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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie

Leçons de niveau 13
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Sur la trigonométrie
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Exercices no5
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sur la résolution d'équation
Exo suiv. :Sur les racines n-ièmes
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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



En cas de difficultés à faire les exercices ci-dessous, voir éventuellement et préalablement d'autres exercices plus simples sur la trigonométrie utilisant les nombres complexes.

Linéariser les expressions suivantes :

a)   ;

b)   ;

c)  .

Linéariser les expressions suivantes :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Simplifier l’expression :

Soit . Calculer et pour tout et en déduire et .

De manière semblable, calculer les sommes suivantes où , et sont des réels :

a)   ;

b)   ;

c)  .

 En utilisant la formule de Moivre, calculez en fonction de .

 En déduire une équation du 5e degré admettant pour solution .

 En interprétant les autres solutions de cette équation, la résoudre, et précisez la valeur de .

Soit : .

 Démontrez que et sont conjugués et que la partie imaginaire de est positive.

 Calculez , , puis et .

 Quelles formules trigonométriques pouvez-vous déduire de ce qui précède ?

Soient un entier strictement positif et un réel appartenant à . On pose :

  •  ;
  •  ;
  • .
  1. Montrez que est la somme des premiers termes d'une suite géométrique complexe, dont on donnera le premier terme et la raison.
  2. En déduire la valeur de , puis de , en fonction de et .