Leçons de niveau 15

Série numérique/Exercices/Série harmonique

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Série harmonique
Image logo représentative de la faculté
Exercices no2
Leçon : Série numérique
Chapitre du cours : Introduction

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Exemple de télescopage
Exo suiv. :Fraction rationnelle
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Série numérique/Exercices/Série harmonique
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Question 1[modifier | modifier le wikicode]

On pose pour . Montrer que .

Question 2[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que plus précisément, la suite converge (donc ). Pour cela, poser et considérer la série de terme général pour , et .

La limite de est la constante d'Euler, notée . On a donc démontré la

Question 3[modifier | modifier le wikicode]

Retrouver le résultat de la question 2 en montrant que les suites et (définies pour ) sont adjacentes.

Question 4[modifier | modifier le wikicode]

Déduire de la formule d'Euler (question 2), en exprimant et en fonction de et , la convergence et la somme de la série harmonique alternée :

.