Leçons de niveau 15

Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage

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Exemple de télescopage
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Exercices no1
Leçon : Série numérique
Chapitre du cours : Séries à termes positifs

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. : Sommaire
Exo suiv. : Série harmonique
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Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit un réel strictement positif. Pour tout entier , on pose .

  1. Calculer .
  2. Donner un équivalent de la suite .
  3. En déduire que pour tout réel , la série de Riemann converge.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout entier , on pose .

  1. Montrer que diverge.
  2. Donner un équivalent de la suite .
  3. En déduire que la série diverge.
  4. En déduire que la série de Bertrand () diverge si et , ou si .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soit un réel strictement positif. Pour tout entier , on pose .

  1. Calculer .
  2. Donner un équivalent de la suite .
  3. En déduire que pour tout , la série converge.
  4. En déduire que la série de Bertrand converge aussi si (avec quelconque, ce qui étend le cas de l'exercice 1).
  5. Retrouver le résultat de la question précédente en utilisant l'exercice 1.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

On veut affiner l'équivalent ln(n!) ~ n ln(n). Pour tout entier , on pose

et .
  1. Montrer que la suite est bien définie et que .
  2. Montrer que converge et, par télescopage, en déduire que la suite converge.
  3. En déduire l'équivalent de De Moivre :
    .
(En fait,  : voir Intégration (mathématiques)/Devoir/Fonction Gamma et formule de Stirling).