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Exercice : Sur la trigonométrie
Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
En cas de difficultés à faire les exercices ci-dessous, voir éventuellement et préalablement d'autres exercices plus simples sur la trigonométrie utilisant les nombres complexes.
Linéariser les expressions suivantes :
a) ;
b) ;
c) .
Solution
a) (linéarisation classique de sin3) .
b) (produit de cosinus et de sinus) .
c) (linéarisation de cos×sin2) .
Linéariser les expressions suivantes :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Solution
a)
b)
c)
d)
e) .
f) .
g) .
Simplifier l’expression :
Soit . Calculer et pour tout et en déduire et .
Solution
La somme
est égale en général à
- ,
sauf si , auquel cas cette somme est égale à (on peut vérifier, dans cette expression comme dans les suivantes, que chaque fonction ainsi décrite par cas est bien continue). Par conséquent :
- est égal à si et à sinon ;
- est égal à si et à sinon.
(On peut aussi trouver ces résultats par télescopage.)
Si , donc (en posant )
- si , .
- Si , .
Si , donc
- si , .
- Si , .
De manière semblable, calculer les sommes suivantes où , et sont des réels :
a) ;
b) ;
c) .
1° En utilisant la formule de Moivre, calculez en fonction de .
2° En déduire une équation du 5e degré admettant pour solution .
3° En interprétant les autres solutions de cette équation, la résoudre, et précisez la valeur de .
Solution
Valeurs trigonométriques exactes
Notons et .
- .
- Si , donc .
- Les cinq solutions de cette équation sont les cosinus des cinq angles tels que : avec .
(qui correspond à ) est racine de cette équation, et les quatre autres racines sont en fait deux racines doubles : et , donc doit pouvoir s'écrire sous la forme . Effectivement, et conviennent.
La racine positive de est (voir Valeurs trigonométriques exactes).
Remarque : l'autre racine, , est . Par conséquent, (voir Valeurs trigonométriques exactes).
Soit : .
1° Démontrez que et sont conjugués et que la partie imaginaire de est positive.
2° Calculez , , puis et .
3° Quelles formules trigonométriques pouvez-vous déduire de ce qui précède ?
Soient un entier strictement positif et un réel appartenant à . On pose :
- ;
- ;
- .
- Montrez que est la somme des premiers termes d'une suite géométrique complexe, dont on donnera le premier terme et la raison.
- En déduire la valeur de , puis de , en fonction de et .