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Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage

Leçons de niveau 15
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Exemple de télescopage
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Série numérique
Chapitre du cours : Séries à termes positifs

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Série harmonique
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Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Soit un réel strictement positif. Pour tout entier , on pose .

  1. Calculer .
  2. Donner un équivalent de la suite .
  3. En déduire que pour tout réel , la série de Riemann converge.

Pour tout entier , on pose .

  1. Montrer que diverge.
  2. À l'aide du théorème des accroissements finis, démontrer que .
  3. En déduire que la série diverge.
  4. En déduire que la série de Bertrand () diverge si et , ou si .

Soit un réel strictement positif. Pour tout entier , on pose .

  1. Calculer .
  2. À l'aide du théorème des accroissements finis, démontrer que .
  3. En déduire que pour tout , la série converge.
  4. En déduire que la série de Bertrand converge aussi si (avec quelconque, ce qui étend le cas de l'exercice 1).
  5. Retrouver le résultat de la question précédente en utilisant l'exercice 1.
Remarque
L'étude des séries de Riemann et de Bertrand peut aussi se faire par comparaison série-intégrale.

On veut affiner l'équivalent ln(n!) ~ n ln(n). Pour tout entier , on pose

et .
  1. Montrer que la suite est bien définie et que .
  2. Montrer que converge et, par télescopage, en déduire que la suite converge.
  3. En déduire l'équivalent de De Moivre :
    .
(En fait,  : voir Intégration de Riemann/Devoir/Fonction Gamma et formule de Stirling).

Calculer , où .

On se propose, pour

,

de démontrer que

.
  1. Pour tout , décomposer la fraction rationnelle en éléments simples.
  2. En déduire, par double télescopage, la valeur de en fonction de .
  3. En déduire que .
  4. Conclure.

Soit .

  1. Calculer .
  2. En déduire que la suite converge si et seulement si la série converge.
  3. Étudier la série , pour un réel .
  4. Étudier la série , pour et .