Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert

Exercice 1

(Généralisation de la règle de d'Alembert.) Soient $\sum a_n$ et $\sum b_n$ deux séries à termes strictement positifs vérifiant, à partir d'un certain rang :

$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

Montrer que :

1. si $\sum b_n$ converge alors $\sum a_n$ converge ;
2. si $\sum a_n$ diverge alors $\sum b_n$ diverge.

Solution

1. Soit $N$ un rang à partir duquel l'inégalité est vraie. Les séries $\sum a_n$ et $\sum _{n\ge N}{a}_n$ étant de même nature, et de même pour les séries en $b_n$, il suffit de démontrer que si $\sum _{n\ge N}{b}_n$ converge alors $\sum _{n\ge N}{a}_n$ converge.
   • Pour cela, montrons d'abord par récurrence que

     $\mathrm{\forall }n\ge N{a}_n\le M{b}_n$,

     où $M$ est le réel positif $a_N/b_N$. La propriété est évidemment vraie pour $n=N$. Supposons-la vraie en un certain rang $n\ge N$. Alors,

     $a_{n+1}\le a_n\frac{b_{n+1}}{b_n}\le M{b}_n\frac{b_{n+1}}{b_n}=M{b}_{n+1}$

     et la propriété est établie au rang $n+1$. Elle est donc vraie pour tout $n\ge N$.

   • Supposons maintenant que $\sum _{n\ge N}{b}_n<+\mathrm{\infty }$. Alors, $\sum _{n\ge N}{a}_n\le \sum _{n\ge N}M{b}_n=M\sum _{n\ge N}{b}_n<+\mathrm{\infty }$.
2. Simple contraposée de l'implication précédente.

 

Exercice 2

Soient $a\in ℝ$ et $b\in {ℝ}_{+}^{\ast }$. Utiliser la règle de d'Alembert pour déterminer la nature des séries numériques de terme général :

1. $a_n=\frac{a^n}{n!}$ ;
2. $b_n=\frac{n!}{n^n}$ ;
3. $c_n=\frac{b^n(n!{)}^a}{(2n)!}$ ;
4. $d_n=\frac{n!n^n}{(2n)!}$.

Solution

Toutes sauf la première sont à termes positifs.

1. $\frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_n\right|}=\frac{|a|}{n+1}\to 0$ donc $\sum a_n$ est absolument convergente. On peut d'ailleurs démontrer que $\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{a^n}{n!}=\exp (a)$ : voir Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e.
2. $\frac{b_{n+1}}{b_n}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n={(1+\frac{1}{n})}^{-n}\to \frac{1}{\mathrm{e}}<1$ donc $\sum _{n\ge 1}{b}_n$ converge.
3. $\frac{c_n}{c_{n-1}}=\frac{b{n}^a}{2n(2n-1)}\sim \frac{b{n}^{a-2}}{4}\to \{\begin{array}{cc}+\mathrm{\infty }& \text{ si }a>2,\\ \frac{b}{4}& \text{ si }a=2,\\ 0& \text{ si }a<2.\end{array}$
   Donc $\sum c_n$ converge si $a<2$ ou si $a=2$ et $b<4$ et diverge grossièrement si $a>2$ ou si $a=2$ et $b>4$.
   Pour $a=2$ et $b=4$, la règle de d'Alembert ne permet pas de conclure, mais on voit directement que la série diverge grossièrement : $c_n\ge 1$ car $\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\le \sum _{k=0}^{2n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{k})=2^{2n}$ (en utilisant l'équivalent de De Moivre pour les factorielles, on peut même montrer que $c_n\to +\mathrm{\infty }$).
   Remarque : si $b\le 1$, la convergence pour $a\le 2$ ou, ce qui revient au même, pour $a=2$, peut aussi se déduire de la convergence de la série suivante, puisque $n!\le n^n$.
4. $\frac{d_{n+1}}{d_n}=\frac{(n+1{)}^2}{(2n+2)(2n+1)}{(1+\frac{1}{n})}^n\to \frac{\mathrm{e}}{4}<1$ donc $\sum _{n\ge 1}{d}_n$ converge.

 

Exercice 3

Déterminer la nature des séries de terme général :

1. $x_n=\frac{a^n}{n^n}$, pour $a\in ℝ$ ;
2. $y_n=\frac{a^n{2}^{\sqrt{n}}}{2^{\sqrt{n}}+b^n}$, pour $a,b>0$ ;
3. $z_n=\frac{z^n{n}^3}{n!}$, pour $z\in ℂ$ ;
4. $t_n={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n^2}$.

Solution

1. $\frac{|a|}{n}\to 0<1$ donc $\sum x_n$ converge absolument, par la règle de Cauchy (celle de d'Alembert s'applique aussi).
   Remarque : puisque $n!\le n^n$, la convergence de $\sum \frac{|a{|}^n}{n^n}$peut également se déduire de celle de $\sum \frac{|a{|}^n}{n!}$, démontrée dans l'exercice ci-dessus.
2. $y_n=\frac{1}{p^n+q^n{2}^{-\sqrt{n}}}$ avec $p=\frac{1}{a}$ et $q=\frac{b}{a}$.
   • Si $r:=max(p,q)\le 1$, c'est-à-dire si $a\ge 1$ et $a\ge b$, alors $y_n\ge \frac{1}{2}$ donc $\sum y_n$ diverge grossièrement.
   • Si $r>1$, c'est-à-dire si $a<1$ ou $a<b$, alors $y_n\le \frac{1}{r^n{2}^{-\sqrt{n}}}$ donc $\sum y_n$ converge, par la règle de Cauchy (celle de d'Alembert s'applique aussi).
3. Cette série est absolument convergente par la règle de D'Alembert, ou en remarquant que $\frac{z^n{n}^3}{n!}\sim z^3\frac{z^{n-3}}{(n-3)!}$ et $\sum _{n\ge 3}\frac{|z{|}^{n-3}}{(n-3)!}={\mathrm{e}}^{|z|}<+\mathrm{\infty }$ ou, plus directement :

   $\sum _{n\ge 0}{z}_n=0+z+4z^2+\sum _{n\ge 3}{z}^n(\frac{1}{(n-3)!}+\frac{3}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!})=z+4z^2+z^3{\mathrm{e}}^z+3z^2({\mathrm{e}}^z-1)+z({\mathrm{e}}^z-z-1)={\mathrm{e}}^z(z^3+3z^2+z)$ (en particulier, $\sum _{n\ge 0}|z_n|={\mathrm{e}}^{|z|}(|z{|}^3+3|z{|}^2+|z|)<+\mathrm{\infty }$).

4. Cette série est (absolument) convergente par la règle de Cauchy, car $t_n^{1/n}={(1-\frac{1}{n+1})}^n\to \frac{1}{\mathrm{e}}<1$.