Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert

Exercice 1

(Généralisation de la règle de d'Alembert.) Soient $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ deux séries à termes strictement positifs vérifiant, à partir d'un certain rang :

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$.

Montrer que :

1. si $\sum b_{n}$ converge alors $\sum a_{n}$ converge ;
2. si $\sum a_{n}$ diverge alors $\sum b_{n}$ diverge.

Solution

1. Soit $N$ un rang à partir duquel l'inégalité est vraie. Les séries $\sum a_{n}$ et $\sum _{n\geq N}a_{n}$ étant de même nature, et de même pour les séries en $b_{n}$, il suffit de démontrer que si $\sum _{n\geq N}b_{n}$ converge alors $\sum _{n\geq N}a_{n}$ converge.
   • Pour cela, montrons d'abord par récurrence que

     $\forall n\geq N\quad a_{n}\leq Mb_{n}$,

     où $M$ est le réel positif $a_{N}/b_{N}$. La propriété est évidemment vraie pour $n=N$. Supposons-la vraie en un certain rang $n\geq N$. Alors,

     $a_{n+1}\leq a_{n}{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\leq Mb_{n}{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}=Mb_{n+1}$

     et la propriété est établie au rang $n+1$. Elle est donc vraie pour tout $n\geq N$.

   • Supposons maintenant que $\sum _{n\geq N}b_{n}<+\infty$. Alors, $\sum _{n\geq N}a_{n}\leq \sum _{n\geq N}Mb_{n}=M\sum _{n\geq N}b_{n}<+\infty$.
2. Simple contraposée de l'implication précédente.

 

Exercice 2

Soient $a\in \mathbb {R}$ et $b\in \mathbb {R} _{+}^{*}$. Utiliser la règle de d'Alembert pour déterminer la nature des séries numériques de terme général :

1. $a_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}$ ;
2. $b_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}$ ;
3. $c_{n}={\frac {b^{n}(n!)^{a}}{(2n)!}}$ ;
4. $d_{n}={\frac {n!\;n^{n}}{(2n)!}}$.

Solution

Toutes sauf la première sont à termes positifs.

1. ${\frac {\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}}={\frac {|a|}{n+1}}\to 0$ donc $\sum a_{n}$ est absolument convergente. On peut d'ailleurs démontrer que $\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {a^{n}}{n!}}=\exp(a)$ : voir Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e.
2. ${\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}=\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{-n}\to {\frac {1}{\mathrm {e} }}<1$ donc $\sum _{n\geq 1}b_{n}$ converge.
3. ${\frac {c_{n}}{c_{n-1}}}={\frac {b\,n^{a}}{2n(2n-1)}}\sim {\frac {b\,n^{a-2}}{4}}\to {\begin{cases}+\infty &{\text{ si }}a>2,\\{\frac {b}{4}}&{\text{ si }}a=2,\\0&{\text{ si }}a<2.\end{cases}}$
   Donc $\sum c_{n}$ converge si $a<2$ ou si $a=2$ et $b<4$ et diverge grossièrement si $a>2$ ou si $a=2$ et $b>4$.
   Pour $a=2$ et $b=4$, la règle de d'Alembert ne permet pas de conclure, mais on voit directement que la série diverge grossièrement : $c_{n}\geq 1$ car ${\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\binom {2n}{n}}\leq \sum _{k=0}^{2n}{\binom {2n}{k}}=2^{2n}$ (en utilisant l'équivalent de De Moivre pour les factorielles, on peut même montrer que $c_{n}\to +\infty$).
   Remarque : si $b\leq 1$, la convergence pour $a\leq 2$ ou, ce qui revient au même, pour $a=2$, peut aussi se déduire de la convergence de la série suivante, puisque $n!\leq n^{n}$.
4. ${\frac {d_{n+1}}{d_{n}}}={\frac {(n+1)^{2}}{(2n+2)(2n+1)}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\to {\frac {\mathrm {e} }{4}}<1$ donc $\sum _{n\geq 1}d_{n}$ converge.

 

Exercice 3

Déterminer la nature des séries de terme général :

1. $x_{n}={\frac {a^{n}}{n^{n}}}$, pour $a\in \mathbb {R}$ ;
2. $y_{n}={\frac {a^{n}2^{\sqrt {n}}}{2^{\sqrt {n}}+b^{n}}}$, pour $a,b>0$ ;
3. $z_{n}={\frac {z^{n}n^{3}}{n!}}$, pour $z\in \mathbb {C}$ ;
4. $t_{n}=\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{n^{2}}$.

Solution

1. ${\frac {|a|}{n}}\to 0<1$ donc $\sum x_{n}$ converge absolument, par la règle de Cauchy (celle de d'Alembert s'applique aussi).
   Remarque : puisque $n!\leq n^{n}$, la convergence de $\sum {\frac {|a|^{n}}{n^{n}}}$peut également se déduire de celle de $\sum {\frac {|a|^{n}}{n!}}$, démontrée dans l'exercice ci-dessus.
2. $y_{n}={\frac {1}{p^{n}+q^{n}2^{-{\sqrt {n}}}}}$ avec $p={\frac {1}{a}}$ et $q={\frac {b}{a}}$.
   • Si $r:=\max(p,q)\leq 1$, c'est-à-dire si $a\geq 1$ et $a\geq b$, alors $y_{n}\geq {\frac {1}{2}}$ donc $\sum y_{n}$ diverge grossièrement.
   • Si $r>1$, c'est-à-dire si $a<1$ ou $a<b$, alors $y_{n}\leq {\frac {1}{r^{n}2^{-{\sqrt {n}}}}}$ donc $\sum y_{n}$ converge, par la règle de Cauchy (celle de d'Alembert s'applique aussi).
3. Cette série est absolument convergente par la règle de D'Alembert, ou en remarquant que ${\frac {z^{n}n^{3}}{n!}}\sim z^{3}{\frac {z^{n-3}}{(n-3)!}}$ et $\sum _{n\geq 3}{\frac {|z|^{n-3}}{(n-3)!}}=\operatorname {e} ^{|z|}<+\infty$ ou, plus directement :

   $\sum _{n\geq 0}z_{n}=0+z+4z^{2}+\sum _{n\geq 3}z^{n}\left({\frac {1}{(n-3)!}}+{\frac {3}{(n-2)!}}+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)=z+4z^{2}+z^{3}\operatorname {e} ^{z}+3z^{2}\left(\operatorname {e} ^{z}-1\right)+z\left(\operatorname {e} ^{z}-z-1\right)=\operatorname {e} ^{z}\left(z^{3}+3z^{2}+z\right)$ (en particulier, $\sum _{n\geq 0}|z_{n}|=\operatorname {e} ^{|z|}\left(|z|^{3}+3|z|^{2}+|z|\right)<+\infty$).

4. Cette série est (absolument) convergente par la règle de Cauchy, car $t_{n}^{1/n}=\left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}\to {\frac {1}{\mathrm {e} }}<1$.