Leçons de niveau 13

Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie

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Sur la trigonométrie
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Exercices no5
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Sur la résolution d'équation
Exo suiv. :Sur les racines n-ièmes
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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie
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En cas de difficultés à faire les exercices ci-dessous, voir éventuellement et préalablement d'autres exercices plus simples sur la trigonométrie utilisant les nombres complexes.

Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

Linéariser les expressions suivantes :

a)   ;

b)   ;

c)  .

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

Linéariser les expressions suivantes :

a)

b)

c)

d)

Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

Simplifier l’expression :

Exercice 5-4[modifier | modifier le wikicode]

Question 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Calculer et pour tout et en déduire et .

Question 2[modifier | modifier le wikicode]

De manière semblable, calculer les sommes suivantes où , et sont des réels :

a)   ;

b)   ;

c)  .

Exercice 5-5[modifier | modifier le wikicode]

 En utilisant la formule de Moivre, calculez en fonction de .

 En déduire une équation du 5e degré admettant pour solution .

 En interprétant les autres solutions de cette équation, la résoudre, et précisez la valeur de .

Exercice 5-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit : .

 Démontrez que et sont conjugués et que la partie imaginaire de est positive.

 Calculez , , puis et .

 Quelles formules trigonométriques pouvez-vous déduire de ce qui précède ?

Exercice 5-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient un entier strictement positif et un réel appartenant à . On pose :

  •  ;
  •  ;
  • .
  1. Montrez que est la somme des premiers termes d'une suite géométrique complexe, dont on donnera le premier terme et la raison.
  2. En déduire la valeur de , puis de , en fonction de et .