Série numérique/Exercices/Critère d'Abel

Leçons de niveau 15
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Critère d'Abel
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Exercices no6
Leçon : Série numérique
Chapitre du cours : Propriétés

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Cauchy et d'Alembert
Exo suiv. :Nature de séries
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Série numérique/Exercices/Critère d'Abel
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Appliquer le critère d'Abel pour étudier les deux séries de terme général :

  • , où et sont deux paramètres réels.
  • , où est un paramètre réel.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Comparer la nature des deux séries alternées suivantes :

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Nature des trois séries :

  • .

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Nature des trois séries :

  • , pour  ;
  • .
  • .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que la série est convergente.
  2. On note sa -ième somme partielle. Vérifier que et en déduire que est du signe de .
  3. En déduire la somme de la série.
  4. Écrire la formule de Taylor avec reste intégral de Laplace de la fonction en 0 à l'ordre 2N + 2, évaluée au point 1, et comparer.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Nature de la série , selon la valeur du réel .

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Soient une suite monotone et bornée et une série convergente. Montrer que est convergente.

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que pour tout nombre complexe de module , la série converge.

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Soit avec . Calculer et montrer que la série converge. À quelle condition la convergence est-elle absolue ?