Leçons de niveau 15

Série numérique/Exercices/Nature de séries

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Nature de séries
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Exercices no7
Leçon : Série numérique

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Critère d'Abel
Exo suiv. :Sommaire
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . Étudier la nature des séries de terme général :

  1.  ;

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Étudier la nature des séries de terme général :

  1.  ;
  2. .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . Étudier la nature des séries de terme général :

  1. est une suite réelle telle que  ;
  2. (on pourra utiliser l'équivalent ln(n!) ~ n ln(n), ou se contenter de l'encadrement ) ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit une suite réelle positive décroissante. On pose et . Montrer que (ce qui prouvera que si et seulement si ).

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Nature de la série de terme général , selon les valeurs du réel  ?

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Soit une série à termes strictement positifs. Montrer que :

  1. (Règle de Kummer)
    1. converge si et seulement s'il existe une suite positive et une constante telles qu'à partir d'un certain rang,  ;
    2. diverge si et seulement s'il existe une suite strictement positive telle que et telle qu'à partir d'un certain rang,  ;
  2. (Règle de Raabe-Duhamel)
    1. s'il existe tel que (à partir d'un certain rang) , alors converge ;
    2. si (à partir d'un certain rang) , alors diverge.
  3. (Règle de Bertrand)
    1. s'il existe tel que (à partir d'un certain rang) , alors converge ;
    2. si (à partir d'un certain rang) , alors diverge.

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Soit une suite réelle définie par ses deux premiers termes et par une récurrence linéaire d'ordre 2 :

. On suppose , , et .
  1. Démontrer, pour tout , que puis .
  2. En déduire que converge.

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Soit une suite complexe. On suppose qu'il existe une suite réelle positive telle que

.

Montrer qu'alors, est absolument convergente.

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Soit une série absolument convergente. Montrer que pour tout réel , est absolument convergente.

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

Soit une série convergente à termes positifs. Montrer que pour tout réel , converge.

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux séries convergentes à termes positifs. Montrer que converge.

Soit maintenant . Trouver une série convergente à termes positifs telle que diverge.

Exercice 12[modifier | modifier le wikicode]

Soit une suite de réels. Notons et . Montrer que :

  1. est absolument convergente si et seulement si et convergent ;
  2. si est seulement semi-convergente, alors et divergent.