Série numérique/Exercices/Nature de séries

Exercice 1

Soient $a\in ]0,+\mathrm{\infty }[$ et $\alpha \in ℝ$. Étudier la nature des séries de terme général :

1. $u_n:=\frac{a^{(-1{)}^n}}{n}$ ;
2. $v_n:=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n^{\alpha }}& \text{ si }n\text{ est un carré parfait,}\\ \frac{1}{n^{\beta }}& \text{ sinon.}\end{array}$

Solution

1. Si $n$ est pair, $u_n=\frac{a}{n}$ et si $n$ est impair, $u_n=\frac{1}{an}$. Donc pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $u_n\ge \frac{b}{n}$, où $b=min(a,\frac{1}{a})>0$. Or $\sum _{n\ge 1}\frac{b}{n}=b\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n}=b\times +\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }$. On en déduit que $\sum _{n\ge 1}{u}_n=+\mathrm{\infty }$.
2. $\sum v_n$ converge si et seulement si les deux séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent, où

   $a_n=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n^{\alpha }}& \text{ si }n\text{ est un carré parfait,}\\ 0& \text{ sinon}\end{array}\text{et}{b}_n=\{\begin{array}{cc}0& \text{ si }n\text{ est un carré parfait,}\\ \frac{1}{n^{\beta }}& \text{ sinon.}\end{array}$

   $\sum a_n=\sum \frac{1}{k^{2\alpha }}$ converge si et seulement si $\alpha >\frac{1}{2}$.

   $\sum b_n=\sum _k\sum _{n=k^2+1}^{(k+1{)}^2-1}\frac{1}{n^{\beta }}=\sum _k\sum _{j=1}^{2k}\frac{1}{(k^2+j{)}^{\beta }}$ est comprise entre $\sum _k\frac{2k}{(k^2+2k{)}^{\beta }}$ et $\sum _k\frac{2k}{(k^2+1{)}^{\beta }}$ donc est de même nature que $\sum _k\frac{1}{k^{2\beta -1}}$, c'est-à-dire convergente si et seulement si $\beta >1$.

 

Exercice 2

Étudier la nature des séries de terme général :

1. $u_n:=n\ln (1+\frac{1}{n})-\frac{2n}{2n+1}$ ;
2. $v_n:=n\ln (1+\frac{1}{n})-\cos \frac{1}{\sqrt{n}}$.

Solution

1. $u_n=n(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right))-{(1+\frac{1}{2n})}^{-1}=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ donc la série est absolument convergente (en fait, $u_n\sim \frac{1}{12n^2}$ mais cette précision est inutile). On peut remarquer que $u_n\ge 0$ (en étudiant les variations de la fonction $x\mapsto \ln (1+x)-\frac{x}{1+x/2}$).
2. $v_n=n(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right))-(1-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right))=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ donc la série est absolument convergente (en fait, $v_n\sim \frac{7}{24n^2}$ mais cette précision est inutile).

 

Exercice 3

Soient $a\in ]0,+\mathrm{\infty }[$ et $\alpha ,\beta \in ℝ$. Étudier la nature des séries de terme général :

1. $x_n:=\frac{a^{t_n}}{n^{\alpha }}$ où $(t_n)$ est une suite réelle telle que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{t_n}{\ln n}=+\mathrm{\infty }$ ;
2. $y_n:=\frac{1}{n^{\alpha }{\ln }^{\beta }(n!)}$ (on pourra utiliser l'équivalent ln(n!) ~ n ln(n), ou se contenter de l'encadrement $n^{n/2}\le n!\le n^n$) ;
3. $z_n:={\left(\frac{an+\alpha }{n+\beta }\right)}^n$ ;
4. $u_n:=\cos (n\pi )\sin \frac{\ln n}{n\sqrt{n}}$ ;
5. $w_n:={(n\sin \frac{1}{n})}^{n^{\alpha }}$ ;

Solution

1. $s_n:=\frac{t_n}{\ln n}\to +\mathrm{\infty }$ et $x_n=n^{s_n\ln a-\alpha }$.
   • Si $a>1$, la série est grossièrement divergente.
   • Si $a=1$, c'est la série de Riemann, qui converge si et seulement si $\alpha >1$.
   • Si $a<1$, pour $n$ assez grand, $s_n\ln a-\alpha <-2$ donc $x_n<\frac{1}{n^2}$ et la série converge.

   Remarque : la règle de d'Alembert s'applique si par exemple $t_n=n$, mais pas si $t_{n+1}-t_n\to 0$ (comme pour $t_n=\sqrt{n}$ ou $t_n={\ln }^{2}n$) et dans ce cas, même Cauchy ne conclut pas (car $t_n=o(n)$).

2. On montre facilement que $n!\ge n^{n/2}$, minoration grossière mais largement suffisante ici, en regroupant les termes deux par deux ($n!=(1.n)(2(n-1))(3(n-2))\dots$). En effet, si $1\le k<\frac{n+1}{2}$ alors $k(n+1-k)\ge n$ et si $k=\frac{n+1}{2}$ alors $k\ge n^{1/2}$. On pourrait montrer de même que n! ≤ ((n + 1)/2)ⁿ (en majorant k(n + 1 – k) par ((n + 1)/2)²), mais la majoration immédiate n! ≤ nⁿ nous suffira.

   On en déduit que $\frac{n}{2}\ln n\le \ln (n!)\le n\ln n$. Par conséquent, $\sum y_n$ est de même nature que la série de Bertrand $\sum \frac{1}{n^{\alpha +\beta }{\ln }^{\beta }n}$ : elle converge si et seulement si $\alpha +\beta >1$ ou $1-\alpha =\beta >1$.

3. Soit un entier $N>max(-\frac{\alpha }{a},-\beta )$. Pour $n\ge N$, $z_n$ est bien défini et strictement positif.$z_n=a^n{\left(\frac{1+\frac{\alpha }{an}}{1+\frac{\beta }{n}}\right)}^n\sim a^n\exp (\frac{\alpha }{a}-\beta )$ donc $\sum _{n\ge N}{z}_n$ est de même nature que la série géométrique $\sum a^n$ : elle converge si et seulement si $a<1$. La règle de Cauchy (ou celle de d'Alembert) ne permettrait pas de conclure lorsque $a=1$.
4. En remarquant que $\cos (n\pi )=(-1{)}^n$, on pouvait être tenté d'appliquer le critère de convergence pour les séries alternées (ce qui nécessiterait de démontrer que $\sin \frac{\ln n}{n^{3/2}}$ est décroissante à partir d'un certain rang), mais c'est complètement inutile : la série est absolument convergente, car dominée par une série de Riemann convergente : $|u_n|\le |\sin \frac{\ln n}{n\sqrt{n}}|\sim \frac{\ln n}{n^{1+1/2}}=O\left(\frac{n^{1/4}}{n^{1+1/2}}\right)$.
5. (Pour tout $n\ge 1$, $\sin \frac{1}{n}>0$ car $0<\frac{1}{n}\le 1<\pi$).

   $w_n=\exp (n^{\alpha }\ln (n\sin \frac{1}{n}))>0$.

   $n\sin \frac{1}{n}=n(\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right))=1-\frac{1}{6n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ donc

   $n^{\alpha }\ln (n\sin \frac{1}{n})\sim -\frac{n^{\alpha }}{6n^2}=-\frac{n^{\alpha -2}}{6}$.

   • Si $\alpha \le 2$, $-\frac{n^{\alpha -2}}{6}\ge -\frac{1}{6}$ donc $\sum w_n$ diverge grossièrement.
   • Si $\alpha >2$, $\ln n=o(n^{\alpha -2})$. Par conséquent, pour $n$ assez grand, $n^{\alpha }\ln (n\sin \frac{1}{n})<-2\ln n$ donc $w_n<{\mathrm{e}}^{-2\ln n}=\frac{1}{n^2}$ et la série converge.

 

Exercice 4

Soit $(a_n)$ une suite réelle positive décroissante. On pose $S=\sum _{n\ge 1}{a}_n$ et $T=\sum _{k\ge 0}{2}^k{a}_{2^k}$. Montrer que $S\le T\le 2S$ (ce qui prouvera que $S<+\mathrm{\infty }$ si et seulement si $T<+\mathrm{\infty }$).

Solution

Le deux séries étant à termes positifs, les calculs se font directement sur $S,T\in [0,+\mathrm{\infty }]$, sans avoir à considérer les sommes partielles. En groupant les termes par « paquets de taille $2^k$ » (comme dans la preuve par Oresme de la divergence de la série harmonique), on a d'une part

$S=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)+\dots \le a_1+2a_2+4a_4+\dots =T$

et d'autre part

$2S=a_1+(a_1+a_2)+(a_2+a_3+a_3+a_4)+\dots \ge a_1+2a_2+4a_4+\dots =T$.

 

Exercice 5

Nature de la série de terme général $u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{(n+k{)}^p}$, selon les valeurs du réel $p$ ?

Solution

$u_n\ge 0$ donc on peut directement calculer $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$, qui sera un réel si la série converge et qui sera $+\mathrm{\infty }$ sinon.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=\sum _{n\ge 1,1\le k\le n}\frac{1}{(n+k{)}^p}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+k{)}^p}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=2k}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^p}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{E(m/2)}{m^p}$.

La série est donc convergente si et seulement si $p-1>1$, c'est-à-dire $p>2$.

 

Exercice 6

Soit $\sum u_n$ une série à termes strictement positifs. Montrer que :

1. (Règle de Kummer)
   1. $\sum u_n$ converge si et seulement s'il existe une suite positive $\left(k_n\right)$ et une constante $\delta >0$ telles qu'à partir d'un certain rang, $k_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-k_{n+1}\ge \delta$ ;
   2. $\sum u_n$ diverge si et seulement s'il existe une suite $\left(k_n\right)$ strictement positive telle que $\sum 1/k_n=+\mathrm{\infty }$ et telle qu'à partir d'un certain rang, $k_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-k_{n+1}\le 0$ ;
2. (Règle de Raabe-Duhamel)
   1. s'il existe $b>1$ tel que (à partir d'un certain rang) $\frac{u_{n+1}}{u_n}\le 1-\frac{b}{n}$, alors $\sum u_n$ converge ;
   2. si (à partir d'un certain rang) $\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1-\frac{1}{n}$, alors $\sum u_n$ diverge.
3. (Règle de Bertrand)
   1. s'il existe $b>1$ tel que (à partir d'un certain rang) $\frac{u_n}{u_{n+1}}\ge 1+\frac{1}{n}+\frac{b}{n\ln n}$, alors $\sum u_n$ converge ;
   2. si (à partir d'un certain rang) $\frac{u_n}{u_{n+1}}\le 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n\ln n}$, alors $\sum u_n$ diverge.

Solution

1. 1. Si $k_n\ge 0$ et (à partir d'un certain rang $N$) $k_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-k_{n+1}\ge \delta >0$ alors $\delta u_{n+1}\le k_n{u}_n-k_{n+1}{u}_{n+1}$ donc $\sum _{m>N}{u}_m\le \frac{k_N{u}_N}{\delta }<+\mathrm{\infty }$.
      Réciproquement, si $\sum u_n$ converge alors, en posant $k_n:=\frac{1}{u_n}\sum _{k>n}{u}_k$, on a $k_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-k_{n+1}=1$.
   2. Si $k_n>0$ et (à partir d'un certain rang) $k_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-k_{n+1}\le 0$ alors $\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge \frac{1/k_{n+1}}{1/k_n}$, donc (exercice 5-1) si de plus $\sum 1/k_n=+\mathrm{\infty }$ alors $\sum u_n$ diverge.
      Réciproquement, si $\sum u_n$ diverge alors, en posant $k_n:=1/u_n$, on a $\sum 1/k_n=+\mathrm{\infty }$ et $k_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-k_{n+1}=0$.
2. 1. Si $\frac{u_{n+1}}{u_n}\le 1-\frac{b}{n}$ alors, en posant $k_n:=n-b$, on a $k_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-k_{n+1}\ge b-1$, et l'on conclut grâce au premier point de la règle de Kummer.
   2. Si $\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1-\frac{1}{n}$ alors, en posant $k_n:=n-1$, on a $k_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-k_{n+1}\le 0$, et l'on conclut grâce au second point de la règle de Kummer.
3. En posant $k_n:=n\ln n$, on a :
   1. si $\frac{u_n}{u_{n+1}}\ge 1+\frac{1}{n}+\frac{b}{n\ln n}$ alors $k_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-k_{n+1}\ge b-(n+1)\ln (1+\frac{1}{n})\ge \delta$ à partir d'un certain rang si $\delta <b-1$, et l'on conclut grâce au premier point de la règle de Kummer ;
   2. Si $\frac{u_n}{u_{n+1}}\le 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n\ln n}$ alors $k_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-k_{n+1}\le 1-(n+1)\ln (1+\frac{1}{n})\le 0$, et l'on conclut grâce au second point de la règle de Kummer.

 

Exercice 7

Soit $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle définie par ses deux premiers termes et par une récurrence linéaire d'ordre 2 :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{x}_{n+2}=a{x}_{n+1}+b{x}_n$. On suppose $x_0\ge 0$, $x_1>0$, $a\ge 1$ et $b>0$.

1. Démontrer, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, que $0<x_n\le x_{n+1}$ puis $x_{n+2}\ge (a+b)x_n$.
2. En déduire que $\sum \frac{1}{x_n}$ converge.

Solution

1. Par récurrence, la suite est à valeurs $\ge 0$, donc $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{x}_{n+2}=a{x}_{n+1}+b{x}_n\ge a{x}_{n+1}\ge x_{n+1}$, si bien qu'à partir de l'indice 1, la suite est croissante et donc $>0$.
   On en déduit immédiatement que $x_{n+2}=a{x}_{n+1}+b{x}_n\ge (a+b)x_n$.
2. $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{x_n}=\sum _{k\ge 0}{u}_k$ avec $u_k=\frac{1}{x_{2k+1}}+\frac{1}{x_{2k+2}}$. D'après la question précédente, $u_{k+1}\le \frac{u_k}{a+b}$ or par hypothèse, $a+b>1$. La série est donc (géométriquement) convergente.

 

Exercice 8

Soit $(a_n)$ une suite complexe. On suppose qu'il existe une suite réelle positive $(b_n)$ telle que

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}|a_n|\le b_n-b_{n+1}$.

Montrer qu'alors, $\sum a_n$ est absolument convergente.

Solution

$\mathrm{\forall }N\in \mathbb{N}\sum _{n=0}^N|a_n|\le \sum _{n=0}^N(b_n-b_{n+1})=b_0-b_{N+1}\le b_0$.

 

Exercice 9

1. Soit $\sum x_n$ une série absolument convergente. Montrer que pour tout réel $\lambda$, $\sum \frac{x_n}{1+\lambda x_n}$ est absolument convergente.

Solution

Puisque $\sum |x_n|$ converge, $x_n\to 0$ donc $\left|\frac{x_n}{1+\lambda x_n}\right|\sim \left|x_n\right|$.

 

2. Soient $u_n\ge 0$ et $v_n=\frac{u_n}{1+u_n}$. Montrer que les deux séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.

Solution

Si $\sum u_n$ converge alors $\sum v_n$ aussi d'après la question 1.

Réciproquement, si $\sum v_n$ converge alors $\sum u_n$ aussi, à nouveau d'après la question 1, car $v_n\ge 0$ et $u_n=\frac{v_n}{1-v_n}$.

 

Exercice 10

Soit $\sum u_n$ une série convergente à termes positifs. Montrer que pour tout réel $\alpha >1$, $\sum u_n^{\alpha }$ converge.

Solution

$u_n\to 0$ donc $u_n^{\alpha }=o(u_n)$.

 

Exercice 11

Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries convergentes à termes positifs. Montrer que $\sum \sqrt{u_n{v}_n}$ converge.

Solution

D'après l'inégalité arithmético-géométrique , $\sqrt{u_n{v}_n}\le \frac{u_n+v_n}{2}$. Ou plus savamment : d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace ℓ² des suites de carré sommable, $\sum \sqrt{u_n{v}_n}\le \sqrt{\sum u_n\sum v_n}$.

 

Soit maintenant $v_n=\frac{1}{n}$. Trouver une série $\sum u_n$ convergente à termes positifs telle que $\sum \sqrt{u_n{v}_n}$ diverge.

Solution

D'après le critère pour les séries de Bertrand, $u_n=\frac{1}{n{\ln }^{\beta }n}$ convient si $1<\beta \le 2$.

 

Exercice 12

Soit $(a_n)$ une suite de réels. Notons $a_n^{+}=max(a_n,0)$ et $a_n^{-}=-min(a_n,0)$. Montrer que :

1. $\sum a_n$ est absolument convergente si et seulement si $\sum a_n^{+}$ et $\sum a_n^{-}$ convergent ;
2. si $\sum a_n$ est seulement semi-convergente, alors $\sum a_n^{+}$ et $\sum a_n^{-}$ divergent.

Solution

1. $|a_n|=a_n^{+}+a_n^{-}$ et $0\le a_n^{+}\le |a_n|$, $0\le a_n^{-}\le |a_n|$.
2. $|a_n|=2a_n^{+}-a_n=2a_n^{-}+a_n$.