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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Intégration de Riemann : Intégrales généralisées
Intégration de Riemann/Intégrales généralisées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'objectif de ce cours est d'apprendre à étudier la convergence (et éventuellement à faire le calcul) d'intégrales dont une borne est infinie comme :
![{\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f9daf7b9213900ce5763a970e622fdcb749beeb)
ou encore avec au moins une borne où la fonction n’est pas définie et a une limite infinie comme :
.
Définitions et premières propriétés
Définition
On suppose dans la définition suivante (et même dans toute la suite) que le seul « problème » est sur la borne
(on procéderait de même en cas de problème sur la borne d’en bas) :
Définition : intégrale généralisée (ou impropre)
Le symbole
n'a de sens que si cette limite (éventuellement infinie) existe.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Remarque
- Soit
. On a
si et seulement si les deux limites
et
existent et si leur somme est égale à
.
si et seulement si pour toutes fonctions
telles que
et
(où
est par exemple
ou
), on a
.
- Il ne suffit donc pas, pour que
, qu'il existe deux fonctions
telles que
et
et telles que
. Par exemple, pour toute fonction
impaire,
mais cela n'implique aucunement que
converge (penser à la fonction
, dont la primitive
n'a pas de limite en l'infini, et pour laquelle même
n'a pas de limite quand
puisqu'elle vaut par exemple
pour
et
pour
).
Premières propriétés
Il y a linéarité des intégrales généralisées convergentes.
Cela se démontre en utilisant les propriétés des intégrales et en passant à la limite.
Enfin, il y a les « fausses intégrales généralisées », celles où l’on règle le problème par prolongement par continuité de la fonction à intégrer :
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Calcul explicite
Comme dans le premier exemple ci-dessus, il est parfois possible, pour déterminer la nature d'une intégrale
impropre en
, d'expliciter la fonction
par les techniques habituelles de calcul d'intégrales et de primitives (intégration par parties, changement de variable, etc. : voir la leçon Intégration en mathématiques et ses exercices), afin de calculer ensuite sa limite quand
tend vers
.
Exemple de Riemann
Le premier exemple de référence à connaître est :
Soit
.
- L'intégrale impropre
![{\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{t^{\alpha }}}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3143a15c515ae4d3e1b17ca074760ba723bc39f)
converge si et seulement si
.
- L'intégrale (impropre en
si
)![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{s^{\alpha }}}\,\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c455f8ab63359b32bbbded6481b8b2f3776863)
converge si et seulement si
.
Autres exemples
Montrer que
converge si et seulement si
.
Solution
On effectue le changement de variable
donc
:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{t\ln ^{\beta }t}}\,\mathrm {d} t=\int _{\ln a}^{\ln b}{\frac {1}{s^{\beta }}}\,\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d537d9006aea09ad5dbd13cf69c19f5d654476f)
et nous sommes ramenés à l'exemple de Riemann (voir supra) donc
![{\displaystyle \int _{\mathrm {e} }^{+\infty }{\frac {1}{t\ln ^{\beta }t}}\,\mathrm {d} t={\begin{cases}+\infty &{\text{si }}\beta \leq 1\\{\frac {1}{\beta -1}}&{\text{si }}\beta >1.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99e31ea4a87e884b7e31b9a0a1ef0204e581766)
Montrer que
.
Convergence absolue et théorème de comparaison
Théorème de comparaison pour les intégrales généralisées
On considère dans tout ce paragraphe des fonctions à valeurs positives.
Début d'un lemme
Fin du lemme
Démonstration
est croissante et, si
converge,
est majorée. Le théorème de la limite monotone permet alors de conclure.
Voici maintenant le théorème central de ce paragraphe :
Début d’un théorème
Théorème de comparaison (intégrales généralisées)
Fin du théorème
Début de l'exemple
Exemple
Montrer que
converge.
Fin de l'exemple
On rappelle que le « problème » est sur la borne d’en haut
(c'est donc en
que l’on effectue la comparaison de
et
) :
Corollaire : intégration des relations de comparaison
Soient
et
deux fonctions continues par morceaux et positives sur
.
- On suppose que
(ce qui est vrai en particulier si
).
- Si
converge, alors
converge aussi.
- Si
diverge, alors
diverge aussi.
- Si
, alors les intégrales
et
sont de même nature (soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes).
Pour un rappel sur les relations de comparaison, voyez Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison.
Démonstration
1/ Il suffit d’utiliser la positivité de
et
et la définition de
:
. Cette inégalité et le théorème de comparaison permettent de conclure.
2/ Si
alors
, ce qui permet d'appliquer le point précédent.
Début de l'exemple
Exemples
- Montrer que
converge.
Solution
Puisque
, on a
. L'exemple de Riemann (voir supra) permet alors de conclure.
- Intégrales de Bertrand. Démontrer que :
converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1) ;
converge si et seulement si γ < 1 ou (γ = 1 et β > 1).
Solution
Comme dans l'exemple de Riemann (voir supra), il suffit d'étudier la première intégrale.
- Pour α = 1, on a vu ci-dessus que
converge si et seulement si β > 1.
- Pour α ≠ 1, les conclusions s'obtiennent par comparaison avec des intégrales convergentes ou divergentes du cas α = 1[1] (les fonctions considérées sont bien positives) :
- si α > 1, alors
donc l'intégrale converge ;
- si α < 1, alors
donc l'intégrale diverge.
Fin de l'exemple
Mais que faire pour des fonctions qui ne sont pas nécessairement positives ? Il faudra souvent tenter d’utiliser la convergence absolue :
Convergence absolue
Définition : convergence absolue
Début d’un théorème
Théorème
Toute intégrale absolument convergente est convergente.
Fin du théorème
Démonstration
Soit
continue par morceaux sur
et soit
.
On sait que
.
Le critère de Cauchy pour une fonction permet de conclure.
Début de l'exemple
Exemple
Montrer que l'intégrale
est absolument convergente.
et
converge. Le théorème de comparaison permet de conclure.
Fin de l'exemple
Un exemple classique d'intégrale semi-convergente, c'est-à-dire convergente mais non absolument, est l'intégrale de Dirichlet
.
Début d’un théorème
Fin du théorème
Démonstration
Notons
la fonction
,
un majorant de
et, pour tout
,
un sous-intervalle de
, sur lequel
.
D'après la seconde formule de la moyenne,
.
donc
et le critère de Cauchy est satisfait.
- Remarque
- Si
est absolument continue (en particulier si elle est de classe C1), on peut aussi raisonner par intégration par parties puis convergence absolue :
,
et![{\displaystyle \int _{a}^{b}|f'G|\leq M\int _{a}^{b}|f'|=M\int _{a}^{b}-f'=M[-f]_{a}^{b}=Mf(a)<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5483f2d98e96957a83d620c3d0474ad8b4841f9)
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Note
- ↑ Avec un peu plus d'efforts, on peut aussi, comme dans le cas α = 1, faire une comparaison avec des intégrales de type Riemann : voir par exemple B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Maths MP Tout en un, Hachette Éducation, 2006 [lire en ligne], p. 305 .