ,

          En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle «» évaluée à l'instant dans le référentiel d'étude «» est la somme

  • de l'énergie cinétique barycentrique[20] du système «» évaluée à l'instant et
  • de l'énergie cinétique du C.D.I[2]. du système évaluée au même instant dans le référentiel d'étude en attribuant au point fictif la masse «»

          En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «»,

          En admettant le théorème de Kœnig évaluer l'énergie cinétique du cylindre de révolution roulant sans glisser[10] à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section droite circulaire en fonction de , , et nous admettrons que le moment d'inertie d'un cylindre de révolution homogène, de masse , de rayon , relativement à son axe de révolution vaut «».

Établissement de l'intégrale 1re énergétique du mouvement de roulement sans glissement du cylindre de révolution dans la gouttière cylindrique de section circulaire[modifier | modifier le wikicode]

     Établir l'expression de l'énergie mécanique du cylindre de révolution dans le champ de pesanteur terrestre et

     montrer que cette dernière est conservée ;

     notant la valeur positive maximale de l'abscisse angulaire du C.D.I[2]. du cylindre de révolution nous supposons , expliciter l'intégrale 1re énergétique du mouvement de roulement sans glissement[10] du cylindre de révolution dans la gouttière cylindrique de section circulaire en fonction de , , , , , et .

     Justifier l'affirmation « cette intégrale 1re énergétique est celle d'un oscillateur non harmonique» on rappellera succinctement la méthode d'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique permettant d'aboutir à cette conclusion.

Étude des petites oscillations de roulement sans glissement du cylindre de révolution dans la gouttière cylindrique de section circulaire[modifier | modifier le wikicode]

     Bien que ce ne soit pas en général simplificateur dans le cas d'un oscillateur non harmonique, déduire de l'intégrale 1re énergétique, l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement de roulement sans glissement[10] du cylindre de révolution à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire relativement au référentiel d'étude .

     Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires[27] c'est-à-dire «», montrer que l'équation différentielle en du mouvement de roulement sans glissement[10] de à l'intérieur de la gouttière cylindrique dans peut être linéarisée et

          Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires exprimer le résultat de cette linéarisation ;

          Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires en déduire la loi horaire des petites élongations angulaires[27] de dans son mouvement de roulement sans glissement[10] ainsi que

          Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires sa période des petites élongations angulaires[27] puis

          Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations angulaires l'évaluer numériquement avec , , et .

Valeur limite du cœfficient de frottement solide pour que le roulement du cylindre de révolution à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire se fasse sans glissement[modifier | modifier le wikicode]

     Nous plaçant de nouveau dans les conditions d'amplitude d'oscillations non petite c'est-à-dire « a priori »,

     déterminer les expressions des composantes « normale » et « tangentielle » de la réaction de la gouttière cylindrique de section circulaire sur le cylindre de révolution s'exerçant en pour cela on utilisera le repérage cylindro-polaire lié au C.D.I[2]. de de pôle et d'axe , la base associée étant «» et les composantes normale et tangentielle de étant définies selon «» puis

     déterminer leur variation respective avec .

     Après avoir rappelé la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement[23] pour un « cœfficient de frottement entre la gouttière cylindrique de section circulaire et le cylindre de révolution égal à », montrer que, pour qu’il y ait effectivement toujours roulement sans glissement[10], le coefficient de frottement de glissement doit être supérieur à une certaine valeur fonction de que l’on précisera.

Mouvement d'une bille dans une gouttière cycloïdale[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : cet exercice a déjà été partiellement traité, en ce qui concerne la 1re question considérant la bille comme ponctuelle, dans « Pendule cycloïdal par traitement énergétique » de la série d'exer. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », la différence dans cet exercice porte sur la 2ème question où la bille non ponctuelle roule sans glisser[10] dans la rainure cycloïdale.

Mouvement d'une bille ponctuelle dans une rainure cycloïdale[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : cette question étant l'exercice complet « Pendule cycloïdal par traitement énergétique » de la série d'exer. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » mis à part la liaison qui était bilatérale dans l'exercice complet ci-rappelé et qui est unilatérale dans la question ci-dessous, ce changement n'ayant aucune conséquence dans les conditions de l'exercice est rappelée pour mémoire ainsi que sa solution.

Schéma d'un pendule cycloïdal constitué d'un point matériel M en liaison unilatérale sans frottement sur une cycloïde droite inversée[49] lâché de M0 sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme

     Un point matériel de masse est assujetti à se déplacer dans le plan vertical sur la portion de cycloïde dont les équations paramétriques sont : avec [50] voir ci-contre.

     À la date , on lâche de , de paramètre angulaire sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur uniforme et se déplace en liaison unilatérale sans frottement sur la portion de cycloïde.

Intégrale 1re énergétique du mouvement du point matériel M[modifier | modifier le wikicode]

     Après avoir vérifié que le point matériel est bien « à mouvement conservatif » expliciter l'intégrale 1re énergétique du mouvement de ce point en fonction, entre autres, de et de sa dérivée temporelle.

Établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel M, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de ce dernier et évaluation de sa période ainsi que de la longueur du pendule pesant simple synchrone[modifier | modifier le wikicode]

     Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel et en déduire :

  • la nature oscillatoire du mouvement de ce dernier ainsi que
  • sa nature périodique ;

     expliciter la période du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale puis

     la calculer et

     vérifier qu'il y a « isochronisme des oscillations » du pendule cycloïdal.

     Préciser la longueur du pendule pesant simple à « petites oscillations »[27] qui lui est synchrone.

Mouvement d'une bille (non ponctuelle) roulant sans glisser dans une gouttière cycloïdale[modifier | modifier le wikicode]

     Le point matériel de masse étant remplacé par une bille homogène de même masse , de C.D.I[2]. et de rayon assujetti à rouler sans glisser[10] sur la gouttière cycloïdale surface cylindrique à section droite cycloïdale dont les équations paramétriques de la section droite du plan vertical sont celles de la portion de cycloïde de la question précédente, le point de contact de la bille sur la gouttière cycloïdale étant noté  ; dans tout ce qui suit nous supposons «».

     À la date , on lâche la bille dans la position où est en , de paramètre angulaire sans vitesse initiale ; elle est soumise au champ de pesanteur uniforme et roule en liaison unilatérale sur la gouttière cycloïdale sans glisser[10].

Intégrale 1re énergétique du mouvement de la bille roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdale[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : déterminer, en fonction du « paramètre angulaire repérant le point sur la portion de cycloïde », l'« angle orienté que fait la tangente à la portion cycloïdale en avec l'axe horizontal » à savoir «» où est le vecteur déplacement élémentaire de le long de la portion de cycloïde.

     Déterminer les coordonnées cartésiennes du C.D.I[2]. de la bille puis

     Déterminer les composantes cartésiennes de son vecteur vitesse  ;

     expliciter la condition de non glissement [10] du roulement de la bille sur la gouttière cycloïdale la bille tournant autour de l'axe passant par et au plan vertical à la vitesse angulaire en fonction de , , , et .

     En admettant le théorème de Kœnig[18] relatif à l'énergie cinétique ou 2ème théorème de Kœnig[18] appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique[19] à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle où est la masse volumique locale en ,

          En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle «» évaluée à l'instant dans le référentiel d'étude «» est la somme

  • de l'énergie cinétique barycentrique[20] du système «» évaluée à l'instant et
  • de l'énergie cinétique du C.D.I[2]. du système évaluée au même instant dans le référentiel d'étude en attribuant au point fictif la masse «»

          En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «»,

          En admettant le théorème de Kœnig évaluer, dans le référentiel d'étude et à l'instant , l'énergie cinétique de la bille roulant sans glisser[10] sur la gouttière cycloïdale en fonction de «, , , et » on admettra que le moment d'inertie d'une bille homogène, de masse , de rayon , par rapport à un axe passant par son C.D.I[2]. vaut «».

     Après avoir vérifié que la bille est bien « à mouvement conservatif »[35] expliciter l'intégrale 1re énergétique du mouvement de roulement sans glissement[10] de la bille sur la gouttière cycloïdale en fonction, entre autres, de et de sa dérivée temporelle.

Établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique de la bille, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de cette dernière avec évaluation de sa période sous forme intégrale[modifier | modifier le wikicode]

     Rappeler la méthode d'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique de la bille roulant sans glisser[10] sur la gouttière cycloïdale pour en déduire :

  • la nature oscillatoire du mouvement de cette dernière ainsi que
  • sa nature périodique ;

     expliciter la période du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer,

     puis comparer la limite de quand à la période du mouvement du « pendule cycloïdal ponctuel » déterminée à la question « établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel M, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de ce dernier et évaluation de sa période ainsi que de la longueur du pendule pesant simple synchrone » plus haut dans l'exercice et

     puis justifier l'écart observé.

Étude du mouvement des petites oscillations de la bille roulant sans glisser sur la gouttière cycloïdal et comparaison de sa période des petites oscillations avec celle du pendule cycloïdal ponctuel[modifier | modifier le wikicode]

     Déduire de l'intégrale 1re énergétique, l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement de roulement sans glissement[10] de sur la gouttière cycloïdale du référentiel d'étude .

     Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations[27] de la bille roulant sans glisser[10] sur la gouttière cycloïdale c'est-à-dire «», vérifier que l'oscillateur est linéarisable puis

          Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations donner l'expression de la période des petites oscillations[27] du roulement sans glissement[10] de sur la gouttière cycloïdale et enfin

          Nous plaçant maintenant dans les conditions de petites oscillations former le rapport «» de la période des petites oscillations[27] de la bille roulant sans glisser[10] sur la gouttière cycloïdale relativement à celle du « pendule cycloïdal ponctuel ».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. On appelle « solution analytique » d'une équation différentielle, une expression mathématique souvent dite « formule explicite » pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de fonctions de référence c'est-à-dire fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.
  2. 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28 2,29 2,30 2,31 2,32 2,33 2,34 2,35 2,36 2,37 2,38 2,39 2,40 2,41 2,42 2,43 2,44 2,45 2,46 2,47 2,48 2,49 2,50 et 2,51 Centre D'Inertie.
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 et 3,5 Ceci n'était pas demandé étant donné que le résultat était fourni.
  4. 4,0 4,1 4,2 et 4,3 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 et 5,4 Ce Qu'il Fallait Vérifier.
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 et 6,6 Conditions Initiales.
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 et 7,6 La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle
  8. 8,00 8,01 8,02 8,03 8,04 8,05 8,06 8,07 8,08 8,09 8,10 8,11 8,12 et 8,13 Voir le paragraphe « intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  9. 9,0 et 9,1 La version utilisée étant Scilab , Scilab étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.
  10. 10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 10,10 10,11 10,12 10,13 10,14 10,15 10,16 10,17 10,18 10,19 10,20 10,21 10,22 10,23 10,24 10,25 10,26 10,27 10,28 10,29 10,30 10,31 10,32 10,33 10,34 10,35 10,36 10,37 10,38 10,39 10,40 10,41 10,42 10,43 10,44 10,45 10,46 10,47 10,48 10,49 10,50 10,51 10,52 10,53 10,54 10,55 10,56 10,57 10,58 10,59 10,60 10,61 10,62 10,63 10,64 10,65 10,66 10,67 10,68 10,69 10,70 10,71 et 10,72 Un objet ne glisse pas sur un objet si leur point de contact est tel que, dans le référentiel d'étude, « ».
  11. 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 et 11,6 Plus exactement est le centre du disque complet à partir duquel a été créé le demi-disque.
  12. 12,0 12,1 et 12,2 Verticale orientée dans le sens descendant par .
  13. 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 13,5 et 13,6 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  14. étant l'aire de la surface élémentaire centrée en s'écrit, en repérage polaire revoir le paragraphe « expressions en paramétrage cylindro-polaire du vecteur surface élémentaire (plus précisément dans le cas d'une surface plane dans le plan xOy) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  15. 15,0 15,1 et 15,2 Paul Guldin (1577 - 1643) mathématicien et astronome suisse, devenu jésuite à l'âge de , poussé par sa congrégation et à cause de ses compétences à commencer des études mathématiques à l'âge de , l'essentiel de ses travaux portent sur les barycentres et de nos jours il reste connu pour les deux théorèmes portant son nom.
  16. C.-à-d. avec intérieur strict de c'est-à-dire ensemble de points à l'intérieur de la portion de surface et hors courbes limitant celle-ci, la raison de cette exigence étant la nécessité qu'il n'y ait pas de recouvrement de l'expansion tridimensionnelle lors de la révolution de la portion de surface autour de l'axe de révolution.
  17. Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  18. 18,00 18,01 18,02 18,03 18,04 18,05 18,06 18,07 18,08 18,09 18,10 18,11 18,12 18,13 18,14 18,15 18,16 18,17 18,18 et 18,19 Johann Samuel König (1712 - 1757) mathématicien allemand à qui on doit dans le domaine de la mécanique les théorèmes de Kœnig ainsi que dans celui des statistiques et des probabilités le théorème de König-Huygens liant la variance et la moyenne ;
       Christian Huygens (1629 – 1695) ou Huyghens est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
  19. 19,0 19,1 19,2 19,3 19,4 et 19,5 Voir le paragraphe « 2ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique) (appliqué à un système continu de matière) » du chap. de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».
  20. 20,0 20,1 20,2 20,3 20,4 20,5 20,6 20,7 et 20,8 Une grandeur cinétique barycentrique d'un système est définie dans le référentiel barycentrique du système c'est-à-dire le référentiel lié au centre d'inertie du système en translation par rapport au référentiel d'étude.
  21. 21,0 21,1 21,2 et 21,3 Christian Huygens (1629 – 1695) ou Huyghens mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
  22. 22,0 22,1 22,2 et 22,3 Voir le paragraphe « complément : théorème de Huygens » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  23. 23,0 23,1 et 23,2 Voir les paragraphes « lois empiriques de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre et dans le cas effectif de glissement » ainsi que l'« approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
       Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  24. 24,0 et 24,1 Voir le paragraphe « rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
       Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  25. Le cœfficient de proportionnalité «» se réécrivant, avec «», « donc ».
  26. Ou au-dessus du précédent pour dans la mesure où est .
  27. 27,00 27,01 27,02 27,03 27,04 27,05 27,06 27,07 27,08 27,09 27,10 27,11 27,12 27,13 27,14 27,15 27,16 et 27,17 On devrait dire « élongations angulaires petites en valeur absolue » mais personne ne le fait par abus de langage.
  28. 28,0 28,1 et 28,2 Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs (ordre un) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  29. 29,00 29,01 29,02 29,03 29,04 29,05 29,06 29,07 29,08 29,09 29,10 29,11 29,12 et 29,13 Développement Limité.
  30. 30,0 et 30,1 La grandeur est un infiniment petit d'ordre un si le maximum de sa valeur absolue l'est et, dans le cas présent où s'avérera périodique si son amplitude l'est ; les grandeurs dérivées temporelles et définiront alors des infiniment petits d'ordre un de grandeurs exprimées en et car à l'amplitude de avec un cœfficient de proportionnalité fini.
  31. 31,0 31,1 et 31,2 Voir le paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le D.L. d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  32. 32,0 32,1 et 32,2 Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  33. 33,0 33,1 et 33,2 Comme il s'agit du D.L. à l'ordre un du 1er membre, le 2ème membre restant tel quel, nous devrions utiliser mais l'usage est d'écrire pour souligner qu'il s'agit d'une équation différentielle même si elle n'est qu'approchée.
  34. Voir le paragraphe « applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au C.D.I. G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » encore valable pour les systèmes continus fermés de matière.
  35. 35,0 et 35,1 Voir le paragraphe « théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie (cas particulier d'un système continu fermé - déformable ou non - de matière d'expansion tridimensionnelle conservatif) » du chap. de la leçon « Mécanique des systèmes de points » prolongeant la notion introduite pour un point matériel du paragraphe « définition d'un mouvement conservatif » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  36. 36,0 36,1 36,2 et 36,3 C.-à-d. le référentiel lié au centre d'inertie du système en translation par rapport au référentiel d'étude.
  37. 37,0 37,1 37,2 et 37,3 Ce facteur multiplicatif étant «».
  38. 38,0 38,1 et 38,2 Voir aussi le paragraphe « présentation du pendule pesant (non amorti) ou P.P.(N.A.) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » où sont introduites les propriétés de la liaison pivot idéale.
  39. 39,0 et 39,1 Voir le paragraphe exposant « la puissance développée par des forces extérieures dans le cas d'un système de matière (indéformable) en rotation » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » également applicable à un couple.
  40. Voir plus haut dans la solution de cette question.
  41. Intégration Par Partie, voir un rapide exposé de la méthode au paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » rappelé ci-après :
       soit à calculer en connaissant une primitive de notée , on écrit «» cela résultant de dont on tire et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment
  42. Ceci résultant de « » et « » en accord avec les notations de la note « 41 » plus haut dans cette solution.
  43. 43,00 43,01 43,02 43,03 43,04 43,05 43,06 43,07 43,08 et 43,09 Voir le paragraphe « introduction des pseudo-forces d'inertie d'entraînement dans le cas d'un référentiel d'entraînement en translation relativement au référentiel absolu galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique du point en référentiel non galiléen ».
  44. Voir le paragraphe « propriétés (d'un produit mixte de trois vecteurs, remarque) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  45. C.-à-d. continûment dérivable jusqu'à l'ordre deux inclus.
  46. La condition étant nécessaire que la liaison unilatérale du cylindre de révolution à l'intérieur de la gouttière cylindrique de section circulaire ne soit pas rompue c'est-à-dire pour que reste problème semblable à celui d'un pendule pesant simple construit à l'aide d'un fil idéal et d'un point matériel, la condition étant imposée pour que le fil reste tendu voir le paragraphe « 2èmeaddditif : dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  47. Pendule Pesant Non Amorti, voir le paragraphe « établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  48. Voir le paragraphe « composantes polaires du vecteur accélération de M (décrivant un mouvement circulaire) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » dans lequel représente et non de l'exercice en cours.
  49. 49,0 49,1 49,2 et 49,3 Une cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est la courbe plane, trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite appelée directrice de la cycloïde droite ; ici la cycloïde droite est dite inversée car sa directrice se trouve au-dessus de la cycloïde.
    Schéma explicatif du paradoxe de la roue d'Aristote : si le cercle bleu roulait sur une droite violette il roulerait en glissant

       Appeler « roue d'Aristote » une cycloïde est en fait un abus de langage faisant référence

    • d'une part à la construction de cette dernière comme trajectoire d'un point fixé sur un disque de centre , étant , roulant sans glisser sur une droite la cycloïde étant « droite » si est choisi sur la circonférence du disque et
    • d'autre part au paradoxe de la « roue d'Aristote » c'est-à-dire une roue de rayon représentée ci-contre par le cercle rouge roulant sans glisser sur une route représentée ci-contre par la droite marron parcourant une longueur par tour et son moyeu de rayon représenté ci-contre par le cercle bleu, évidemment solidaire de la roue, parcourant la même longueur par tour soit pourquoi n'a-t-on pas  ? Réponse : si le cercle bleu roulait sur une droite violette, il roulerait en y glissant

       Aristote (384 av J.C. - 322 av J.C.) philosophe grec de l'Antiquité, il est l'un des rares à avoir abordé presque tous les domaines de connaissance de son temps : la biologie, la physique, la métaphysique, la logique, la poétique, la politique, la rhétorique et même l'économie
       Une cycloïde est encore appelée « roulette de Pascal » par référence au titre de l'ouvrage que Blaise Pascal lui consacra en à savoir le traité de la roulette signé avec son nom de plume Amos Dettonville ;
       Blaise Pascal (1623 - 1662) mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français ; ses premiers travaux contribuèrent à clarifier la notion de pression et de vide mais il est aussi l'inventeur de la 1re machine à calculer ainsi qu'un mathématicien de premier ordre il a publié à un traité de géométrie projective, a développé en une méthode de résolution du problème des partis ayant donné naissance, au siècle suivant, au calcul des probabilités ; on lui doit aussi une réflexion philosophique et théologique voir Les Provinciales et les Pensées qui ne furent publiées qu'après sa mort.

  50. n'a pas de signification directe sur la portion de cycloïde droite mais nécessite de revenir à la construction de celle-ci comme trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite appelée directrice de la cycloïde droite, repérant le point sur le cercle.
  51. C.-à-d. la position rendant l'énergie potentielle de pesanteur minimale, ce qui s'avère être la position d'équilibre stable d'après le paragraphe « définition de la stabilité (ou de l'instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de profil d'énergie potentielle » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  52. Cette courbe d'énergie potentielle est la même que celle d'un P.P.S. à une translation près.
  53. Voir aussi le paragraphe « détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S.N.A. à un degré de liberté par diagramme énergétique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », la raison étant que le diagramme d'énergies potentielle et mécanique est le même à une translation près.
  54. est donc dans un état lié.
  55. 55,0 et 55,1 La signification de étant « est représenté par ou représente» l'échelle de représentation devant être précisée si une utilisation quantitative est faite, ici ce serait une échelle d'énergie identique à celle utilisée pour les ordonnées du diagramme énergétique.
  56. Voir aussi le paragraphe « détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S.N.A. à un degré de liberté … » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », c'est la même démarche mais l'énergie cinétique du P.P.S. différant de celle du pendule cycloïdal, les résultats peuvent et sont effectivement différents.
  57. 57,0 et 57,1 Cette expression n'étant définie que si , dans le cas où est égale à la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de non infinie, correspondant alors à un état stationnaire de plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de pour laquelle la vitesse est effectivement nulle, la levée de la forme indéterminée conduisant à une valeur infiniment petite proportionnelle à .
  58. En effet obtenu en changeant simultanément l'ordre des bornes et le signe de la fonction à intégrer, c'est-à-dire l'expression de la durée du nème aller .
  59. En effet la fonction à intégrer est invariante par changement de en avec changée en d'où dans laquelle la 2ème intégrale se réécrivant est effectivement égale à la 1re intégrale dans la mesure où est égal à .
  60. En effet si et .
  61. Une primitive de étant voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  62. 62,0 et 62,1 Ce vecteur commun «» s'écrivant encore «» s'identifie au vecteur unitaire tangentiel de Frenet «» voir le paragraphe « notion de 1er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
       Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre ou base de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules.
  63. Voir la solution de la question « établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel M, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de ce dernier et évaluation de sa période ainsi que de la longueur du pendule pesant simple synchrone » plus haut dans l'exercice.
  64. Voir la solution de la question « établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel M, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de ce dernier et évaluation de sa période ainsi que de la longueur du pendule pesant simple synchrone (évaluation de la période) » plus haut dans cet exercice.
  65. 65,0 et 65,1 Voir la solution de la question « établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique de la bille, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de cette dernière avec évaluation de sa période sous forme intégrale » plus haut dans l'exercice.